24/06/13 11:45:07.10 yNh/RU3y.net
つづき
2. 線形リー群とディンキン図形
はじめに、E8とはどんな群なのか説明しましょう。
E8は、単純な線形リー群の分類の中で、例外群と呼ばれるもののうちで最大のものです。
ちょっと長くなりますのであらすじだけをはじめに言うと、
「リー群」（すぐ説明します）の無限小変換形に相当する「リー代数」が表1のような図形で分類できて、その特別な場合がE8です。
その図形から無限小変換形を構成できて、それをexpの肩に乗せたのがE8群になります。
リー群とは、大ざっぱに言って群自体が滑らかな多様体になっているもの、つまりその群の要素が連続的ないくつかのパラメータを持っていて、それらが局所的に座標と見なせるようになっているようなもののことです。
そして、線形リー群とは、単に行列式が０でない行列の群GL(N,C)（=N次一般線形群）の部分群のことを言います。
行列式が１のN次ユニタリ行列の群であるSU(N)や、
行列式が１ですべての要素が実数のN×N行列の群SL(N,R)、
あるいは実直交行列の群であるSO(N) などがその例です。
「単純」というのは群で言えば正規部分群がないということで、
//cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/
上田 正仁 研究室
東京大学 大学院理学系研究科 物理学専攻
//cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/MP3_16.html
2016年度 物理数学Ⅲ
講義ノート
//cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/maph3.pdf
物理数学III講義ノート上田正仁
平成28 年10 月25
はじめに本講義の目的は、物理学に現れる対称性とトポロジーを理解する第一歩として、また、特殊および一般相対性理論を理解するための数学的準備として、群論、リー代数、リー群、微分幾何の基礎を教授することである。数学的な観点からこの問題を眺めることによって、自然を記述する物理学の理論が有する美しい数学的構造に対する理解が深まることを期待している。物理学が自然現象を記述する普遍的な学問であるゆえんは、見方（座標）によらない自然現象の記述が可能だからである。そして、見方によらない程度は、どのような群に属する変換に対して基礎方程式が不変（すなわち、変換によって方程式の形が不変）であるかということによって特徴づけられる。リー代数の言葉でいえば、見方とは特定の基底に基づく「表現」であり、見方によらない不変な性質がリー代数やリー群の対称性（代数的構造）によって特徴づけられる。トポロジカルな性質はこの対称性やそれに由来する不変量のみに依拠しているために
221:、対称性を破らない摂動の影響を受けないのである1。 目次 第2章 表現論 2.6表現の直交性 2.7指標 2.8ヤング図 第5章 ルートとウエイト 5.3ルート空間 5.4ディンキン図 (引用終り) 以上
222:１３２人目の素数さん
24/06/13 11:50:10.22 GUzT5nzo.net
>>ルート系とかディンキン図形とか君にはわけわかめでしょ
>ふっふ、ほっほ
どうした？卒中？
>私が、一番力を入れていたのが、物理数学でして・・
>ディンキン図形やルート系は、物理数学を通じて前世紀から耳タコでしてね
でもなんのことだかはわかってない、と
わかってる人が正則行列を正方行列と取り違えることはないな 絶対に
>>マセマの本からやりなおしてな
>それが、君がオチコボレになった原因だね 数学イップスだ。
>数学に王道なし！ 厳密のみを追い求めるんだ
>しかし、物理屋はそうではない
君、物理屋ですらないだろ ただの工員
223:１３２人目の素数さん
24/06/13 11:53:53.90 GUzT5nzo.net
ふっふほっほ君に質問
・ルート系とは何を表しているか
・ディンキン図形は何を表しているか
的確に答えられたら君が数学を理解してると認めてあげるよ
いっとくけど、ただコピペしても無駄だよ
224:１３２人目の素数さん
24/06/13 12:00:14.60 yNh/RU3y.net
>>201 追加
//member.ipmu.jp/hiraku.nakajima/bibli-j.html
中島啓 発表論文 抜粋
1.Compactness of the moduli space of the Yang-Mills connections in higher dimensions, J. Math. Soc. Japan 40 (1988)
Donaldsonの有名な論文の解説を、松本幸夫先生が授業でされたのに興味をもって、そのころセミナーで勉強していたSchoenの論文 の手法をそのまま、Yang-Mills接続の場合に適用して、授業のレポートとして提出した。そうしたら師匠から論文にしなさい、といわれて書いたのが、この論文である。 harmonic map とYang-Mills接続は、解析的にはほとんど同じように結果が平行で成り立つということは、当然のことであり、この結果が成り立つことは、Uhlenbeckはもちろん分かっていて論文もあることが、あとで本人にあったときに分かった(が、その論文は未だ未発表のままである)
3.Hausdorff convergence of Einstein 4-manifolds, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 35 (1988)
深谷さんが, 小林-TodorovのK3曲面上のEinstein計量の退化の例を紹介されたのを聞いて, harmonic map --> Yang-Mills接続 --> Einstein計量 と類似ができることが分かった。ただし、4次元の場合はあたりまえなので、monotonicity formula をどうしたらいいかをずっと考えていた。結局、できなさそうだし、Andersonが同じようなことをしつつあったので急いで論文にした
4.On a construction of coordinates at infinity on manifolds with fast curvature decay and maximal volume growth , Invent. Math. 97 (1989)
論文 3 で、できなかった特異点除去定理の部分を, 板東さん, 加須栄さんに教えてもらってできた論文。私の寄与は、久保ワープロとTeXの両方で論文を打ち込んだことかもしれない
5.Self-duality of ALE Ricci-flat -manifolds and positive mass theorem, in Recent Topics in Differential and Analytic Geometry, Advanced Studies in Pure Math. 18-I (1990)
ALE Ricci-flat 4-mfd でKronheimerの構成したものの商以外のものがあるか？という問題について考えたもの。Wittenによる正質量定理の証明を知ったら、条件をつければすぐできることは分かったのだが、一般には難しいと思う。 の 不変量の計算は、このときだいぶ苦労した記憶がある
13.Homology of moduli spaces of instantons on ALE spaces.I, J.
225:of Differential Geometry, 40 (1994) ALE空間上のインスタントンのmoduli空間のホモロジー群をA型のときに計算した. このときはいわゆる Spaltenstein varietyと呼ばれる空間になる. 堀田先生と寺田さんにいろいろと聞いて, 結局Young図式で表わす綺麗な表示を得ることができた ここで導入されたヤング盤のchargeは、MacdonaldのII.App (Zelevinskyが書いたらしい)に書いてあるものと本質的に同じであることを2010/11/26に発見した 14.Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. 76 (1994) 箙多様体を定義した記念すべき論文. 1990年の京都ICMでLusztigの講演を聞いてから彼の論文を勉強し始めて, 先の見えない苦しい時期を過ごしたが, 結局ALE空間上のインスタントンのmoduli空間との関係が分かり, この論文にまとめた (引用終り) 中島啓氏と私では、頭の出来が違うことが良く分かるｗ
226:１３２人目の素数さん
24/06/13 12:18:26.50 x59exuld.net
>>205
>中島啓氏と私では、頭の出来が違うことが良く分かるｗ
そもそも動機からして違うけど
>>204の回答はまだかな？
初心者レベルの質問で甚だ恐縮ですが
227:１３２人目の素数さん
24/06/13 13:48:00.01 yNh/RU3y.net
>>205 追加
>師匠から論文にしなさい、といわれて書いたのが、この論文である
師匠:落合卓四郎先生か
日体大式 数学トレーニングかも
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
中島 啓（なかじま ひらく、1962年11月30日 - ）は、日本の数学者。カブリ数物連携宇宙研究機構教授[1]。京都大学数理解析研究所名誉教授[2]・特任教授[3]。専門は表現論、複素幾何学。幾何学と表現論の相法に属する空間を扱う「箙（えびら）多様体」の研究で知られる[4]。
人物
東大における指導教官は落合卓四郎。
エピソード
小学生の時、四谷大塚の一般の日曜テストで何度もトップに名を重ねていた。東大の河東泰之や埼玉大の海老原円も同期の数学者で、四谷大塚の日曜テストでは上位の常連だった[7]。
URLﾘﾝｸ(www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu)
Hiraku Nakajima
Ph. D. University of Tokyo 1991 Japan
Dissertation: Moduli spaces of anti-self-dual connections on ALE gravitational instantons
Mathematics Subject Classification: 14—Algebraic geometry
Advisor 1: Takushiro Ochiai
URLﾘﾝｸ(www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu)
Takushiro Ochiai
Ph.D. University of Notre Dame 1969 UnitedStates
Dissertation: Geometry Associated With Semi-simple Flat Homogeneous Spaces
Mathematics Subject Classification: 53—Differential geometry
Advisor 1: Tadashi Nagano
つづく
228:１３２人目の素数さん
24/06/13 13:48:24.51 yNh/RU3y.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
東京大学大学院数理科学研究科理学部数学科・理学部数学科
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
祝辞 2008 年4月4日 東京大学大学院数理科学研究科 入進学式 名誉教授 藤田 宏
さて，皆さんの大学院生活の成功を祈り，それに役立てばとの願いをこめて，個人的な所感を申し上げて祝辞に替えたいと思います．
数学の大学院に入った皆さんは，数学の専門家・研究者を目指して修行されるわけです． 高度の専門家を目指す修行・育成について，私はごく最近に改めて考える機
229:会を持ちました． それは，現在は，日本体育大学の学長の任にある，当研究科の落合卓四郎名誉教授（本数理科学研究科設立の功労者）による講演を拝聴したのが契機でした． その講演は私が会長をしている数学教育学会の本年度の年会で落合先生にお願いした特別講演であり， 演題は「スポーツトレーニングと数学トレーニング」でした． スポーツトレーニングの目的は，訓練生の（専門的）競技力の向上ですが，講演の主旨は，「スポーツトレーニングの方策には，（専門的な）数学力の向上のための方策に通じるものがあるのではないか」ということでした． 落合先生によりますと，体育の各分野における人材育成法，あるいは，競技力向上のためのコーチングの方策が科学的に研究され系統的に実践されています． ここでその詳細に触れる余裕はありませんが，一端を紹介しましょう． 人体機能の年齢的発達に応じては，たとえば，呼吸・循環器系の発育がさかんになる中学生の年齢は持久力をつけるトレーニングがよい， 一方，生殖器系の発育が著しく、ホルモンによる骨格筋の発育が著しい高校生の年齢では，力強さ（パワー・瞬発力）をつけるため、筋力トレーニングや瞬発力系のトレーニングが適切である……というのです． 小学校から高校までの数学教育に関する定説，すなわち，数学の各テーマには有効な学びの適齢があるとの説が連想されます． 大学院の数学はどうでしょうか． 落合先生によると，スポーツトレーニングにおいては育成するべき機能の目標が階層化されています． すなわち， まずは体力， その上に技術， さらにその上に 戦術 と段階を踏んで競技力の向上を図るべし……ということになっています． この観点は，次のように，数学における専門家・研究者の能力育成のそれに対応させることができるでしょう： １）体力 ～ 基礎学力（基礎的な知識，論理，技法） ２）技術 ～ 専門的能力（専門的方法により課題に取り組む力） ３）戦術 ～ 創造的能力（発展を見通す力：洞察，展望，発見） おおざっぱに言えば，１），２），３）はそれぞれ，学部，修士課程，博士課程での修行に見合います． もちろん，学部や修士課程の学習においても，機会があればチャレンジングな思考を行い，局所的にせよ，創造性を練磨して下さい． また，博士課程においては，与えられた課題を解くための工夫（それも創造性です！）を超えて，自分で問題を発見する，新しい分野を拓くという「より大きな創造性」を発揮する意気込みで視野を拡げ且つ思索を深めて下さい． (引用終り) 以上
