25/12/05 13:15:39.70 x6aQ8xiQ.net
>>236
{x_n} が単調増加でない場合には、 a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。
>そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。
{f(x_n)} が収束することを示す必要があります。
238:１３２人目の素数さん
25/12/05 13:19:04.91 HT0tR5iE.net
>{x_n} が単調増加でない場合には、
>a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。
{x_n} が単調増加でない場合には、
他に何も条件がなければ
a^{x_n} は収束しない。
239:１３２人目の素数さん
25/12/05 13:22:45.43 x6aQ8xiQ.net
高校数学の教科書に以下の記述があります：
「
指数は有理数まで拡張されたが、無理数の指数はどうだろうか。
たとえば、 a^{√2} を考えてみよう。
√2 は無限小数 1.41421… で表される。そこで、
a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, a^{1.4142}, …
を考えると、これらの指数が有理数だから、それぞれの値が定まる。
そして、それらの値はある一定の値にかぎりなく近づいていく。その値を a^{√2} と定めるのである。
このようにして、指数 p が無理数のときにも a^p が定められる。
したがって、指数はすべての実数に拡張されたことになる。そして、 p, q が実数のときも、前ページの指数法則が成り立つ。
」
この部分を厳密化したのが定本のp.26の指数函数についてですね。
240:１３２人目の素数さん
25/12/05 15:24:21.17 HT0tR5iE.net
解析概論の方が高校の教科書より後で書かれた？
241:１３２人目の素数さん
25/12/05 19:52:06.79 x6aQ8xiQ.net
定本のp.30の図ですが、おかしいですね。
点 Q を中心とする円ですが、開円板として描かれています。
閉円板として描くのが正しいですよね。
定本になる前の本でも同様の誤りがあります。
242:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:18:57.89 x6aQ8xiQ.net
定本p.29の定理14（有界閉集合において連続関数は一様連続であるという定理）の証明の最後の部分が分かりません。
「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0) ≦ ε。
」
なぜ、 v(P, ρ_0) ≦ ε であることが言えるのでしょうか？
その前の行で、 ρ_0/2 や ρ/2 を考えたことは v(P, ρ_0) ≦ ε を結論づけるためにどのように効いているのでしょうか？
243:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:21:44.59 x6aQ8xiQ.net
「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0/2 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0/2) < ε。
」
↑こうであったなら何も疑問はありません。
244:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:27:06.41 x6aQ8xiQ.net
>>243
が正しいように思いますがどうでしょうか？
せっかく正しく ρ_0/2 や ρ/2 を考えたにもかかわらず、最後の不等式ではそれを使えていません。
定本の前の本でも同じように書いてありますが、これは代々訂正されないままであった誤りではないでしょうか？
245:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:30:31.18 x6aQ8xiQ.net
なんか前もちょうど同じところで同じ疑問を持って、書き込みをしたのを思い出しました。
246:１３２人目の素数さん
25/12/05 23:08:21.99 q33YVIoG.net
解決できない疑問は
誰にでもある
247:１３２人目の素数さん
25/12/06 19:39:21.89 MUnkZ+tw.net
第2版は著作権が切れているということでネットで公開されていますが、それを見ると、 v(P, ρ) < ε という間違ったことを書いていますね。
それを正そうとしてまたおかしなことになっているという状況だと思います。
248:１３２人目の素数さん
25/12/06 19:42:43.62 MUnkZ+tw.net
解析概論の初版からの変遷を追うのは面白そうですね。
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。
249:１３２人目の素数さん
25/12/07 20:00:41.74 OsO3kFde.net
るべーぐノ積分、はまだできたての頃だった
から、うまく整理されていない気がした。
250:１３２人目の素数さん
