25/05/01 14:24:15.05 mXKvB7xG.net
>>1
乙
3:１３２人目の素数さん
25/05/01 22:17:45.64 xi2mMyC+.net
Let a₁, a₂, a₃, ... a₁₁ be a sequence of integers. Prove there exist a sequence b₁, b₂, b₃, ... b₁₁ of { 1,0,-1 } not all zero, such that a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+ ... a₁₁b₁₁ is a multiple of 2025.
4:１３２人目の素数さん
25/05/02 01:18:12.38 8LXLG1ic.net
円に内接する四角形 ABCDの辺の長さを AB = a、BC = b、CD = c、DA = d、2つの対角線の長さを AC = p、BD = qとするとき、次の不等式が成り立つことを証明、等号が成立する条件を求めよ
p ^2+q ^2 ≤ a ^2+b ^2+c ^2+d ^2
5:１３２人目の素数さん
25/05/02 01:42:55.64 I5V0m0za.net
>>3
整数の有限集合Sの重さをその元の和と定義する
a_iたちの部分集合は2^11=2048個あるので
鳩ノ巣原理からmod 2025で重さが合同になる2つの異なる部分集合が存在する
それらの差を考えれば良い
6:１３２人目の素数さん
25/05/02 01:54:46.72 I5V0m0za.net
前スレ990の問題
p(x)が0次のときは0か1
1次のときはxであることがすぐ示せる
2次以上は帰納法で示す
i次(2≦i≦k)のとき、x^iのみと示せたとする
k+1次のとき、x=1を代入しp(0)p(2)=p(0)を得る
ここでp(2)=0だとするとx=3を代入しp(2)p(4)=p(8)=0
x=7を代入しp(6)p(8)=p(48)=0…とp(x)は無限個の異なる解を持ってしまい矛盾する
よってp(2)≠0なのでp(0)=0
p(x)/xはk次多項式で同じ仮定の等式を満たす
よって仮定からp(x)/x=x^kとなり帰納法が成立する
7:１３２人目の素数さん
25/05/02 05:07:04.72 ufzPW2WD.net
p(2) = 1 と仮定して矛盾みちびかないとだめでしょ？
8:１３２人目の素数さん
25/05/02 05:11:41.28 I5V0m0za.net
ほんとだ…
考え直します
9:１３２人目の素数さん
25/05/02 09:13:05.15 n4Y5u/Xp.net
p(x)＝(x－α_1)…(x－α_n) と置いてα_iを見るだけ。
10:１３２人目の素数さん
25/05/02 23:31:47.28 WyRmJZbH.net
半径 1/2 の円としてよい。４辺の弦の円周角を x,y,z,w とする。4 辺は sin(x), sin(y), sin(z), sin(w)、２本の対角線の長さは sin(x+y)=sin(z+w), sin(x+y)=sin(z+w) である。とくに 対角線の長さの２乗の和は 2 以下である。
R = {(x,y,z,w) ; x,y,z,w ≧ 0 , x+y+z+w = π } において
2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) ≧ 0
を示せばよい。
S = 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x))
とおく。x=0 においては S = 2sin²(z) だから境界上では S≧0 である。
内点において S が極値をとるとき T = sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)、すなわち 4 辺の2乗和が 2となることを示せばよい。
11:１３２人目の素数さん
25/05/02 23:32:35.03 WyRmJZbH.net
内点で極値をとる点では
2sin(x)cos(x) - cos(x+y) - cos(x+w)
= 2sin(y)cos(y) - cos(y+z) - cos(y+x)
= 2sin(z)cos(z) - cos(z+w) - cos(z+y)
= 2sin(w)cos(w) - cos(w+x) - cos(w+x)
が必要である。よって
sin(2x) - sin(2y) - cos(x+w) - cos(y+z) = 0
sin(x-y)cos(x+y) = 0
が必要であり同様にして
sin(y-z)cos(y+z) = 0, sin(z-w)cos(z+w) = 0, sin(w-x)cos(w+x) = 0
が必要である。
12:１３２人目の素数さん
25/05/02 23:32:51.20 WyRmJZbH.net
cos(x+y)=0, cos(y+z) = 0, cos(z+w) = 0, cos(w+x) = 0
のいずれか一つでも成立するとき対角線のうち一方が直径となるから T=2 であり、
sin(x-y)=0, sin(y-z)=0, sin(z-w)=0, sin(w-x)=0
のすべてが成立するときは x=y=z=w となり長方形となるから T=2 である。以上により S が極値をとるとき対角線のいずれかがかならず直径となり、４辺の二乗和が 2 となるから S≧0 である。さらにこのとき S = 0 となるのは対角線の長さがともに 1 となるときに限られるから四角形は長方形となる。以上により S≧0 であり、等号成立は長方形の場合である。
13:１３２人目の素数さん
25/05/03 10:01:04.43 oKHdtA3K.net
>>12
等号は四角形が正方形の時に成立
14:１３２人目の素数さん
25/05/03 13:44:33.10 +7hmk9mD.net
長方形で反例あるの？
15:１３２人目の素数さん
25/05/03 14:45:01.69 0kMCY97+.net
アホ？
16:１３２人目の素数さん
25/05/03 16:39:15.09 r6DOu6Y3.net
>>15
円収角を使った頭のお粗末さからこれ以上無いスーパーアホと思われるが、わからないなら仕方ない
円に内接する四角形 ABCD（半径 R)で、対角線 AC = p、BD = q(ともに直径 2R)、辺 AB = a、BC = b、CD = c、DA = dとする
長方形では対角線が等しい（p = q = 2R)
p^2 + q^2 = (2R)^2 + (2R)^2 = 8R^2
しかし円に内接する長方形は必ず正方形
a = b = c = d = R√2）になり
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4・(R√2})^2 = 8R^2
等号は正方形で成立
非正方形の長方形は円に内接できないため、長方形で等号が成立するとしたのは誤り
17:１３２人目の素数さん
25/05/03 16:39:35.05 BLmsTDAI.net
クルクルパァ？
18:１３２人目の素数さん
25/05/03 16:44:37.16 MSDEBbOb.net
円周角で簡潔にしようとしたのは分かるが、頭が足りなかったな
長方形の対角線が等しく円の直径であることから、すべての辺が等しい
19:１３２人目の素数さん
25/05/03 16:45:56.94 MSDEBbOb.net
途切れたわ
全ての辺が等しい正方形になる、という事だ
アホの証明ご苦労さん
20:１３２人目の素数さん
25/05/03 20:47:31.47 jNZHN9FK.net
15でアホとイキったものの完全な証明出されてて爆笑
このスレもレベル落ちたねぇ
21:１３２人目の素数さん
25/05/03 21:23:44.17 rXWtgi16.net
>>9
これってそこからどうやって示すの？
22:１３２人目の素数さん
25/05/03 22:21:07.30 Bj6qqvcc.net
こんなん釣られるのも恥ずかしいけどさ…
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
23:１３２人目の素数さん
25/05/04 01:30:06.93 JKIR9fR0.net
内容もそうだがレスに誤字もあるし自演しまくりなのも救いようない
24:１３２人目の素数さん
25/05/05 02:38:12.35 xTVVCMa1.net
Determine y = ∫_0^∞ sinh(tx)/((x²+1) sinh(πx)) dx ( t∈(-π,π))
25:１３２人目の素数さん
25/05/05 19:20:43.81 0hTBGHAT.net
前990, 原始的な手で解けた
問題の係数環が不明だが, ここでは可換整域Rとする
--- ch(R)≠2 のとき ---
とりあえず, f=0 は解
f∈R[x]-{0} を解とすると, fはmonic
n:=deg(f), g:=f-(x^n), k:=deg(g)<n, s:=x+1, t:=x-1 とする
(s^n+g(s))(t^n+g(t))=(st)^n+g(st)
(s^n)*g(t)+(t^n)*g(s)=g(st)-g(s)g(t)
g≠0 なら, xについて deg(左)=n+k>2k>=deg(右) なので, g=0
f=0, x^n (n=0,1,2, ...) が全ての解
---
--- ch(R)=2 のとき ---
解を f=:Σ(a[i]*(x^i))∈R[x] とおくと, f(x)^2=f(xx) から a[i]^2=a[i]
f=Σ(a[i]*(x^i)) (a[i]=0 or 1) が全ての解
---
26:１３２人目の素数さん
25/05/05 20:56:08.10 xTVVCMa1.net
gj
元ネタ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
27:１３２人目の素数さん
25/05/06 22:15:22.29 Yv9lEsuz.net
長方形にはならないな
馬鹿すぎる
やはり簡潔にしようとするのは短絡的で頭に欠陥があるカスだね
28:１３２人目の素数さん
25/05/06 23:01:16.76 oIz4KDvW.net
3日かけてするレスか？
29:１３２人目の素数さん
25/05/06 23:04:17.02 HtzAf6zI.net
3日かけて長方形の場合に等号が成立するか考えてみてそんな事はありえないと結論づけたんじゃないの？
30:１３２人目の素数さん
25/05/07 05:27:53.98 JIPjaA7N.net
長方形が円に内接しないって何でだよwwww
31:１３２人目の素数さん
25/05/09 00:01:11.73 HzMsDVgz.net
Show all continuous functions f : ℝ→(0,∞) satisfying f(x) = f( x + f(x) ) (∀x∈ℝ ) are constant.
32:１３２人目の素数さん
25/05/09 15:57:36.50 Into3/OM.net
【補題A】
全ての実数 x と正の整数 n について、f(x)=f(x+nf(x)).
（証明）がんばる
【補題B】
もし実数 a,b s.t. a<b について f(a)≠f(b) であるなら、
ある実数 c∈(a,b) であって f(a)=f(c) を満たすものが存在する.
（証明）補題Aと中間値の定理でがんばる
補題Bより、a<b の時集合 {x<b : f(x)=f(a)} の上限はbであるから、fの連続性よりf(a)=f(b).
33:１３２人目の素数さん
25/05/10 13:58:13.82 c9rv6gVy.net
【補題B】
もし実数 a,b s.t. a<b について f(a)≠f(b) であるなら、
ある実数 c∈(a,b) であって f(a)=f(c) を満たすものが存在する.
（証明）補題Aと中間値の定理でがんばる
kwsk
34:１３２人目の素数さん
25/05/12 20:22:01.65 72nStnAc.net
>>33
|b-a| + 2f(a) < n|f(a)-f(b)| を満たす正の整数 n を固定し、関数 g を g(x) := x + nf(x) と定める。この時、
|g(a)-g(b)| = |(a-b) + n(f(a)-f(b))|
≧ n|f(a)-f(b)| - |a-b|
> 2f(a).
ゆえに連続関数 h(x):=(g(x)-a)/f(a) による区間 (a,b) の像は2以上の長さを持つから、
ある c∈(a,b) が存在して m:=h(c) は整数である。
定義から m = ((c-a) + nf(c)) / f(a) と計算され、これは正の数である。整理して
a + mf(a) = c + nf(c).