230:１３２人目の素数さん
24/06/13 13:57:30.88 oXHyt8mO.net
>>207-208 君はまず基礎体力をつけてくださいね
で、>>204の質問の答えマダですか？
前世紀から耳タコなら完璧な回答が可能でしょ？
231:１３２人目の素数さん
24/06/13 14:01:43.61 yNh/RU3y.net
>>204
>・ルート系とは何を表しているか
>・ディンキン図形は何を表しているか
>的確に答えられたら君が数学を理解してると認めてあげるよ
>いっとくけど、ただコピペしても無駄だよ
ほいよｗ
<マイクロソフト Bingの答え>（下記）
なお、これで分からなければ、Bingと”チャットしましょう”！ｗｗ ；ｐ）
（おサルさん>>9 頑張ってねｗｗｗ）
Q.ディンキン図形は何を表しているか
A.ディンキン図形は、リー理論という数学の分野において、二重あるいは三重の辺（二重あるいは三重の線で描かれる）を持ち得るグラフの一種であり、イェヴゲニ・ディンキンにちなんで名づけられました1. これは代数閉体上の半単純リー環を分類する手段として主に興味を持たれています。 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ディンキン図形
追加質問候補
ディンキン図形の例を教えてください。
リー理論とは何ですか？
他にも数学的なグラフがありますか？
チャットしましょう
Q.ルート系とは何を表しているか
A.ルート系は、数学におけるユークリッド空間内のベクトル配置を指します。これはリー群やリー環の理論において基本的な概念であり、幾何学的な性質を満たします。ルート系は、リー群や代数群の研究において重要であり、さまざまな数学の分野で応用されています1。具体的には、以下の条件を満たす非零ベクトルの有限集合です：
1.集合はベクトル空間を張ります。
2.任意のベクトルに対して、その実数倍で集合に属するものは±そのベクトルだけです。
3.任意のベクトルに対して、集合はそのベクトルに垂直な超平面を通る鏡映で閉じています。
4.任意のベクトルに対して、別のベクトルへの射影は半整数倍です。
ルート系は、リー群のワイル群やディンキン図形の分類などにも関連しています。URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ルート系
追加質問候補
ルート系の具体的な例を教えてください。
リー群とは何ですか？
もっと詳しく説明してほしいです。
チャットしましょう
232:１３２人目の素数さん
24/06/13 14:11:59.29 0GuaGLvj.net
V を有限次元ユークリッドベクトル空間とし，(・, ・) を標準ユークリッド内積とする．
V のルート系 (root system) とは，非零ベクトルの有限集合 Φ であって，以下の条件を満たすもののことである：
１．集合 Φ はベクトル空間 V を張る．
２．任意の x ∈ Φ に対して，その実数倍で Φ に属するものは ±x のみ．
３．任意の x ∈ Φ に対して，集合 Φ は x に垂直な超平面を通る鏡映で閉じている．
４．（整数性）任意の x, y ∈ Φ に対して，x を通る直線への y の射影は x の半整数倍である．
さて、定義を示した上で改めて問う
「ルート系とは何を表しているか」
233:１３２人目の素数さん
24/06/13 14:20:41.32 EMNKClCm.net
>>210
＞ほいよｗ
ダメね ルート系はともかく、ディンキン図形に関しては定義にすら達してませんね
正ルートと単純ルート
ルート系 Φ が与えられると，必ず，正ルート（positive root）の集合を（何通りも）取ることができる．
これは Φ の部分集合 Φ+ であって，以下を満たすものである：
１．各ルート α ∈ Φ に対して，ルート α と －α のうちちょうど1つが Φ+ に含まれる．
２．任意の2つの相異なる α, β ∈ Φ+ であって α + β がルートであるものに対して，α + β ∈ Φ+ である．
正ルートの集合 Φ+ が選ばれると， －Φ+ の元は負ルート（negative root）と呼ばれる．
Φ+ の元が単純ルート（simple root）であるとは，Φ+ の2つの元の和で書けないことをいう．
単純ルート全体の集合 Δ は V の基底であって，
Φ の任意のベクトルが係数がすべて非負か
すべて非正の Δ の元の線型結合であるという性質を持つ．
正ルートの各選択に対して，対応する単純ルートの集合は次のような一意的なルートの集合 Δ である：
正ルート全体はちょうど，非負係数の Δ の元の線型結合として表せるもの全体であり，これらの線型結合は一意である．
（つづく）
234:１３２人目の素数さん
24/06/13 14:21:18.86 EMNKClCm.net
>>212のつづき
ディンキン図形によるルート系の分類
ルート系が既約であるとは，2つの真の部分集合の和集合 Φ = Φ1 ∪ Φ2 であって，
すべての α ∈ Φ1 と β ∈ Φ2 に対して (α, β) = 0 となるようなものに分割できないことをいう．
既約ルート系はイェヴゲニ・ディンキンにちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する．
これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．
ルート系が与えられたとき，単純ルートの集合 Δ を選ぶ．
付随するディンキン図形の頂点は Δ のベクトルに対応する．
ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度が
2π/3 ラジア
235:ンのときは，無向の一重辺であり， 3π/4 のときは有向二重辺であり， 5π/6 のときは有向三重辺である． 「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する． 与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが，ワイル群はそのような選び方に推移的に作用する． したがって，ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず，ルート系自身によって決定される． 逆に，同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると， 基底のルートから合わせ始めて，2つが実は同じであることを示すことができる． したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する． ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である． ディンキン図形は基底 Δ のことばで E の内積の情報を持っており， この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．
236:１３２人目の素数さん
24/06/13 14:28:35.26 BjEheeVm.net
ルート系はベクトルと直交する超平面での鏡映で閉じたベクトルの集合であり
ディンキン図形はルート系の単純ルートΔの各基底間の関係を示している
そしてディンキン図形によってルート系が分類できる
これがディンキン図形が何を表してるかの答え
しかしリー群（とそのリー代数）にとってのルート系は何か、という質問には答えていない
さあ、物理数学でのルート系は前世紀から耳タコとほざくふっふほっほ君
答えられるものなら答えてごらん
237:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:05:51.65 yNh/RU3y.net
>>214
ほいよｗ
<マイクロソフト Bingの答え>（下記）
なお、これで分からなければ、Bingと”チャットしましょう”！ｗｗ ；ｐ）
（おサルさん>>9 頑張ってねｗｗｗ）
Q.リー群（とそのリー代数）にとってのルート系は何か
A.ルート系は、数学におけるリー群やリー環の理論において基本的な概念です。ユークリッド空間内のベクトルの配置であり、特定の幾何学的性質を満たします。ルート系はリー群やリー環の多くの分野で応用されており、ディンキン図形による分類体系など、さまざまな数学的分野で重要です1。具体的には、以下の条件を満たす非零ベクトルの有限集合です：
1.集合はベクトル空間を張ります。
2.任意のベクトルに対して、その実数倍で集合に属するものは±そのベクトルのみです。
3.任意のベクトルに対して、集合はそのベクトルに垂直な超平面を通る鏡映で閉じています。
4.任意のベクトルに対して、他のベクトルへの射影は半整数倍です。
階数に応じて、既約ルート系はA型、B型、C型、D型、E6、E7、E8、F4、G2のいずれかに分類されます2。3。4。
詳細情報
1ja.wikipedia.org
2ikuro-kotaro.sakura
3wikiwand.com
4manabitimes.jp
238:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:13:53.56 yNh/RU3y.net
おサルさん>>9
数学ごっこ楽しいかい？
オチコボレで、本当の数学者の議論にも参加できない
論文一つない人よ
頑張れよ
239:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:29:29.63 yNh/RU3y.net
おサルさん>>9
数学ごっこ楽しいかい？
おれは、あんたのいうこと
全く信用してないからね
どうせ、どっかで見たことの
その 不正確な 受け売りでしょ？ｗ
数学ごっこ楽しいかい？
オチコボレで、本当の数学者の議論にも参加できない 数学論文一つない人よ
哀れだな
まあ、ここは便所板だ。好きに落書きしてくれ。枯れ木も山の賑わいだ！ｗｗ ；ｐ）
240:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:46:48.83 GUzT5nzo.net
>>214
>ほいよｗ
同じ回答をなんどくりかえし貼ってもむだ
君、あれが全然回答になってないこともわからないんだね
あんたが大学１年の線形代数もわかってないってことは
僕だけじゃなく大多数の読者が感じてることだからね
ネットで書かれてることの粗雑なコピペ受け売りで数学者きどり 楽しいかい？
さて質問にもどるよ
リー代数において、ルート系のルート（ベクトル）が存在する空間は何だい？
そしてルートは何を表しているんだい？
君がBingに質問してかえってきた答えにそれは書かれないってわかるかい？
で、君は答え知ってるかい？ どれも答えられないんだろ？
それで数学者きどり？笑わせんなよ 大学１年からやりなおせよ
241:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:56:59.52 GUzT5nzo.net
誤 おれは、あんたのいうこと全く信用してないからね
正 おれは、あんたのいうこと全く理解できないからね
理解できないなら信用できないわな
242:１３２人目の素数さん
24/06/13 15:58:42.67 GUzT5nzo.net
＞どうせ、どっかで見たことのその 不正確な 受け売りでしょ？
「”Modular function” いまとなっては、モジュラー群(modular group)と殆ど同義ですが」みたいな？
いやそこまでバカじゃないよ それじゃ中卒高卒じゃん
243:１３２人目の素数さん
24/06/13 22:41:15.0
244:9 ID:3Go0JVdL.net
245:１３２人目の素数さん
24/06/13 23:08:55.78 UPyzrv2g.net
>>221
友達にも教えてあげる
246:１３２人目の素数さん
24/06/14 14:30:43.56 yCtsspju.net
14次元特殊ユニタリー群「SU(14)」
こういうところに、応用される
URLﾘﾝｸ(news.mynavi.jp)
大阪公大、“6次元”の高次元理論で素粒子の世代構造の説明に成功
2024/06/13 18:11
著者：波留久泉
大阪公立大学(大阪公大)は6月12日、これまで人類は自然界の4つの力(重力、電磁気力、弱い力、強い力)のうち、電磁気力と弱い力の2つしか統一できていないが、そこに強い力を加えた3つの力を統一する「大統一理論」や、5次元以上の空間において大統一理論にヒッグス粒子も加えて統一的に記述する「ゲージ・ヒッグス大統一理論」の研究において、6次元のゲージ・ヒッグス大統一理論から5次元のゲージ・ヒッグス大統一理論を導く理論を探索し、14次元特殊ユニタリー群「SU(14)」という非常に大きな対称性を持つ理論から、クォークやレプトン(軽粒子)といった素粒子の3世代構造が自然に実現されることを発見したと発表した。
