24/11/12 22:41:00.34 /9ZG+FHx.net
を示せ。
2:１３２人目の素数さん
24/11/12 22:42:13.38 dp1I3IHm.net
働けウンコ製造機
3:１３２人目の素数さん
24/11/12 22:47:23.10 E96R/j8j.net
凸
4:１３２人目の素数さん
24/11/12 22:49:39.60 5SPgqrtt.net
コーシー・シュワルツの不等式より
(1^2 + 1^2)((a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2)
≥ (a + 1/a + b + 1/b)^2
= ((a + b) + (a + b)/ab)^2
= (1 + 1/a(1 - a))^2 (∵ a + b = 1)
a, 1 - a > 0より、相加平均・相乗平均の不等式より
(a + (1 - a))/2 ≥ √a(1 - a)
∴ 1/a(1 - a) ≥ 4
よって、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2
≥ (1 + 4)^2/2
= 25/2
5:１３２人目の素数さん
24/11/12 22:56:48.86 5SPgqrtt.net
f(x) = x^2とする
y = f(x)のグラフは下に凸なので、
(f(a + 1/a) + f(b + 1/b))/2
≥ f((a + 1/a + b + 1/b)/2)
= f((1 + 1/a(1 - a))/2)
∴ (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ (1 + 1/a(1 - a))^2/2
>>4の後半から、1 + 1/a(1 - a) ≥ 5
∴(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2
6:１３２人目の素数さん
24/11/12 23:16:33.85 JEOOlv8a.net
曲面 z=f(x, y)=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2を想起して
z≥f(1/2, 1/2)=25/4+25/4=25/2
この曲面はうちの大学(東大)では1年で学習する。
7:１３２人目の素数さん
24/11/12 23:20:33.14 dp1I3IHm.net
うちの大学(東大)では1年で学習する。
8:１３２人目の素数さん
24/11/14 23:32:28.18 uM4HU+lj.net
x²+2+1/x² = 凸+const+凸
9:１３２人目の素数さん
25/04/27 19:58:07.11 Bi/7R3mT.net
良スレ保守
10:過去ログ ★
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