a, b > 0, a + b = 1のとき, (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2at MATHa, b > 0, a + b = 1のとき, (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2 - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト1:１３２人目の素数さん 24/11/12 22:41:00.34 /9ZG+FHx.net を示せ。 2:１３２人目の素数さん 24/11/12 22:42:13.38 dp1I3IHm.net 働けウンコ製造機 3:１３２人目の素数さん 24/11/12 22:47:23.10 E96R/j8j.net 凸 4:１３２人目の素数さん 24/11/12 22:49:39.60 5SPgqrtt.net コーシー・シュワルツの不等式より (1^2 + 1^2)((a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2) ≥ (a + 1/a + b + 1/b)^2 = ((a + b) + (a + b)/ab)^2 = (1 + 1/a(1 - a))^2 (∵ a + b = 1) a, 1 - a > 0より、相加平均・相乗平均の不等式より (a + (1 - a))/2 ≥ √a(1 - a) ∴ 1/a(1 - a) ≥ 4 よって、 (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ (1 + 4)^2/2 = 25/2 5:１３２人目の素数さん 24/11/12 22:56:48.86 5SPgqrtt.net f(x) = x^2とする y = f(x)のグラフは下に凸なので、 (f(a + 1/a) + f(b + 1/b))/2 ≥ f((a + 1/a + b + 1/b)/2) = f((1 + 1/a(1 - a))/2) ∴ (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ (1 + 1/a(1 - a))^2/2 >>4の後半から、1 + 1/a(1 - a) ≥ 5 ∴(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch