25/10/18 19:21:39.94 kTre2FiS.net
集合の直積は演算としては
可換でもなく結合的でもない。
しかし (a,b) を {a,b} と
同一視することにより可換にできる。
73:１３２人目の素数さん
25/10/20 16:03:29.36 ceqg2XVE.net
空の意をいかに取るかだな
空集合は{}ただ一つあり、空なものはその要素である
の類推から
空写像fはただ一つあり、空なものはそのタプルの要素である
とするならば
[f] = {({}, {})}
なるただ一つの関数f
74:１３２人目の素数さん
25/10/20 16:59:58.41 DU8YfOMv.net
空写像={}
>{({}, {})}
それは写像 f:{{}}→X∪{{}} ただしXは集合
75:１３２人目の素数さん
25/10/20 18:48:27.52 nox32zep.net
>>67
思いついた。
変数 ＝ ０変数の関数。
空集合 ＝ ∅
なら、
f = ∅
というのはどうだろう？
つまり、空集合は空写像でもある。
76:１３２人目の素数さん
25/10/21 00:19:37.52 +tHhg6Hh.net
(1)写像の定義より ∀a∀b∀f((f:a→b)⊂a×b)
(2)直積の定義より ∀a∀b(a={}∨b={}⇒a×b={})
(3)空集合の定義より ∀c(c⊂{}⇒c={})
(1),(2),(3)より ∀a∀b∀f(a={}∨b={}⇒(f:a→b)={})
77:１３２人目の素数さん
25/10/21 23:57:36.06 DmY4VVsy.net
空集合を真空と見なして、
集合に対する反集合要素というものを
考えてみる。
集合Aが要素aを含むとき、
Aの反集合\bar{A}は反要素\bar{a}を
含むというように。そうして要素数は
aが1なら\var{a}は-1と数えるなど。
こうしたからといって何も面白いことは
出て来ないような気がするけれども。
78:１３２人目の素数さん
25/10/22 19:38:00.04 xc0QhYtc.net
差集合かな？
79:１３２人目の素数さん
25/10/24 10:05:53.79 4/dDJw3U.net
写像ってさ
直積ABの部分集合で特別なもの
じゃないよな
この解釈だと恒等写像と包含写像が区別できない
80:１３２人目の素数さん
25/10/24 15:31:33.07 dX0vXa30.net
区別したい場合、定義域、値域、グラフの三つ組として定義すればよい
81:１３２人目の素数さん
25/10/26 19:35:26.11 AcnPF1U/.net
集合Aの冪集合をBとするとき、
AとBの濃度は必ず異なることを
示しなさい（配点５点）。
82:１３２人目の素数さん
25/10/26 22:41:15.24 ZArsq72D.net
F:={f:A→{0,1}∈A×{0,1}} で集合Fを定義する。
べき集合の定義よりBからFへの全単射が存在する。
いま |A|=|B| を仮定する。
仮定より全単射 g:A→F が存在する。
f0∈F を f0(a)≠(g(a))(a) で定義したとき ￢f0∈g(A) であるからgが全射であることと矛盾する。
矛盾が導かれたので仮定は否定される、すなわち|A|≠|B|。
83:１３２人目の素数さん
25/10/26 23:19:20.82 wcsWN8dm.net
>>81
始域終域グラフの三つ組
84:１３２人目の素数さん
25/10/27 11:52:19.33 S7PkSpnV.net
尚、自明な単射 h:A→B,h(a)={a} が存在するので |A|<|B|。
85:１３２人目の素数さん
25/10/30 11:13:03.07 uOmkkrB1.net
すべての集合の集合というものを考えて
Xとする。定義からXは自分自身も自分の
冪集合もその要素として含んでいるはず
である。よって X∈X、2^X∈X。
そうして冪集合の定義から X∈2^X 。
86:１３２人目の素数さん
25/10/30 17:03:54.02 xd0a59UB.net
集合全体の集まりをXとする。
いまXは集合と仮定する。
べき集合の公理より2^Xが存在して ∀x(x∈2^X⇔x⊂X⇒x∈X) ∴2^X⊂X
よって濃度の定義より |2^X|≦|X| だが、これはカントールの定理 |2^X|>|X| と矛盾。
ゆえにXは集合でない。
87:１３２人目の素数さん
25/10/31 12:25:20.79 yMqPIdb2.net
では集合の設定や定義としては、
如何なる言明であることが必要であり、
また十分であるといえるか。
あるいはある言明が与えられた場合に
それが集合を表すことかどうかを
決定することが常に可能だろうか。
88:１３２人目の素数さん
25/10/31 15:10:26.60 l/bJN8T+.net
一階(※1)の集合論が無矛盾ならば(※2)、xを任意に一つ固定したときに「xは集合である」という文は、証明可能・反証可能・証明も反証も不可能（集合論から独立）の3パターン存在する。
反証可能でないことはxが集合であるための必要条件。
証明可能であることはxが集合であるための十分条件(※3)。
※1 高階の場合、文が証明可能であることと妥当な論理的帰結であることは同値でないのでより多くのパターンがある。
※2 無矛盾性を前提しない場合、証明可能且つ反証可能というパターンもある。
※3 必要十分条件ではない。なぜならその文が集合論から独立ならxが集合でないことは言えないから。
ゲーデルの不完全性定理より集合論が無矛盾なら集合論から独立な文が存在するから、「xは集合である」という文の真偽は常に決定可能ではない。
例えばZFC集合論が無矛盾なら「最小の無限順序数ωに対して |ω|<|x|<|2^ω| を満たす集合xは存在しない」という文（連続体仮説）はZFC集合論から独立。
89:１３２人目の素数さん
25/10/31 16:55:55.71 l/bJN8T+.net
任意の集合A,B,Cにたいして
A ⊂ B ⇔ A×C ⊂ B×C
は言えるか。（配点３点）。
90:１３２人目の素数さん
25/11/01 08:23:37.92 VFjaEiiI.net
⊂が等しい場合を排除している記号で
あれば、Cとして空集合をとると、
AｘC、BxCが空集合となるため、
A×C ⊂ B×C は成り立たない。
91:１３２人目の素数さん
25/11/01 09:22:19.69 Um2AVKRG.net
{}⊂{} は成り立つ。
任意のA,Bで A ⊂ B は成り立たないと言いたいのかな？
92:１３２人目の素数さん
25/11/02 23:02:57.21 PzvJeOOq.net
⊂が等しい場合を排除している意味の
記号であれば、{}⊂{} は成り立たない。
等しい場合も含めている⊆の意味ならば
成り立つ。
集合の記号⊂は著者の流儀により⊆と
同じ意味に使われる場合とそうではな
い場合の2通りがあるため、初学者は
記号がどちらの意味で使われているの
かを自分で読んで判断をしなければな
らない。