同成果は、大阪公大大学院 理学研究科の名古竜二朗大学院生、同・丸信人教授らの共同研究チームによるもの。詳細は、米国物理学会が刊行する素粒子物理学や場の理論・重力などを扱う学術誌「PHYSICAL REVIEW D」に掲載された。
247:１３２人目の素数さん
24/06/14 18:50:07.46 yCtsspju.net
>>204
ふっふ、ほっほ
>・ルート系とは何を表しているか
>・ディンキン図形は何を表しているか
１）まずは、下記の東大 物理数学III講義ノート上田正仁 平成28 年
の該当部分 ルート系、ディンキン図形を、しっかり読んで理解することだな
２）ルート系、ディンキン図形とも、図形に関係したことであるから
言葉だけの説明で理解することは難しい
３）”群盲象を評す”だな（下記）
おサルさん>>9、 君は群盲ならぬ”数盲”（つまりは数学オンチのオチコボレさんだ）
君には、難しいだろうが
頑張ってくれ・・ ；ｐ）
（>>202より再録）
講義ノート
//cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/maph3.pdf
物理数学III講義ノート上田正仁
平成28 年10 月25
P75
第5章ルートとウエイト
P77
カルタン標準系
ここでHa(a=1,・・・,r)は互いに交換するので、d-r個の固有ベクトルはすべてのad(Ha)(a=1,・・・,r)について共通に取ることができる。
このとき、共通に取った同時固有ベクトルに対応する固有値αaはr次元ベクトル空間のベクトルの成分とみなすことができる。これをルートという。
(以下ルートに関する説明が続くが略す)
P81
5.3ルート空間
P83
5.3.2単純ルート
P88
5.4ディンキン図
ディンキン図は単純ルートを図示する方法である。各単純ルートは丸印〇で表し、ルート間の角度は丸印の間を結ぶ線の数で表す。2π/3は重線、4π/3は2重線、5π/3は3重線で結ぶ（図5.6参照）
π/2の場合は線で結ばない。また、2つのルートの長さが異なる場合は長いほうから短い方へ向かって矢印をつける。
略す
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群盲象を評す（ぐんもうぞうをひょうす、群盲評象）は、数人の盲人が象の一部だけを触って感想を語り合う、というインド発祥の寓話。世界に広く広まっている。しかしながら、歴史を経て原義から派生
248:したその通俗的な俚言としての意味は国あるいは地域ごとで異なっている。真実の多面性や誤謬に対する教訓となっているものが多い。盲人が象を語る、群盲象をなでる（群盲撫象）、群盲象を撫づなど、別の呼び名も多い。[1] その経緯ゆえに、『木を見て森を見ず』 と同様の意味で用いられることがある。 また、『物事や人物の一部、ないしは一面だけを理解して、すべて理解したと錯覚してしまう』 ことの、例えとしても用いられる。
249:１３２人目の素数さん
24/06/14 21:10:28.11 7r1vwZVg.net
>>224
ふっふほっほ君は東大 物理数学III講義ノートを読んでも全く理解できなかった、と
カルタン部分代数が分からん奴にカルタン標準系は分からんわな
大学１年の線形代数がわかんないIQ85以下の境界知能に数学は無理
250:１３２人目の素数さん
24/06/15 05:58:01.14 PxBgtSwu.net
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
例
リー環 𝑠𝑙 𝑛のワイル群は n 元上の対称群 Sn である。
作用は以下のように実現できる。
ℎ をトレース 0 の対角行列全体からなるカルタン部分環とすると、
Sn は ℎ に、置換行列による共役によって作用する。
この作用は双対空間 ℎ∗ への作用を誘導する。
これが求めるワイル群の作用である。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
さてここで質問
・ルート系のルート、そして単純ルートは、ワイル群での何に当たるのか？
251:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
24/06/15 11:38:33.18 vtKE8uPq.net
>>225
>カルタン部分代数が分からん奴にカルタン標準系は分からんわな
>大学１年の線形代数がわかんないIQ85以下の境界知能に数学は無理
ふっふ、ほっほ
・数学科落ちこぼれのおサルさんへ>>9
・”数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む”
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む。
謎の数学者
チャンネル登録者数 2.09万人 2022/06/07
＜文字起こしより＞
3:19 読む際にですねまあ先ほど言いました
ように、やってはいけない読み方というのは
一語一句読んでしまうと
いう人がですねいるんですね一語一句
1文1文ですね完璧に
読み進めようとしてしまう人それそういう
人はですね実はなかなか
数学とりわけ純粋数学には向かないん
ですね
4:29
基本的にですね各節でまあ
使われているメインのテーマというのは
ですね基本的にですね一つが2つせいぜい
その程度なんですねしたがってですねそう
いったものを
まあとりあえず把握するつもりです各節の
全体の構造を把握するというのがですね
まず最初に行うべきことであって枝葉部分
はですね思い切ってええまあなんですから
はしょるというかあまり気にしないで
分からないことがあってもですね
とりあえずどんどん進むぐらいのですね
そういう気持ちで数学書というのを読んて
いくそれがですね実はですね正しい数学書
の読み方なんですね
5:12
私が以前ですね指導していた大学
院の学生の一人でですねそれがですね全然
できない学生がでいたんですが
5:24
なんでもかんでも言一句完璧に
一つの文を完璧に理解しないと
次の文に進めないみたいなそういった
タイプの人というのが
いるんですねそれでまあその学生を
ですねちょっと指導してて
6:01
証明の途中に
ですねちょっとした誤植があったんですね
最初ですね私もそれ誤植だっていうふうに
人に気づかなくて誤植いつまりミスプリ
ですよね
確かこの+のサインがマイナスになって
たっていうその程度のあの
252:誤植だったん ですけれど 6:36 なぜそれがですねえと+じゃなくて マイナスのかっていうのがですねえっと まぁ分からなくてでずっとですねもうその その本当にただプラスとマイナスが 違うということだけに捕らわれちゃって その先一切進もうとしなかったんですね 6:57 わかんないところでずっとつまずき ぱなしてしかもですねそれ1日2日 つまずいたとかそういうんじゃない1 週間くらいずっとそれが分からないという 感じでえっとまぁ悩んでたみたいで 7:19 証明のほんの一部なんでそれなりでもう どうでもいいからえっとまぁわかった つもりになって次に進むというのかですね 数学書の実は正しい読み方なんですねそれ実 は全然問題なくてわからなくてもですね わからなきゃ分からないところはですね とりあえず飛ばして先に進むというのは 全然問題ないんですけれど つづく
253:１３２人目の素数さん
24/06/15 11:39:03.70 vtKE8uPq.net
つづき
7:57
そういうところがある人と
いうのは実はなかなかですねあの数学
とりわけ純粋数学には私の意見では向か
ないんですねそういうタイプの人というの
はなかなか数学には向かないということで
ですねえとまぁ
実はそのまあその学生にはですねちょっと
これ数学あの他の分野例えば応用するだと
かそういう方向にですねすんだ方がいい
じゃないかという感じで実は私は
アドバイスしたことがあったんですけれど
結局は私の
アドバイスを聞き入れてですね指導教官を
途中で変えてでは無事ですね 応用数学
で PHD をとってですねちょっとした
大学ですねポジションを見つけた
そういうあるしハッピーエンド的なところ
があったんですけれど
【関連する過去動画】
一冊に集中： • 大学数学を独学で学ぶ際の教科書の選び方。とりあえず、本の○○を見よ！
理解すべきは一つ： • 数学の教科書、理解すべきは各節に１つだけ。大学レベルの数学の読み方。
私が読んだ本： • これだけ読めば数学者になれる？大学院時代に読んだ本の話。
繰り返し読む： • 数学の教科書の読み進め方。大学レベルの数学の教科書を独学で読み進めるには？
数学者への道： • 数学者への道
数学者を目指すための数学の勉強法： • 数学者を目指すための数学の勉強法
日米大学比較： • 日米大学比較
数学者列伝： • 数学者列伝
189 件のコメント
@nejimakitaro
2 年前（編集済み）
数学書以外でも、専門書を読むときに、少し考えて理解できない時には、その箇所に"？"と記載して、読み進めるようにしています。改めて読み直した時に、初めて読んだ時よりも知恵がついて解決することが多いですね。なぜ"?"にしたのか分からないぐらい自明なときもよくあります。時間をおくことで、理解を阻害する思考のトラップやバイアスが相対的に弱まるのかもしれません。
@gary8593
1 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。
@user-ck3zb3uo9r
2 年前
奇しくも「わんこら式」とコンセプトが同じ
@user-km2qp9kn7z
2 年前
これは数学以外にも広く通じる話だと思う
専門書とか難しい本になればなるほど全体像がつかみきれず細かいつまらないところで躓いてしまう人はそれなりにいるのでは
(引用終り)
以上
254:１３２人目の素数さん
24/06/15 12:19:39.90 CYU5vnIG.net
>>221
もう10日目だよ
255:１３２人目の素数さん
24/06/15 12:34:10.11 vtKE8uPq.net
>>227
ふっふ、ほっほ
"謎の数学者"�
256:ｳん、知る人ぞ知る 理科大生で、アメリカでDRを取って いま日本に戻っている数学者です 下記の”【英雄の】理科大数学科生のヒーロー【御帰還】”スレがあります でも・・、実は数学科生ではなく・・、”B.E. Engineering, Science University of Tokyo” つまり、電気工学科生なのです さて、>>227の数学書の読み方を 仮に”武田読み”とします おサルさん>>9のいう あるいは 数学科4年でやるゼミの読み方を”ゼミ読み”とします 思うに、使い分けだと思います 普段は、”武田読み”が正解ですね でも、ここぞというときは、”ゼミ読み”も必要です この使い分けが分らない おサルさんは 数学科で落ちこぼれになりましたとさｗ ；ｐ） (参考) https://sites.google.com/view/grothendieck-jr/about-me Education B.E. Engineering, Science University of Tokyo, March. 1997 https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1667470792/ 【英雄の】理科大数学科生のヒーロー【御帰還】 0001 １３２人目の素数さん 2022/11/03(木) 19:19:52.40 ものどもよ、ひれ伏せ 我らが英雄の凱旋帰国である 見よ！その偉業を Annals of Math J. AMS Invent. Duke Math. American J. Math. Crelle's Journal * 2 IMRN. Transac. of Math * 2 Math. Z. 確かに、数学界において密やかに業績を挙げ、成果を出し、しかるべきポストを得た先輩達はこれまでにも数多存在する だが諸君！ＣＶに堂々と「理科大卒」を明記する一流数学者がかつて存在したであろうか！
257:１３２人目の素数さん
24/06/15 12:44:52.71 vtKE8uPq.net
>>228
>数学者を目指すための数学の勉強法： • 数学者を目指すための数学の勉強法
下記が参考になる
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
数学者としてのレベルを図る尺度は「数学的成熟度」。Mathematical Maturity, MM
謎の数学者
2021/02/21
@user-vd4hw7ok5b
1 年前
教育学部で先生に質問しながらほとんど0から数学をしていたとき、集合論をやってた頃にはその証明をつけるのすら大変だったのが、1年やって体論やる頃には(良い本を選んだこともあったと思うが)スムーズに進むようになっていたので、この話には共感します。
@user-ui2xp1qo1n
3 年前
MMアップを目標にします
定理とか多少忘れてしまっても、あまり気にしないようにしますね
258:１３２人目の素数さん
24/06/15 13:09:20.18 vtKE8uPq.net
>>227
下記も大事なので、貼っておきますね
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
数学の教科書の読み進め方。大学レベルの数学の教科書を独学で読み進めるには？
