25/03/14 00:25:23.08 NgRqq9QH.net
n→∞のとき収束するa[0]の範囲と収束値
2:１３２人目の素数さん
25/03/14 05:58:36.60 6gWdpVVC.net
>>1
tannpatu situmonn kinnsi
3:１３２人目の素数さん
25/03/14 06:00:10.78 clALoHwM.net
収束しないし、途中で0以下になるから定義されない
4:１３２人目の素数さん
25/03/14 11:10:42.62 9xcOtfE/.net
じゃあ、a[n+1] = |log(a[n])| ならどうだ？
5:１３２人目の素数さん
25/03/14 11:13:41.69 9xcOtfE/.net
a ≠ 1, e, e^e, e^e^e, ...として
6:１３２人目の素数さん
25/03/14 15:17:21.19 jXNmspFP.net
a[n+1] = exp(-a[n])ならどうだ
7:１３２人目の素数さん
25/03/16 10:39:34.75 3YgDc4OH.net
>>6
f(x) = x - exp(-x)とする
fは連続
f(0) = -1 < 0
f(1) = 1 - exp(-1) > 1 - exp(0) = 0
なので、中間値の定理からf(x) = 0となるxが、0 < x < 1に存在する
f'(x) = 1 + exp(-x) > 0なので、fは単調
よって、そのようなxは一意であるので、αとおく
8:１３２人目の素数さん
25/03/16 18:02:32.56 ZqM6tUND.net
a[0]が何であっても、a[1] = exp(-a[0]) > 0。
0 < a[2] = exp(-a[1]) < exp(0) = 1。
exp(-1) < a[3] < exp(0) =1。
exp(-1) < a[4] < exp(-exp(-1))
exp(-exp(-exp(-1))) < a[5] < exp(-exp(-1))
exp(-exp(-exp(-1))) < a[5] < exp(-exp(-exp(-exp(-1))))
...
この両端がαに収束することを示す
9:１３２人目の素数さん
25/03/16 18:52:35.83 z8EUzOgo.net
b[0] = 0
b[n+1] = exp(-b[n])とすると
b[0] < a[1]
b[0] < a[2] < b[1]
b[2] < a[3] < b[1]
b[2] < a[4] < b[3]
b[4] < a[5] < b[3]
b[4] < a[6] < b[5]
...
0 ≤ b[n] ≤ 1
10:１３２人目の素数さん
25/03/17 07:51:59.46 oDixEXRB.net
b[2n] =: c[n]
b[2n+1] =: d[n]
c[n], d[n]がαに収束することを示す
11:１３２人目の素数さん
25/03/17 08:18:02.14 J09AwvDX.net
g(x) = x - exp(-exp(-x))を考える
gは単調で、g(α) = 0。
x > αなら、g(x) > 0.
exp(-x) < exp(-α) = α
∴ exp(-exp(-x)) > α
x < αなら、g(x) < 0、
exp(-exp(-x))) < α
よって、c[n], d[n]は有界単調なので収束する。極限はα。
よって、a[n]もαに収束する。