25/12/07 20:20:47.57 dXim+8p2.net
それは昔から言われていること
251:１３２人目の素数さん
25/12/08 13:37:54.38 dwXms1xU.net
その章はなくてもよい
252:１３２人目の素数さん
25/12/08 17:32:48.27 z8z2P97/.net
第1章の練習問題ですが、いきなり1問目から面白いですね。
253:１３２人目の素数さん
25/12/08 18:08:20.90 z8z2P97/.net
第1章練習問題(2)ですが、 a > 0, b > 0 とするとなっていますが、おかしいですね。
b > 0, a > -b とするべきです。
254:１３２人目の素数さん
25/12/08 19:27:02.87 pd0Fm22m.net
>>248
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。
255:１３２人目の素数さん
25/12/08 19:29:51.95 QdgoSjeo.net
>b > 0, a > -b とするべきです。
おかしい
256:１３２人目の素数さん
25/12/08 23:47:41.96 QdgoSjeo.net
９℃
くもり
257:１３２人目の素数さん
25/12/09 09:34:17.66 1zWj+vFA.net
>>255
おかしいのは高木貞治さんのほうです。
258:１３２人目の素数さん
25/12/09 09:53:49.09 T2iL3Dp3.net
>>257
なぜ？
259:１３２人目の素数さん
25/12/11 04:39:10.55 cADn2+RT.net
最初の分冊で出た頃から、内容などが
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。
260:１３２人目の素数さん
25/12/11 16:58:00.35 K3Iy8nk/.net
笠原さんの『新装改版微分積分学』の定理1.36の証明って間違っていますよね？
定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。
誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。
次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a} 上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。
261:１３２人目の素数さん
25/12/11 20:57:15.56 K3Iy8nk/.net
高木貞治著『定本解析概論』のp.35練習問題(1)の(6)解答を以下に示します：
f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。
証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n} はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)} はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)} はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n} の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。
262:１３２人目の素数さん
25/12/11 20:57:40.90 K3Iy8nk/.net
g が連続であることを以下で示す。
(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。
(1), (2)から g は連続である。
263:１３２人目の素数さん
25/12/12 07:12:26.94 /Znd7dV0.net
アーベルはベルリンでコーシーの「解析学教程」を読んだ
264:１３２人目の素数さん
25/12/16 17:47:02.40 DKaAFHtC.net
高木貞治著『定本解析概論』のp.36練習問題(9)
x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？
265:１３２人目の素数さん
25/12/16 20:21:12.91 QR6bYE2p.net
指数法則と二項定理および単調性
266:１３２人目の素数さん
25/12/18 09:42:18.53 JBgiDc1U.net
>>265
もっと詳しく書いてください。
267:１３２人目の素数さん
25/12/20 05:27:03.99 gn580dQe.net
大塚駅前の本屋での
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた
268:１３２人目の素数さん
25/12/21 05:31:09.42 ma2hEIrt.net
英語翻訳版はあるのかね？
269:１３２人目の素数さん
25/12/21 08:27:09.53 8ZDzXVd6.net
ない
270:１３２人目の素数さん
25/12/21 17:42:58.53 ma2hEIrt.net
高木貞治の原著本はどれも著作権が基本的に
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。