であるから、補題Aを用いて
f(c) = f(c + nf(c)) = f(a + mf(a)) = f(a)
が示される。
35:１３２人目の素数さん
25/05/12 22:38:46.64 Xm//GcVE.net
gj
36:１３２人目の素数さん
25/05/12 22:55:50.08 iIknNFsh.net
なるほどー, 俺の手はお絵描きインスパイアで
【補題びー】
aを無理数とするとき, {a*n|n∈Z} はR/Zでdense
(証明？) がんばる, しらべる, おともだちにきく, などお好みで
あとは, お絵描きインスパイアなどでがんばる
37:頭悪くてごめん
25/05/12 23:13:17.87 2ygZ5XVT.net
∞+1=∞
38:１３２人目の素数さん
25/05/12 23:26:01.49 Xm//GcVE.net
>>36
kwsk
39:１３２人目の素数さん
25/05/13 18:11:21.23 jtuNBbDZ.net
これ f の正値性仮定しなくても連続性と f(x) = f(x+f(x)) だけから f が定数関数であることを導けそうだな
「f(a) が0でないならば a を含むある開区間上で f が定値である」ことを示せれば十分
そしてそれを証明するには補題Bの証明で最初の n の取り方に少しだけ工夫を加えればいい
40:１３２人目の素数さん
25/05/13 23:55:26.50 yP5ZX9g+.net
示せますよ。原題が正値だからそのままにしたけど。
41:１３２人目の素数さん
25/05/14 06:41:25.34 RyNNGngZ.net
元サイトの証明
gₙ(x) = x + nf(x) とおく。
Claim 1 ) f(gₙ(x)) = f(x)
(∵) n についての帰納法。容易。
Claim 2 ) gₙ(x) は単射
(∵) x = gₙ(x) - f(gₙ(x)) より明らか。
Claim 3 ) f(x) は広義単調増加か広義単調減少
(∵) そうでないとすると a<b, c<d で f(a) < f(b), f(c)>f(d) となる a,b,c,d がとれる。n を gₙ(a) < gₙ(b), gₙ(c) > gₙ(d) であるようにとれる。gₙ(x) は単射連続、gₙ(a) < gₙ(b)だから gₙ(x) は狭義単調増加。一方でgₙ(x) は単射連続、gₙ(c) > gₙ(d)だから gₙ(x) は狭義単調減少。矛盾。
Claim 4 ) f(x) は定数
(∵) 定数でないなら a＜b を f(a)≠f(b)、f(a),f(b) が同符号となる a,b が選べる。0 < f(a) とすると十分大きな n で a < b < a + nf(a) となる n を選べる。このとき Claim 3 より
f(a) ≦ f(a) ≦ f(a+nf(a)) = f(a) または f(a) ≧ f(b) ≧ f(a+nf(a)) = f(a)
であるがいずれも f(a)≠f(b) に矛盾。0 > f(b) の場合も同様に矛盾する。
42:１３２人目の素数さん
25/05/14 07:49:16.83 sptdQfVu.net
>>41
なるほど、条件式を使って肝になる g_n について単射が言えるのか それは確かに強い
Claim2 は x = g_n(x) - nf(g_n(x)) かな
43:１３２人目の素数さん
25/05/14 22:28:10.65 o6ywX2vQ.net
Let f be a function f : ℝ→ℝsatisfying
f(x²+x+3) + 2f(x²-3x+5) = 6x² - 10x + 17.
Find f(2025).
44:１３２人目の素数さん
25/05/14 23:33:54.38 sptdQfVu.net
y = 1-x とおいて
2f(y^2+y+3) + f(y^2-3y+5) = 6y^2-2y+13.
これは任意の実数 y について成り立つので、変数を x に置き換えてもとの式と合わせれば
f(x^2+x+3) = 2x^2+2x+3.
これより f(t)=2t-3 (t≧3/4) がわかり、逆にこれが十分条件になることも示せる
よって f(2025) = 4047.
45:１３２人目の素数さん
25/05/14 23:55:02.38 o6ywX2vQ.net
gj
46:１３２人目の素数さん
25/05/15 16:59:19.89 OHWjnGHE.net
n人のクラスでくじ引きをする
先生がサイコロを振り、出た目の数だけアタリを入れたn本のくじを作った
このくじで1人目がアタリを引く確率と、1人目がハズレを引いた時に2人目がアタリを引く確率が等しいとき、クラスは全部で何人か？
一度引いたくじは戻さないものとする
47:１３２人目の素数さん
25/05/18 20:06:55.21 +SJEAoh6.net
Show
⌊n^(1/2)⌋+⌊n^(1/3)⌋+⌊n^(1/4)⌋+...+⌊n^(1/n)⌋
= ⌊log_2 n⌋+⌊log_3 n⌋+⌊log_4 n⌋+...+⌊log_n n⌋
holds for n>1.
48:１３２人目の素数さん
25/05/19 17:27:54.90 yQLH9V6a.net
命題pに対し、真の時は1、偽の時は0という値を取る関数を 【p】 と表すと
Floor[n^(1/k)]
=【n^(1/k)≧1】+【n^(1/k)≧2】+【n^(1/k)≧3】+ 【n^(1/k)≧4】+ ...
=【n≧1^k】+【n≧2^k】+【n≧3^k】+ 【n≧4^k】+ ...
= Σ[j=1,∞]【n≧j^k】= Σ[j=1,n]【n≧j^k】
Floor[Log_k(n)]
=【Log_k(n)≧1】+【Log_k(n)≧2】+【Log_k(n)≧3】+【Log_k(n)≧4】+ ...
=【n≧k^1】+【n≧k^2】+【n≧k^3】+【n≧k^4】+ ...
=Σ[j=1,∞]【n≧k^j】=Σ[j=1,n]【n≧k^j】
と書ける
左辺=Σ[k=2,n] Floor[n^(1/k)] = Σ[k=2,n]Σ[j=1,n]【n≧j^k】= n-1 + Σ[k=2,n]Σ[j=2,n]【n≧j^k】
右辺=Σ[k=2,n] Floor[Log_k(n)] = Σ[k=2,n]Σ[j=1,n]【n≧k^j】= n-1 + Σ[k=2,n]Σ[j=2,n]【n≧k^j】= 左辺
49:１３２人目の素数さん
25/05/19 21:51:57.88 Hro7vahv.net
gj
50:１３２人目の素数さん
25/05/21 21:41:18.26 mFv2OZ6R.net
cos(cos(x))>sin(sin(x))を示せ
51:１３２人目の素数さん
25/05/21 23:25:08.57 90b9dZxk.net
cos(cos(x)) - sin(sin(x))
= sin(π/2 - cos(x)) - sin(sin(x))
= 2sin(π/4 - cos(x)/2 - sin(x)/2 )cos(π/4 - cos(x)/2 + sin(x)/2)
= 2sin(π/4 - √２/2sin(x + π/4) )cos(π/4 - √２/2sin(x-π/4))
> 0
( ∵ π/4 - √２/2sin(x ± π/4)∈(0,π/2) )
52:１３２人目の素数さん
25/05/27 16:43:20.97 iz9AVnId.net
辺が7本の多面体は存在しないことを示せ
53:１３２人目の素数さん
25/05/27 22:59:19.11 Jf21DKAv.net
面の数を f とする。k 角形の面があれば辺の数は最低でも 2k より k ≧4 の k 角形の面は存在しない。よってすべての面は３角形。
∴ 3f = 14
矛盾
54:１３２人目の素数さん
25/05/31 00:51:12.94 zINpxFwv.net
xを求めよ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
55:１３２人目の素数さん
25/05/31 18:56:15.83 DU5rjyS5.net
a+b+c=1を満たす正の実数a,b,cに対して
(a^2b^2+b^2*c^2+c^2a^2)/((a+b)(b+c)(c+a))^2の取る値の範囲を求めよ。
56:１３２人目の素数さん
25/06/02 23:09:30.12 6DEiRO0D.net
F(a,b,c) = (a²b²+b²c²+c²a²)(a+b+c)²/((a+b)(b+c)(c+a))²
とする。{a≧0, b≧0, c≧0, (a,b,c)≠(0,0,0) } での値域を求める。
F(0,b,c) = b²c² (b+c)²/(b²c²(b+c)²) = b²c² (b+c)²/(b²c²(b+c)²) = 1
より境界上では 1。
57:１３２人目の素数さん
25/06/02 23:09:36.30 6DEiRO0D.net
∂F/∂a
= (2 b c (a + b + c) (a² (2 b² - b c + 2 c²) + a (b - c)² (b + c) - b c (b² + b c + c²)))/((a + b)³ (a + c)³ (b + c)²)
であるから内点で ∂F/∂a = 0 であるには
a² (2 b² - b c + 2 c²) + a (b - c)² (b + c) - b c (b² + b c + c²) = 0
が必要。よって
58:１３２人目の素数さん
25/06/02 23:09:51.70 6DEiRO0D.net
a² (2 b² - b c + 2 c²) + a (b - c)² (b + c) - b c (b² + b c + c²)
= (a²-bc) (2 b² - b c + 2 c²)
+ a (b - c)² (b + c) + b c (b² - 2b c + c²) = 0
が必要で 2 b² - b c + 2 c²>0, a (b - c)² (b + c)≧0, b c (b² - 2b c + c²)≧0 だから a²-bc ≦ 0 が必要。
59:１３２人目の素数さん
25/06/02 23:10:03.30 6DEiRO0D.net
同様の議論を ∂F/∂b, ∂F/∂c について行って、内点で grad F = 0 なら
a²-bc ≦ 0, b²-ca ≦ 0, c²-ab ≦ 0
が必要とわかりこのとき
a²-bc + b²-ca + c²-ab = 1/2( (b-c)² + (c-a)² + (a-b)² ) ≦ 0
が必要だから内点で grad F であるのは a=b=c のときでこのとき F = 27/64。よって F の値域は
27/64 ≦ F ≦ 1。
60:１３２人目の素数さん
25/06/02 23:12:15.00 ncVPtrt/.net
問題自体はちっともまるで微塵も面白くないから、
ものすごく面白い解き方がある問題なのでは？
61:１３２人目の素数さん
25/06/03 07:38:59.04 b5sBmeo4.net
こういうやつの最大最小っていつも一極化(1,0,0)と平均化(1/3,1/3,1/3)での値になるよね
そうじゃない答えになってるなら面白いんだけど
62:１３２人目の素数さん
25/06/03 07:40:31.97 b5sBmeo4.net
対称式でもそういう変なパターン作れるのかな
63:１３２人目の素数さん
25/06/09 07:10:39.26 VvhIqbHW.net
Show
∫_0^∞ (1/2-1/t+1/(e^x-1)) e^(-tx) dt
= 2∫_0^∞ 1/((t^2+x^2)(e^(2πx)-1)) dt
holds for ( x>0 ).
64:１３２人目の素数さん
25/06/09 12:00:06.15 kCjx+/1K.net
|a-b|^2+|b-c|^2+|c-d|^2+|d-a|^2-|a-c|^2-|b-d|^2
=aa+bb+cc+dd-2ab-2bc-2cd-2ad+2ac+2bd
=|a+c-b-d|^2.
a+c-b-d=0.
a-b=d-c.
a-d=b-c.
AB//DC.
AD//BC.
0,a,a+b,a+b+c.
|a|^2+|b|^2+|c|^2+|a+b+c|^2-|a+b|^2-|b+c|^2=|a+c|^2.
65:１３２人目の素数さん
25/06/12 02:52:12.98 AQpTBM51.net
Find all nonnegative integers a,b,c,d such that
3^a⋅4^b + 5^c = 7^d.
