25/07/27 10:05:52.17 egri6DUI.net
微分可能多様体では各点における接空間が基本的で重要
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類
多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M
80:１３２人目の素数さん
25/07/27 11:31:56.77 egri6DUI.net
(1) M=Rⁿの時、TMは積多様体Rⁿ×Rⁿと同一視出来る
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる
81:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:23:51.14 xscbMIIo.net
n次元実ベクトルバンドルξ=(E, π, M)
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル
Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す
コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る
ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める
82:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:39:13.06 xscbMIIo.net
ベクトルバンドルπ: E→Mに対して
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場
83:１３２人目の素数さん
25/07/29 01:38:57.07 DdD2J7E9.net
一点上のベクトル束って何になるの？
84:１３２人目の素数さん
25/07/29 02:58:41.00 UneUSwqp.net
包茎には無理だよ
こほもろじーでもやってな
85:１３２人目の素数さん
25/07/29 12:43:31.69 DdD2J7E9.net
一点上のK理論を考えよ
86:１３２人目の素数さん
25/08/11 18:08:16.79 NiWtmzU4.net
物理法則に幾何学的根拠を与える
87:１３２人目の素数さん
25/08/16 06:34:26.27 Y/oq8rzJ.net
特性類
88:１３２人目の素数さん
25/09/03 07:12:56.48 ZVqFBZ0m.net
幾何構造の表現のためにはリー環などが必要
89:１３２人目の素数さん
25/09/03 13:21:20.03 mptkWntM.net
節子「なんでベクトル束すぐねじれてしまうん？」
君が清太なら、妹になんて説明する？
90:１３２人目の素数さん
25/09/10 06:55:04.45 Z5uO3CEl.net
Pingali論文の解題
91:１３２人目の素数さん
25/09/13 09:59:07.57 sEZjaMYu.net
曲がっていることをアピールしたいから
92:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:07:46.12 kEVkV264.net
>>91
>曲がっていることをアピールしたいから
誰がアピールしたいの？ベクトル束自身が？それともそれを見つけた数学者が？
93:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:22:00.18 sEZjaMYu.net
深奥の輝きが
94:１３２人目の素数さん
25/09/17 06:07:21.64 rFrhtdKD.net
無用の用
95:１３２人目の素数さん
25/09/17 17:22:35.26 DfAheodB.net
これが馬鹿だって事はこの板総崩れなんだがwwww 意味分かる？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
96:１３２人目の素数さん
25/09/17 20:27:30.21 rFrhtdKD.net
変なリンク
97:１３２人目の素数さん
25/09/17 22:51:53.61 LDnvvuW3.net
ベクトル？ChatGPTに聞いてみ？
超高次元世界に彼の疑似意識が宿っている世界だから
98:１３２人目の素数さん
25/09/23 06:25:23.76 d31sJAVw.net
3次曲線が楕円曲線であることを発見したのは
ワイルズだと答えてきた
99:１３２人目の素数さん
25/09/27 17:04:27.31 0ayz0qNU.net
曲率の正値性の理解