26/02/04 18:09:45.63 0yXnNJUO.net
数学の問題は定理の証明より簡単
定理の証明は天才のもので問題は凡人のもの
951:１３２人目の素数さん
26/02/04 18:09:51.47 55uT9OFw.net
>>927
この等式はなぜ成り立ってるんだ？
952:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:02:06.07 u3jEcd6I.net
1をn個並べてできる整数をa[n]とする。
たとえば、a[1]=1,a[2]=11,a[9]=111111111、である。
（1）a[k]が7の倍数になるkが存在することを示せ。
（2）a[k]が7の倍数になるkは無数に存在するか。
953:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:07:12.33 55uT9OFw.net
a[6n]
954:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:09:56.14 FeipMkvB.net
>>926
CをDに関して対称に移動すると33-15=18だから2等辺三角形出てくるけどそれとか使えるの？
955:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:31:32.57 D2KKQY7B.net
>>935
自分が見かけたサイトの解答例では使っていませんでした。
>>932
ですよね。自分の場合は>>926の記号を用いて
75° - at(ta(33°)ta(39°)/ta(15°)) = 12.0000...°
と出せたので、厳密なイコールまで示す解答を見たくて出題しました。
956:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:38:06.82 D2KKQY7B.net
>>935
初等幾何が超得意でネタバレされたくない場合は言ってください。
そうでなければ直ぐに投下します。
自分はその解答例をみて三角関数で頑張ろう！と思いました。
957:１３２人目の素数さん
26/02/04 19:43:45.37 55uT9OFw.net
sin3A=4sin(60+A)sinAsin(60-A)
cos3A=4cos(60+A)cosAcos(60-A)
を使えば示そうだな
958:１３２人目の素数さん
26/02/04 20:59:55.35 D2KKQY7B.net
と言う事で早々に>>926の初等幾何解答例の方を投下しておきます。
URLﾘﾝｸ(www.gensu.co.jp)
959:１３２人目の素数さん
26/02/05 14:48:08.38 zXws74Wh.net
ある実数 x が与えられたとします
x は a+b√D と表せる事が分かっています (a,b,D∈N, 但しDは平方因数を含まない)
Dは既知とします
a, b を求めるアルゴリズムがあれば教えてください (総当たり以外で)
ふと気になっただけなので難易度は分かりません
例 D=10, x = 22.811388300841...
→ a=7, b=5
960:１３２人目の素数さん
26/02/05 16:12:02.52 rqAcUj9H.net
>>939
なんか二等辺三角形使うんだろかなとは思ったけど
これはすごすぎｗ
961:１３２人目の素数さん
26/02/05 16:49:08.85 vJhyL+Tm.net
f(x)=x^2+x+1
とする。自然数nに対して、f(n)の下2桁の整数をa[n]で表す。
たとえばf(1)=3,a[1]=3,f(10)=111,a[10]=11,である。
n=1,2,...について、a[n]に現れない整数をすべて求めよ。
962:１３２人目の素数さん
26/02/05 17:50:07.57 YsuU6G/h.net
>>940
LLLでできるんじゃね
知らんけど
963:１３２人目の素数さん
26/02/05 18:05:58.69 04kKEUou.net
作ったはいいが完全には解けてないので暇人用
∀x,y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y)+2xyを満たすf:R→Rを全て求めよ。
964:１３２人目の素数さん
26/02/05 18:38:17.21 YzF3wy+Y.net
g(x)=f(x)-x^2とおけば
g(x+y)=g(x)+g(y)だから後はいつものハメル基底のやつ
965:１３２人目の素数さん
26/02/05 18:50:55.83 04kKEUou.net
>>945
おー確かにそれで良かったですね
有理数についてf(n)求める方針で行ったら詰まりました
966:１３２人目の素数さん
26/02/05 19:28:18.51 rqAcUj9H.net
>>946
というか>>945から逆算して>>944作るのは理解できるけど
>>944単独で問題にするのってどこから導いてきたの？
いつものf(x+y)=f(x)+f(y)にx,yの対称式のうち単純なのを加えようとか？
でもそれならf(x+y)=f(x)+f(y)+xyを先に考えそう
