25/04/16 00:27:48.98 P28xgXfN.net
ニュートンの恒等式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
e_k(x_1, ..., x_n)をx_1, ..., x_nのk次の基本対称式、p_kをx_1, ..., x_nのk乗和とする。つまり、
e_0 = 1
e_k = Σ_{1≤i1<...<ik≤n} x_{i1} ... x_{ik} (k = 1, ..., n)
p_k = (x_1)^k + ... + (x_n)^k。
このとき、
ke_k = Σ_{i=1}^{k} (-1)^{i-1} e_{k-i} p_i。
x_1, ..., x_nをn次正方行列Aの固有値とすると、p_k = tr(A^k)
なので、帰納法よりe_kはぜんぶAの成分の多項式で書けることが分かる
3:１３２人目の素数さん
25/04/16 00:29:09.78 gblACL9B.net
det( xI - A ) なんだからあったりまえやん
4:１３２人目の素数さん
25/04/16 05:21:37.65 VwL9tavP.net
>>1
単発質問禁止
5:１３２人目の素数さん
25/04/16 11:47:57.11 0lX9btpV.net
>>3
具体的に
6:１３２人目の素数さん
25/04/16 18:35:50.19 sgEksmoX.net
Q. (n次正方)行列Aの特性多項式の係数は、det(A)(定数項)とtr(A)(n-1次の項)以外も行列Aの成分で書けるの？
A.はい
まず特性多項式は、det( xI - A ) なので、
detを定義式通りに計算すれば、各係数は必ず求まるし
当然Aの成分以外のものは出て来ようがありません
まあ、線形代数を理解していればdetを定義式で計算する馬鹿はいないでしょう
nが大きくなれば手数が膨大になり現実的でないからです
基本変換で階段化すれば対角要素を掛けることでdetは求まります
この方法で特性多項式が計算できることは
例えば堀田良之「加群十話」にも書かれてます
さらに
１．特性多項式の根は固有値であり、したがって特性多項式の係数は固有値の基本対称式である
２．Aのｎ乗のtrは、Aの固有値のｎ乗和である
３．基本対称式は、べき和対称式を使って表すことができる
という３つの事実を知っていれば、特性多項式の係数をAとそのべき乗のtrを使って表せると分かります
これで1の質問に完璧に答えたのでこのスレッドは終了しました
さいなら さいなら さいなら
7:１３２人目の素数さん
25/04/16 18:56:43.02 5HZYvw+j.net
>>6
答えを出すことが目的化していては、学問をしているとは言わないよ
8:１３２人目の素数さん
25/04/16 19:19:26.03 sgEksmoX.net
>>7
自己批判大変結構
9:１３２人目の素数さん
25/04/16 23:35:50.50 b/WcLcOc.net
なんでdetとtrは現れるのに、それ以外は数学に現れないの？
10:１３２人目の素数さん
25/04/17 00:36:20.19 cKRhmuHd.net
統計とか微分幾何とかでは暗に出てくるような
だいたいtr(A^n)の形の方だけど
11:死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ
25/04/17 04:16:48.79 PjFThsjA.net
可能性がないなら根回しでもして可能性を作り出せばいい。よって答えはイエス。今すぐにということもない。
12:１３２人目の素数さん
25/04/17 04:31:33.46 3iTMDDvx.net
>>9
detもtrで表せる