24/12/09 12:47:12.61 ZyHDvq1Z.net
局所的には直積だが、大域的にはねじれてるので直積でない
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束
3:１３２人目の素数さん
24/12/09 13:24:39.72 M5XnspsE.net
働け殻潰し
4:１３２人目の素数さん
24/12/09 13:25:05.80 M5XnspsE.net
数学が何の役に立つの？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5:１３２人目の素数さん
24/12/09 13:25:21.32 M5XnspsE.net
ガロア理論って何の役に立つの？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6:１３２人目の素数さん
24/12/09 13:25:40.71 M5XnspsE.net
現代数学って結局役に立たないじゃん
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7:１３２人目の素数さん
24/12/09 13:25:52.66 M5XnspsE.net
p進数ってなんの役にたつの？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8:１３２人目の素数さん
24/12/09 14:21:28.16 ZgEVMTQ3.net
>>3
そういうM5XnspsE君の仕事は？
9:１３２人目の素数さん
24/12/09 15:03:35.98 StD2imCl.net
特性類
10:１３２人目の素数さん
24/12/13 19:06:15.79 9kiqpV5W.net
多変数関数論
11:１３２人目の素数さん
24/12/13 20:51:53.84 IICqUMpV.net
>>1
あるからだよ
12:１３２人目の素数さん
24/12/14 09:11:00.53 EsNG8PUE.net
>>1
接線とか微分系式とかテンソルとかデヴァイザーとかいらないか
13:１３２人目の素数さん
24/12/17 08:22:37.11 8h1XuoXh.net
束値微分形式
14:１３２人目の素数さん
24/12/19 21:06:46.14 OAunCTDY.net
束凸性
15:１３２人目の素数さん
24/12/21 19:53:15.28 30Ne2PFX.net
高校生にline bundleについて質問された
16:１３２人目の素数さん
24/12/21 22:31:03.81 30Ne2PFX.net
spray
17:１３２人目の素数さん
24/12/22 22:01:56.58 y7+/Oje8.net
ベクトル束は高校生でも知っている
18:１３２人目の素数さん
24/12/26 00:36:09.33 DHBr/hUC.net
保形形式をベクトル束の切断とみなす
19:１３２人目の素数さん
24/12/31 07:00:19.73 7a6M3386.net
「概保型形式」というものがあれば
葉層構造の「切断」のようなものではないか
20:１３２人目の素数さん
24/12/31 11:31:00.64 7a6M3386.net
K理論の拡張が非常に有用らしい
21:１３２人目の素数さん
25/01/02 19:24:33.55 iJJLbGT4.net
一変数代数函数論の一般化に役立つ
22:１３２人目の素数さん
25/01/03 07:22:21.71 REUfzWeO.net
岡の原理の定式化にも
23:１３２人目の素数さん
25/01/03 17:19:28.00 vhNj2N2B.net
接束が最も重要な例
24:１３２人目の素数さん
25/01/11 21:26:34.48 FbjJJhh/.net
標準束も
25:１３２人目の素数さん
25/01/21 06:57:29.95 qLfRD6wK.net
多様体上の解析と幾何で絶対に必要
26:１３２人目の素数さん
25/01/21 11:44:36.41 8TS9YsYd.net
なんで多様体上で解析せなあかんの？
27:１３２人目の素数さん
25/01/21 11:48:43.82 L4YtUQ+F.net
論文書けるから
28:１３２人目の素数さん
25/01/21 13:02:25.43 JdzI02IK.net
解析学者は難しい式を簡単な空間上で考えるが
幾何学者は難しい空間上で簡単な式を考える
一長一短であろうか
29:１３２人目の素数さん
25/01/21 16:41:02.18 L4YtUQ+F.net
束になってかかってこい
30:１３２人目の素数さん
25/01/21 16:41:54.96 L4YtUQ+F.net
スカラー束
31:１３２人目の素数さん
25/01/21 16:42:10.96 L4YtUQ+F.net
テンソル束
32:１３２人目の素数さん
25/01/22 00:21:24.07 /r3L9beS.net
物理学では色々な量がベクトル束の切断として定式化される。