謎の数学者
2021/08/04
@cucumber1357
理解度のグラフは自分の実感に一致します。有益なアドバイスをありがとうございます。
@michidayo_1729
2 年前
ファインマンが、分からなくなったら初めから本を見返すって言ってたのを思い出した。
@dhtsh555
2 年前
数学独学中ですが、本当にこれです。さっぱり分からなかったことも、読み返すと次第にわかるようになります。自分がバカだからそうなのかと思っていました。
259:１３２人目の素数さん
24/06/15 13:27:02.01 PxBgtSwu.net
>>227‐231
ID:vtKE8uPqは○○読みを推奨するが自分はその○○読みすらできず
全部チラよみであれダメこれダメとすっとばし結局全部すっ飛ばす
リー群リー環でたとえルート系とディンキン図形をすっ飛ばしたとしても
（その選択自体もうかなり
260:大失敗だが）ワイル群はすっ飛ばすなよ （まあそもそもワイル群自体初耳かもし記憶にあったとしても どういうもんかは全く理解しないまま今日まで来たことは確実） そんな高卒ド素人が偉そうに数学書の読み方講釈しても 「おまえできてねぇじゃん」といわれるのがオチ
261:１３２人目の素数さん
24/06/15 15:09:08.05 vtKE8uPq.net
>>113-114
(引用開始)
＞某『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
＞ いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
＞私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
誤 であること
正 でないこと
これだけならケアレスミスだな 他になにかある？
＞某『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
＞ 「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて
＞ ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
これまたケアレスミス
誤 …をもたない
正 …をもつ
(引用終り)
ふっふ、ほっほ、おサルの古傷に、塩を擦込ませて貰うよｗ ；ｐ）
・当時、上記のように、”ケアレスミス”と弁解するのが一番簡単だった
但し、そのためには、実数Rを成分とするnxn正方行列環で
正則行列（可逆行列）と零因子行列、それと零行列があり
実質 ”可逆でない行列＝零因子行列”（零行列は 当然でデフォルト（書かない）として）
という知識が必要だった（常識だがｗ）
・ところが、”ケアレスミス”という弁解は無かった。というか、弁解は皆無だった
そして、いま数年経って、零因子の意味が分って、ようやく”ケアレスミス”という言い訳をした
・それって、見え見えで、いまごろ零因子の意味が分ったんだ ；ｐ）
(参考)
（>>10より再録。なお、おサルは>>9ご参照）
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
ゆかいゆかい！ｗｗ
(引用終り)
262:１３２人目の素数さん
24/06/15 15:48:34.96 PxBgtSwu.net
>>234
>当時、上記のように、”ケアレスミス”と弁解するのが一番簡単だった
境界知能１君が？
>但し、そのためには、実数Rを成分とするnxn正方行列環で
>正則行列（可逆行列）と零因子行列、それと零行列があり
>実質 ”可逆でない行列＝零因子行列”（零行列は 当然でデフォルト（書かない）として）
>という知識が必要だった（常識だがｗ）
境界知能１君の「言い訳」がそういう構造だというのはわかってた
問題は「逆行列がないなら零因子」という為には
体を成分とする正方行列環である必要があるということ
行列環でない環なら整数環という反例がある、したがって
「一般の環では、逆行列がないなら零因子、はいえないから
零因子云々は無関係」
といっている
分かってないのは境界知能１君
だからいってるだろう
線形代数も分からん奴がシッタカで環論語っても自爆するって
君はなんでもかんでも初歩で自爆する
メタンか水素か何かか？
263:１３２人目の素数さん
24/06/15 15:50:12.62 PxBgtSwu.net
ワイル群については検索しても何もわからんので
昔のネタをひっぱりだしてきたようだが
もう境界知能１君の時代は終わったから
数学板への書き込みはやめていいよ 恥晒すだけだし
264:１３２人目の素数さん
24/06/15 21:31:03.09 vtKE8uPq.net
>>235
(引用開始)
境界知能１君の「言い訳」がそういう構造だというのはわかってた
問題は「逆行列がないなら零因子」という為には
体を成分とする正方行列環である必要があるということ
行列環でない環なら整数環という反例がある、したがって
「一般の環では、逆行列がないなら零因子、はいえないから
零因子云々は無関係」
といっている
(引用終り)
・ふっふ、ほっほ （＾＾；
・そもそもコンテキストとして、線形代数の議論だった
学部１年レベルの線形代数は、一般にユークリッド空間のベクトル空間であり
行列の成分は、基本的に実数R(ないし、せいぜい複素数C)だ
・数学科落ちこぼれのおサルさん>>9
環論の零因子を知らなかったんだね
即ち、「零因子行列」と言われてポカ～ン！(ﾟдﾟ ) あわれだなｗｗ ；ｐ）
バカ丸出しのおサル(>>9)であったｗ
265:１３２人目の素数さん
24/06/16 07:11:10.54 bEh+Gl4Q.net
>>237
>そもそもコンテキストとして、線形代数の議論だった
>学部１年レベルの線形代数は、一般にユークリッド空間のベクトル空間であり
>行列の成分は、基本的に実数R(ないし、せいぜい複素数C)だ
コンテキストが線形代数なら
逆行列が存在する条件も線形代数の言葉でいうべきだね
零因子はNG 行列式が０でないというのも、それだけならNGだね
なぜ行列式が０でないのか線形代数の言葉で説明すべき
そのためには行列式が多重交代線型形式であることを使わなければならない
そして何が根本なのか、といえば、
行ベクトルそして列ベクトルが線型独立であること
これが線形代数における「逆行列が存在する行列」の答え
境界知能１君は、他人から言われるまで行列式という言葉を使わなかった
なぜ行列式が０でないと逆行列が存在するのかわかってないんだろう
線形独立という言葉を彼から聞いたことは一度もない
わかってないんだろう だから線形代数がわからない
マセマの本からやりなおしなよ
266:１３２人目の素数さん
24/06/16 07:13:04.05 bEh+Gl4Q.net
正規部分群もわからん人に、ガロア群の話をしても無駄
線形独立 もわからん人に、ワイル群の話をしても無駄
267:１３２人目の素数さん
24/06/16 07:17:22.44 bEh+Gl4Q.net
まず線形代数を理解してくれ
もし理解できたら、ワイル群の話をしよう
268:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
24/06/16 07:23:05.07 CQsAqfih.net
ふっふ、ほっほ、おサルの古傷に、塩を擦込ませて貰うよｗ ；ｐ）
・当時、上記のように、”ケアレスミス”と弁解するのが一番簡単だった
但し、そのためには、実数Rを成分とするnxn正方行列環で
正則行列（可逆行列）と零因子行列、それと零行列があり
実質 ”可逆でない行列＝零因子行列”（零行列は 当然でデフォルト（書かない）として）
という知識が必要だった（常識だがｗ）
・ところが、”ケアレスミス”という弁解は無かった。というか、弁解は皆無だった
そして、いま数年経って、零因子の意味が分って、ようやく”ケアレスミス”という言い訳をした
・それって、見え見えで、いまごろ零因子の意味が分ったんだ ；ｐ）
(参考)
（>>10より再録。なお、おサルは>>9ご参照）
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
ゆかいゆかい！ｗｗ
(引用終り)
269:１３２人目の素数さん
24/06/16 08:12:44.53 zmIMPvoD.net
>・簡単に 実数R又は複素数Cを成分とする n×n 行列全体を考えると、行列環になる（下記）
> これが、環であり非可換体にならないのは、積の逆元が存在しない行列が存在するから
>・その”積の逆元が存在しない行列”は、環の理論では伝統的に「零因子」と呼ばれる
> n×n 行列環から「零因子」を除けば、行列環→（n×n行列による）非可換体が構成できる
270:１３２人目の素数さん
24/06/16 08:51:45.11 CQsAqfih.net
>>242
ふっふ、ほっほ
ありがとう （＾＾
（訂正版）
・簡単に 実数R又は複素数Cを成分とする n×n 行列全体を考えると、行列環になる
これが、環であり非可換体にならないのは、積の逆元が存在しない行列が存在するから
・その”積の逆元が存在しない行列”は、環の理論では伝統的に「零因子」と呼ばれる
n×n 行列環から「零因子」を除けば、行列環→（n×n行列による）『単元群』（乗法群A×）が構成できる（下記雪江など）
(参考)>>104-105より再録
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦のホームページ
代数の教科書の 用語について (2012/7/7更新)
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
私の教科書の用語について代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.
1. 「単元群」か「単数群」か「乗法群」か
A が環のとき，乗法に関して逆元をもつ元の集合をA× と書くが，これを何と呼ぼう?
論理的な結論はもちろん「単元群」である. しかしこれは都合が悪いことがある. それは整数論でいずれ「ディリクレの単数定理」が出てくるから. これを「ディリクレの単元定理」と呼ぶ選択肢はない.
そこで「乗法群」とした.
整数論的な状況では「一般的には乗法群というが代数体の整数環では単数群と呼ぶことにする.」ということになる.
宮西「代数学」では「乗法群」を使っている.
英語では「group of units」,「Dirichlet’s unit theorem」なので，こういった問題�
271:ｪない. 日本では「Dirichlet’s unit theorem」が「ディリクレの単数定理」で完全に定着してしまったので，この用語で迷うことになるのである. 最初にこれを「ディリクレの単元定理」と訳してくれればよかったのに. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83 可逆元（invertible element）または単元（unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。 環の単元群 環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる[4]。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。 任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[5]。 例 ・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。 https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_(ring_theory) Unit (ring theory) Examples Matrix rings The unit group of the ring Mn(R) of n × n matrices over a ring R is the group GLn(R) of invertible matrices.
272:１３２人目の素数さん
24/06/16 08:54:20.81 CQsAqfih.net
>>243 訂正
n×n 行列環から「零因子」を除けば、行列環→（n×n行列による）『単元群』（乗法群A×）が構成できる（下記雪江など）
↓
n×n 行列環から「零因子」と「零行列」を除けば、行列環→（n×n行列による）『単元群』（乗法群A×）が構成できる（下記雪江など）
273:１３２人目の素数さん
24/06/16 09:15:16.04 CQsAqfih.net
>>243 補足
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(ring_theory)
Unit (ring theory)
からドイツ語に飛ぶと
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)(Mathematik)
Einheit (Mathematik)
In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, wird ein invertierbares Element eines Monoids als Einheit bezeichnet. Einheiten werden vor allem in unitären Ringen betrachtet.