（まあ同じ問題だけど）
967:１３２人目の素数さん
26/02/05 20:35:41.40 04kKEUou.net
>>947
逆算して作ったんですが、単純な置換で解けると思ってなかったんですよね
968:１３２人目の素数さん
26/02/06 04:24:49.42 lVJGeXFy.net
>>942
この問題が解かれない理由を教えてください
YouTubeから持ってきた問題を改良し、適度な難易度にしたのですが
969:１３２人目の素数さん
26/02/06 04:53:12.06 YVzr3bJW.net
改良w
970:１３２人目の素数さん
26/02/06 07:27:02.42 ZISXko46.net
>>949
面白くないからでは
971:１３２人目の素数さん
26/02/06 15:31:02.92 mNCC1Pok.net
各桁に0が一つもない自然数を全て集める。それらの逆数の和は収束するか？
972:１３２人目の素数さん
26/02/06 16:03:24.44 MQ/l8ck1.net
動画を見つけた。
973:１３２人目の素数さん
26/02/06 16:35:37.71 YVzr3bJW.net
Σ1/kですでに発散する
974:１３２人目の素数さん
26/02/06 16:45:20.16 kUWCKh2K.net
>>954
そこから0が存在する自然数を除くと、収束するのかという問いです。
975:１３２人目の素数さん
26/02/06 17:17:15.62 YVzr3bJW.net
あ、そっか
n桁の数で条件満たすのは9^n個あって
その各逆数項は1/10^(n-1)で抑えられるから収束するね
976:１３２人目の素数さん
26/02/06 17:20:48.66 rKchW9NH.net
>>956
それが収束するから答えは発散する。
私が見たのもそんな感じだったと思います。
977:１３２人目の素数さん
26/02/06 20:54:51.28 lVJGeXFy.net
f(x)=x^2+1とする。
自然数nに対して、f(n)の下2桁の整数をa[n]で表す。
たとえばf(1)=3,a[1]=3,f(11)=122,a[11]=22,である。
n=1,2,...について、a[n]に現れない整数をすべて求めよ。
978:１３２人目の素数さん
26/02/06 21:04:36.06 Wos0OnpG.net
set(range(100)) - {(x**2+1)%100 for x in range(51)}
979:１３２人目の素数さん
26/02/06 23:35:46.61 rbXQNGjs.net
将棋は先手必勝か、それとも後手必勝か、を答えて、
その理由を述べなさい（配点5点）。
980:１３２人目の素数さん
26/02/06 23:42:22.28 ++29Ks5S.net
Σ[k=1,∞] coth(kπ)/k^3 を求めよ。
981:１３２人目の素数さん
26/02/07 10:56:42.40 xuP4AwWK.net
加法群QやRに指数有限の真の部分群はあるか？あるならその例を与えよ。なければそれを証明せよ。
982:１３２人目の素数さん
26/02/07 11:47:45.91 05I+mx3w.net
ℤ加群 D が任意の n∈ℤに対して n 倍写像 D → D が全射となるとき divisible とよぶ。
f ∈ Hom( D, ℤ/nℤ ) をとると楯列が n 倍写像、横列が f である可換図式
D → ℤ/nℤ
↓ ↓
D → ℤ/nℤ
において右縦は 0 だから D→D→ℤ/nℤも 0、しかし D→D は全射だから f は 0。
983:１３２人目の素数さん
26/02/07 14:10:28.48 Z1mRJQgz.net
a,b,c,d∈(0,1/4)∩Q
a,bとc,dは2元集合として異なるとする
(1)
このような組(a,b,c,d)で
sin(πa)sin(πb)=sin(πc)sin(πd)
となるものは存在しないことを示せ
(2)
このような組(a,b,c,d)で
cos(πa)cos(πb)=cos(πc)cos(πd)
となるものは存在しないことを示せ
(3)
このような組(a,b,c,d)で
tan(πa)tan(πb)=tan(πc)tan(πd)
となるものは有限組であることを示せ
984:１３２人目の素数さん
26/02/07 14:30:39.88 M47nQUUg.net
>>962
QやRから有限群への写像を考えたらいいでしょ
いくらでも割れるから0射しかない
985:１３２人目の素数さん
26/02/07 14:31:05.28 M47nQUUg.net
>>963
あこれこれ
986:イナ
26/02/09 11:54:12.70 rgUt75Ak.net
前>>882
>>926
図からいって3°の倍数で、ありうるのは9°か12°
∠BED=18°+33°=51°
∠CED=9°+15°=24°なら、
∠ECD=90°-24°=66°
∠EBD=90°-51°=39°
∠BEC=180°-(66°+39°)=75°
∠CED=12°+15°=27°なら、
∠ECD=90°-27°=63°
∠BEC=180°-(63°+39°)=78°
9°より12°かなぁ.