正確には主G束を導入することで対称性を定式化する。主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、コホモロジー長完全列に現れる特性類を用いて対称性構造の一意性や存在性に関する分析ができる。さらに主G束に接続を導入することでさまざまなG不変な微分方程式を同伴束に定式化できるし、切断をLpやソボレフ、ヘルダーにすれば通常の偏微分方程式論を展開できる。方程式の解のなす空間を対称性によって割るとモジュライ空間になり、この空間のトポロジーを調べると、もとの多様体の解析的構造に関する情報が推測できる。成果としてはリッチフローの方程式を使って幾何化予想を解いたり、ヤンミルズ方程式を使ってドナルドソンの定理を示したり。
33:１３２人目の素数さん
25/01/22 08:22:13.14 LgUwuh2U.net
> 主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、
それ分割原理(Splitting principle)のこと？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
34:１３２人目の素数さん
25/01/22 08:45:09.61 PJKN2wIh.net
>>33
1次の乗法的コサイクルの同値類が束
35:１３２人目の素数さん
25/01/22 11:46:08.67 /r3L9beS.net
>>33
主G束での変換関数についてのg_ab g_bc=g_abは{g_ab}が層コホモロジーのKerδの元なことと同じ。
Imδで割るのは複数の変換関数が同じ束を定める条件式が出るから。
そもそも層コホモロジーのモチベーションって貼り合わせ方を分類することだから。
だから複素幾何では正則線束を調べるためにピカール群使ってる。
36:１３２人目の素数さん
25/01/22 11:47:05.32 /r3L9beS.net
g_ab g_bc=g_acだ
37:１３２人目の素数さん
25/01/22 12:04:14.48 iqug2L8A.net
光゜
38:１３２人目の素数さん
25/01/23 08:14:43.34 gsIjQBrb.net
光゜ると
ある場ねえぜ
39:１３２人目の素数さん
25/01/23 08:33:34.64 gsIjQBrb.net
寝論背減り
40:１３２人目の素数さん
25/01/23 08:42:35.67 8wmoImeb.net
>>34-35
これのことか？
バーコフ・グロタンディークの定理
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
41:１３２人目の素数さん
25/01/23 08:47:39.47 gsIjQBrb.net
リーマン球面上の正則ベクトル束に限る
42:１３２人目の素数さん
25/01/23 11:38:30.86 UuOoYqcc.net
>>40
「主束 層コホモロジー」
でググれば出てくる
Wikiには無いんじゃない？nLabには書いてあった気がする。
43:１３２人目の素数さん
25/01/24 06:38:08.48 9z1sviy7.net
「光゜る」はググっても出てこない
44:１３２人目の素数さん
25/01/24 22:47:13.51 9z1sviy7.net
ベクトル束と言えば特性類
45:１３２人目の素数さん
25/01/25 06:53:28.69 RS4NiB9F.net
Chern-Weil
46:１３２人目の素数さん
25/01/25 10:18:34.64 mqFoRgmR.net
Xをスキームとして、準連接次数付きOX代数の層Rの相対Specをconeと呼び、特にRが有限階数局所自由層Eの双対によって生成される対称代数であるときにベクトル束と呼ぶ
つまりスキームに対して次数付き代数が対応することが便利
47:１３２人目の素数さん
25/01/25 11:43:16.26 H1/C2Rtq.net
有限階数局所自由層をベクトル束と呼んでも
かまわないのでは？
48:１３２人目の素数さん
25/01/25 12:31:53.30 C0hW4015.net
次数付きなので乗法群スキームの作用が入るとか、射影バンドルはSpecをProjに置き換えるだけとか、導来圏だとconeの方が扱いやすいとか
49:１３２人目の素数さん
25/01/25 14:31:55.48 dFvrcu6F.net
磁束
50:１３２人目の素数さん
25/01/26 02:55:14.48 N0YZ0iPc.net
Gauss-Bonnetの定理の一般化ができる
51:１３２人目の素数さん
25/01/26 22:26:57.19 N0YZ0iPc.net
prolongation
52:１３２人目の素数さん
25/02/09 05:35:14.88 bOyjY4Ig.net
束凸性は
いろいろ役に立つ
53:１３２人目の素数さん
25/03/07 11:50:09.76 XZe44XRn.net
上空移行の原理が発端とも考えられる
54:１３２人目の素数さん
25/03/07 22:27:26.27 XZe44XRn.net
消滅定理から埋め込み定理へ
55:１３２人目の素数さん