（google 独→英訳）
（In algebra , a branch of mathematics , an invertible element of a monoid is called a unit . Units are mainly considered in unitary rings .）
とあります
独語 Einheit は、独和辞典の解説は、下記の通り
なお”Ein”は、英語”One”で「１」のこと
-heitは、ドイツ語接尾辞『形容詞につけて、女性形の抽象名詞を作る』
Einheitは、「１みたいなもの」、つまり ”一体（いまの場合は一対）”という意味で
数学では、”逆元と対になっているもの（その片割れ）”というドイツ語の意図でしょうね
日本語の「単元」とか「単数」から受けるイメージとは、合わないです
（いまさら、どうしようもないですが。混乱させられないようにしましょう！ ；ｐ）
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
Einheit
プログレッシブ 独和辞典の解説
Ein・heit, [áInhaIt アィンハィト]
[女] (-/-en)
❶ ((英)unity) 統一〔体〕；一致；まとまり，一体
die politische Einheit eines Volkes＼民族の政治的統一
Tag der Deutschen Einheit＼ドイツ統一記念日（10月3日）
Einheit von Form und Inhalt＼形式と内容の一致
zu einer
274: Einheit verschmelzen＼統合する；合併する． ❷ ((英)unit) 単位（(略)E） die Einheit des Luftdrucks＼気圧の単位． ❸ 〔軍事〕 部隊． [複合] Flächeneinheit 面積単位．Gewichtseinheit 重量単位．Längeneinheit 長さの単位．Münzeinheit 貨幣単位．Truppeneinheit 部隊．Wärmeeinheit 熱量の単位．Zeiteinheit 時間の単位． https://ja.wiktionary.org/wiki/-heit -heit 目次 1 ドイツ語 1.1 語源 1.1.1 同系語 1.2 接尾辞 1.2.1 派生語 接尾辞 形容詞につけて、女性形の抽象名詞を作る。
275:１３２人目の素数さん
24/06/16 09:24:42.18 bEh+Gl4Q.net
>>241
境界知能１ ワイル群が全く理解できず
あいかわらず正則行列の条件を復習中
どうやら彼は「行列式が０でない」となぜ「逆行列が存在する」か理解できず
「零因子でないからだ！」という安直な納得に飛びつこうとしているが
線形代数から逸脱してるのでアウト
重要なのは、
「線型空間としての同型写像であるのは
元の基底（線形独立な生成元）の像が新たな基底となるとき
そのときに限る」
ということ、そしてそれは行列式が０でないときそのときに限る
線型代数の言葉だけで言い切らなければならないことを
その外の言葉で逃げるのが、線型代数分かってない証拠
境界知能１ 君は自分のかさぶたを剥き続けてるからいつまでたっても治らない
今必要なのは、線形代数を１から勉強して、自分の過去の無知から生まれた傷を治すこと
276:１３２人目の素数さん
24/06/16 09:30:07.43 bEh+Gl4Q.net
>（訂正版）
>・簡単に 実数R又は複素数Cを成分とする n×n 行列全体を考えると、行列環になる
> これが、環であり非可換体にならないのは、積の逆元が存在しない行列が存在するから
>・その”積の逆元が存在しない行列”は、環の理論では伝統的に「零因子」と呼ばれる
> n×n 行列環から「零因子」を除けば、行列環→（n×n行列による）『単元群』（乗法群A×）が構成できる
無意味
一般の環でも零因子は存在するが、それを除いたところで乗法群にはならない
一般の環では「零因子でない」から逆元が存在する、とはいえない
線型代数の言葉で説明できることを、わざわざ環論の言葉を持ち出し
しかもそうしたところで説明に失敗している
生兵法は大怪我のもと
まさに境界知能１君のためにある言葉だな
277:１３２人目の素数さん
24/06/16 09:35:41.63 bEh+Gl4Q.net
線型独立
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
さて、もし１君が
「体Kについて
K^ｎのｎ本の線型独立な列ベクトルを並べた行列 と
K＾ｎの正則行列 は 同じだというのか？」
と尋ねたとしよう
（そもそも１が質問することなどまずないし、質問すらできないからダメなのだが）
このとき、私はこう答えるであろう
「そうとも！その通りだよ！そうでない例が１つでもあるかね？あるなら教えてくれたまえ！」
278:１３２人目の素数さん
24/06/16 12:11:35.27 CQsAqfih.net
ふっふ、ほっほ、おサルの古傷に、塩を擦込ませて貰うよｗ ；ｐ）
・当時、上記のように、”ケアレスミス”と弁解するのが一番簡単だった
但し、そのためには、実数Rを成分とするnxn正方行列環で
正則行列（可逆行列）と零因子行列、それと零行列があり
実質 ”可逆でない行列＝零因子行列”（零行列は 当然でデフォルト（書かない）として）
という知識が必要だった（常識だがｗ）
・ところが、”ケアレスミス”という弁解は無かった。というか、弁解は皆無だった
そして、いま数年経って、零因子の意味が分って、ようやく”ケアレスミス”という言い訳をした
・それって、見え見えで、いまごろ零因子の意味が分ったんだ ；ｐ）
(参考)
（>>10より再録。なお、おサルは>>9ご参照）
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
ゆかいゆかい！ｗｗ
(引用終り)
279:１３２人目の素数さん
24/06/16 14:34:25.49 CQsAqfih.net
>>246
>ワイル群
ふっふ、ほっほ
ワイルの物理数学（or物理学全体）に与えた影響は、すさまじいのものがある
（下記 蟹江 幸博記事ご参照。引用は、全体の1/10にすぎない）
下記 [7]『群論と量子力学』
”著書[7]が与えた影響は[3]が与えたものよりも大きかった”
”[7] の理論物理界への影響はすさまじく，Gruppenpest（群のペスト）と呼ばれるほどのものだった”
いま、21世紀では、その後の数学研究の進展で、『ワイル群』程度しか明示的なものは残っていないかも知れないが
根本的なところで、ワイルの著書[7]は物理数学に革命を起こした
小平先生の調和解析は、ワイルの物理数学ジグソーパズルの重要な１つのピースを成している
サル(>>9)には、ワイル群しか見えないだろうが、氷山のほんの一角にすぎない
氷山の水面
280:下の広がりは、数学科落ちこぼれのサルには分らない (参考) http://kanielabo.org/essay/ 蟹江 http://kanielabo.org/essay/Weyl_k.pdf 『ワイルの著書を巡って』特集ワイル，数理科学2016年 サイエンス社．蟹江 幸博 1. 最初の著書マイケル・アティヤがヘルマン・ワイルのことを「20世紀前半の最も偉大な数学者の一人であって，多くの研究分野を開拓したことでは，他の数学者の追随を許さない」と語ったことは有名である．もちろん，論文による数学的業績も優れているのだが，むしろ，その著書によって本当に始まったと言えるような分野が少なくない． フーリエ積分定理に関わる特異積分方程式という学位論文を書き，1908年に博士号を取得している．そしてその年，ヒルベルトの私講師になっている．私講師というのは無給であり，講義をすることができれば，そしてその講義に学生が来れば，彼らから受講料を受け取ることができるというもので，学生の延長のようなものだった．1913 年に出版された [1]Die Idee der Riemannschen Flache, Teubner, Leipzig, Berlin（1955年に改訂第3版があり，日本語訳には『リーマン面』(田村二郎訳)岩波書店(1974)がある）は，その序文にあるように，1911年から12年にかけての冬学期の講義を再現したものである．1946年のプリンストン大学200周年記念講演の中で，ワイルは「ブラウエルとケーベこそが私の 著書『リーマン面』のゴッドファーザーです．今思うと．二人にはちょっと変わったところがありました．ケーベは野性的，ブラウエルは神秘的です．ケーベは当時，リーマン面の概念を独特な手ぶりで定義するのが常で，リーマン面について講義したとき，私はもっと厳密に定義する必要があると感じました．それで私はコホモロジーの着想を使って種数の不変性を確立しました」と語っている．一言で言えば，1次元複素多様体であるリーマン面は，カール・ワイエルシュトラスの扱った解析関数を一つのものとして考察できる場として，多重に折り重なった面としてリーマンが構想した幾何的実体を，厳密に基礎付けるものであった．イメ－ジとしての被覆面を厳密に定義するにも，連続曲線すらも単なるイメージ以上のものとして定義しなければいけなかった．それらにライツェン・ブラウエルのトポロジー研究が重要な役割を果たし，また，ポール・ケーベとの多くの会話が支えになっているとも述べている．さらに，忙しく病がちなクラインと，内容について詳細な検討を行ったとも述べている． つづく
281:１３２人目の素数さん
24/06/16 14:35:46.69 CQsAqfih.net
つづき
序文の初めには，「ここに成し遂げられるまで残されていたこの学問上の仕事が，業績として高く評価されることは恐らくないだろう」と述べ，学問上の業績とは何かを問いかけている．
ともあれ，この出版を契機として，この年，無給状態を脱し，スイス連邦工科大学チューリヒ校に，幾何学講座の教授として赴任することになる．
軍務から解放された1916年に戻ろう．チューリヒに帰ってみれば，一般相対論を発表したばかりで，さらに基礎固めをして理論を進めようとしていたアインシュタ
282:インが，幾何学の専門家を求 めていた．前出のプリンストン大学記念講演では，「アインシュタインの「一般相対性理論の基礎」は1916 年に発表されましたが，本当に画期的な出来事でした．その反響は数学の枠をはるかに超えて広がり，科学者としての私の人生にとっても転機となりました．1916年に私はドイツ陸軍から解放されてスイスの職に戻りましたが，私の数学的精神は他の復員兵に劣らず荒涼としていて，何をしたらいいかわかりませんでした．［さしあたり］代数曲面の勉強を始めましたが，研究が進展する前にアインシュタインの論文が発表されると私はすっかり夢中になってしまいました．」「一般相対論が無限小幾何の発展に与えた影響」や「ゲージ不変性の原理に基づいて重力と電磁気の統一理論を築くという私の着想」などと回想している． ワイルは，1917年の夏学期にETHで一般相対論の講義をして，1918年の春には，[3]『空間・時間・物質』(Raum, Zeit, Materie) を発表した．（日本語へ翻訳のは1973年に，奇しくもほとんど同時に講談社からは内山龍雄訳が，東海大学出版会からは菅原正夫訳が出ている．内山訳のものは2007年に上下巻でちくま学芸文庫から復刊された．） アインシュタインは同書を「交響曲の傑作」のようだと称賛している． つづく
283:１３２人目の素数さん
24/06/16 14:36:47.00 CQsAqfih.net
つづき
1921 年にエルヴィン・シュレーディンガーが，チューリヒ大学にラウエの後任の数理物理学教授として着任した．チューリヒ大学とETHは隣接していて，スタッフ間も日常的な交流があった．ワイル夫妻とシュレーディンガー夫妻はいろいろな意味で密接な交流をしたようである．またノーベル賞受賞者のピーター・デバイもいて，チューリヒは量子力学も盛んで，それに反対するアインシュタインもいて，ワイルは双方と交流を持っていた．次の3作は，空間と物質について，その物理と数学と哲学を深く考察したものである．[4] “Mathematische Analyse des raumsproblems”（『空間問題の数学解析』）, 1923 [5] “Was ist Materie?”（『物質とは何か？』）, 1924 [6] “Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft”, 1927. （『数学と自然科学の哲学』(菅原正夫，下村寅太郎，森繁雄訳)岩波書店(1959)．著者自身が監修した英訳本(1949) があり，日本語訳はそれを底本にしたもの．）
やがて，チューリヒの理想郷状態が崩れる時が来る．その副産物が次の著書である．[7] “Gruppentheorie und Quantenmechanik” (『群論と量子力学』)，H.Hirzel, Leipzig, 1928.原著第2版(1931). （山内恭彦による日本語訳が裳華房(1932)から，ワイル自身の英訳が1950年に出版されている．）[7] の序文で，「1927/28の冬学期にデバイとシュレーディンガーが同時に突然の招聘により他へ去ったので，チューリヒは理論物理の講義の全部を失うことになった．ここに於いて余は既に予告してあった群論の講義を群論及び量子力学の講義に改め，進んでこの欠陥を填補せんことを試みた」と語っている．その直前に，「外的動機において前回Raum, Zeit, Materie の書を著すに至ったのと大差がない」と言っているので，[3]の元となった講義もアインシュタインがするべき講義を代わりに
行ったということなのかもしれない．
