25/02/10 10:28:17.27 70QGC2bh.net
求積法と射影。
長年の経験から、すべての数学の証明は、この二種類しかないと気づいた。
以下に簡単な例を示そう。
2:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:29:14.44 70QGC2bh.net
ふたつの問題を考える。
(1) ∀n∈ℕ, P(n)
where P(n): Σ_{k: 1..n} k = n(n + 1)/2.
(2) ∀x, y∈ℤ, ￢Q(x, y)
where Q(x, y): x^2 - 3y^2 = 2.
3:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:30:34.33 70QGC2bh.net
(1)を確かめるには、各々の自然数n = 1, 2, ... に対して、P(n)が真であることを見ればよい。
実際、n = 1, 2, ... を代入してみると、どのnに対してもP(n)は正しいことが分かる。
しかし、自然数は無限に存在するから、この方法で(1)を証明するのは不可能だ。無限を一度に扱う方法が必要になる。
ここでは、数学的帰納法を使うことで、この問題を克服できる。つまり、
・P(1)が正しいこと
・任意のk≧1に対してP(k)⇒P(k + 1)
を示せば、すべての自然数nに対してP(n)を示したことになる。
4:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:31:56.23 70QGC2bh.net
具体的な自然数n = 1, 2, ... を当てはめる方法では、(1)の部分的な解は得られるが、完全な解は得られない。これは云わば「近似解」だ。
そして、数学的帰納法を使うことで、無限にあるnを有限のプロセスですべて扱うことが出来る。つまり、「厳密解」を得ることができる。
微分方程式のアナロジーで、前者を「数値解法」、後者を「求積法」と呼びたい。
云うならば数学的帰納法とは、近似解P(1)∧P(2)∧ ...∧P(n)の証明をn→∞としたもの、というわけだ。
5:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:33:18.74 70QGC2bh.net
続いて(2)を考える。
(2)も、具体的な整数x, yを代入してみると、この方程式をみたさないことが分かる。
しかし、(1)と同様、やはり整数は無限にあるから、この方法では(2)を証明することはできない。
しかし、この問題は式の両辺のmod 3を取ることで、前と同様に無限を回避できる。
すなわち、x^2 - 3y^2 ≡ x^2 ≡ 2 (mod 3)となるxは存在しないため、(2)をみたすx, yも存在しないことが分かる。
6:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:35:09.24 70QGC2bh.net
mod 3を取った形式は、問題(2)の一部に過ぎない。
しかし、その一部が、この問題の本質的な部分を、解きやすい形で含んでいたのである。
この手法を「射影」と名付けたい。
全体を見るよりも影を見ること、そして影の投影の仕方が重要なことが、しばしばある。
あたかも、物質を直接見るかわりに、光線を当てて映し出された影を見るようなものだ。
7:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:35:52.06 70QGC2bh.net
まとめると、
求積法……有限のプロセスで厳密解を得る方法。ある種の極限。
射影……問題をその部分構造に投影することで、単純な問題に還元する方法。
数学の証明というのは、この二種類しかない。
以下、いくつか例を見よう。
8:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:38:08.92 70QGC2bh.net
たとえば、実数の連続性を使う命題。これは全部求積法だ。
上限性質、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理、中間値の定理などはすべて、極限を扱うものだからだ。
より一般に、すべての○○に対して、適当な✕✕が存在するというのは、全部求積法だ。
数学的帰納法も「任意の空でない自然数の部分集合は、最小値を持つ」という命題と同値だ。
線形写像が基底の行き先だけで決まるのも、求積法だ。
無限個の元の対応が、有限個だけで決まるからだ。
代数に現れる普遍性もすべて求積法だ。
たとえば、テンソル積、射影極限、帰納極限などはすべて求積法だ。
これらの性質も、すべての図式に対して射が存在する、という定理だからだ。
9:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:40:24.61 eKDK+iG2.net
位相空間や代数系の不変量はすべて射影だ。
たとえば、群の位数や可解性、位相空間の基本群やホモロジー群は射影だ。
問題の対象のかわりに、別の対象との関係を考えることがある。
たとえば、商空間や被覆空間を考えたり、多様体のベクトル束を考えたりする。これらも射影だ。
群から対称群や巡回群への準同型を考えたり、類等式を考えたり、群の指標を考えるのも射影だ。
もちろん、整数をmodで考えるのも射影だ。
ただし、不変量は射影だが、不変量の存在を言うのは求積法だ。
たとえば、線形写像のジョルダン標準形を考えるのは射影だが、ジョルダン標準形の存在証明は求積法だ。
