Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71

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500:そのような理解に基づいて，IUT理論に関するScholze-Stixレポートはおそらく間違っているだろう，という空気感が共有されている．    つづく

501:１３２人目の素数さん
 24/06/14 15:06:09.60  yCtsspju.net
つづき 
 
コメントA-6に関する補足2（3段落目以降は，修士課程レベル？の整数論の専門知識を知っている人向け）： 
もう少し数学的な（しかし現実的な字数上の/時間的な制約によって，なお非常に大雑把な）レベルで，修士課程レベル（？）の整数論（局所類体論）の知識を仮定して，この「中間的な理解」を私自身の言葉で，私自身の責任に基づいて説明したい．念のため繰り返しておくが，本記事執筆時点では私は同理論に関して勉強の途中であり，1つの参考に過ぎないものとして捉えて頂きたい（ただし遠アーベル幾何学関連のgeneralな説明に関しては十分にconfidentである）． 
前提になるが，遠アーベル幾何学では「（位相）群論的」に数論幾何学を扱いたいため，通常「環論的」に定義される様々な対象を一旦忘却したり，また，それらの間の自然な同一視を一旦解除したりして扱う必要がある． 
 
具体例で説明しよう．p進局所体kの絶対Galois群G_kは，その環論的出自により「惰性群」という（kの最大不分岐拡大，特にZhat拡大に対応する）自然な部分群I_kをもつが，このI_kの定義は位相群論的ではない．つまり，G_kに対してはI_kという部分群が定まるが，G_kと同型なただの位相群Gに対しては，I_kにあたる部分群の定義はア・プリオリ的には存在していない．（この非存在性により，例えば「G_k1とG_k2の間の位相群同型写像がI_k1とI_k2の間に同型を導くかどうか」という保存性の問題も明らかでない，ということになる．）この事態を無理矢理，短く標語的に表そうとしてみると，「G_kの環論的解釈を忘却しているので，伴ってI_kも忘却される」といった（一見奇妙な？）標語になると思う．（なお，この標語は望月氏等による言い回しではなく私が今書きながら考えた言い回しであるが，こういった感じの，流儀の近い遠アーベル幾何学を良く知っていれば特に問題なく飲み込める標語も，意味不明だなどとして批判の対象になっているのを，時々見かけるような印象がある．）もちろん「GとG_kの同型を1つ固定して，それによりI_kを移送する」という安直な方法があるが，それはkの取り方や同型の取り方に依存してしまうかもしれないので，Gだけから決まる適切な定義とは言えない（上述の保存性の問題を参照）．多様体論において，（たとえユークリッド空間の開集合と同型な多様体を扱っているときであっても）概念の定義は座標に依存してはいけないのと，よく似ている． 
 
そこで，「G_kより一般に，「あるp進局所体kが存在してG_kと同型」な位相群Gに対して，何らかの部分群I(G)をwell-definedかつ位相群同型不変に定義して，それが任意のp進局所体kに対してI(G_k)=I_kを満たしているようにする」といったことがもしできれば，（つまり多様体論の喩えで言えば「座標に依らない定義」が確立できれば）それはもちろん，（「定義しているだけ」にも関わらず）非自明な内容（例えば上述の保存性）を含む数学の定理となる．もちろん，その定義の仕方を発想することや，well-defined性，従来の定義との整合性の確認の中に，非自明さが詰め込まれているのである．これが遠アーベル幾何学の中心にある「復元」の考え方である．なお，実際に``I_k''は局所類体論の比較的簡単な応用として「復元」が可能である（つまり``I(G)''の適切な定義を発見可能である）ので，まずは以下の議論を読んでから考えてみられるとよい． 
 
つづく

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