66:１３２人目の素数さん
25/06/15 15:49:53.16 ti12w4SZ.net
二辺がx,y(x≦y)の長方形の対角線の長さを 定数a,b,cを用いて、
a x + b y + c
で近似したい。最大誤差を最小にするような(a,b,c)は何か？
67:１３２人目の素数さん
25/06/15 18:31:15.68 Mg+4jhB6.net
誤差に最大値はない。
∴存在しない
68:１３２人目の素数さん
25/06/15 19:50:27.33 InB5avRE.net
どんなa,b,cでも最大誤差無限大は最小なんじゃないかな
69:１３２人目の素数さん
25/06/15 22:18:29.09 ti12w4SZ.net
「誤差」が曖昧だったようです。申し訳ありません。
ここでいう誤差は相対誤差のことで、下で考えます。
| (近似値)/(真の値) -1 |
例えば、(a,b,c)=(1,1,0)としたものは、マンハッタン距離とよばれています。
マンハッタン距離を近似式と見なした場合、
x=3,y=4の時正確な長さは5だけど、マンハッタン距離では7と評価することになります。
このときの誤差は|7/5-1|=0.4
マンハッタン距離において、誤差が最小になるのは、x/y→0になるような時で、0に近づき、
逆に最大になるのはx=yの時で、最大誤差は√2-1≒0.41
a,b,cを上手く選ぶと、この値をもっと小さくできます。
その最小値(下限)を問う問題です。
70:１３２人目の素数さん
25/06/16 01:53:10.22 6F0oeGaj.net
例えば、(a,b,c)=(1,1,0)としたものは、マンハッタン距離とよばれています。
こういうデタラメを平気でしかも「とよばれています。」とか謎の"上から目線"いってる時点でこのスレでは相手にされません。
他の出題みてて自分のレベルがどの程度かわからん？
71:１３２人目の素数さん
25/06/16 20:34:32.35 tmj1OgvY.net
ん？言うほどか？
対角線の結ぶ距離は x+y になってマンハッタン距離と一致するから何も問題ないように思うけど
まずcが非0なら (x,y)=(t,t) の時 t→+0 で相対誤差が無限大に発散するから適ではないとして良い
c=0 ならx,yを定数倍しても相対誤差は変化しないため、0<x≦y の制約からつまるところ
|asin(t)+bcos(t)-1| (0<t≦π/4)
の最大値を最小化する問題になる
あとはまあ…
72:イナ
25/06/26 23:00:17.83 EHhkqzTm.net
>>54
台形の対角線と見える右上がりの直線がわずかに下に凸の折れ線.
x=44°とするにはわずかに折れ曲がっていて、
中央の交点の上の角は105°
右の角が75°
下の角が106°
左の角が74°
左の三角形が二等辺三角形でいいと考える.
∴x=45°
73:１３２人目の素数さん
25/07/02 08:05:14.73 GD2ZEM0+.net
p + q = r
p - q = s
を満たす素数p, q, r, sを全て求めよ
74:１３２人目の素数さん
25/07/02 08:08:43.45 kzcPFNpn.net
5,2,7,3
75:１３２人目の素数さん
25/07/02 08:29:39.90 GD2ZEM0+.net
お見事です
76:１３２人目の素数さん
25/07/03 18:36:39.38 edSei4is.net
>>65
これのヒントほしい
77:死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ
25/07/03 18:48:00.81 S+VZWRk5.net
一回目を通すだけでいいと思いますよ。ただし一回だけ。数が膨らんでいくかもしれませんね。
78:１３２人目の素数さん
25/07/04 04:32:04.95 5xk9vzCV.net
mod 2 で考えて b>0
mod 5 で考えて d は偶数
c が奇数とする
このとき 5^c は mod 3 の平方剰余でないから a=0、さらに mod 8 で考えて b=1.
∴ 4 +5^c = 7^d 以下頑張る
c が偶数とする
3^a4^b = 49^(d/2) - 25^(c/2)
= (7^(d/2) + 5^(c/2))(7^(d/2) - 5^(c/2))
と 7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2) の GCD が 2 であることから
(7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2))
=
(2, 3^a4^b/2),
(2⋅3^a,4^b/2),
(3^a⋅4^b/2,2),
(4^b/2,2⋅3^a)
以下がんばる
79:１３２人目の素数さん
25/07/04 04:45:51.43 5xk9vzCV.net
訂正 mod 8 です
(a,c) ≡ (0,0) (mod 2), b = 1 ⇒ 4 + 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (0,1) (mod 2), b=1 ⇒ 4 + 5 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,0) (mod 2), b≧2 ⇒ 0 + 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,1) (mod 2), b≧2 ⇒ 0 + 5 ≡ 7^d ( mod 8 )
∴ d : even
80:１３２人目の素数さん
25/07/04 05:34:35.86 v2U1o9Qh.net
うーん
mod3で考えればa>0はすぐ分かるくない？
それ以降は自分も同じ考え方で
c,dが偶数だから因数分解して、2と3の指数に制限がかかるのを利用して
例えば7^x-5^y=2×3^zとかに帰着したりしたけど
これは単独で結構ムズい問題じゃない？
7^x+5^y側と合わせて考えると実は簡単に分かるとか？
81:１３２人目の素数さん
25/07/04 06:03:17.09 v2U1o9Qh.net
失礼、mod3だと1+1=-1があるからすぐには言えないのか
82:１３２人目の素数さん
25/07/04 06:06:32.67 v2U1o9Qh.net
いや、やっぱり7=1だから問題ないか
83:１３２人目の素数さん
25/07/04 12:19:17.09 hfI3M9pz.net
f(x)=ax-bsinx
が極値を持つための、実数a,bについての条件を求めよ。
84:１３２人目の素数さん
25/07/04 18:26:13.14 AMCvUVqc.net
（1）aを整数とする。「任意の正整数nに対して、n^5-nはaの倍数である。」が真であるとき、aの最大値を求めよ。
（2）aを整数とする。「任意の正整数nに対して、n^6-nはaの倍数である。」が真であるとき、aの最大値を求めよ。
85:１３２人目の素数さん
25/07/05 11:13:59.62 tpBpk6I5.net
(1)
n=1のとき、1^5-1=0
n=2のとき、2^5-2=30
n=3のとき、3^5-3=240
したがって、n^5-nは30の倍数と予想される
以下、それを証明する
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)
=(n-1)n(n+1)(n^2-4)+(n-1)n(n+1)5
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)5
ここで、(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)の5数の中に2の倍数、3の倍数、5の倍数が含まれることは明らかなので、全体として2×3×5=30の倍数になる
また、(n-1)n(n+1)5も明らかに2×3×5=30の倍数
したがって、n^5-nは30の倍数
よって、a=30
86:１３２人目の素数さん
25/07/05 20:22:00.46 jBOOen5o.net
数学の天才リー博士からの出題
「p^3+2が素数となるような素数を探せ」
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
87:１３２人目の素数さん
25/07/05 20:55:18.94 y2qCOzik.net
Heuristics っていってるから定理じゃないんじゃないの？
88:１３２人目の素数さん
25/07/06 23:19:28.90 Hf7zi0mP.net
20個の実数 x_i (i=1,2,…,20) は下記を満たすとする
Σ_[i=1,20] x_i = 1
Σ_[i=1,20] ix_i = 21
(1) Σ_[i=1,20] |x_i| の最小値を求めよ
(2) max{ |x_i| : i=1,…,20 } の最小値を求めよ
89:１３２人目の素数さん
25/07/07 01:50:27.86 fu5PRoxg.net
すべての項が1/20である列(x⁰ₖ)は条件を満たす。
(1) Σ|x⁰ₖ| = 1 でありΣ |xₖ| < 1 である任意の列は Σxₖ < 1 となるから条件を満たし得ずもとめる最小値は 1 である。
(2) max{|x⁰ₖ|} = 1/20 でありmax{|x⁰ₖ|} < 1/20である任意の列は Σxₖ < 1 となるから条件を満たし得ずもとめる最小値は 1/20 である。
90:１３２人目の素数さん
25/07/07 04:54:10.33 BtAXVj3U.net
全部1/20は2番目の条件満たしてなくね？
91:１３２人目の素数さん
25/07/07 07:14:24.09 GembIYYc.net
>>89
残念。x_i=1/20 だと Σ_[i=1,20] ix_i = 21/2 になります
92:１３２人目の素数さん
25/07/07 08:15:23.29 fu5PRoxg.net
ありゃ残念
93:
25/07/07 08:54:54.66 esTfyKkl.net
>>86
p=3のときp^3+2=29
P∋3かつP∋29
∴示された.
94:
25/07/07 08:55:05.69 esTfyKkl.net
>>86
p=3のときp^3+2=29
P∋3かつP∋29
∴示された.
95:１３２人目の素数さん
25/07/07 15:37:36.16 Icc2p63G.net
>>93
残念
答は3または5でした
96:１３２人目の素数さん
25/07/07 17:47:03.72 IYaAHW3E.net
問題
回答時間目安10分
URLﾘﾝｸ(tadaup.jp)
97:96
25/07/07 20:04:40.21 Zyv4F5S6.net
なんだよ過疎板かよ
5分で返事来るかと思った
98:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:31:59.58 5ntOUQRB.net
ℝ²⁰の18次元超平面 H を Σxₖ = 1, Σkxₖ = 21 で定める。S₁= Σ|xₖ|, S₂ = max{|xₖ|} とする。ともに ℝ²⁰ の1点コンパクト化上にℝ∪{∞}値連続関数に拡張される。無限遠点では∞値をとるから S₁, S₂ ともに ℝ²⁰ のいずれかの点で最小値をとる。
99:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:32:30.57 5ntOUQRB.net
1≦l<m<n ≦20 と ε に対して変換
xₗ → xₗ + ε(m-n)、xₘ → xₘ + ε(n-l) 、xₙ → xₙ + ε(l-m)...①
を考えるときこの変換で H は安定である。
100:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:32:47.48 5ntOUQRB.net
(1) (xₖ) を S₁ の最小値を与える点のなかで xₖ = 0 なる k の個数が最大となる点をとる。1≦l<m<n≦20 をとる。このとき
(i) xₗ,xₘ,xₙ がすべて 0 でなく同符号でないらなら変換①で S₁ の値を減少させうるから矛盾する。
101:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:32:59.46 5ntOUQRB.net
(ii) xₗ,xₘ,xₙ がすべて 0 で同符号のとき。変換①で S₁ の値を保ちつつ xₖ = 0 なる k の個数を増やせるから矛盾する。
102:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:33:04.87 5ntOUQRB.net
(iii) xₗxₘ<0 xₙ = 0 または xₗ = 0, xₘxₙ < 0 のとき。変換①で S₁ の値を減少させうるから矛盾する。
よって条件をみたすとき x₂ = x₃= ... x₁₉ = 0 が必要である。x₁ + x₂₀ = 1, x₁ + 20x₂₀ = 21 を解いて x₁ = -1/19, x₂₀ = 20/19 である。
103:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:33:24.29 5ntOUQRB.net
2) μ = min S₂ とおく。 (xₖ) を S₂ の最小値を与える点のなかで |xₖ| = μ なる k の個数が最小となる点をとる。
1≦l<m<n≦20 をとる。このとき
(i) xₗ = ±μ ,xₘ = ±μ ,xₙ = ±μ のうち成立するのが丁度1個のとき。変換①で |xₖ| = μ である k の個数を減らせるから矛盾する。
(ii) xₗ = xₙ = μ, xₘ < μ または xₗ = xₙ = -μ, xₘ > -μ のとき。変換①で |xₖ| = μ である k の個数を減らせるから矛盾する。
104:１３２人目の素数さん
25/07/07 22:33:40.53 5ntOUQRB.net
よって条件をみたすとき 1 ≦ p ≦ 20 を
xₗ = x₂ = .. = xₚ₋₁ = -μ、xₚ₊₁ = ... = x₂₀ = μ または xₗ = x₂ = .. = xₚ₋₁ = μ、xₚ₊₁ = ... = x₂₀ = -μ
を満たすようにとれる。よって
(p-1)x + y + (20-p)x = 1
(1+2+..+p-1)x + py + (p+1+..+20)x = 21
をといて
x=(p-21)/(20p-210) , y = (p+189)/(20p-210)
であり、p=1 の場合を除いて |y|>1 であり p=1 のとき (x,y) = (2/19,-1) であるから
xₗ = -1、x₂ = .. = x₂₀ = 2/19 のとき S₂ は最小値 1 をとる。
105:イナ
25/07/08 03:12:03.94 RLn7stJy.net
前>>94
>>96
36人
∵36×7=252=39×6+18
106:96
25/07/08 05:46:31.21 Ernd1Vr2.net
>>105
36人だと「あと2人分あるが3人分はない」という条件に合致しない
107:１３２人目の素数さん
25/07/08 07:10:11.73 7VN2VzFK.net
>>98
うわあ！何ちゅう方法で解いてくれてるんや…
(1)は正解だけど、(2)がどこかで計算ミスしてるかも
xとyの連立方程式立てる所で符号ミスしてない？
108:１３２人目の素数さん
25/07/08 07:40:51.07 L3SnlnSE.net
あれ？大先生にといてもらったんだけど？
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
109:１３２人目の素数さん
25/07/08 07:49:14.37 7VN2VzFK.net
>>108
いやいや、連立方程式を立てるところだよ
x_iの途中で符号が変わるのが方程式に反映できていないと思うよ
110:１３２人目の素数さん
25/07/08 07:59:54.85 L3SnlnSE.net
ありゃほんとだ
111:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:04:10.18 L3SnlnSE.net
結局 p = 1 やな
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
112:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:10:19.98 7VN2VzFK.net
正解ではないです
113:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:21:32.98 L3SnlnSE.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
114:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:21:41.48 L3SnlnSE.net
orz
115:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:23:45.53 L3SnlnSE.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
116:１３２人目の素数さん
25/07/08 08:31:49.69 L3SnlnSE.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
117:１３２人目の素数さん
25/07/08 09:02:46.62 L3SnlnSE.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
118:１３２人目の素数さん
25/07/08 09:04:53.50 L3SnlnSE.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
119:１３２人目の素数さん
25/07/08 19:24:31.63 a7bu0tTH.net
>>118
まあそういうこと お疲れさまです
（解答）方程式のうち１つ目を①、２つ目を②とおく
(1) Σの範囲は全て i=1,2,…,20 とする。※(2)も同じ
②-① より Σ(i-1)|x_i| ≧ |Σix_i - Σx_i| = 20.