だがまあ、これは数学の定義じゃなくて単なる解釈なので、厳密になる必要はない。
10:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:43:57.69 eKDK+iG2.net
問題によっては、そんな発想がどこから出てきたのか分からないものがある。しかし、それらもたいていこの二つなのだ。
たとえば、巧妙な変数変換などは、背後に不変量がからんでいることが多い。
たとえば、三角関数の積分がt = tan(θ/2)と置換すると有理関数の積分に帰着できるのは、
円周(x, y) = (cosθ, sinθ)が有理曲線で、(x, y) = ((1 - t^2)/(1 + t^2), 2t/(1 + t^2))とパラメータ付けできるからだ。
フェルマーやオイラーの数論の研究における巧妙な式変形も、楕円曲線の群構造が背後にある。
もし、証明の巧妙な部分の背景が分からないのであれば、それは未だ適切な抽象化がされていないということだ。
研究のチャンスである。
11:１３２人目の素数さん
25/02/10 10:46:15.56 eKDK+iG2.net
この二つを意識してから、数学書が以前よりも早く読めるようになった。
難しい証明というのは、要はこの二つのどちらかを使っているのだ。
だから、証明の非自明な部分がどこで、それを示すために何を使ったのかが分かれば、証明はスッと頭に入ってくる。
河東先生の「セミナーの準備のしかた」のような勉強もできるようになった。
証明を見ずに再現するのは難しいが、難しい部分というのは、たいていこの二つのどちらかをやっているのだ。
だから、その部分さえ理解してしまえば、残りは定義や仮定の自明な変形をしているだけで、何も覚える必要はない。
問題を解くときも同じである。
簡単な問題は定義や条件をいじくっていれば解ける。それで解けない問題というのは、たいていこの二つのどちらかが必要なのだ。
それが分かったら、いったん単純な式変形はやめて、頭を切り替えればいい。
12:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:36:35.97 KfD5zpkC.net
馬鹿乙
13:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:45:07.35 mnAQ+1C/.net
これはまあ正しいな
結局難しいのは初等幾何なら補助線みつけるところだけ
あとは定義の言い換え
14:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:46:15.21 KfD5zpkC.net
すべては圏と射で記述できる
15:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:55:32.71 KfD5zpkC.net
この論点の最大の欠点は一意解があるとするところ
16:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:57:19.69 KfD5zpkC.net
ハイ論破
17:１３２人目の素数さん
25/02/10 11:58:08.17 mgSV6PzR.net
圏論では普遍性と随伴は同じ
つまりそのふたつは結局どちらも普遍性ということになる
18:１３２人目の素数さん
25/02/10 12:04:54.21 KGyYLzSR.net
つまり解法暗記が正しいってことか？
19:１３２人目の素数さん
25/02/10 12:58:28.88 xkWUOfNY.net
馬鹿に刃物
キチガイ老人にインターネット
20:１３２人目の素数さん
25/02/10 13:20:25.70 Azfrowku.net
結局、証明の非自明なところはすべて圏論で非自明なところってこと
圏論をやれば数学を俯瞰的に見られる
21:１３２人目の素数さん
25/02/10 14:32:12.50 KfD5zpkC.net
>>15は>>1へのレスね
22:１３２人目の素数さん
25/02/10 14:34:58.25 nLfRqfML.net
>>13
補助線は随伴か
23:１３２人目の素数さん
25/02/10 14:38:19.45 KfD5zpkC.net
ポエムの割に意外と伸びないな
24:１３２人目の素数さん
25/02/10 15:06:18.65 y1/7rqIv.net
ツッコミどころがないからな
ネットあまのじゃくを釣るには、わざと間違ったことを書かないと
カニンガムの法則
25:１３２人目の素数さん
25/02/10 17:57:33.48 KfD5zpkC.net
求積法と射影でお話を作りました〇
26:１３２人目の素数さん
25/02/10 17:59:36.64 KfD5zpkC.net
カニンガムの法則は「インターネット上で正しい答えを得る最良の方法は質問することではなく、間違っている答えを書くことである。」という法則である。
このコンセプトはwikiソフトウェアの発明者であるWard Cunningham（ウォード・カニンガム）にちなんで名付けられました。この法則を提唱したSteven McGeady（スティーブン・マクギーディ）によれば、Wikipediaはこの法則の一番有名な実例かもしれない。
27:１３２人目の素数さん
25/02/10 18:00:37.25 KfD5zpkC.net
メモメモ
28:１３２人目の素数さん
25/02/10 19:21:13.98 gtrG/Hsh.net
