25/12/05 13:15:39.70 x6aQ8xiQ.net
>>236
{x_n} が単調増加でない場合には、 a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。
>そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。
{f(x_n)} が収束することを示す必要があります。
238:１３２人目の素数さん
25/12/05 13:19:04.91 HT0tR5iE.net
>{x_n} が単調増加でない場合には、
>a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。
{x_n} が単調増加でない場合には、
他に何も条件がなければ
a^{x_n} は収束しない。
239:１３２人目の素数さん
25/12/05 13:22:45.43 x6aQ8xiQ.net
高校数学の教科書に以下の記述があります：
「
指数は有理数まで拡張されたが、無理数の指数はどうだろうか。
たとえば、 a^{√2} を考えてみよう。
√2 は無限小数 1.41421… で表される。そこで、
a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, a^{1.4142}, …
を考えると、これらの指数が有理数だから、それぞれの値が定まる。
そして、それらの値はある一定の値にかぎりなく近づいていく。その値を a^{√2} と定めるのである。
このようにして、指数 p が無理数のときにも a^p が定められる。
したがって、指数はすべての実数に拡張されたことになる。そして、 p, q が実数のときも、前ページの指数法則が成り立つ。
」
この部分を厳密化したのが定本のp.26の指数函数についてですね。
240:１３２人目の素数さん
25/12/05 15:24:21.17 HT0tR5iE.net
解析概論の方が高校の教科書より後で書かれた？
241:１３２人目の素数さん
25/12/05 19:52:06.79 x6aQ8xiQ.net
定本のp.30の図ですが、おかしいですね。
点 Q を中心とする円ですが、開円板として描かれています。
閉円板として描くのが正しいですよね。
定本になる前の本でも同様の誤りがあります。
242:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:18:57.89 x6aQ8xiQ.net
定本p.29の定理14（有界閉集合において連続関数は一様連続であるという定理）の証明の最後の部分が分かりません。
「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0) ≦ ε。
」
なぜ、 v(P, ρ_0) ≦ ε であることが言えるのでしょうか？
その前の行で、 ρ_0/2 や ρ/2 を考えたことは v(P, ρ_0) ≦ ε を結論づけるためにどのように効いているのでしょうか？
243:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:21:44.59 x6aQ8xiQ.net
「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0/2 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0/2) < ε。
」
↑こうであったなら何も疑問はありません。
244:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:27:06.41 x6aQ8xiQ.net
>>243
が正しいように思いますがどうでしょうか？
せっかく正しく ρ_0/2 や ρ/2 を考えたにもかかわらず、最後の不等式ではそれを使えていません。
定本の前の本でも同じように書いてありますが、これは代々訂正されないままであった誤りではないでしょうか？
245:１３２人目の素数さん
25/12/05 20:30:31.18 x6aQ8xiQ.net
なんか前もちょうど同じところで同じ疑問を持って、書き込みをしたのを思い出しました。
246:１３２人目の素数さん
25/12/05 23:08:21.99 q33YVIoG.net
解決できない疑問は
誰にでもある
247:１３２人目の素数さん
25/12/06 19:39:21.89 MUnkZ+tw.net
第2版は著作権が切れているということでネットで公開されていますが、それを見ると、 v(P, ρ) < ε という間違ったことを書いていますね。
それを正そうとしてまたおかしなことになっているという状況だと思います。
248:１３２人目の素数さん
25/12/06 19:42:43.62 MUnkZ+tw.net
解析概論の初版からの変遷を追うのは面白そうですね。
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。
249:１３２人目の素数さん
25/12/07 20:00:41.74 OsO3kFde.net
るべーぐノ積分、はまだできたての頃だった
から、うまく整理されていない気がした。
250:１３２人目の素数さん
25/12/07 20:20:47.57 dXim+8p2.net
それは昔から言われていること
251:１３２人目の素数さん
25/12/08 13:37:54.38 dwXms1xU.net
その章はなくてもよい
252:１３２人目の素数さん
25/12/08 17:32:48.27 z8z2P97/.net
第1章の練習問題ですが、いきなり1問目から面白いですね。
253:１３２人目の素数さん
25/12/08 18:08:20.90 z8z2P97/.net
第1章練習問題(2)ですが、 a > 0, b > 0 とするとなっていますが、おかしいですね。
b > 0, a > -b とするべきです。
254:１３２人目の素数さん
25/12/08 19:27:02.87 pd0Fm22m.net
>>248
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。
255:１３２人目の素数さん
