24/10/07 17:09:12.72 V4vydAMm.net
>>2
(1) y = x⁴+ax³+bx²+cx+d と y = px + q が異なる２点で接する
⇔ y = x⁴+ax³+bx² と y = (p-c)x + q-d が異なる２点で接する
より明らか
(2) 条件は
(※) y'' = 0 が異なる２つの実数解をもつ
である。
(※) が成立しないとき y' は狭義単調増加だからことなる y=f(x) のことなる２点での接線は傾きが異なるので一致することはない。
(※) が成立するとき y'' = 1/12 (x-u)² - 4v (v>0) とおける。ここで g(x) = (x-u)⁴ - 2v(x-u)² +v² とすれば g(x) = ((x-u)²-v)² だから g(x) = 0 は x = u±√v において重解をもつから y=g(x) と y=0 はことなる2つの点で接する。一方で f''(x) = g''(x) だから f(x) と g(x) は定数項と一次の項以外一致するので(1)より y=f(x) も異なる２点で接する接線をもつ。