20×①-② より Σ(20-i)|x_i| ≧ |20Σx_i - Σix_i| = 1.
これらを足し合わせて Σ19|x_i| ≧ 21 が導ける.
(x_i)_i = (-1/19, 0,0,…,0, 20/19) が等号を満たすので、求める最小値は 21/19.
(2) M := max { |x_i| : i=1,2,…,20 } とおく。
②-6×① より (5+4+…+1+0+1+…+14)M ≧ | Σ(i-6)x_i | = 15.
x_i = -1/8 (i≦6), 1/8 (i>6) と定めれば等号を満たすので、求める最小値は 1/8.
120:１３２人目の素数さん
25/07/09 08:21:47.28 XhF+tWVB.net
面白いな
どうやってこの解法を思いつくのか謎だが
121:イナ
25/07/10 08:55:43.30 obwhpUDA.net
前>>105
>>96
問題が表示されない。
18余って2人分より多く3人分より少ない。
1人分が7なら14より多く21より少ない。
ほかの可能性を考えたかったが問題がわからなかった。
122:１３２人目の素数さん
25/07/10 23:02:42.71 BW0VBWt+.net
c/(a+b)+b/(c+a)+c/(a+b)=4
GCD( a,b,c ) = 1
は無限個の正の整数解をもつことを示せ。
123:１３２人目の素数さん
25/07/10 23:34:19.56 /5WUxJs4.net
敢えて 2c/(a+b) としないのが面白くてヒントな問題かな？
どこがどう面白いのかさっぱりわからないけど
124:１３２人目の素数さん
25/07/11 04:59:38.72 5pODhItF.net
まちがえた
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4
GCD( a,b,c ) = 1
は無限個の正の整数解をもつことを示せ。
125:１３２人目の素数さん
25/07/11 07:34:09.34 +yaCXXSQ.net
これ有名なやつだよな
バナナとリンゴとパイナップルの画像覚えてるわ
126:１３２人目の素数さん
25/07/11 07:38:16.87 +yaCXXSQ.net
>>65
これ解いてる人まだいる？
いなそうなら>>78の続きの答え教えてほしい
127:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:47:59.11 pCjWjeqh.net
mod 2 で考えて b>0、左辺>0 より d>0
(a,c) ≡ (0,0) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (0,1) (mod 2), b=1 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,0) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 1 ≡ 7^d ( mod 8 )
(a,c) ≡ (1,1) (mod 2), b≧2 ⇒ 3^a⋅4^b + 5^c ≡ 6 ≡ 7^d ( mod 8 ) ...④
∴ d : even
128:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:48:17.42 pCjWjeqh.net
c が奇数とする。
a>0 なら左辺 ≡ 5^c ≡ 2 ( mod 3 ), 右辺 ≡ 7^d ≡ 1 ( mod 3 ) で矛盾するから a=0, ④より b=1。
よって 5^c = (7^(d/2)+2)(7^(d/2)-2)。
よって 7^(d/2)+2, 7^(d/2)-2 は５べきでともに 2 以上だから 5 の倍数だが差が 4 より矛盾。
∴ c は偶数。
129:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:48:34.58 pCjWjeqh.net
3^a4^b = (7^(d/2) + 5^(c/2))(7^(d/2) - 5^(c/2))
(7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅7^(d/2) , 7^(d/2) - 5^(c/2)) = 2
∴ (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2))
=
(2, 3^a4^b/2), (←明らかに不可能)
(3^a⋅4^b/2,2),
(2⋅3^a,4^b/2),
(4^b/2,2⋅3^a),
130:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:48:50.73 pCjWjeqh.net
(i) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (3^a⋅4^b/2,2) のとき
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 3^a⋅4^b/2
5^(c/2) + 1 = 3^a⋅4^(b-1)
∴ c>0, a:even,
5^(c/2) = (3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1)(3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1)
3^(a/2)⋅2^(b-1) + 1), 3^(a/2)⋅2^(b-1) - 1 はともに 5 べきで差が２より矛盾。
∴(i) に解なし。
131:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:49:07.88 pCjWjeqh.net
(ii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (2⋅3^a,4^b/2) のとき
7^(d/2) + 5^(c/2) ≧ 7+1 だから a>0 であり c は奇数。よって④より b=1
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
∴ 7^(d/2) - 5^(c/2) = 2
2⋅5^(c/2) + 2 = 7^(d/2) + 5^(c/2) = 2⋅5^(c/2) + 2 = 2⋅3^a
5^(c/2) = 3^a - 1
mod 2 で考察して解なし。
132:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:49:22.08 pCjWjeqh.net
(iii) (7^(d/2) + 5^(c/2), 7^(d/2) - 5^(c/2)) = (4^b/2,2⋅3^a) のとき
7^(d/2) = 4^(b-1) + 3^a
5^(c/2) = 4^(b-1) - 3^a
a = 0 とする。
5^(c/2) = (2^(b-1) + 1)(2^(b-1) - 1)
2^(b-1) + 1 と 2^(b-1) - 1 は差が 2 の５べきより解なし。
∴ a≠0
∴ 5^(c/2) = 4^(b-1) ( mod 3 )
∴ c/2 : even
133:１３２人目の素数さん
25/07/11 21:50:04.77 pCjWjeqh.net
3^a = ( 2^(b-1) + 5^(c/4) )( 2^(b-1) - 5^(c/4) )
( 2^(b-1) + 5^(c/4), 2^(b-1) - 5^(c/4) ) = ( 2^b, 2^(b-1) - 5^(c/4)) は 3^a と 2^b の公約数だから 1。
∴ 2^(b-1) - 5^(c/4) = 1, 2^(b-1) + 5^(c/4) = 3^a
∴ 2^(b-1) ≡ 5^(c/4) + 1 ( mod 8 )
∴ c/4 : even, b=2
∴ c = 0
∴ 3^a⋅16 + 1 = 7^d
∴ 3^a⋅16 = (7^(d/2)+1)(7^(d/2)-1)
(7^(d/2)+1)/2,(7^(d/2)-1)/2 は差が 1 よりいずれかが3べきでいずれかが2べき
7^(d/2)+1 = 2⋅3^u、7^(d/2)-1 = 2^v とする。
7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 8 ) より d/2 は偶数だがこのとき 0 ≡ 7^(d/2)-1 ≡ 2^v ( mod 3 ) で矛盾。
∴ 7^(d/2)+1 = 2^v、7^(d/2)-1 = 2⋅3^u となる。
7^(d/2)+1 は 8 以上の 2 べきだから 8 の倍数。よって d/2 は奇数であり
7^(d/2)+1 = (7+1)(7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1)
が 2 べきで 7^(d/2-1)-7^(d/2-2)+...+1 は奇数だから 1 。
∴ d=2, a=1
134:１３２人目の素数さん
25/07/12 08:21:17.28 v+eu2xVR.net
>>130 以降の議論が追えないので整理してみた
c'=c/2, d'=d/2 とおく
(i)
7^d' + 5^c' = (3^a×4^b)/2 …(i-1)
7^d' - 5^c' = 2 …(i-2)
(i-1)-(i-2) を整理して 5^c' + 1 = 3^a×4^(b-1)
この式のmod4は (左辺)≡2, (右辺)≡0,1,3 になるので解無し
(ii)
7^d' + 5^c' = 2×3^a …(ii-1)
7^d' - 5^c' = (4^b)/2 …(ii-2)
d>0 より (ii-1) の左辺は8以上になるので、a>0.