271:１３２人目の素数さん
25/12/21 17:44:27.56 Cmvhf1yq.net
この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？
272:１３２人目の素数さん
25/12/21 18:34:07.11 Dsw1NAGn.net
典型的なフェイク
273:１３２人目の素数さん
25/12/22 08:41:44.27 TaWxxb+/.net
>>267
いつ放送のドキュメント７２ですか？
274:１３２人目の素数さん
25/12/22 09:12:41.18 Vlu4+111.net
先週の金曜日
275:１３２人目の素数さん
25/12/22 11:46:17.09 TaWxxb+/.net
ありがとうございます
276:１３２人目の素数さん
25/12/22 21:45:50.40 Vlu4+111.net
解析概論と線形数学と
研究社の大英和
277:１３２人目の素数さん
25/12/23 22:17:55.34 uqvKp/xo.net
１０℃
小雨
278:１３２人目の素数さん
25/12/23 22:45:23.73 uqvKp/xo.net
１０℃
小雨
279:１３２人目の素数さん
25/12/24 10:00:33.56 ArDCoxFr.net
ハードカバーのが良い
280:１３２人目の素数さん
26/01/03 12:45:26.85 jsbW4NVe.net
1冊の本のみを集中的に読んだほうがいいか？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
281:１３２人目の素数さん
26/01/05 11:07:58.47 1v7Qjqzd.net
８℃
晴れ
282:１３２人目の素数さん
26/01/06 05:50:59.35 oly51cAF.net
3℃
くもり
283:１３２人目の素数さん
26/01/14 07:40:10.65 +PCPrTA6T
学生時代、この本を講義の参考書として指定されたので、必死に理解しようと
したけどわからないところが少なくなく、人に聞いても解析概論信者ばかりで
「理解できないお前が悪い」と言われて酷く悔しかったのを憶えてる。
このスレ見ると色々悪いところを指摘する人がいて、やっとそういう時代にな
ったのかと思えて嬉しい。
284:１３２人目の素数さん
26/01/14 07:43:15.20 +PCPrTA6T
271 >>この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？
Goursatの本のこと？
285:１３２人目の素数さん
26/01/20 08:03:11.27 ZlNCrdu4.net
９℃
くもりのち晴れ
286:１３２人目の素数さん
26/01/24 20:55:01.87 0XcZjFo3.net
Tさんが小学生の時読んだという話を聞いた
287:１３２人目の素数さん
26/01/24 22:59:49.21 0XcZjFo3.net
T澤
288:１３２人目の素数さん
26/01/25 09:06:39.67 +qJ/SBlN.net
U澤さんも
289:１３２人目の素数さん
26/01/25 10:32:07.73 soraY4Yl.net
O川先生は
大学を卒業する前に
やっと読めたとおっしゃった
290:１３２人目の素数さん
26/01/25 22:31:40.70 soraY4Yl.net
関数論の授業でこれを使っていた人は結構いるかもしれない
291:１３２人目の素数さん
26/01/27 21:05:53.97 d3+lxAfy.net
熊本の人が使っていたと言っていた
292:１３２人目の素数さん
26/01/28 06:05:34.18 tHVPPK5p.net
物理学者の村山斉は小学3年生の時に解析概論を読んだという伝説がある
293:１３２人目の素数さん
26/01/30 06:50:17.38 2M81YnwV.net
Fはランドセルに解析概論を入れていた
294:１３２人目の素数さん
26/01/30 09:13:07.14 hQUQypKa.net
Fは今でもランドセルの似合う男
295:１３２人目の素数さん
26/01/30 09:24:22.46 2M81YnwV.net
解析概論に匹敵する幾何学の名著を目指したのが
弥永先生の『幾何学序説』(1968)だったと思うが
残っていないようだ。
梶原先生の『複素関数論』(1968)は2007年に復刊されている。
296:１３２人目の素数さん
26/01/30 09:39:58.12 2M81YnwV.net
『複素関数論』の内容は
作用素環論の誰かが
中学時代には読めていたようだ
297:１３２人目の素数さん
26/02/01 17:02:58.06 EIkIp9iQ.net
K東
298:１３２人目の素数さん
26/02/01 19:13:58.07 jX6fysrM.net
高木貞治『解析概論』は今でも名著なのか
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
299:１３２人目の素数さん
26/02/17 05:26:42.52 MVo1F8dZ.net
永遠の名著
300:１３２人目の素数さん
26/03/02 05:57:08.14 s5tEcQ+i.net
