25/02/15 22:51:18.48 tNB6oeTf.net
>>966 自己レス
>、選択関数を元として持つ集合を持ち出した時点で
勘違いしていたが、Aの定義からはAに選択関数が属しているとは言えないな。
証明が正しいことが理解できた。
1047:１３２人目の素数さん
25/02/16 09:52:53.59 XssMUT1p.net
>>982
>Q 行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ
いい問題 このくらい 即答してほしいね
1048:１３２人目の素数さん
25/02/16 15:30:07.43 189U+xhH.net
一所懸命検索中
1049:１３２人目の素数さん
25/02/16 16:03:41.05 XssMUT1p.net
時間切れ
AとBが対等 ≡ ある正則行列P,Qが存在しB＝QAP
AとBが相似 ≡ ある正則行列P が存在しB＝P^(-1)AP
相似であれば対等だが、逆は正しくない
AとBが対等な場合の不変量 階数rank
AとBが相似な場合の不変量 階数rank，行列式det，トレースtr
固有多項式（およびその根である固有値）、最小多項式※
※固有値が等しくても、最小多項式が異なる場合、相似でない
1050:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:02:36.00 XssMUT1p.net
一般次数の n次正方行列についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
1051:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:04:06.19 XssMUT1p.net
A の固有多項式を pA(t)=det(tIn－A), 固有値を λ1, …, λn とする。
pA(t)=(t－λ1)⋯(t－λn)
1052:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:10:01.28 XssMUT1p.net
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ：
pA(A)=(A－λ1I)⋯(A－λnI)=(PBP^－1－λ1I)⋯(PBP^－1－λnI)=P{(B－λ1I)⋯(B－λnI)}P^－1⋯(1)
ここで
pB(B)=(B－λ1I)⋯(B－λnI)
を計算する。
1053:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:13:06.07 XssMUT1p.net
Ck:=B-λkI (k=1,2,…,n)とおく。
Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。
C1C2を計算すると、第2列までは成分が全て 0 になる。
同様にして、帰納的に、Ckを掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。
これを n番目まで繰り返すことにより
C1…Cn=O
1054:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:14:04.78 XssMUT1p.net
故に (1) は
P(C1⋯Cn)P^－1=O
（証明終）
1055:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:16:37.05 XssMUT1p.net
n次正方行列の固有多項式において、
i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n － i)次基本対称式に等しい。
特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえ
A の行列式 detA に等しい。
1056:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:20:13.25 XssMUT1p.net
ニュートンの公式（英語版）を用いると、基本対称式は冪和対称式で書き表せるから、
上記の ci は固有値の冪和対称式
sk=(i=1～n)λi^k
たちで表されると分かるが、
sk=Σ(i=1～n)λi^k=tr(A^k)
である。
したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。
特に c(n-1)=tr(A) である。
1057:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:21:09.10 XssMUT1p.net
ケイリー・ハミルトンの定理により、
一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、
その逆行列 A－1 は A の n － 1次以下の行列多項式で表せる。
1058:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:22:28.92 XssMUT1p.net
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ
（最も とは限らないが）関係を記述するものであるから、
それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、
式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を
直接計算することなく値を評価することができるようになる。
1059:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:24:18.53 XssMUT1p.net
ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、
ある種の剰余の定理：f(A)=r(A)が成り立つ。
ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに
n 次以下の行列多項式として書き表される。
1060:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:36:57.38 XssMUT1p.net
f(A)=e^At
(A
=(0 1)
(－1 0))
を考える。
1061:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:37:25.78 XssMUT1p.net
A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。
1062:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:38:40.05 XssMUT1p.net
固有値における値に関する連立方程式
e^ it = c0 + ic1
e^－it = c0 － ic1
を解いて、
c0 = (e^it + e^－it)/2 = cos(t)
c1 = (e^it － e^－it)/2i = sin(t)
を得る。
1063:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:40:46.96 XssMUT1p.net
この場合の
e^At=(cos t)I2+(sin t)A
=
(cost sint)
(－sint cost)
は回転行列である。
1064:１３２人目の素数さん
25/02/16 21:41:43.81 XssMUT1p.net
完
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