CからA∧Bを証明するには、Cを仮定してAの証明とBの証明を得ればいい
A∨BからCを証明するには、Aを仮定したCの証明とBを仮定したCの証明を得ればいい
これらには双対性があり、本質的に同一である
これは、論理回路がNANDだけから作れることと対応している
29:１３２人目の素数さん
25/02/10 20:46:41.69 BvUvA7OF.net
∀n∈ℕ, P(n)は、P(1)∧P(2)∧...で
これは結局、
(n = 1)∨(n = 2)∨... ⇒ P(n)
で、左辺が
(n = 1)∨(∃k∈ℕ, n = k + 1)
にできるというのが、自然数の定義だからな
30:１３２人目の素数さん
25/02/10 20:54:03.00 5Hhwoh2w.net
なんで⇒の右辺にあるPが、左辺にくるのか疑問に思ったが
これも米田埋め込みか
31:１３２人目の素数さん
25/02/10 21:12:45.98 s+BwhYmn.net
>>29
(n = 1)∨(∃n∈ℕ, n = k + 1)だとn∈ℕと同値にならない
ℕをℤに変えても成り立つ
32:１３２人目の素数さん
25/02/10 22:18:51.51 NWVNyZRq.net
双対だらけで射の方向狂いまくってワケわからん
33:１３２人目の素数さん
25/02/10 22:25:20.15 E27uZqV+.net
>>31
そやね
Nがその規則だけから帰納的に定義されることと、勝手な集合Kが(1∈K)∧(n∈K⇒n + 1∈K)をみたすことは別やね
34:１３２人目の素数さん
25/02/11 22:33:44.85 PW3vt9zG.net
そういうものの中で最小のもの
もし部分集合がそれを満たしたら、全体と一致する
35:１３２人目の素数さん
25/02/12 06:39:52.94 4rLHLa5M.net
1の階乗は1、2の階乗は2、3の階乗は6。─①
さて、0の階乗は幾つなるか❓
①をラグランジュの２次補間という数値解析したら
0の階乗は3になっちゃった。─②
ま、チミ達地球人は、それは1だとか0だとか
ま、多分1としてる地球人も多そうだが、
②より、0の階乗は3と定義しなさーーーい by 🥳👾
36:１３２人目の素数さん
25/02/14 10:32:28.69 YqFfriB4.net
実際、厳密に成り立つことの証明を、部分的な証明の極限として定式化できるの？
37:１３２人目の素数さん
25/02/17 17:15:10.44 A5w6CqNU.net
P⇒Qと￢P∨Qが同じなのと、Hom(V, W)とV*⊗Wが同じなのは、関係ある？
38:１３２人目の素数さん
25/02/17 18:02:12.05 gL8gTTiK.net
めちゃくちゃある
URLﾘﾝｸ(ncatlab.org)
のimplicationとinternal homを参照
39:１３２人目の素数さん
25/02/19 19:41:20.34 mfLHNa8X.net
数列の極限におけるn→∞としたら1/nは0に置き換えればいい、みたいなのが特殊で、本来極限ってのは存在命題なんだな
40:１３２人目の素数さん
25/03/01 01:55:18.29 a3dnhqXh.net
全ての論理や言葉は最低2つの区別される記号があれば記述できる。たとえば0と1を使う。
41:１３２人目の素数さん
25/03/01 02:47:57.97 1TiVF0bn.net
高々可算だから1個あれば十分
すべての論理式に個数を割り当てる
42:１３２人目の素数さん
25/03/01 03:19:11.56 hf0tGx0b.net
>>41
一つの実数
チャイティンのオメガにだいたい数学的オラクルを閉じ込められる
43:１３２人目の素数さん
25/03/14 00:10:07.37 KN0JW79M.net
たった1つのある実数が、すべての素数の分布を知っている。
44:１３２人目の素数さん
25/03/15 06:18:25.22 6DAD9f2p.net
>>43
頭悪そう？
45:１３２人目の素数さん
25/03/16 22:57:10.01 QVWGD0uD.net
ある実数φは、0より大きく1より小さくて、2進表現したときに
小数点以下第ｋ桁目が、ｋが素数ならば1、ｋが合成数なら0であるような数である。
この数φは存在する。φがあれば自然数ｍが素数であるかどうかはφの小数点以下
第ｍ桁目が1であるかどうかによってわかる。
46:１３２人目の素数さん
25/03/19 05:39:13.09 TUQ0Umei.net
存在はするだろうけどだからなんだ?って感じ
結局大した主張じゃないね
深遠なことを書こうとしてから回ってるね
47:１３２人目の素数さん
25/03/19 11:09:06.73 OBVdUYG1.net
>>46
お前と一緒だな
48:１３２人目の素数さん
25/03/20 20:08:32.96 K1A97tlx.net
あら
論破されて悔しかったのかな？
49:１３２人目の素数さん
25/06/22 22:19:53.28 2CwzH8ni.net
将来は、ChatGPTのようなLLMに、岩波数学事典のような
ものを出力させることが出来るようになるのかな。
毎年新版（PDF版、WEB版）が無料でリリース
されたりなど。
あるいは、シリーズものの数学講座で各分野の
内容がぎっちり詰まった教科書のPDF版、WEB版が
無料で毎年更新されて出るとか。
そういう世の中になったらどういうことになるかな。
また、個人相手に数学の講義・レッスンをして
くれるAIが（小中高大、大学院レベルまで）
無料で使えたりなど。