25/02/09 21:33:30.28 gQlkzQE2.net
G = {g1, g2, g3, g4}
2:１３２人目の素数さん
25/02/09 21:35:27.78 gQlkzQE2.net
gi * gj = g_k
とすると、この対応(i, j) → kの決め方の総数は、4^3 = 64通り
これらをすべて調べればよい
3:１３２人目の素数さん
25/02/09 21:43:15.40 gQlkzQE2.net
これをすべて調べるのはしんどいから
群の性質から組み合わせの数を減らしたい
まず、Gには単位元が存在する
g1が単位元だとしてよい
g1 * gi = gi * g1 = gi
だから、(1, i) → i, (i, 1) → i
(i, j)の両方とも1じゃないのは9通りなので
(i, j)のどちらか一方が1なのは7通り
なので、調べるべきパターンは9 * 4 + 7 * 1 = 43通りまで減る
4:１３２人目の素数さん
25/02/09 21:54:15.14 CCqek7d7.net
続いて、各giには逆元が存在するから、
対応(i, j) → kは片方の成分を固定したとき、全単射になる
5:１３２人目の素数さん
25/02/09 23:11:58.69 efhXej1h.net
演算表をぐちゃぐちゃこねまわして遊ぶのもいいけど、ちっとは群について勉強すれば
6:１３２人目の素数さん
25/02/10 00:29:50.46 p1MUz8Sx.net
Gの単位元ではない元gをとる。
gで生成される部分群<g>を考える。nを<g>の位数とする。
Gの位数は4なので、nは1, 2, 4のいずれかである。
gは単位元ではないので、nは1ではない。よって、g = 2 or 4である。
g = 4のとき、<g> = Gとなり、Gはアーベル群である。
g = 2とする。
このとき、<g> = {e, g}, g^2 = eであり、f∈G\<g>を用いて、
G = <g> ∪ f<g> = {e, g} ∪ {f, fg} (∪は無縁和)と書ける。
a, b∈<g>なら、ab = ba.
a or b = eなら、ab = ba.
gf∉<g>, gf ≠ fなので、gf = fg.
g(fg) = (gf)g = (fg)g.
f(fg) = f(gf) = (fg)f.
よって、任意のa, b∈Gに対して、ab = ba.
7:１３２人目の素数さん
25/02/10 02:26:36.12 YAf790+e.net
位数4の元があれば巡回群だし
位数4の元がなければ位数1(単位元)か位数2、どちらもx^(-1)=xだからxy=(xy)^(-1)=yxで可換