これより (ii-1) のmod3をとると 1 + (-1)^c' ≡ 0. ゆえに c' は奇数。
したがって (ii-2) のmod8をとると (-1)^d' - 5 ≡ 0 or 2 であるから d' は奇数、b=1 でなければならない。
しかし b=1 を (ii-1)-(ii-2) に代入して整理すると 5^c' = 3^a - 1 となり、mod2で矛盾するため解無し。
(iii)
7^d' + 5^c' = (4^b)/2 …(iii-1)
7^d' - 5^c' = 2⋅3^a …(iii-2)
(iii-1) のmod8をとると 5^c' ≡ (4^b)/2 - (-1)^d' ≡ 1,3,7 であるから、c' は偶数。
c''=c'/2 とおくと、(iii-1)-(iii-2) を整理して変形することで
3^a = (2^(b-1) + 5^c'')(2^(b-1) - 5^c'')
を得る。
ゆえにこの右辺で掛け合わされている２つの因数はいずれも3以外の素因数を持たないが、
２つの因数の最大公約数は (2^(b-1) + 5^c'') + (2^(b-1) - 5^c'') = 2^b の約数でもなければならず、したがって 1 以外にあり得ない。
以上より
2^(b-1) + 5^c'' = 3^a …(iii-3)
2^(b-1) - 5^c'' = 1 …(iii-4)
が導ける。(iii-4) のmod8をとることにより b=2 でなければならないことがわかるので、
(iii-4) から c''=0、 (iii-3) から a=1、 (iii-1) から d'=1 が順に導ける。
135:１３２人目の素数さん
25/07/12 08:45:57.34 vo/7tYa9.net
なるほどなぁ
やっぱり因数分解した2式を組み合わせて考えると頑張れば解けるのか
そこで3と4という2種類の因子とmod8の制約が上手く効いてる感じだね
136:１３２人目の素数さん
25/07/12 20:49:41.99 4D5AfGqX.net
>>125
そうそう。元ネタは上で今日新しいの上がってた
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
どちらも最小解しか出してない。多分解は無限個あってきれいなルールで列挙するのはできてない。無理だと思う。おれも95％らしい。orz
137:１３２人目の素数さん
25/07/13 05:11:35.30 Nau2shlJ.net
>>136
これに対応する楕円曲線の階数が1らしいから負の解も含めれば無限に解はあって
正の解の範囲(これは曲線上では3つの区間に対応するらしい)に無限に入ってるかどうかという話だよね
楕円曲線の一般論とかですぐ言えそうだけど…
自分は何も分からんw
138:１３２人目の素数さん
25/07/13 07:14:20.05 3+0wBUde.net
そうそう。一応当方幾何学的な方法と解析的な方法で二つ証明もっております。
139:１３２人目の素数さん
25/07/13 07:40:22.89 Nau2shlJ.net
>>138
楕円曲線勉強しようと思ってるからモチベのためにも書ける範囲で証明教えてほしい
140:１３２人目の素数さん
25/07/13 10:53:37.70 imQoI0mZ.net
pとp+4は素数であるとする。
ただし、pは3ではない。
このとき、(p+1)(p+2)(p+3)は「ある自然数」の倍数になる。
「ある自然数」の最大値を求めよ。
141:１３２人目の素数さん
25/07/13 11:58:09.41 Nau2shlJ.net
p=7,13,19のときの(p+1)(p+2)(p+3)の最大公約数は120
逆にp≧7でp,p+4が素数であることから(p+1)(p+2)(p+3)は2×3×4×5=120を必ず割り切る
よって120が最大
142:１３２人目の素数さん
25/07/13 12:01:59.87 Nau2shlJ.net
あれ
これだとp=3のときを除外しなくてもいいような…
143:１３２人目の素数さん
25/07/13 12:18:53.33 D0D+FAcF.net
問題に穴があるのはいつもの事だから
OK
144:１３２人目の素数さん
25/07/13 12:38:28.46 Nau2shlJ.net
たまには自分も出題してみる
N人のクラスでテストをして平均点を計算したら自然数になった
dをNの任意の約数とする
このとき、うまくクラスをd等分して班分けすれば、どの班内でのテストの平均点も自然数に出来ることを示せ
ただしテストの点は0〜100の自然数とする
145:１３２人目の素数さん
25/07/13 22:53:18.61 4xQ8jzLG.net
これは割と有名やな。知ってるので答え書かないけど。
146:１３２人目の素数さん
25/07/14 01:52:05.02 wX4Go6Eo.net
結構考えてやっとできた気がする
147:１３２人目の素数さん
25/07/14 07:02:12.78 jDZoCdXZ.net
有名だったか…
じゃあyoutubeで拾ってきたやつ
区間(0,1)からランダムに選んだ実数x,yから分数x/yを作ったとき、
それに1番近い自然数(x/yを小数表示で四捨五入する)が偶数になる確率はいくらか？
148:１３２人目の素数さん
25/07/14 08:41:47.09 sMJtkUkz.net
まぁ面白いのは間違いないわな。証明感動すると同時によくこんなの思いつくなと思ったし。
149:１３２人目の素数さん
25/07/14 08:58:47.01 sMJtkUkz.net
P(x/y < 1/2) + P(3/2 < x/y < 5/2) + P(7/2 < x/y < 9/2) + ...
= 1/4 + 1/2( 2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + ... )
= 1/4 + 2Σ1/(4k-1)(4k+1)
= 1/4 + 2(4-π)/8
= 5/4 - π/4
150:１３２人目の素数さん
25/07/14 09:08:19.52 jDZoCdXZ.net
正解！
素朴には1/2と思うのに違うし、円周率出てくるのも面白いよね
151:１３２人目の素数さん
25/07/14 17:00:26.47 wX4Go6Eo.net
できたような気がしてたが、2クラスに分ける場合に還元できただけだったわ
聞いたことある問題なんだがなあ
自力ではきつい系か
152:１３２人目の素数さん
25/07/14 17:34:36.74 jDZoCdXZ.net
そう、2つの場合にEGZ使う
153:１３２人目の素数さん
25/07/14 17:57:30.56 wX4Go6Eo.net
>>152
こんな定理があるのね
最後のステップはほぽ定理そのままやし自力はきついわ
154:１３２人目の素数さん
25/07/14 23:25:33.63 wX4Go6Eo.net
EGZって定理を教えてもらったついでに、この定理がちゃんと下限を与えているかどうかを今日の宿題にしよ。簡単に作れるかもしれんけど
mを正整数として、a_1,...a_{2m-2}をℤ_mの元とする。このとき、aたちからm個の元を選んで、総和を0にすることは必ずしもできるわけではないことを示せ
155:１３２人目の素数さん
25/07/15 00:58:45.69 ZVmDyLNq.net
ちょうど n-1 個の +1 と n-1 個の -1 でだめですな
156:１３２人目の素数さん
25/07/15 21:44:31.36 ZVmDyLNq.net
幾何的証明
まず 超平面 c=0 を抜いてえられるユークリッド平面上で楕円曲線をプロットすると参考図のようになる。
(参考図)
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
この図の a,b>0 の部分に無限に有理点が存在することを示せばよい。参考動画にある有理点を P₀(a₀,b₀) (a₀>b₀>0) とする。
157:１３２人目の素数さん
25/07/15 21:44:40.34 ZVmDyLNq.net
参考図にあるとおり平面上連結成分が３つあるが、右上から順に C₁, C₂, C₃ とする。{Pₙ(pₙ,qₙ)} を相異なる無限有理点列とする。必要なら Pₙ を 直線 P₀Pₙ と曲線の交点に取り替えることにより lim Pₙ は曲線上の点 U(u,v) に収束するとしてよい。必要なら同じ置き換えをおこなって u≠v としてよい。 このとき有理点列 Qₙ(qₙ, pₙ) は V(v,u) に収束するとしてよい。このとき Pₙ , Qₙ の部分裂 (P’ₙ , Q’ₙ) を直線 P’ₙQ’ₙ の傾きが -1 でなく、よってこの直線と曲線の交点 R’ₙ が C₂ にありかつ n →∞ で C₂ の無限有理点列で非有界であるとしてよい。必要なら a=b で対称な点で取り替えて Sₙ を C₂ の無限有理点列で非有界かつすべて b<a の側にあるとしてよい。このとき十分おおきな n で 直線 P₀Sₙ と曲線の交点からなる有理点は a,b>0 の部分に属する。□
158:１３２人目の素数さん
25/07/15 21:45:15.59 ZVmDyLNq.net
解析的証明
曲線は適当に座標を選んで C: y² = 4x³ - (44836 x)/3 + 9481256/27 としてよい。 適当な τ,u を選んで(u²𝔭(τ,z),u³𝔭’(τ,z)) が C をパラメトライズできる。
159:１３２人目の素数さん
25/07/15 21:45:20.64 ZVmDyLNq.net
このときこの写像が群準同型を導くとしてよい。これを π とすれば G = cl(π⁻¹(ℙℚ²)) は ℂ の加法群の実一次元部分群である。開集合 U = π⁻¹(a>0,b>0,c>0) ∩ G は空でなく、π⁻¹(ℙℚ²)) は G の稠密部分集合だから U ∩ π⁻¹(ℙℚ²) は無限集合である。
160:１３２人目の素数さん
25/07/18 17:57:35.62 VyyMUyKj.net
Joker１枚がある５３枚のトランプを一列にならべる。
❤Aと Joker の間にあるカードのスートの種類の数の期待値を求めよ。ただし“間”には❤AとJokerはふくめないものとする。
161:１３２人目の素数さん
25/07/21 10:23:37.83 +XuY0woP.net
実数の濃度がアレフ2らしいけど
それなら非加算で稠密で排反な
2つに分けられるのかな
アレフ2でなくてもできるのかな
162:１３２人目の素数さん
25/07/21 10:25:03.71 +XuY0woP.net
スレチでしたね
無視して
163:１３２人目の素数さん
25/07/25 07:53:35.14 /2kjOwp5.net
関数 f:R→R は、任意の実数xについて lim_(t→x+0) f(t) = f(x) を満たす。
この時、少なくとも１つの実数 x について lim_(t→x) f(t) = f(x) が成り立つことを示せ。
164:１３２人目の素数さん
25/07/25 15:33:49.02 rZ8dIIWn.net
Fix n∈ℕ. 𝒪ₙ := { I ; I is open interval st. diam( f(I) ) < 1/n }. As f is right continuous, we can find q(x)>x such that (x,a(x)) ∈𝒪ₙ q(x)∈ℚ
165:１３２人目の素数さん
25/07/25 15:33:58.76 rZ8dIIWn.net
Suppose there exists x,y ∈ ℝ such that q(x) = q(y). If x < y, then y∈ (x,q(x)) ⊂ ∪𝒪ₙ. Thus y cannot be in ℝ＼∪𝒪ₙ. Thus at least one of x,y cannot be in ∪𝒪ₙ. Thus the restriction q on ℝ＼∪𝒪ₙ is injective. Thus ℝ＼∪𝒪ₙ is countable. Thus ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ is also countable. On the other hand f is continuous on ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ.
166:１３２人目の素数さん
25/07/25 16:51:52.22 r7J1qQpv.net
高々可算じゃね？
167:１３２人目の素数さん
25/07/25 17:08:22.34 r7J1qQpv.net
よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな
そこ直せば高々可算でも問題ないな
168:１３２人目の素数さん
25/07/25 20:03:25.57 /2kjOwp5.net
>>165
なんと！高々可算の点以外で両側連続になることを示したのか
正解お見事です！（最後の on the other hand は in other words ってことかしら）
169:１３２人目の素数さん
25/07/29 22:48:26.47 KSc+c9bT.net
Show that n + (n-1)z¹ + (n-2)z² + ... + zⁿ⁻¹ has no roots in { z ; |z| ≦ 1 }.
170:イナ
25/07/31 20:05:43.62 pjVHkYGR.net
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
27〜39枚のとき3種類か4種類.
40〜51枚のとき4種類.
概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52
=12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52
=(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104
=101/56+155/104
=(1313+1085)/728
=2398/728
=3.21
割り切れた💦
171:イナ
25/07/31 20:17:06.38 pjVHkYGR.net
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
27〜39枚のとき3種類か4種類.
40〜51枚のとき4種類.