∴∠ACE=12°
987:１３２人目の素数さん
26/02/09 12:35:14.86 vFfrtYGo.net
(a^2+b+44)(a^2+3b+1)=2520
を満たす正整数の組(a,b)をすべて求めよ。
988:１３２人目の素数さん
26/02/10 03:51:26.91 lQz9C7A+.net
>>961
7π^3/180
一般にB[k]をベルヌーイ数とすると
Σ[k=1,∞] coth(πk)/k^(4n-1)
= -(1/2) (2π)^(4n-1) Σ[k=0,2n] (-1)^k B[4n-2k] B[2k] / ((4n-2k)!(2k)!)
989:１３２人目の素数さん
26/02/10 20:14:22.44 BZ+z4g42.net
以下の条件（ア）（イ）をともに満たす数列{a[n]}を求めよ。
（ア）すべての正の整数nに対して、a[n]は0≦a[n]≦6を満たす整数である。
（イ）Σ[k=1,∞] a[n]/7^k = 3/8
990:１３２人目の素数さん
26/02/10 21:05:52.53 t+s2wmyP.net
3/8=2/7×7/6+2/49×49/48
=2/7×(Σ1/7^k)+2/49×(Σ1/7^(2k))
=0.242424…(7進表記)
よってa[2k-1]=2,a[2k]=4 (k≧1)
991:１３２人目の素数さん
26/02/10 22:04:12.91 3LCEdmyY.net
>>969
GJ!
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
992:１３２人目の素数さん
26/02/10 22:07:19.65 U7eqKGJs.net
負でない実数全体からなる集合をSとおく。
関数 f:S→S であって任意の x,y∈S に対して次を満たすものを全て求めよ
・f(x)+f(y)≦f(x+y)
・f(x)f(y)≦f(xy)
・f(x)^f(y)≦f(x^y)
※ただし、0^0=1 と定義する。
993:１３２人目の素数さん
26/02/11 03:09:23.52 /TmBL2pt.net
第1式でy=0としてf(0)=0を得る
第3式でx=y=0として1≦f(1) 特にf(1)≠0
第2式でx=y=1としてf(1)≦1 よってf(1)=1
第1式でx=y=1/2としてf(1/2)≦1/2
第2式でx=y=1/√2として(f(1/√2))≦f(1/2)^(1/2)
これらと第3式より
f(1/2)^(1/2)≦f(1/2)^f(1/2)≦f(1/2^(1/2))≦f(1/2)^(1/2)
最左辺と最右辺が等しいので実はすべて等号
よって特にf(1/2)=1/2
同様に任意の自然数nでf(1/n)=1/n
第2式でx=1/n,y=naとしてf(na)≦nf(a)
第1式からnf(a)≦f(na)なのでf(na)=nf(a)
特に任意の有理数qでf(q)=q
第1式よりa≦bのときf(a)≦f(a)+f(b-a)≦f(b)
よってf(x)は単調
実数を両側から有理数で挟み討ちすることで
結局、任意の実数でf(x)=xを得る
994:１３２人目の素数さん
26/02/11 04:44:43.35 AoGtgzRq.net
>>974
素晴らしい 正解です
第3式を使うところは (1/4)^(1/2)=1/2 の関係式を使うのを想定してたけど、
確かに (1/n)^(1/n) を軸にする方が得られる結果も一般性があってすっきりするな
995:１３２人目の素数さん
26/02/11 11:07:27.44 qhQ3VmIs.net
>>968
これわからん
2520を素因数分解するのは当然として、a,bの式の変形の仕方がわからない
996:１３２人目の素数さん
26/02/11 12:15:56.55 I2bd0ZGy.net
左辺の因数一方が2^3の倍数、あとはしらみつぶし？
997:１３２人目の素数さん
26/02/11 12:48:15.27 8xT97ZC6.net
>>970は(1-1/49)をかけて解いたけど>>971の解き方には感心した
>>968はしらみつぶしで解が2組あったけど面白味がなかった
998:１３２人目の素数さん
26/02/11 20:19:41.29 J9aF7HTx.net
>>977
3の倍数にならないことも使えば楽になりませんか？
999:１３２人目の素数さん
26/02/11 21:27:07.81 I2bd0ZGy.net
一目で分かるところ以外に小細工ししたところでしょーもない、と見切る問題では
1000:１３２人目の素数さん
26/02/12 00:04:17.91 I/+64hAB.net
>>980
奈良女子大の問題から出題したので奈良女子大に文句言ってください
1001:１３２人目の素数さん
26/02/12 03:10:33.63 ybaNsOPx.net
a,b,cは正の実数とする。