やっつけ仕事に見える切っ掛けがどうであれ，著書[7]が与えた影響は[3]が与えたものよりも大きかった．[3]の後，ゲージ不変性を旗印に重力と電磁気との統一理論を作ろうとして，（時期尚早というべきか）失敗しているのだが，後に量子力学が生まれて，特に量子電磁力学が生まれる際には大きな役割を果たしている．さらに，2成分ニュートリノ理論などが，ワイルの死後のことだが，ヤン–ミルズ場の理論にも影響を与えている．[7] の第1章は「ユニタリ幾何」，第2章は「量子理論」，第3章は「群とその表現」，第4章は「群論の量子力学への応用」，第5章は「対称置換群と対称変換の代数」となっている．扱われている群は，一般線形群，回転群，ローレンツ群，対称置換群である．ワイルによれば，1章と3章の数学は物理向けで，2章と4章の物理は数学向けで，5章がその融合を意図したものである．
[7] の理論物理界への影響はすさまじく，Gruppenpest（群のペスト）と呼ばれるほどのものだった．多くの物理学者が感想を述べているが，たとえばジュリアン・シュウィンガーは「繰り返し何度も読」み，「読むたびに少しずつ理解は深まっていったものの，今でも完全には理解していない」と述べている．また，ポール・ディラックの空孔が陽子ではなく，同じ質量の反粒子であるべきという主張が，後にディラックの陽電子発見(1933)に繋がった．
(引用終り)
以上
284:１３２人目の素数さん
24/06/16 14:56:34.43 CQsAqfih.net
>>246 追加
>ワイル群
ふっふ、ほっほ
”物理数学III講義ノート上田正仁”にも、ワイル群は解説されている(下記)
(参考)
再録>>202より
//cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/maph3.pdf
物理数学III講義ノート上田正仁
平成28 年10 月25
P84
ここで、β′はαに垂直な面に関するβの鏡映になっていることが分かる(図5.4参照)。
これをワイル鏡映(Weyl reflection)という。
ルート図のワイル鏡映の全体は群をなし、これをワイル群(Weyl group)という。
285:１３２人目の素数さん
24/06/16 15:31:13.42 bEh+Gl4Q.net
>>249 >>246-248読んで正しく復習してな 復讐じゃないよ、復習
286:１３２人目の素数さん
24/06/16 15:35:20.08 bEh+Gl4Q.net
>>250-252
>ふっふ、ほっほ
キジバトか
>ワイルの物理数学（or物理学全体）に与えた影響は、すさまじいのものがある
>○○には、ワイル群しか見えないだろうが、氷山のほんの一角にすぎない
>氷山の水面下の広がりは、数学科落ちこぼれのサルには分らない
結局、キジバト並の境界知能１君には、ワイル群は全くわからなかったんだね
だろうと思った
287:１３２人目の素数さん
24/06/16 15:49:28.92 bEh+Gl4Q.net
>>253
＞ルート図のワイル鏡映の全体は群をなし、これをワイル群(Weyl group)という。
定義はやっと理解したようだね
では質問
リー代数のカルタン部分代数、
その非零ルート及びルートに直交する超平面の鏡映、
その鏡映によって生成されるワイル群
は、それぞれ何を表すのかね？
上田正仁氏のpdfでも血眼になって読んで
該当箇所があったらコピペしてごらん
まあ、自分で考えて答え書いたほうが早いけどな
そのためには理解が不可欠だけどな
288:１３２人目の素数さん
24/06/16 15:58:00.42 bEh+Gl4Q.net
ヒント
・リー群とリー代数の関係
・極大トーラスとカルタン部分代数の関係
・置換と鏡映の関係
まあ体C上の一般線型群で考えてごらん
最初から一般的に考えても仕方ない
もっともいい具体例で考えるのが得策だよ
289:１３２人目の素数さん
24/06/16 16:39:19.63 bEh+Gl4Q.net
>>257
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%BE%A4#%E5%AE%9A%E7%BE%A9
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
G がコンパクトかつ連結ならば、G のワイル群はそのリー環のワイル群に同型である。
例えば、一般線型群 GL に対し、
極大トーラスの1つは可逆対角行列全体のなす部分群 D であり、
その正規化群は一般置換行列（置換行列の形をした行列だが '1' の代わりに任意の 0 でない数でよい）たちであり、
ワイル群は対称群である。
この場合商写像 N → N/T は（置換行列たちを経由して）分裂するので、
正規化群 N はトーラスとワイル群の半直積であり、
ワイル群は G の部分群として表せる。
（一般にはこのようになるわけではない、
つまり、商は必ずしも分裂せず、正規化群 N は W と Z の半直積とは限らず、
ワイル群は G の部分群として実現できるわけではない。）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
290:１３２人目の素数さん
24/06/16 16:44:37.63 bEh+Gl4Q.net
>>258
＞一般にはこのようになるわけではない、
一般的には「都合のよい性質」が成り立たない場合
「都合のよい性質が成り立つもの」を考える逆転の発想が生まれる
ティッツ系
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
291:１３２人目の素数さん
24/06/16 16:49:12.05 bEh+Gl4Q.net
ネット検索で知識をかき集めることは🐒でもできる
しかしかき集めた知識を結びつけて理解することは👱にしかできない
絵文字では金髪になってるが別に白人とかヤンキーとかを意味するわけではない
たまたま出てきたから使ったまでのことである
292:１３２人目の素数さん
24/06/16 17:31:44.76 CQsAqfih.net
>>259-260
>「都合のよい性質が成り立つもの」を考える逆転の発想が生まれる
>ティッツ系
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ほほう 君も数学イップスが治って、数学文献をかじれるようになったかな？ ；ｐ）
・日と独がティッツ系（Tits system）で、4つ組 (G, B, N, S)
・仏と英が(B,_N)_pairか
お国柄かな ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ティッツ系（Tits system）あるいは (B, N)-対は、ある種の群に対してそれまで個別に与えられていた多くの証明を統一的に取り扱うためにジャック・ティッツによって導入された、リー型の群上のある種の構造である。ティッツ系を備えた群は、体上の一般線型群と「だいたい」同じようなものと見なせる。
定義
以下の公理を満たす4つ組 (G, B, N, S) をティッツ系という。ただし G は群、B と N はその部分群であり、S は N/(B ∩ N) の部分集合である。
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Tits-System
（google独→英訳）
A Tits system (often synonymously called a BN pair) is used in the mathematical discipline of group theory to formulate and prove many results from the theory of semisimple Lie groups, algebraic groups and finite groups of Lie type in a uniform manner. Tits systems also form the algebraic counterpart to building theory. The term was introduced by Jacques Tits.
Definition
A Tits system consists of a 4-tuple
(G,B,N,S)
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
BN-paire
（google仏→英訳）
In mathematics, a BN-pair, or (B, N)-pair, is a structure on Lie-type groups which makes it possible to give uniform proofs of numerous results, instead of giving a large number of proofs on a case-by-case basis. Basically, this shows that all these groups are similar to the general linear group on a field. They were introduced by the mathematician Jacques Tits, and are also sometimes known as Tits systems.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(B,_N)_pair
In mathematics, a (B, N) pair is a structure on groups of Lie type that allows one to give uniform proofs of many results, instead of giving a large number of case-by-case proofs. Roughly speaking, it shows that all such groups are similar to the general linear group over a field. They were introduced by the mathematician Jacques Tits, and are also sometimes known as Tits systems
293:１３２人目の素数さん
24/06/16 17:35:09.76 CQsAqfih.net
Jacques Titsは、ベルギー生まれのフランスの数学者とある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジャック・ティッツ（Jacques Tits、1930年8月12日 - 2021年12月5日）は、ベルギー生まれのフランスの数学者で、群論と結合幾何（英語版）で活躍した。ティッツの建物、ティッツ択一性（英語版）、ティッツ群（英語版）、ティッツ計量（英語版）を導入した。
貢献
ティッツは、「建物」(時にそれはティッツの建物として知られている) を導入した。「建物」は、特に (有限群と、p進数上で定義された群を含む) 代数群の理論で群が振る舞う組み合わせ構造である。(B, N)-対関連の理論は、リー型の群（英語版）の理論における基本的な道具である。特に重要なのは、球面型でランク3以上の全ての既約な建物の分類であり、それはランク3以上の全ての極空間（英語版）を分類することに関わっている。これらの建物の存在は当初各々の場合でリー型の群の存在に依存していたが、マーク・ロナン（英語版）との共同研究によりティッツはランク4以上の建物を独立に構築し、その群を直接に生み出した。ランク2の場合では、球面型建物は一般化多角形であり、リチャード・ワイス (Richard Weiss) との共同研究により、それらが適切なシンメトリー群を許容する時に分類した（ムーファン多角形と呼ばれている）。フランソワ・ブリュア（英語版）と共同で、ティッツはアフィン建物の理論を開発し、その後アフィン型でランク4以上の全ての既約建物を分類した。
294:１３２人目の素数さん
24/06/16 17:44:30.01 CQsAqfih.net
仏 Bruhat
仏語では、hとtは発音しないと聞いたが・・
英語読みが、ありそうだ
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
google 仏→英訳
François Bruhat , bornApril 8, 1929in Paris 12th and died onJuly 17, 2007in Paris 15 e 1 , is a French mathematician and professor of mathematics .
Biography
Received first at the École normale supérieure in 1948 and in the aggregation competition in 1951, he participated in the Nicolas Bourbaki group . In 1955 he defended a thesis entitled “On the induced representations of Lie groups”.
His work focuses on Lie groups and was the subject of a deep collaboration with Jacques Tits .
Private life
He is the son of the physicist Georges Bruhat , who died in deportation , and the brother of the mathematician Yvonne Choquet-Bruhat .