概算で4×12/52+3.5×13/52+3×13/52+2.5×10/52+2×1/52+1.5×1/52+1×1/52+0×1/52
=12/13+7/8+13/14+25/52+1/26+3/104+1/52
=(49+52)/56+(96+50+4+3+2)/104
=101/56+155/104
=(1313+1085)/728
=2398/728
=3.21
割り切れた💦
172:１３２人目の素数さん
25/07/31 20:39:46.57 +g6XRK9w.net
❤AとJoker の間に♣が１枚以上ならぶ確率は♣13個と❤一個、Ｊ一個をならべて❤とＪが並ばない確率であり1-14/₁₅C₂＝13/15。よってCを❤とＪのあいだにクラブがはいらないとき1、入るとき0をとる確率変数とすれば E(C) = 13/15。同様の確率変数をスペード、ダイア、❤A以外のハートについて定めたものを S,D,H とすれば E(S)=E(D)=13/15、E(H)=6/7。よって
E(C+S+D+H) = 13/15+13/15+13/15+6/7 = 121/35
173:１３２人目の素数さん
25/08/02 00:58:23.45 7Nw+VIWF.net
Let F be a finite set and Λ be a set of non empty subset of F, and align Λ = {λ₁,λ₂,...}.
Let (Aₘₙ) be a matrix of order 2^#F - 1 defined as :
. Aₘₙ = 1 ( if λₘ∩λₙ ≠ ∅ )
. = 0 ( if λₘ∩λₙ = ∅ ) .
Find det(Aₘₙ).
174:１３２人目の素数さん
25/08/02 16:43:07.90 U+vtQmLl.net
1元集合じゃないところは、1元集合たちの線型結合で書けそうだから0っぽい気がする
#F=1かどうかが罠だけど
175:１３２人目の素数さん
25/08/02 20:02:02.72 L7dFYWin.net
例
F={a,b} のとき Λ = {{a},{b},{a,b}} でこの表記の順どおりにならべたなら
Aₘₙ =
{{ 1,0,1 },
{ 0,1,1 },
{ 1,1,1 }}
で det(Aₘₙ) = -1。
176:１３２人目の素数さん
25/08/02 20:56:26.94 U+vtQmLl.net
あー0と1が逆か
177:１３２人目の素数さん
25/08/02 21:50:20.75 M2md+IIM.net
k元集合FのΛに対して(k+1)元集合F∪{c} （cはFに属さない元）のΛ'を
λ'_n = λ_n (n<2^kの時), λ_n∪{c} (2^k≦n<2^(k+1)-1の時), {c} (k=2^(k+1)-1の時)
と定めれば、行列A'は
A A O
A I I
O I 1
（ただし行、列ともに2^k-1, 2^k-1, 1で区切り。I は全ての値が1、Oは全ての値が0とする。）
の姿をしている。detを変えない変換により
A O O
O -A O
O O 1
にできるから、det(A') = -det(A)^2 = -1.
よってdetAはk=1の時1で、k>1の時-1.
178:１３２人目の素数さん
25/08/02 22:10:07.97 L7dFYWin.net
正解！
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
179:１３２人目の素数さん
25/08/02 22:22:16.62 U+vtQmLl.net
真面目にやろ
要素が1個増えると行列は
B0B
011
B11
の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列
少し掃き出して
B0B
010
B00
真ん中を消して
BB
B0
というわけで、行列式はdetBdet(O-BB^{-1}B)ということは、サイズはつねに奇数だからマイナスが外に出て、-detB^2だから求める答は
#F≧2だと-1で他は1かなあ
自信ねえ
180:１３２人目の素数さん
25/08/02 22:23:47.84 U+vtQmLl.net
よかったあってた
181:１３２人目の素数さん
25/08/03 14:59:23.43 ji91oaUv.net
Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x).
182:１３２人目の素数さん
25/08/03 18:53:59.98 YL1BmXMV.net
(x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして
a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな
a0=1
a1=0で、n≧2だと
a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)!
=(n-1)/n(n-2)!
になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1
そうでなくて、素数の2乗でない場合は完全に約分できるから、1
素数の2乗のときは
n-1=p^2として
p+1≦q≦n-2となるpの倍数qがあるかどうかで決まって、あれば1でなければpが答になる
q=2pだけ考えればいいので、2p≦n-2かどうかを考える。n=p^2+1を代入して、2p≦p^2-1かどうかになり、
(p-1)^2≧2
なのでp=2つまり、n=5のときは2それ以外は1
まとめるとnが
0だと1
1だと0
5だと2
素数+1だとその素数
それ以外は1
かなあ
183:１３２人目の素数さん
25/08/03 19:11:02.13 mL9auLBV.net
m, nは互いに素な自然数とする
分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ
184:１３２人目の素数さん
25/08/03 19:37:25.18 YL1BmXMV.net
m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望)
185:１３２人目の素数さん
25/08/03 23:08:11.04 ji91oaUv.net
>>182
正解！
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
186:１３２人目の素数さん
25/08/04 06:31:20.55 nGNfnz6K.net
白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ？
187:１３２人目の素数さん
25/08/04 16:12:15.55 wklzv92S.net
まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると
m=1,n=1のときは自明
m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは
(m+m+n-1)!/m!(m+n)!
=(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1}
なので自然数
188:１３２人目の素数さん
25/08/04 18:41:22.39 wklzv92S.net
計算間違ってるやん
189:１３２人目の素数さん
25/08/04 22:17:45.92 AGReftOh.net
その方針でいけるん？
190:１３２人目の素数さん
25/08/04 22:43:39.42 wklzv92S.net
>>189
だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ
191:１３２人目の素数さん
25/08/04 22:51:21.62 wklzv92S.net
S=ℤ_{m+n}
X={x⊂S | #x=m}
として、#Xがm+nで割り切れることを示す
G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する
x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e
なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0
というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる
あってるかな？
192:１３２人目の素数さん
25/08/05 00:22:49.96 HCN69fB4.net
よさげ
193:１３２人目の素数さん
25/08/05 03:08:48.77 Srdf2A9W.net
最後微妙に間違えてた
Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった
194:１３２人目の素数さん
25/08/05 08:29:03.65 H+D/CLH1.net
例えば、基準を2^3(=8)で考えると、
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0 ←素数2の因数の個数
こんな感じで対称性があるでしょ？
これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、
割り切れるのでは？
どうやって、証明するか分からないが。
195:１３２人目の素数さん
25/08/05 13:57:01.76 MAmUP/aR.net
(n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！)
＝ (n＋m) (n＋m－1)！/(n！(m－1)！) / m
＝ (n＋m) (n＋m－1)_C_n / m
すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m－1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。
よって、(n＋m) (n＋m－1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、
(n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m－1)_C_n は m で割り切れる。
特に、(n＋m－1)_C_n / m は整数。
(n＋m－1)_C_n / m ＝ (n＋m－1)！/(n！(m－1)！) / m ＝ (n＋m－1)！/(n！m！)
なので、(n＋m－1)！/(n！m！) は整数。
196:183
25/08/05 14:17:44.93 X4eXuEzQ.net
↑お見事です
197:１３２人目の素数さん
25/08/06 19:04:33.58 jvXHE856.net
極限
lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx}
を求めよ。
198:１３２人目の素数さん
25/08/06 20:15:04.24 UPpSHNbr.net
∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx
=∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より
→∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) exp(-y)dy
=1
199:１３２人目の素数さん
25/08/07 16:41:31.87 v7ISirIJ.net
下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！
lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ]
200:１３２人目の素数さん
25/08/07 20:59:17.54 DhukNUyo.net
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い？
201:１３２人目の素数さん
25/08/11 01:28:45.28 fRqBIPZy.net
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202:１３２人目の素数さん
25/08/11 17:07:17.30 LKCAkMsb.net
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください
a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、
( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203:１３２人目の素数さん
25/08/11 22:48:59.61 Pq2BAI/Y.net
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？
204:１３２人目の素数さん
25/08/11 22:53:01.02 Pq2BAI/Y.net
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205:１３２人目の素数さん
25/08/12 05:14:55.30 08QF4Run.net
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206:１３２人目の素数さん
25/08/12 10:06:34.48 VI166Ty2.net
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207:１３２人目の素数さん
25/08/12 13:00:58.39 epvPvzIT.net
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208:１３２人目の素数さん
25/08/12 17:14:52.25 VI166Ty2.net
>>207
お見事です
209:１３２人目の素数さん
25/08/12 19:22:49.38 MToRQVN4.net
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210:１３２人目の素数さん
25/08/12 21:51:19.11 9WhM+6C5.net
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211:１３２人目の素数さん
25/08/13 03:48:00.47 IPcCDEha.net
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4
1/3
=1/(-6)+1/2
=1/4+1/12
=1/6+1/6
1/4
=1/(-12)+1/3
=1/(-4)+1/2
=1/5+1/20
=1/6+1/12
=1/8+1/8
212:１３２人目の素数さん
25/08/13 04:03:31.29 v773YyBJ.net
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213:１３２人目の素数さん
25/08/13 04:03:35.79 v773YyBJ.net
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214:１３２人目の素数さん
25/08/13 04:03:50.45 v773YyBJ.net
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2
□
215:１３２人目の素数さん
25/08/13 04:04:31.05 v773YyBJ.net
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216:１３２人目の素数さん
25/08/13 04:04:36.38 v773YyBJ.net
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217:１３２人目の素数さん
25/08/13 15:57:23.97 +55xP2/J.net
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
25/08/13 20:45:15.57 nQyqYDxf.net
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219:１３２人目の素数さん
25/08/13 21:12:51.40 YyYKqHVs.net
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220:１３２人目の素数さん
25/08/14 01:55:06.66 itMo6PT5.net
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221:１３２人目の素数さん
25/08/14 05:29:03.55 /DikW1nE.net
知らんがな
222:１３２人目の素数さん
25/08/14 19:50:05.44 /CzpVmg3.net
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223:１３２人目の素数さん
25/08/15 12:41:46.38 yd6fSpXf.net
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224:１３２人目の素数さん
25/08/15 13:20:09.53 IcJOCdHO.net
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225:１３２人目の素数さん
25/08/15 14:13:02.28 n4KBK1iW.net
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
226:１３２人目の素数さん
25/08/15 17:21:07.65 5OgVZXhc.net
異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる
17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ
227:１３２人目の素数さん
25/08/15 21:06:16.97 oC7J3nsx.net
1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5
228:１３２人目の素数さん
25/08/15 22:05:55.91 5OgVZXhc.net
お見事です
229:１３２人目の素数さん
25/08/16 05:21:13.76 v5em7mVI.net
>>218
答えプリーズ
230:１３２人目の素数さん
25/08/16 18:41:31.24 0GcVJ2or.net
∫[0,1] xlog(1+x)sin(πx) dx
を求めよ。
231:１３２人目の素数さん
25/08/18 17:52:44.34 dxGqGsbL.net
