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>>008 2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”で説明します
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(引用終り)
２）解答例
いま、各目の確率をpi (i=1～6)とする。Σpi＝1である(ここにΣはi=1～6の和を表す（以下同じ）)
なお いびつなサイコロなので、必ずしもpi=1/6ではない
偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2を考える。平方の部分(pi-1/6)^2 を展開すると
σ＝Σ(pi)^2-Σ2(1/6)pi+6(1/6)^2 ( P=Σ(pi)^2 及び Σpi＝1 に注意すると)
σ＝P-1/3+1/6＝P-1/6 ≧0 となる（最後の不等式≧の部分は、冒頭の偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2（平方の和）から従う）
よって、P≧1/6で、等号成立はすべてのi=1～6で pi=1/6の場合のみ（つまり、正規のサイコロの場合）
上記の解答例で
i)”各目の確率をpi (i=1～6)とする”のが、確率変数の考えですよ
（確率変数Xで ｆ：X=i → pi という対応が成立している）
ii)これをベースに、各piから問の”サイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をP”に落とし込むのが上記解法です
iii)『箱の中にサイコロの目を入れた時点である一つの目に固定され、他の目の可能性はゼロ』
という妄想に走ると、2008年東工大の確率の問題は解けなくなります！
以上