295:１３２人目の素数さん
24/06/16 18:00:02.26 bEh+Gl4Q.net
>>261
＞ほほう 君も数学イップスが治って、数学文献をかじれるようになったかな？
境界知能１君は、マウント癖が治らないねえ
296:１３２人目の素数さん
24/06/16 18:08:20.51 bEh+Gl4Q.net
境界知能１君は、数学文献をかじっても消化する酵素がないので、
かじったものがそのまんま排泄される
いわば、バラムツ食った人状態
バラムツ
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%84
297:１３２人目の素数さん
24/06/16 20:21:52.07 CQsAqfih.net
>>252
>[7] の理論物理界への影響はすさまじく，Gruppenpest（群のペスト）と呼ばれるほどのものだった
”Gruppenpest”か・・
懐かしいな。この言葉は、20世紀によく聞きました
ガロア理論の群論勉強が、多少役立ちました ；ｐ）
(参考)有名なyuji.tachikawa先生の物理数学III 講義ノート
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
List of lectures yuji.tachikawa 東大
2017年度 物理数学III (本郷三年生) [講義のページ]
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
yuji.tachikawa
物理数学III (2017)
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
物理数学III 講義ノート (2017)
0 講義に関係あったりなかったりする雑多なコメント
・群論と微分形式をやることになっている4。
・群論をやるのはまあ物理でしばしば出てくるから意味があるとは思う5。
298:群論や、それに限らず数学のいろいろな分野は、数学者が僕らの代わりに考えておいてくれた道具の集まりなので、どういう道具があるのか知っておくと、将来使い道があるかもしれない6。 ＜コメント＞ 4が、群論はともかく微分形式をちょっとだけやってどうなるのか良く判らない。一般にうちの物理学科では、シラバスの概要が一応決まっていて内部文書があるのだが、2011年から更新しされていないし、内容がどうやって決まっているのか良く判らない。昔からの慣習で決まっているだけでは。 5まあ僕にとっては群論はそれ自身興味深い話題だからそれでいいのだけれども。 6特に群論は量子力学の初期に非常に有効に使われたが、不必要に数学的だ、として、嫌いな人も多かったようで、 Gruppenpest (群論病) と呼ばれた。 ・たいてい物理のための群論の講義、本というと内容とその流れはほぼ同じ。ほぼ同じものをわざわざ講義でやったりその講義ノートを準備するのはつまらないので、わざとこの講義ノートは毛色を変えてあります。しかし、このノートのほうが良いとか分かりやすいというわけではないと思う。ただ、講義をする僕が興味を失わないように、なるべく、変わった方法でやりたいのです。 ・物理数学ぉぉ でやるような特殊関数は最近はMathematica などの数式処理ソフトが何でも知っている。群論ぐらいになってくるとMathematica 等市販のソフトの域を少々超えてくるが、数学者は偉いので自分たちでいろいろ開発している。群論に関してはGAPというオープンなものとMagmaというクローズなものが著名。僕は前者をちょっと使ったことがあるだけだけれど。数学者は各分野の研究者がそれぞれいろいろ開発して、最近はそれらを統合してSageから使える用になっている。 ・有限群の情報はGroup Propeties Wiki にも詳しい。
299:１３２人目の素数さん
24/06/16 21:25:50.18 bEh+Gl4Q.net
>>266
＞ガロア理論の群論勉強が、多少役立ちました
肝心の正規部分群の定義も誤解してたのに？
300:１３２人目の素数さん
24/06/16 21:27:42.58 bEh+Gl4Q.net
正則行列も知らん人が群の線型表現分かるわけないの
こういう人はGruppenpestにかかりようがないので
脳味噌を酷使しない点では「安全」である
301:１３２人目の素数さん
24/06/16 21:35:58.59 bEh+Gl4Q.net
今の数学はさしずめKategorienpestか
もちろん圏論は言葉だけで中身はないがね
これをディスりと思うのは馬鹿
言葉というものは中身がないからどういう風にも使えるのである
302:１３２人目の素数さん
24/06/16 23:29:01.83 CQsAqfih.net
>>266
yuji.tachikawa先生と山下先生
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
論文のコメント
河東先生、 中島先生や長尾くんにならって、論文の背景についてコメントを書いてみようかと思いました。思い返すに、大抵の論文は偶然に共同研究者に巡り合ったり、誰かに何かを指摘されたことからはじまっています。一期一会です。
[2305.06196] Anderson self-duality of topological modular forms, its differential-geometric manifestations, and vertex operator algebras
with Mayuko Yamashita
一つ下の論文に至る共同研究の過程で、6-brane の楕円種数が通常のものも mod-2 のものも消えることが判ったので、この二次元理論は TMF class として非自明なのか、というのが気になった。TMF の表をみると、ちょうどこの次数には mod-2 index も消える非自明な元がある。これを確認する方法はないか、と思っていた。七月ごろの話である。 さて、�
303:ﾈ前の山下さんとの論文のセミナーを山下さんが東工大でやった所、オンラインで参加なさっていた駒場の河澄先生が興味をもってくださり、次に山下さんが駒場の数理に顔を出した際に廊下ですれ違った所、アノマリに対応する spectrum 間の morphism が消えているので、homotopy fiber をとれば消えていない secondary morphism があるはずだが、それの物理的解釈はあるのか、と質問を下さった。これを八月ごろには山下さんからメールで聞いていた。 九月中旬になって、実はこの二つの問題は関係しており、この secondary morphism は Green-Schwarz coupling を記述しており、6-brane の worldsheet 理論の非自明性を捉えているはずである、という天啓を得た。しかしこの時点では具体的な計算は出来ない。 十月上旬には山下さんがBruner-Rognesによる TMF の詳細を記述した分厚い本を紹介してくれる。これを使って山下さんが 7-brane の TMF 類の非自明性を示した。 僕もその本を眺めていると、どうやら secondary morphism と Tmf の Anderson 自己双対が関係ありそうなことに気付いたが、それらがほぼ同じであることはすぐに山下さんが示してくれた。 あとは年末年始に微分幾何的な計算方法を考えたりしつつ、のんびり論文をまとめていたが、もう投稿しようという寸前に、「ほぼ同じ」なのではなくて「同じ」であることに気づき、主張をさらに鋭くすることが出来た。 こんなに予期せぬことだらけの面白い研究が出来たのは滅多に無いことだ。 [2302.07548] Remarks on mod-2 elliptic genus with Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura 二つ上の論文に至る共同研究の過程で、6-brane の角度方向を記述する heterotic sigma model が (SU(16)/Z4)1 に flow するのではないかということに昨年六月ごろに気づいた。 確認として楕円種数を比較しようと思ったが、通常のものはすぐに消えると判るので、mod-2 index 版を考えないといけない。 誰か考えていて良さそうな話であるが、純粋数学の論文が二つあるだけでほぼ未開拓だったので、自分たちで開発する必要があった。 途中で僕と米倉君では手に負えなくなり、山下さんの手を煩わして TMF の手法を用いて解決した。 6-brane では mod-2 index は消えることがわかり、元の目的には役に立たなかったが、まあ誰かがやっておくべき仕事ではあった。 昨年晩秋にはほぼ出来ていたと思うが色々あって二月になった。
304:１３２人目の素数さん
24/06/16 23:38:13.34 CQsAqfih.net
>>267-269
おサル(>>9)が、愚にもつかないことを、グダグダと
数学科落ちこぼれのアホが
yuji.tachikawa先生と山下先生の境地とは、比べるべくもないｗ ；ｐ）
305:１３２人目の素数さん
24/06/17 08:47:55.70 swHUx0I5.net
下を見れば地獄
上を見れば天国
306:１３２人目の素数さん
24/06/17 09:32:28.12 FiwktZtw.net
>>270 ワイル群諦めて無関係コピペとは情けない まあ素人だから仕方ないか 最初から利口ぶらなければいいものを
307:１３２人目の素数さん
24/06/17 09:33:42.94 FiwktZtw.net
>>272
下れば安全
上れば酸欠死
308:１３２人目の素数さん
24/06/17 10:03:49.50 1ifPWq/0.net
いずれにせよ
必要なのは深呼吸
309:１３２人目の素数さん
24/06/17 10:04:59.36 /cbEK16/.net
member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/misc/benkyo.html
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(この記事を公開したあとに当時ゼミに参加していた友人からメールを貰いましたが、アルティンの「ガロア理論」も読みました。
全然身に付かなかったから
310:全く記憶から消えていたのでしょう。 当時は駒場の教室を勝手に夕方につかって、守衛さんに追い出されたりしました。悪い学生でした。) ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 実に正直でいいと思います 物理でガロア理論なんて使わないですからね 分かりもしないのに「ガロア群がぁ」とかいうヤツは嘘つきのペテン師
311:１３２人目の素数さん
24/06/17 10:50:58.20 zDISi17g.net
>>276
>物理でガロア理論なんて使わないですからね
重箱の隅で悪いが ；ｐ）
下記の河東 泰之 作用素環と量子Galois群
「量子化されたGalois理論」などと書かれております
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
特集／量子化 数理科学 NO.398,AUGUST 1996
作用素環と量子Galois群
河東 泰之
1. はじめに
結び目の不変量，Jones多項式が作用素環論に基づいて発見されたのは1984年の5月のことであった．
ちょうどその年の4月に4年生のセミナーで作用素環論を勉強し始めたばかりだった私にとって，それ以来進行しているこの10年あまりの理論の深まりは実に刺激的なものであった．
それは，これまで作用素環論とはあまり関係がないと思われていた数学，理論物理学の多くの分野が新たに作用素環論との結びつきを深めていく様子を目の当たりにすることができたからである．
作用素環論の立場から見た場合，これらほかの分野（量子群，3次元トポロジー，共形場理論，可解格子模型，...）との間をつなぐ理論は「量子化されたGalois理論」にあたるもので，paragroup理論と呼ばれている．
以下，この理論について解説することがこの文章の目的である．
通常のGalois 理論では，体K（たとえば有理数体）とその拡大体Lの組を考える．
そしてテクニカルな条件を飛ばして簡単に言えば，この組のGalois 群とは，大きい体Lの自己同型のうち小さい体Kの元を動かさないようなもの全体のなす群である．
これに対し作用素環論では，体を環に取り替えて作用素環Nとその拡大環Mの組を考える．
ここで作用素環と言っているのは，Hilbert空間上の連続線形作用素（荒っぽく言えば無限次元行列のこと）のなす環のことで，さらに通常，代数的，解析的に都合のいい条件を仮定するため，II1 factor（ツーワンファクター）と呼ばれるクラスの場合を主に考える．
このクラスはMurrayとvon Neumannが約60年前に導入したものであり，II1というのはその時の分類の番号，factorというのは分類理論における基本的な単位ということからついた名前である．
312:１３２人目の素数さん
24/06/17 11:00:03.62 zDISi17g.net
>>276
>物理でガロア理論なんて使わないですからね