q = nPs / rPs とおく。q は 1 より大きい有理数だから有限付値 v を v(q)>0 となるようにとれる。このとき
nCs = q ⋅ rPs/s! = q ⋅ rCs
nCr = q ⋅ (n-s)P(r-s)/(r-s)! = q ⋅ (n-s)C(r-s)
により
v( nCs ) = v(q) + v( rCs ) > 0
v( nCr ) = v(q) + v( (n-s)C(r-s) ) > 0
232:１３２人目の素数さん
25/08/18 19:56:06.12 Y/tdXQ55.net
ある一つの長方形を、全て同じ面積を持ち互いに合同でないような複数の長方形に分割することは可能か。
233:１３２人目の素数さん
25/08/18 23:05:57.67 ckxrpVZH.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
234:１３２人目の素数さん
25/08/18 23:09:04.81 ckxrpVZH.net
あ、同じ面積ね
235:１３２人目の素数さん
25/08/20 23:48:21.14 Knx9FYob.net
これの4枚目
URLﾘﾝｸ(x.com)
236:１３２人目の素数さん
25/08/21 00:52:15.66 1ejVsqNi.net
┌─┬──────┐
│ v │
│ ├─┬─────┤
│ │ x │
│ │ ├─1─┬─y─┤
│ │ 1 │ │
│ │ │ │ │
├w┴u ┴─── ┤ │
│ z │
└─────┴──┘
x(1+y)=1,y(1+z)=1,z(1+u+w)=1,u(1+x)=1, v(1+y+u)=1,w(1+x+v)=1 を解く
u = 1/9 (10 - sqrt(19)), v = 1/45 (7 sqrt(19) - 11), w = 1/9 (4 sqrt(19) - 13), x = 1/9 (1 + sqrt(19)), y = 1/2 (sqrt(19) - 3), z = 1/5 (sqrt(19) - 2)
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
237:１３２人目の素数さん
25/08/21 01:08:06.86 1ejVsqNi.net
┌─┬──────┐
│......v........................................................│
│.....├─┬─────┤
│.....│......x...............................................│
│.....│.....├─ 1─┬─ y ─┤
│.....│.....1........................│..................│
│.....│.....│......................│.................│
├w ┴u ┴───┤...................│
│..........................................z.....................│
└─────┴──┘
238:１３２人目の素数さん
25/08/21 06:11:12.97 2T693P24.net
>>236
正解（想定解と同じ）
有理数でできるかなあとかも考えたけどわからず断念
239:１３２人目の素数さん
25/08/21 07:08:11.49 OXajF8xh.net
6枚以下では無理そうだな
240:１３２人目の素数さん
25/08/21 21:32:12.03 GLF5VvVp.net
実数からなる集合X, Yがある。
X={x|0＜x＜a} ←aは正の実数
Y={y|2＜y＜4}
次の各命題が成り立つための必要十分条件を選択肢の中から選べ。
命題1 全てのx∈Xと全てのy∈Yに対してx＜yとなる
命題2 「全てのx∈Xに対してx＜y」となるy∈Yが存在する
命題3 全てのx∈Xに対して「x＜yとなるy∈Yが存在する」
選択肢（16個）
a＜2, a≦2, a＞2, a≧2, a=2, a≠2
a＜4, a≦4, a＞4, a≧4, a=4, a≠4
2＜a＜4, 2＜a≦4, 2≦a＜4, 2≦a≦4
241:１３２人目の素数さん
25/08/22 02:03:46.51 zIhHzlhN.net
命題1 a≦2
命題2 a<4
命題3 a≦4
242:１３２人目の素数さん
25/08/22 06:02:21.42 V72GFM2q.net
お見事です
243:１３２人目の素数さん
25/08/22 12:07:26.87 NiaROQwG.net
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+k^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
244:１３２人目の素数さん
25/08/22 15:01:43.39 NiaROQwG.net
すいません訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+x^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
245:１３２人目の素数さん
25/08/22 15:02:09.45 NiaROQwG.net
すいませんさらに訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] ln{{1+k^(1/n)}/2} dx ]
を求めよ。
246:１３２人目の素数さん
25/08/22 16:52:23.83 w9HGuAIb.net
訂正や訂正とか訂正になってねーよとかな訂正で埋め尽くす芸風、誤答おじさんインスパイアかな？
247:１３２人目の素数さん
25/08/22 17:52:41.71 w3MqpW0+.net
東大の問題を参考にしたんだろうけど正直この東大の問題受験縛りがなければ実にくだらない
方程式使っちゃいけないという縛りの元でしか成立しない鶴亀算の類いのしようもない問題
248:１３２人目の素数さん
25/08/24 16:37:34.95 M5ZBmT+B.net
定積分
∫[0,1] exp(-x)log(1+x) dx
を求めよ。
249:１３２人目の素数さん
25/08/25 00:34:21.82 A5OAO5Hu.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
integral_0^1 log(1 + x) exp(-x) dx
=
e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
250:１３２人目の素数さん
25/08/25 01:50:25.55 lX1A1M9/.net
>>249
>Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
F(x)=integral exp(-x)log(1+x) dx
>e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
=F(1)-F(0)
251:１３２人目の素数さん
25/08/27 21:02:21.19 xqGeek16.net
1000本のワインがありそのうち半数の500本には毒が入っている。
その毒は飲んだら15～20時間の間のランダムな時間で死ぬ。
全ての毒入りワインを24時間以内に確実に特定するには最低何人の奴隷が必要か。
252:１３２人目の素数さん
25/08/27 21:05:15.02 EYI+RFKW.net
勘で５人
253:１３２人目の素数さん
25/08/27 21:06:19.32 EYI+RFKW.net
あ、500本毒入ってるのか
254:１３２人目の素数さん
25/08/27 21:26:44.71 U6mAtjeQ.net
とりあえず500人に適当に一本ずつ飲ませればいけるのか
255:１３２人目の素数さん
25/08/28 02:49:23.35 R2O2+9AR.net
24時間以内なのを見てなかった
256:１３２人目の素数さん
25/08/28 04:43:13.44 VnzuKB2B.net
場合の数は 1000C500 通り
2^994＜1000C500＜2^995
であるから、理論的には最低995人必要
995人で出来るかどうかは知らん
257:１３２人目の素数さん
25/08/28 04:46:49.01 PVUsvSkR.net
状況は1000C500通りある
各人の状態は生きるか死ぬかの2通りとすると
log_2 (1000C500)で約994.69なので995人以上必要
995人でできるかは知らん
258:１３２人目の素数さん
25/08/28 07:13:24.43 VnzuKB2B.net
>>249
これ以上簡単にはならなそう
-eEi(-1) = G = 0.5963... ( Gompertz 定数 )
はいくつかの定積分、級数、連分数で表せる
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
これ以上は出題者に聞くしかない
259:１３２人目の素数さん
25/08/28 13:20:20.57 hrv7SU1N.net
6本のワインのうち2本に毒が入っている
その毒は飲んでから15〜20時間後のランダムな時間で死ぬ
24時間以内に全ての毒入りワインを見抜くには何人の奴隷が必要か？
太郎くんはこう考えた
毒入りワインのパターンは全部で15通り
4人の奴隷の生死は16通りあるから4人いれば特定できるはずだ
太郎くんのこの考えは正しいか？
260:１３２人目の素数さん
25/08/28 14:06:11.44 ePWISIU3.net
太郎君が正しいのか正しくないのかその他なのか…はさておき
当然、どこがどう面白いのかを明確に説明する気満々の上での出題ですよね
261:１３２人目の素数さん
25/08/28 15:36:43.64 VnzuKB2B.net
高校数学のスレに
8本のうち2本
結果待ち不可の条件なし
で類題が投下されたことがある
誰も解かずにスルーされてた
荒らされすぎてもう新スレが立たなくなったな
262:１３２人目の素数さん
25/08/28 16:17:54.72 R2O2+9AR.net
なんだか誤り訂正符号を頑張れば解けるんかな
263:１３２人目の素数さん
25/08/28 16:22:58.58 pg97dRak.net
ヤフー知恵袋にもあるね
264:１３２人目の素数さん
25/08/29 03:54:21.57 cgED+EFx.net
これか
math.stackexchange.com/questions/639/logic-problem-identifying-poisoned-wines-out-of-a-sample-minimizing-test-subje
でも>>251の答えはないな
265:１３２人目の素数さん
25/08/29 06:34:20.63 e60Qap8s.net
>>251 のヒント
ワイン全体の集合をW、奴隷全体の集合をSとおく。
集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合を2^Xとおく。
また、集合Xと整数kに対し、X(k) = {Y⊂X : |Y| = k} とおく。
どのワインをどの奴隷に飲ませるかを表す写像 f:W→2^S を考える。
V⊂Wに対して f(V):=∪_(v∈V)f(v) と定めることにより、fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
問題は、拡張したfの W(500) への制限が単射になるような f が存在する最小の |S| を求めることと言い換えられる。
（ここからヒントの本題）
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。（なぜか？）
266:１３２人目の素数さん
25/08/29 06:36:21.32 e60Qap8s.net
>>265
誤
fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
正
fは2^Wから2^Sへの写像に拡張できる。
267:１３２人目の素数さん
25/08/29 08:11:55.60 aSTx3uCs.net
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。
がそもそも数学の問題としての問題文として成立してないやん
268:１３２人目の素数さん
25/08/29 08:36:52.20 pG2i3ifz.net
とりあえず995人以上は必要>>257
999人では可能
∵ 999本のワインを999人に飲ませる。500人死ねば死んだ500人の飲んだワインが毒入り。499人死ねばその499本と誰も飲んでないワインが毒入り
この隙間を埋める問題
269:１３２人目の素数さん
25/08/29 12:11:41.15 liMNyBU6.net
>>267
その文では拡張したfをfと同じ記号で使ってるよ
紛らわしくてすまんね
270:１３２人目の素数さん
25/08/29 14:25:45.20 RysJSoA6.net
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。
極限
lim[n→∞] f(k,n)
を求めよ。
271:１３２人目の素数さん
25/08/29 16:07:20.21 51ikz61b.net
「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。
272:１３２人目の素数さん
25/08/29 16:17:04.08 itPlGYv3.net
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
1^(2k+1)-n+1<0
0<f(n,k)<1
f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k)
limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0
273:１３２人目の素数さん
25/08/29 19:15:05.63 wapwkLPP.net
n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが
n-2人以下でできないのは当然として
n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ
6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ
274:１３２人目の素数さん
25/08/30 14:17:15.37 kaOtwNfL.net
>>265 ヒント続き
（証明）
k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時
|W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k
より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。
もし f(A)=f(B)と仮定すると、
f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C)
となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。
ゆえに f(A)≠f(B).
（終わり）
275:１３２人目の素数さん
25/08/30 15:44:07.13 HfVP711t.net
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。
（1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。
（2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、
極限lim[n→∞] a[i]
を求めよ。
276:１３２人目の素数さん
25/08/30 17:24:23.61 SzW44Fp8.net
aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。
このとき、bの偶奇を判定せよ。
277:１３２人目の素数さん
25/08/30 18:28:46.27 2/v7Mp9d.net
αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 )
278:１３２人目の素数さん
25/08/30 18:56:09.11 SzW44Fp8.net
お見事です
279:１３２人目の素数さん
25/08/30 18:56:43.70 fWoX7QGu.net
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
n>2
1^(2k+1)-n+1<0
m=3
lim a[1]=-∞
lim a[2]=0
lim a[3]=∞
280:１３２人目の素数さん
25/08/30 19:01:23.80 fWoX7QGu.net
>>277
>αβγ≡1 ( mod 2 )
なんで？
α+β+γ=0
では？
281:１３２人目の素数さん
25/08/30 19:02:25.77 fWoX7QGu.net
ああそうか
意図分かった
282:１３２人目の素数さん
25/08/31 18:56:12.09 QaV2l/9l.net
>>274 ヒント続き
（今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ）
Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
|A|=|B|の時は証明済み。
|A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。
0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、
A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。
f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。
（終わり）
283:１３２人目の素数さん
25/08/31 19:56:08.47 hUOxpuc6.net
要するに
V、S:有限集合
f:S→2^V
♯V>♯S
∀w∃s w∈f(s)
→
∃A,B s.t.
♯A=♯B=⌈♯W/2⌉
{s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ}
A≠B
を示せばいいんだよな
示せたと思うけど今サウナ泊まりに来ててパソコンないからかけない
284:１３２人目の素数さん
25/08/31 21:44:05.05 QaV2l/9l.net
>>282
誤 A⊂A'⊂B
正 A⊂A'
285:イナ
25/09/01 10:48:17.33 bD/AUJQV.net
>>259
三人で一人三本ずつ飲むと、
たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、
太郎がA,Bを、
次郎がC,Dを、
花子がE,Fを飲んだと.