当時としては相当の使命感をもって書かれたものだと思う
301:１３２人目の素数さん
26/03/03 09:58:03.07 MQ83r0uv.net
ニュース速報
小笠原村に核ゴミ…
302:１３２人目の素数さん
26/03/08 05:24:51.70 /KmvluKB.net
文章の格調が高い
303:１３２人目の素数さん
26/03/15 18:48:31.99 od6U6pJd.net
１ｍｍの雨
木曜日
304:１３２人目の素数さん
26/03/16 14:02:25.54 3bvfreVm.net
１６℃
晴れ
305:１３２人目の素数さん
26/03/17 05:58:57.99 deN5xlBc.net
６℃
くもり時々晴れ
306:１３２人目の素数さん
26/04/01 18:03:40.86 1p114+if.net
イプシロンデルタ論法を明示的には振り回していない。
307:１３２人目の素数さん
26/04/02 05:30:58.42 pn8p10QI.net
ラグランジュ級数を明示的に書いている
308:１３２人目の素数さん
26/04/06 07:21:06.49 FQiXJPbm.net
高木の解析概論と
吉田の函数論は
双璧をなす
309:１３２人目の素数さん
26/04/06 08:46:48.98 0CTvDLBR.net
$F(u, v)$ を有理関数とする。 $F(\cos x, \sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには、 $t = \tan x$ としてすでに有理化ができる。その場合には、$F(u, v) = F(-u, -v)$ で、それは $u^2, v^2$ および $uv$ の有理関数になり、従って、$F(\cos x, \sin x)$ は $\cos 2x$と$\sin 2x$との有理関数として表されるからである。
と高木貞治著『解析概論』に書いてありました。これについて証明をしてください。
Geminiに聞いたところ、はじめはごまかされましたが、問い詰めたところ、
F(u, v) = (u + v) * (u^2 + v^2 - 1)
という反例を答えてきました。
そして、
G(u, v) := (F(u, v) + F(-u, -v)) / 2 という有理関数を考えれば、
G(u, v) = G(-u, -v) かつ G(cos x, sin x) = F(cos x, sin x) が成り立つから、
F(cos x, sin x) の代わりに G(cos x, sin x) を考えればよいという素晴らしい解答を出してきました。
高木貞治の議論は間違っていましたね？
310:１３２人目の素数さん
26/04/06 12:53:03.20 F3w4VFQj.net
よくわからない
311:１３２人目の素数さん
26/04/07 08:15:12.06 ACpvD+ha.net
1938年
312:１３２人目の素数さん
26/04/08 08:31:45.66 SL500z4B.net
解析概論と函数論
313:１３２人目の素数さん
26/04/08 15:07:36.39 +Sz9NHoR.net
吉田の函数論そんなにいいですかね？
314:１３２人目の素数さん
26/04/08 19:58:18.69 SL500z4B.net
良さが分かると良いのだが
315:１３２人目の素数さん
26/04/08 23:58:10.80 +Sz9NHoR.net
失礼いたしました
316:１３２人目の素数さん
26/04/09 10:38:32.41 NY9qo5dw.net
B賞をもらったとき
ある先生に
Bて偉いんですかねときかれた
317:１３２人目の素数さん
26/04/09 11:14:17.87 GhGNG/G3.net
Fieldsて偉いんですかね
318:１３２人目の素数さん
26/04/10 11:40:57.44 mp2oqfxr.net
B核
319:１３２人目の素数さん
26/04/10 12:15:09.32 0UbrSDiM.net
本来はBB(Bergman-Bochner)核
320:１３２人目の素数さん
26/04/11 04:30:17.79 bLDhtpmm.net
Kähler計量も
本来はVanDanzig-Schouten計量
321:１３２人目の素数さん
26/04/11 08:39:28.49 cK1PlcRv.net
今日発売の数セミにStiglerの法則というのが載っている
いかなる科学的発見もその最初の発見者の名が冠されることはない、
のだそうだ
ガウス分布とかいろいろ
322:１３２人目の素数さん
26/04/11 09:11:21.89 bLDhtpmm.net
スティグラー自身は、この法則の発見者は社会学者のロバート・マートンであるとして、「スティグラーの法則」という呼称自体がスティグラーの法則を満たしていると主張している。
323:１３２人目の素数さん
26/04/11 10:48:58.26 oTDBhg7y.net
>>316
ヘイチ先生、研究科長辞めて5chすか
324:１３２人目の素数さん
26/04/11 10:56:38.56 MruRlsOm.net
アングラなとこも案外良いかもしれないよ。
知らんけど。
325:１３２人目の素数さん
26/04/13 08:41:38.80 GkKYZzYF.net
「関数論外伝」に詳しい記述がある