追加、若山 正人
URLﾘﾝｸ(journal.ntt.co.jp)
NTT技術ジャーナル
変化する現在（いま）、持続する未来（あす）
対称性に基づく解析学と幾何学による数論と量子相互作用
若山 正人（わかやま まさと）
NTT基礎数学研究センタ
数学の研究は、多くの科学と同様に多様な動機や関心から生まれます。良い研究はゆっくりと重要性が認識されていき、大変息の長いものです。抽象性が高く応用から遠くみえることも、広く科学・技術の足場となり得ることとのトレードオフです。しかし、これは同時に数学の役割をよく表すものです。
313: タイトルにある対称性とは、群の作用を考えるというものです。群や群の作用といえば、ユークリッド平面・空間の合同変換群や物理や化学などで馴染みの結晶群を思い起こされる方も多いと思います。群論は、20歳のときに決闘で亡くなったガロアにより創始されました。ガロア以前は、2次方程式の根の公式、さらに3次、4次方程式の公式と続き、5次以上の方程式のそれを求めることへの努力が続いていました。しかし、ガロアが行ったのは、方程式の根の置換の全体（置換群）を考え、その構造から、方程式が5次以上の場合、一般には（四則演算とべき根をとる有限回の操作で根を表示する）根の公式は存在しないというものでした＊2。これは大きなパラダイムシフトです ＊2 ガロア理論の始まりです。ガロア理論に接したことで数学者をめざした数学者も多くいます。なお、現在では2次方程式の「解の公式」と呼びますが、かつては「根の公式」と呼びました。2次方程式もいろいろな方程式の1つですので、解であることには違いありません。しかし、負の数の発見や虚数の発見をみても、それは人類の数学世界をひろげるルーツでもありました。特別な思いを込めてroot（根っこ）としておきたいと思います。また、5次方程式の根の公式の非存在自体は、ガロアと同時期にアーベルとルフィニによっても示されていました。ただしそれは、少なくとも表面的には、ガロアのような「群」という意識はみえない技術的なものでした。 NCHO 量子調和振動子は光子や水素原子の振る舞いを扱う量子論において基本です。そのエネルギー（固有値）は半整数で与えられ、対応する固有状態はエルミート関数です。このことはトレース０の2次の実行列からなる2次元リー環sl2(R)の表現論＊3から綺麗な記述が得られます。リー環sl2(R)は、行列式が１の実行列全体がなすリー群SL2(R)の無限小作用をとらえます。ここで一般に、リー群論は代数方程式のガロア理論に感動したS.Lieが、微分方程式に対するガロア理論を構築しようと創始しました。リー群は、その名の如く群であり、かつ、多様体と呼ばれる幾何的図形でもあります。したがって、sl2(R)はSL2(R)の単位元での接空間です。 エルミート関数は実数上の2乗可積分関数がなすベクトル空間 L2(R)の基底をなします。
314:１３２人目の素数さん
24/06/17 11:15:07.64 zDISi17g.net
>>276
>物理でガロア理論なんて使わないですからね
・下記でも「とは言ってもガロア理論は物理学には全く関係なく」の記述があります
・確かに、”代数方程式の解法”限定のガロア理論は、物理学には関係なくかもしれませんが
・もっと広く、群、環、体の抽象代数学の原点であり、一丁目一番地です
・さらに、ある対象（例えば体）を、その対称性に着目して群論に落として考える手法と見れば、
類似のことは
作用素環と量子Galois群 河東 泰之の通り
・さらに、群論は リー群論などで、広く物理学で使われています（若山 正人）
(参考)
URLﾘﾝｸ(event.phys.s.u-tokyo.ac.jp)
この世界で最も美しい理論 ガロア理論
perro18 東京大学 理学部 物理学科有志 Physics Lab. 2024
はじめに
今日はガロア理論というものを紹介する。普段Physics Labのゼミにもそんなに積極的に参加していない私だが，在学中に一度は物理学科の名前を借りてこういうのを書いてみたいと思ったのだ。
とは言ってもガロア理論は物理学には全く関係なく，純粋な数学の話題である。読者の対象には，大学の理系の1,2年で習う数学はわかるという程度の人を想定しているが，数学がわからない人でも雰囲気を読み取れるようにするつもりである。
ガロア理論とは？？？
315: 略す おわりに 本当は群の定義から始めて self-contained なガチ数学を書こうと思ったが，そんなん誰が最後まで読むねん！と思い直しゆるめの内容にした（まあそれでも何人がこの「おわりに」まで読んでくれているか疑問ではあるが...）。 最後にここまで読んでくれた読者と，一緒に3年間代数学を学んでくれた仲間に感謝を述べて本稿を締めようと思う。
316:１３２人目の素数さん
24/06/17 11:36:21.50 lPbU4hsN.net
>>277－279 なんか数学も物理も素人の奴がごちゃごちゃ言ってるが
＞ガロア理論は物理学には全く関係なく
この一言につきる アルティンの「ガロア理論」全く記憶にない、というのはそういうこと
物理屋だったら群の表現論とか勉強したほうがいい
SL2(R)とsl2(R)は昭和爺いうところの「一丁目一番地」
Serge Langの本で”SL2(R)”というそのものズバリのタイトルのものがあるほど
317:１３２人目の素数さん
24/06/17 11:39:18.18 lPbU4hsN.net
ディンキン図形A1といえば○１つだけで棒もない奴だが、これがsl2に対応する
318:１３２人目の素数さん
24/06/17 11:43:49.87 zDISi17g.net
そういえば
先日、東京駅近くのオアゾ 書店丸善に下記があったのを思い出した
URLﾘﾝｸ(www.gensu.jp)
代数学の華 ガロア理論 2019/12/21
冨田佳子 著
A5判（上製）／780ページ
［概要］いつでもどこでもガロアの世界をそばにおき, ガロアに出会えるようにと, 理解し忘れないように書き留めたものを本にした. 同じような疑問を抱きガロア理論を勉強し始めたが, 難しくて途中であきらめた人, ガロア理論を過去に一度理解したが, もう一度見直したいと思っている人, また数学を講義する立場にあり, ガロア理論について何かしらの話をしてみたいと考えている人や数学を専門に勉強したわけではないけれど, ガロア理論, 数学の世界を覗いてみたいと思っている人, このような方がたにこの本が何かしらの手助けになればと願っている．
【内容】
第1章 多項式環と拡大体 第2章 代数的閉体とsplitting field
第3章 ガロア拡大とガロア群 第4章 solvable
第5章 一般多項式 第6章 作図
第7章 別冊
アマゾン書評
Amazon_太郎
5つ星のうち5.0 古典ガロア理論の計算資料集
2021年11月29日に日本でレビュー済み
本書（約700ページ）は、
永田「可換体論」などのごく限られた演習問題（数ページ）と実質同等の内容。
ガロア理論を参照する度に、基本的なガロア群をいちいち計算するのは、かなり時間を浪費するため、
整理したまとめノートでもつくろうかと考えていたところ、書店で本書を発見した。
計算自体はコホモロジーなどと比べると、それほど煩雑なものではないが、
ついつい面倒で、かつ十分訓練をしていないため、うっかり計算ミスをしてしまう。
本書は、高校数学の解答つき演習問題集のように、基本的なガロア群について、
計算を網羅しており、細部にまで気配りされている。
専門外の私にとっては、時間効率の観点で、非常に重宝するが、
ガロア理論の専門家、専門学生からすると、やや基本的かつ自明な内容ではあるだろう。
圏論等を扱う、専門外の科学者や開発者が、
現代ガロア理論 Borceux の Galois Theories の基礎固めとして、
あるいは、ホモロジー代数で構築した基本的な直感�
319:Rホモロジー論へと拡張するときなどに、 本書は最適な書籍であろう。 細部までしっかりと間違いもなく書かれています。
320:１３２人目の素数さん
24/06/17 13:52:25.81 31bEL2+Y.net
大学の新入生向けに月曜から金曜まで毎日90分集中講義したとしたら
何割の学生が納得するだろうか
321:１３２人目の素数さん
24/06/17 14:09:09.72 rkH+guP4.net
>>282
買ったら？君、初歩から分かってないから
ま、読んでもわかるかどうかは知らんけど
322:１３２人目の素数さん
24/06/17 16:19:49.37 zDISi17g.net
>>280
>＞ガロア理論は物理学には全く関係なく
>この一言につきる アルティンの「ガロア理論」全く記憶にない、というのはそういうこと
笑えるんだけど
例えば、河東泰之氏は「ファン・デル・ヴェルデン「現代代数学」(東京図書) の3巻本」を読んだと書いてある
別に、>>279の通りで、東京大学 理学部 物理学科有志 が 3年間代数学のゼミをやって
「ガロア理論」（アルティンではないと思うが）を含む、代数学の勉強をやった
（彼らも、物理に直結するかどうかはともかく、全く無駄にはならないとは思っていたのでしょう）
そもそも、あなたは現代の大学以上の物理に無知でしょ？
必死に言いつのって、何が言いたいのか？
自分が数学科学部でオチコボレて、ガロアが理解できなかった言い訳か？ ；ｐ
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
サイエンス社の月刊「数理科学」に私が書いた古い記事です． 同社の許可を得て公開しています．
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
22.河東泰之， 私の読んだ本と私の書いた本，「数理科学」 Vol.59-3, pp.76-81, サイエンス社，2021．
ほかにも手当たり次第にいろいろな話題の本を読んだ．
たとえば，村上信吾「多様体」(共立出版)，ファン・デル・ヴェルデン「現代代数学」(東京図書) の3巻本などである．
323:１３２人目の素数さん
24/06/17 16:46:01.26 frEjQhHI.net
>>285
おちつけｗ
河東泰之は数学者であって物理学者ではないぞ 分かってるか？
ガロア理論は物理と無関係 何がおかしいのかい？
はっきりいわせてもらうけどガロア理論が理解できてないっていったって
正規部分群も誤解してた君ほどひどくはないよ
でラグランジュ分解式の使い方を理解したことで不勉強な君を光速でブチ抜いたよ
ほんと君は本もろくに読めないんだねえ そんな奴が大学行っても無駄だよ
自分でも分かってるんだろ？高卒で君の知的人生は完全に終わったと
324:１３２人目の素数さん
24/06/17 16:46:43.29 nY4Oyyjs.net
数学は普遍被覆
物理学は二重被覆
ってイメージ。
325:１３２人目の素数さん
24/06/17 16:48:44.78 frEjQhHI.net
>>286
＞ラグランジュ分解式の使い方を理解したことで不勉強な君を光速でブチ抜いたよ
こんなことは何の自慢にもならんのだが敢えて書かせていただいた
なんで君は基本をおさえないの？数学を馬鹿にしてんの？
正則行列も全然知らなかったしひどすぎるよ
326:１３２人目の素数さん
24/06/17 16:50:47.47 frEjQhHI.net
＞物理学は二重被覆
それもしかしてスピノル群が直交群の二重被覆って事言ってる？
327:１３２人目の素数さん
24/06/17 17:52:20.90 zDISi17g.net
>>283
>大学の新入生向けに月曜から金曜まで毎日90分集中講義したとしたら
>何割の学生が納得するだろうか
仲間がいるなら、
仲間で自主ゼミがいいと思う
自分が講師役やるのが、一番勉強になる
328:１３２人目の素数さん
24/06/17 18:14:35.95 zDISi17g.net
>>286
>河東泰之は数学者であって物理学者ではないぞ
１）河東は、中学でガロア理論を学んだというから、物理学者も数学者も関係ないね
２）立川裕二は、数オリ２回 銀メダル
ICM 2018 Rio de Janeiro 招待講演者
だから、給料は物理学で貰っているとしても
その実態は、物理数学であって 中島啓に近いでしょ
Hermann Weyl Prizeを受賞しているしね （Hermann Weylは数学者）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
立川裕二
経歴
1998年、灘高等学校卒業。灘中学校・高等学校在学中には、国際数学オリンピックの日本代表に2回選出された。1995年（日本予選：中学3年[2][3]、国際大会：高校1年）の第36回カナダ大会、1996年（日本予選：高校1年[2][3]、国際大会：高校2年）の第37回インド大会に連続出場し、共に銀メダルを獲得した[4]。
研究
超弦理論に関する重力理論、数理物理、及び超対称性のある4次元場の理論。AGT対応の発見者。
受賞等歴
2014年 ヘルマン・ワイル賞[5][6]
2018年 ICM 2018 Rio de Janeiro 招待講演者 (講演非実施)[8]
5.^ Hermann Weyl Prize
6.^ 立川裕二准教授がヘルマン・ワイル賞を受賞
8.^ ICM Plenary and Invited Speakers 国際数学者連合公式サイト(英文)