これだと二人死んだらだめだ.
ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、
太郎がA,B,Cを、
次郎がB,C,Dを、
花子がC,D,Eを飲んだら、
わかる.
286:１３２人目の素数さん
25/09/01 14:45:50.94 FRAqeS7G.net
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
287:１３２人目の素数さん
25/09/02 13:47:57.37 y/H4brb4.net
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。
288:１３２人目の素数さん
25/09/02 15:07:15.31 jTpZzzZq.net
>>286-287
高校数学で解けるのな
二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか
3つの角のsinとcosの和と積の最大
URLﾘﾝｸ(examist.jp)
289:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:48:58.14 fZOAs2Xe.net
以下有限グラフ G = (V,E) とは 有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下 「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。
グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。
290:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:49:12.90 fZOAs2Xe.net
補題 任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。
(1) #G ≦ 2
(2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。
(∵) 容易。□
291:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:49:28.95 fZOAs2Xe.net
補題 任意の連結有限グラフ G について以下のいずれかが成立する。
(1) G は木である。
(2) 任意の点の分岐数は 2 である。
(3) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e} は非連結、G＼{f} が連結である。
(4) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e, f} が連結である。
(∵) 任意の点の分岐数は 2 以下ならば (1),(2) が成立する。よって (1),(2) を満たさず、かつ (3) が成立しないならある分岐数 3 以上の点 v が存在して v を端点とする任意の e に対して G＼{e} が連結となる。e, f, g が v を端点とする辺とする。e = {v,x}、f = {v,y}、g = {v,z} とする。 G＼{e, f} が非連結とし G＼{e, f} = H ∪ K を非交叉和で H が z を含む連結成分とする。H が x を含めば H ∪ K ∪ {e} と H ∪ K の連結成分数は同じでなければならないが、前者は 1、後者は 2 以上だから矛盾する。よって x は K の元である。同様にして y も K の元である。G＼{g} は連結だから z と v を結ぶ G＼{g} の path が存在するが、その path は e,f を通過できない。よって z と v を結ぶ G＼{g,e} の path が存在する。一方 x と y を結ぶ K の path に f をつなげると x と v を結ぶ G＼{g,e} の path となる。よって G＼{g,e} は連結である。□
292:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:50:58.73 fZOAs2Xe.net
以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。
補題 G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。
(∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。
(i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。
293:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:51:03.77 fZOAs2Xe.net
(iv) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V/<x=y>, E＼{{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’、そうでなければ B = B’∪{y} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(v) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V, E＼{{x,y},{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉ ≧ n であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。A’ が y を含まないときは a = y、そうでないときは a ∈ V＼A’ を任意に選ぶ。B’ に対して同様に b を選ぶ。A’∪{a} = B’∪{b} でないときは A = A’∪{a}、B = B’∪{b} が条件を満たす。A’∪{a} = B’∪{b} であるときは a≠y または b≠y である。a≠y ならば y∈ A’ であり # B’∪{b} ≦ n-1 であるから a’∈V＼B’＼{b} を選んで A = A’∪{a’}、B = B’∪{b} が条件を満たすから反例となりえない。□
294:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:51:16.05 fZOAs2Xe.net
以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに
(※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅
とする。
(W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。)
295:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:51:44.42 fZOAs2Xe.net
補題 (※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。
(1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉
(2) S(A) = S(B)
(∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。
#S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。
296:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:52:33.87 fZOAs2Xe.net
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。
297:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:53:26.73 fZOAs2Xe.net
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。
298:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:53:30.77 fZOAs2Xe.net
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。
299:１３２人目の素数さん
25/09/02 17:53:49.19 fZOAs2Xe.net
#S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で
(1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉
(2) S(A’) = S(B’)
となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □
300:１３２人目の素数さん
25/09/02 19:28:54.48 y/H4brb4.net
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、2sinA+sinB+sinC+sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
301:１３２人目の素数さん
25/09/02 22:27:43.25 Mll4sRUZ.net
>>299
うお…すごい大作だ 本当にお疲れ様
まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね
>>282 の続き
Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。
A_1:=A∪{w_1}, A_2:=A∪{w_2} とおくと、最初に証明した補題より f(A_1)≠f(A_2) であるから、
f(A) ⊂ f(A_1)∩f(A_2) は f(B) ⊃ f(A_1)∪f(A_2) の真の部分集合である。
（終わり）
（主張の証明）
2^W の部分集合 W_0 を W_0 := W(500) ∪ W(498) ∪ W(496) ∪… と定める。
この時、A,B∈W_0 が A⊂B または B⊂A を満たすならば３つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれ、
どちらも満たさなければ２つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれるので、
f の W_0 への制限は単射であることがわかる。…(1)
2|W_0| = 2Σ_(k=0,250) 1000C(2k) = 1000C500 + Σ_(k=0,500) 1000C(2k) であるが、
(1 + (-1))^1000 の二項展開と (1 + 1)^1000 の二項展開を足し合わせることで Σ_(k=0,500) 1000C(2k) = 2^999 が導けるから、
|W_0| > 2^998. …(2)
(1)と(2)より、|2^S| ≧ |W_0| > 2^998 であるから |S|≧999.
等号成立は >>268 より可能。
（終わり）
302:１３２人目の素数さん
25/09/03 08:38:15.85 wC3sbrDB.net
をーなんかすごいな
素人の疑問なんだけど、ワインの数とか毒の数によっては
>>268みたいな自明解以外の解が存在するのだろうか
303:１３２人目の素数さん
25/09/03 08:52:44.82 AK+unjCX.net
ようするにワインが n 本のとき奴隷がn-2だと不可能、n-1だと可能、すなわち毒入りワインを確実に判定するのに必要な奴隷の数はn-1人である、が答え
304:１３２人目の素数さん
25/09/03 09:06:26.14 AK+unjCX.net
正確には “ワインが n 本、毒をいれる本数が ⌈(n-1)/2⌉ 本の場合の必要な奴隷の人数の最小数は n-1 人” の証明が >>289-299。n = 1000 のときは ⌈(n-1)/2⌉ = 500 となるので問題の設定をカバーしてる。>>268 の “解は 995人以上、999人以下” の中で 999 人が答えでしたとさというお話。ワインが1000本、毒が500を拡張する方法は他にも色々あるだろうけど。
305:１３２人目の素数さん
25/09/03 09:07:24.37 iMvGoXCo.net
あ、毒入りの数が少なければ奴隷も少なくていいケースがあるのか
306:１３２人目の素数さん
25/09/03 14:47:08.04 J935Wiym.net
そりゃ毒入りが1本ならワイン１０００本でも奴隷は１０人で済むわな
307:１３２人目の素数さん
25/09/03 17:03:57.96 YbtNoe+g.net
上の方でも出てる通り、1000本中1本なら10人、2本なら65人だな
308:１３２人目の素数さん
25/09/07 02:59:22.65 XDW6vQFz.net
鋭角三角形である△ABCは、A≠B、B≠C、C≠Aを満たす。
△ABCに内接する正方形で、相異なるものの個数を求めよ。
309:１３２人目の素数さん
25/09/07 03:46:19.23 OW0TX0Rs.net
>>308
内接の定義を
310:１３２人目の素数さん
25/09/07 04:56:37.78 LcZn/s2S.net
3個
311:１３２人目の素数さん
25/09/07 05:21:58.84 LcZn/s2S.net
鋭角三角形で３個、そうでないとき１個
312:１３２人目の素数さん
25/09/07 05:24:37.53 LcZn/s2S.net
鋭角三角形で３個、直角三角形で２個、鋭角三角形で１個
313:１３２人目の素数さん
25/09/07 10:42:51.34 2u7jYGtD.net
異なる実数x, y, zに対して
x+y+z=0
xy+yz+zx=-3
x＜y＜z
のとき、x, y, zのとりうる値の範囲は
□＜x＜□＜y＜□＜z＜□
である。空欄を求めよ
314:１３２人目の素数さん
25/09/07 11:08:37.08 LcZn/s2S.net
-2<x<-1<y<1<z<2
315:１３２人目の素数さん
25/09/07 11:26:10.16 2u7jYGtD.net
お見事です
316:１３２人目の素数さん
25/09/07 12:27:20.61 LcZn/s2S.net
直方体 K が直方体 L に含まれているとする。K の 3 辺の長さを a,b,c、L の 3 辺の長さを p,q,r とする。 a+b+c ≦ p+q+r を示せ。
317:１３２人目の素数さん
25/09/08 22:55:59.79 NrRzTK6Z.net
a,b,cを整数とする。
方程式
x^3+ax^2+bx+c=0
が3つの実数解α、β、γを持ち、α=1+√2であるとき、
|a+b+c|を最小にするようなβ、γをすべて求めよ。
318:１３２人目の素数さん
25/09/09 00:16:00.25 5QJSkWGE.net
(β,γ) = (1-√2,1)
319:１３２人目の素数さん
25/09/09 15:23:01.80 SSqKd6ty.net
>>318
γ=1以外にないことの証明は？
320:１３２人目の素数さん
25/09/09 21:51:56.84 5QJSkWGE.net
(β,γ) = (1-√2,1) → | a+b+c | = | f(1) | = 0
∴ min{ | a+b+c | } = 0
| a+b+c | = | f(1) | = 0 ⇒ 0 ∈ { 1+√2,1-√2,γ }
321:１３２人目の素数さん
25/09/09 22:07:00.58 YBobyKJG.net
f(1)=1+a+b+c
になってしまう
先頭の1を除いて考えて
γ=3/2
一意性を示すには
a+b+c は γ の一次関数である
ことをいえばよい
322:１３２人目の素数さん
25/09/09 22:10:05.44 YBobyKJG.net
あ、整数の縛りがあったか
323:１３２人目の素数さん
25/09/09 23:22:28.05 5QJSkWGE.net
a+b+c = f(1)-1 = (1^2 - 2・1-1)(1-γ)-1 = -3+2γ
γ = 2,1
324:１３２人目の素数さん
25/09/09 23:37:45.90 5QJSkWGE.net
f(n) = Σ[k=1,n](k!)^2 が素数となる n は無限にあるか？
325:１３２人目の素数さん
25/09/10 20:52:36.25 G0ue5EhB.net
kは正整数の定数、eは自然対数の底とする。
a[n]={1+(1/n)}^n
に対して、以下の極限を求めよ。
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
326:１３２人目の素数さん
25/09/11 00:28:26.78 h38MyBig.net
f(k,t) := exp( (1/t + k) log( 1 + t/(1+kt) ) )
= e - et/2 + 1/24 e(12k+11)t^2 + o(t^2) ( t→0 )
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
= lim[t→0] (f(n,0) - f(n,k))/(f(n,0) - e )
= lim[t→0] (11/24 et^2 - 1/24 e(12k+11)t^2)/(- et/2 ) + o(t)
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
327:１３２人目の素数さん
25/09/11 17:47:00.90 FBPQUfKr.net
【整数問題】
何も書かれていない10cmものさしがある。
3箇所にだけ目盛りを振って、1cm～10cmまでの全整数を測れるようにしたい。
これが不可能なことを示せ。
ヒントとして問題を言い換えると、
a+b+c+d=10としたとき、
{a,b,c,d,a+b,b+c,c+d,a+b+c,b+c+d,a+b+c+d}の10個の値が被ることなく1～10の整数になるような
a,b,c,dが存在しないことを証明せよ。