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つづき
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中村 昌平 researchmap
ナカムラ ショウヘイ (Shohei Nakamura)
共同研究・競争的資金等の研究課題
2021年4月 - 2023年3月
工学的アイデアを用いた調和解析学における未解決問題へのアプローチ
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究
最初の研究目標であった、一般の曲面に対する、Sobolev指数の意味で弱い溝畑竹内予想についての研究をおこなった。特に、空間２次元で、一般の曲線を考えた時に、曲率が各点で一様に真に浮いているという仮定の下で、肯定的な結果が得られた。これにより、Bennett--Nakamura (2021)の円に対する結果の一般化に成功した。他方で、オリジナルの溝畑竹内予想は、曲率によらない不等式であったため、いかにして曲率の条件を取り外すかについての研究も行っているが、現在のところ明らかになってはいない。
次に、オリジナルの溝畑竹内予想に向けて、フーリエ拡張作用素にトモグラフィー原理のアイデアを適用する研究を行った。Bennett--Nakamura (2021)において、単純にトモグラフィー再生公式をあてがうのみでは、オリジナルの溝畑竹内予想の解決までには至らないのではないか、という観察を与えていた。その問題点を解決するべく、時間周波数解析における概念の時間周波数分布関数を、適切なものを差し引くというアイデアを見いだした。その結果、量子物理学において現れるWigner distributionとの関連を見出した。その結果、そのWigner distributionをより広い枠組みで扱う、時間周波数解析の知見を取り入れるという新たな展開が得られた。
合わせて、Fokker--Planck方程式による正則化効果を用いて、関数不等式（NelsonのhypercontractivityとGrossの対数Sobolev不等式）が改良することができるという新たな知見を見出した
(引用終り)
以上