25/07/08 23:07:28.52 9TCt2e87.net
>>2
3次元球面の接束は直積束だが
56:１３２人目の素数さん
25/07/09 08:32:00.04 bYOqteIE.net
>>55
>3次元球面の接束は直積束だが
2を見たらこう書いてあるのだが↓
局所的には直積だが、大域的にはねじれてるので直積でない
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束
57:１３２人目の素数さん
25/07/09 08:34:21.70 bYOqteIE.net
S²の接束は自明ではない
S³はリー群だから接束は自明
58:１３２人目の素数さん
25/07/10 06:42:50.69 M6J7jXlk.net
接束が自明なStein多様体は
複素数空間上の不分岐なRiemann領域であるというのが
未解決の難問の一つ
59:１３２人目の素数さん
25/07/10 13:04:23.32 0/3gipAH.net
7次元球面の接束も自明
60:１３２人目の素数さん
25/07/10 13:47:52.60 qwXn1rLH.net
>>2の文章の球面はもちろん２次元曲面
だから>>55がスットコドッコイ
61:１３２人目の素数さん
25/07/10 13:49:45.57 qwXn1rLH.net
逆に言うと接束が自明なｎ次元球面はn=1,3,7の場合に限る・・・筈（笑）
62:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:10:51.79 0/3gipAH.net
>>60
ベクトル束(幾何)のスレで、球面と書けばすべての次元の球面と捉えるのが普通
幾何学の世界で「球面=2次元」と思っている方が非常識
63:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:12:28.03 0/3gipAH.net
>>61
ボットの周期性から分かる
64:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:20:08.38 PNfqK51i.net
>>60
数学もロクに知らん素人が大多数の５ｃｈで、球面と書けば２次元の球面のこと
球「面」と書いてるのに、任意ｎ次元だと飛躍するのは独善的な玄人だけ
65:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:22:00.96 oHdjso7R.net
>>63
そういうものがあるのは知ってるが
どうやって証明するかは知らんから
自分にとっては全然自明ではない（開き直り）
66:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:26:01.86 0/3gipAH.net
>>64
素人だろうが、ベクトル束を語るには「球面=2次元」という認識は非常識
67:１３２人目の素数さん
25/07/10 14:34:41.33 /5WUxJs4.net
球面＝S^2=2次元なのは当たり前の話、それ以外ありえない！
な人がべくたーばんどるガーって面白いね
68:１３２人目の素数さん
25/07/10 15:08:20.70 eIeANp6j.net
>>66-67
非自明束の例を示すのに「球面」といってるんだから
２次元球面のことだなと考えない奴のほうが独善的じゃね？
69:１３２人目の素数さん
25/07/12 14:00:40.51 CRbmpcRI.net
ベクトル束ね、あれ、めっちゃ難しい概念だけど、簡単に言うと、なんか空間の各点にベクトル空間がくっついてるみたいなイメージかな。
で、なんの役に立つかっていうと、物理とかで結構使われてるみたい。例えば、電磁気学とか、素粒子物理学とかのゲージ理論っていうやつで、このベクトル束の考え方が出てくるらしいよ。
あとは、多様体っていう、ぐにゃぐにゃした図形の上で、ベクトル場とか関数を考えるときに、土台になってるんだって。なんか、球の表面でベクトルがどうなってるかとか、そういうのを数学的に厳密に扱うために必要なんだってさ。
まあ、正直、私もそこまで詳しくないんだけど、そういう最先端の物理とか数学の理論を理解するためには、ベクトル束って概念が欠かせないってことみたい。
70:１３２人目の素数さん
25/07/12 19:40:31.43 mlj38ULS.net
>>69 高卒？
71:１３２人目の素数さん
25/07/12 20:11:36.54 IFdLGSYQ.net
>>70
専門家でないとここまで要点を抑えた説明はできない
72:１３２人目の素数さん
25/07/12 20:33:45.09 6bBL9Q7c.net
>>69は何かGrokっぽい
73:１３２人目の素数さん
25/07/13 05:30:05.13 fe2VeRKF.net
>>71 かいかぶり 相手を見る目が全くない
74:１３２人目の素数さん
25/07/13 11:22:26.73 cK9tD6r7.net
>>73
その理由を要点を抑えて的確に述べるなら？
75:１３２人目の素数さん