25/12/08 19:29:51.95 QdgoSjeo.net
>b > 0, a > -b とするべきです。
おかしい
256:１３２人目の素数さん
25/12/08 23:47:41.96 QdgoSjeo.net
９℃
くもり
257:１３２人目の素数さん
25/12/09 09:34:17.66 1zWj+vFA.net
>>255
おかしいのは高木貞治さんのほうです。
258:１３２人目の素数さん
25/12/09 09:53:49.09 T2iL3Dp3.net
>>257
なぜ？
259:１３２人目の素数さん
25/12/11 04:39:10.55 cADn2+RT.net
最初の分冊で出た頃から、内容などが
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。
260:１３２人目の素数さん
25/12/11 16:58:00.35 K3Iy8nk/.net
笠原さんの『新装改版微分積分学』の定理1.36の証明って間違っていますよね？
定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。
誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。
次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a} 上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。
261:１３２人目の素数さん
25/12/11 20:57:15.56 K3Iy8nk/.net
高木貞治著『定本解析概論』のp.35練習問題(1)の(6)解答を以下に示します：
f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。
証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n} はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)} はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)} はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n} の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。
262:１３２人目の素数さん
25/12/11 20:57:40.90 K3Iy8nk/.net
g が連続であることを以下で示す。
(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。
(1), (2)から g は連続である。
263:１３２人目の素数さん
25/12/12 07:12:26.94 /Znd7dV0.net
アーベルはベルリンでコーシーの「解析学教程」を読んだ
264:１３２人目の素数さん
25/12/16 17:47:02.40 DKaAFHtC.net
高木貞治著『定本解析概論』のp.36練習問題(9)
x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？
265:１３２人目の素数さん
25/12/16 20:21:12.91 QR6bYE2p.net
指数法則と二項定理および単調性
266:１３２人目の素数さん
25/12/18 09:42:18.53 JBgiDc1U.net
>>265
もっと詳しく書いてください。
267:１３２人目の素数さん
25/12/20 05:27:03.99 gn580dQe.net
大塚駅前の本屋での
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた
268:１３２人目の素数さん
25/12/21 05:31:09.42 ma2hEIrt.net
英語翻訳版はあるのかね？
269:１３２人目の素数さん
25/12/21 08:27:09.53 8ZDzXVd6.net
ない
270:１３２人目の素数さん
25/12/21 17:42:58.53 ma2hEIrt.net
高木貞治の原著本はどれも著作権が基本的に
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。
271:１３２人目の素数さん
25/12/21 17:44:27.56 Cmvhf1yq.net
この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？
272:１３２人目の素数さん
25/12/21 18:34:07.11 Dsw1NAGn.net
典型的なフェイク
273:１３２人目の素数さん
25/12/22 08:41:44.27 TaWxxb+/.net
>>267
いつ放送のドキュメント７２ですか？
274:１３２人目の素数さん
25/12/22 09:12:41.18 Vlu4+111.net
先週の金曜日
275:１３２人目の素数さん
25/12/22 11:46:17.09 TaWxxb+/.net
ありがとうございます
276:１３２人目の素数さん
25/12/22 21:45:50.40 Vlu4+111.net
解析概論と線形数学と
研究社の大英和
277:１３２人目の素数さん
25/12/23 22:17:55.34 uqvKp/xo.net
１０℃
小雨
278:１３２人目の素数さん
25/12/23 22:45:23.73 uqvKp/xo.net
１０℃
小雨
279:１３２人目の素数さん
25/12/24 10:00:33.56 ArDCoxFr.net
ハードカバーのが良い
280:１３２人目の素数さん
26/01/03 12:45:26.85 jsbW4NVe.net
1冊の本のみを集中的に読んだほうがいいか？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
281:１３２人目の素数さん
26/01/05 11:07:58.47 1v7Qjqzd.net
８℃
晴れ
282:１３２人目の素数さん
26/01/06 05:50:59.35 oly51cAF.net
3℃
くもり