abc=1ならば、
a^(bc)*b^(ca)*c^(ab)≦1
であることを示せ。
1002:１３２人目の素数さん
26/02/12 06:38:56.58 /haDqml1.net
a=2^(-x),b=2^(-y),c=2^(-z)と変換すれば
x+y+z=0のときx2^x+y2^y+z2^z≧0となるが
これは∀x∈R, x2^x≧xより明らか
1003:１３２人目の素数さん
26/02/12 12:36:00.11 ybaNsOPx.net
∠A=60°、AB,BC,CAはいずれも素数であるとする。
このとき△ABCは正三角形であることを証明せよ。
1004:１３２人目の素数さん
26/02/12 15:16:20.74 /haDqml1.net
b=cなら良いので以下b<cとする
余弦定理よりa^2=b^2+c^2-bc
(a-b)(a+b)=c(c-b)
cは素数なのでa-bかa+bを割り切る
前者の場合
a-b=kc, c-b=k(a+b)と書けるが
c=b+k(a+b)=b+k(kc+2b)>cとなり矛盾
後者の場合
a+b=kc, c-b=k(a-b)と書ける
(三角不等式よりk≧2)
(k-1)b=ka-c=k(kc-b)-c=(k^2-1)c-kb
(2k-1)b=(k^2-1)c
b,cは異なる素数と仮定したので
2k-1=cd, k^2-1=bdと書ける
(k=2ならb=cとなるのでk≧3)
k^2-k+1=adとなり
(c-2b+2a)d=3
d=1ならk^2-1=bだがbは素数なので矛盾
d=3ならk^2-1=3bからk=4,b=5となるが
2k-1=cdが7=3cとなり矛盾
1005:１３２人目の素数さん
26/02/12 18:11:13.02 ut4qEFpw.net
後者の場合の前段で
> 2k-1=cd, k^2-1=bdと書ける
> (k=2ならb=cとなるのでk≧3)
この時点で b<c との矛盾ですね
1006:１３２人目の素数さん
26/02/12 18:33:02.47 xWsmAEh1.net
>>984
似た問題が京大で出てる気がする。
1007:１３２人目の素数さん
26/02/12 19:15:02.58 /haDqml1.net
>>986
確かに！
>>983
これもわざわざ変換しなくても
∀x>0, x≦x^x使えば直で分かるな
1008:１３２人目の素数さん
26/02/14 00:27:50.51 d99Hu5dz.net
座標x,y,zがすべて有理数の点を有理点と呼ぶことにする
3次元内の立方体で、8頂点のうち3頂点だけが有理点であるものは存在するか？
1009:１３２人目の素数さん
26/02/14 02:05:49.78 XnH08zTB.net
一般に AB'CD' - C'DA'B が立方体として各面の対角線のながさを l、ABC の重心を G とするとき ↑GD = ±2√2/(3l)·↑AB×↑AC だから有理点からなる正三角形 ABC をその一辺の長さ l が 2√2/(3l) が無理数となるようにえらぶことができれば、頂点の G を始点とする位置ベクトルはすべて ↑GA, ↑GB,↑GD の有理係数の線形結合でその ↑GD の係数は A,B,C を除いて0でないから、有理点とならない。それは p+q+r = 0、√((p^2+q^2+r^2)/2) が平方数にならないようなものをえらび ↑AB = (p,q,r)、↑BC = (q,r,p)、↑AB = (r,p,q) ととれば得られる。
1010:１３２人目の素数さん
26/02/14 04:27:48.29 d99Hu5dz.net
>>990
正解です！
√((p^2+q^2+r^2)/2) のところは3(p^2+q^2+r^2)/2かな
1011:１３２人目の素数さん
26/02/14 16:55:38.57 d99Hu5dz.net
すべての頂点座標を有理数にできる図形を有理的と呼ぶことにする(ここで図形は相似類を指す)
例えば正3角形は2次元では有理的でないが3次元では有理的である
(1) 正20面体は何次元であっても有理的でないことを示せ
(2) 3次元では有理的でないが4次元では有理的になる3次元多面体は存在するか？
1012:１３２人目の素数さん
26/02/15 10:27:16.66 1X8XecRm.net
R^3(列ベクトルの集合)において直交する３つの列ベクトル v_i (i=1,2,3) の大きさがそれぞれ1,1,6の時、
格子 Λ:={ Σ_i(x_iv_i) : x_i は全て整数} に属するベクトルの大きさとしてとり得る値には 2,6,10,14 が含まれる。…(1)
ΛのR^3(行ベクトルの集合)への有理的埋め込み λ:Λ→R^3 が存在すると仮定する。（ここでの埋め込みとは、直交行列Uと実数rを用いて λ(v)=rUv と表せる写像とする）