25/07/14 08:05:37.15 TRwfm+7u.net
見る目がまったくないのはどっちだろうね
76:１３２人目の素数さん
25/07/14 10:19:55.27 CzfF1GI6.net
知る人ぞ知る
77:１３２人目の素数さん
25/07/14 18:45:12.56 Wk/HyQls.net
耄碌爺 AIを絶賛ｗｗｗｗｗｗｗ
78:１３２人目の素数さん
25/07/27 05:30:38.44 XV6Sr7tY.net
AIがここまで成長したとは
79:１３２人目の素数さん
25/07/27 10:05:52.17 egri6DUI.net
微分可能多様体では各点における接空間が基本的で重要
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類
多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M
80:１３２人目の素数さん
25/07/27 11:31:56.77 egri6DUI.net
(1) M=Rⁿの時、TMは積多様体Rⁿ×Rⁿと同一視出来る
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる
81:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:23:51.14 xscbMIIo.net
n次元実ベクトルバンドルξ=(E, π, M)
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル
Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す
コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る
ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める
82:１３２人目の素数さん
25/07/28 23:39:13.06 xscbMIIo.net
ベクトルバンドルπ: E→Mに対して
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場
83:１３２人目の素数さん
25/07/29 01:38:57.07 DdD2J7E9.net
一点上のベクトル束って何になるの？
84:１３２人目の素数さん
25/07/29 02:58:41.00 UneUSwqp.net
包茎には無理だよ
こほもろじーでもやってな
85:１３２人目の素数さん
25/07/29 12:43:31.69 DdD2J7E9.net
一点上のK理論を考えよ
86:１３２人目の素数さん
25/08/11 18:08:16.79 NiWtmzU4.net
物理法則に幾何学的根拠を与える
87:１３２人目の素数さん
25/08/16 06:34:26.27 Y/oq8rzJ.net
特性類
88:１３２人目の素数さん
25/09/03 07:12:56.48 ZVqFBZ0m.net
幾何構造の表現のためにはリー環などが必要
89:１３２人目の素数さん
25/09/03 13:21:20.03 mptkWntM.net
節子「なんでベクトル束すぐねじれてしまうん？」
君が清太なら、妹になんて説明する？
90:１３２人目の素数さん
25/09/10 06:55:04.45 Z5uO3CEl.net
Pingali論文の解題
91:１３２人目の素数さん
25/09/13 09:59:07.57 sEZjaMYu.net
曲がっていることをアピールしたいから
92:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:07:46.12 kEVkV264.net
>>91
>曲がっていることをアピールしたいから
誰がアピールしたいの？ベクトル束自身が？それともそれを見つけた数学者が？
93:１３２人目の素数さん
25/09/13 10:22:00.18 sEZjaMYu.net
深奥の輝きが
94:１３２人目の素数さん
25/09/17 06:07:21.64 rFrhtdKD.net
無用の用
95:１３２人目の素数さん
25/09/17 17:22:35.26 DfAheodB.net
これが馬鹿だって事はこの板総崩れなんだがwwww 意味分かる？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
96:１３２人目の素数さん
25/09/17 20:27:30.21 rFrhtdKD.net
変なリンク
97:１３２人目の素数さん
25/09/17 22:51:53.61 LDnvvuW3.net
ベクトル？ChatGPTに聞いてみ？
超高次元世界に彼の疑似意識が宿っている世界だから
98:１３２人目の素数さん
25/09/23 06:25:23.76 d31sJAVw.net
3次曲線が楕円曲線であることを発見したのは
ワイルズだと答えてきた
99:１３２人目の素数さん
25/09/27 17:04:27.31 0ayz0qNU.net
曲率の正値性の理解