λ(v_i) の成分が全て整数となるよう、λ を適切に整数倍拡大しておく。
|λ(v_1)|^2 が4の倍数ならば、λ(v_1) の成分の二乗は全て偶数でなければならず、
λ(v_2), λ(v_3) についても同じことが言えるため、何度か1/2倍に縮小して |λ(v_1)|^2 が4の倍数でないようにとることができる。
|λ(v_1)|^2=2c (cは奇数) と表せる時、(1)より適切にv∈Λを選べば |λ(v)|^2≡28 (mod32) となるが、
３つの整数の平方和のmod32がが28になることはないので矛盾。
|λ(v_1)|^2=c (cは奇数) と表せる時、|λ(v_3)|^2=6c よりλ(v_3)は奇数成分をちょうど2つ持たなければならないが、
λ(v_3) との直交性より λ(v_1)、λ(v_2) は全ての成分が奇数になるか、λ(v_3)で偶数になっている成分のみが奇数である必要がある。
しかしこれでは λ(v_1)とλ(v_2) が直交せず矛盾。
ゆえに、Λから適切に有限個の点Λ'をとれば、Λ'からR^3への有理的埋め込みは存在しない。
ΛからR^5への有理的埋め込みは存在する。（v_i をそれぞれ(1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,1,2) に移せば良い）
さて…
1013:１３２人目の素数さん
26/02/15 11:40:02.79 FEqtuubM.net
O(0,0,0,0), A(5,1,0,0), B(5,-1,0,0), C(0,0,0,1) はR^4の有理点で体積が 5、AC = √7 である。R^3の有理点 O’A’B’C’ で OABC と相似であるものがとれると仮定する。相似比を r とする。OABC ,O’A’B’C’ の体積はともに有理数でその比は 1:r^3 だから r^3 は有理数である。AC^2, A’C’^2 はともに有理数でその比は 1:r^2 だから r^2 は有理数である。よって r は有理数である。よって A’C’ = 7r^2 (r:有理数) となるが、Gauss の 3 平方定理よりそのような R^3 の有理点はとれない。
1014:１３２人目の素数さん
26/02/15 11:43:38.49 1X8XecRm.net
体積比使えばよかったんか
1015:１３２人目の素数さん
26/02/15 11:53:02.86 FEqtuubM.net
色々まちがってた orz
1016:１３２人目の素数さん
26/02/15 14:09:36.12 AVutC6Oj.net
{{1,1,0,0},{-1,1,0,0},{0,0,1,1},{0,0,-1,1}}と{{2,1,0,0},{-1,2,0,0},{0,0,2,1},{0,0,-1,2}}はR⁴の相似変換で相似比はそれぞれ√2,√5である。A(1,2,0,0),B(1,1,1,2),C(0,0,0,0)としてa:b:c = √7:√5:√6である。
R³の有理点A'B'C'でABCに相似であるものが存在したとする。相似比をrとすればr²は有理数である。必要ならR⁴の相似変換を何回か合成してr²が整数でr²≡1,3( mod 8 )とできるが前者であればa'=√7,後者であればb'=√15となり矛盾する。
1017:１３２人目の素数さん
26/02/15 20:50:02.64 KWRDyo3r.net
>>997
(0,0,0),(3,0,1),(1,2,3)とすれば√5:√6:√7では
1018:１３２人目の素数さん
26/02/15 22:12:02.75 GB3rvPua.net
pを素数とする。
p^3+p^2+8p+8の素因数がちょうど2種類であるという。
pを求めよ。
1019:１３２人目の素数さん
26/02/15 22:51:41.40 1hJvStXu.net
>>997 間違ってるな。正解は多分常にR⁴の有理多面体はR³の有理多面体に相似の方やな。反例作ろうとしても見事にできなくなってる。まぁもう次スレかな。
1020:１３２人目の素数さん
26/02/15 22:54:54.42 KWRDyo3r.net
>>999
p^3+p^2+8p+8=(p+1)(p^2+8)
p=2のとき、3×12=2^2×3^2となりok
p=3のとき、4×17=2^2×17となりok
p≧5のときp+1は偶数、p^2+8は3の倍数の奇数
なのでp^2+8=3^kの形しか許されない
mod 4の制約からkは偶数
k=2nとして(3^n+p)(3^n-p)=8と分解できる
(3^n+p)=8,(3^n-p)=1ならば2p=7で矛盾
(3^n+p)=4,(3^n-p)=2ならば2p=2で矛盾
1021:１３２人目の素数さん
26/02/15 22:55:03.29 lW0nz9nb.net
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