24/06/13 21:03:05.82 BM4dnn4H.net
念の為、少し再定義してちゃんと書いておくと
0<x<1のとき展開
(1/(1-x))^(1/x)=Σ[n=0,∞](a_n)x^n
における係数a_nがn→∞のときa_n→1となるか？
1008:１３２人目の素数さん
24/06/13 21:11:21.13 qygIjTvX.net
漸近展開？
1009:１３２人目の素数さん
24/06/13 21:26:20.39 BM4dnn4H.net
a_n=lim[x→0] n!×((1/(1-x))^(1/x))^(n)
と定義しても良いので
テイラー展開だと思って大丈夫だと思います
1010:１３２人目の素数さん
24/06/13 22:37:33.34 aFxD3nAR.net
anの漸化式
a[n+1] = 1/(n+1)Σ[k=0,n]a[k](n-k)/(n-k+1)
をだして計算機で計算してみたら
0.3714098509661091e
ぐらいに収束する希ガス
漸化式から単調減少はまちがいない。
1011:１３２人目の素数さん
24/06/13 22:42:23.02 ljOmCkZh.net
自己解決しました
1012:１３２人目の素数さん
24/06/13 22:51:32.87 BM4dnn4H.net
>>986
おお！マジですか
じゃあ微妙に1より大きい値が収束値なんですかね…
1013:１３２人目の素数さん
24/06/13 22:52:27.05 BM4dnn4H.net
余計に謎だ…
1014:１３２人目の素数さん
24/06/13 23:05:05.44 aFxD3nAR.net
まぁ収束そんなに速くないみたいだから1かもね。
a[n]/e の90項から99項
[0.37174734970059903,0.3717066795584849,0.3716668602082878,0.3716278651392691,0.3715896689335263,0.37155224721014746,0.37151557657276046,0.37147963456023914,0.3714443996003458,0.3714098509661091]
この辺だと少数第４位すら動いてるから1かも
1015:１３２人目の素数さん
24/06/13 23:09:25.25 ljOmCkZh.net
ネイピア数の近似
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
1016:１３２人目の素数さん
24/06/14 00:33:00.68 VwmTZa/Q.net
f(x) = (1-x)^(-(1-x)/x) として f(1) = 1 かな
1017:１３２人目の素数さん
24/06/14 00:42:03.20 k5OAMAI4.net
g(x)=Σa_nx^n
h(x)=Σb_nx^n
lim[x→1]g(x)/h(x)=1
のときlim[n→∞]a_n/b_n=1
ってことですかね…
この証明はどうやりますか？
1018:１３２人目の素数さん
24/06/14 00:52:26.87 J56Y0HCG.net
>>993
上のほう読んでないけど
それ
a_0=1
a_n=0 (n ≧ 1)
で成り立たなく�
1019:ﾋ
1020:１３２人目の素数さん
24/06/14 01:48:26.59 k5OAMAI4.net
>>994
えーと、b_nは例えば何ですか？
1021:１３２人目の素数さん
24/06/14 02:00:13.16 J56Y0HCG.net
>>995
b_nは何持ってきてもa_nが0だからだめじゃね？
＞lim[x→1]g(x)/h(x)=1
この条件はb_nを一斉に定数倍すれば成り立たせられるから、適当な関数を展開して定数倍で調整すればなんでもいい気がする
1022:１３２人目の素数さん
24/06/14 02:21:18.09 k5OAMAI4.net
>>996
すみません
lim[n→∞]a_n/b_n=1という書き方がマズかったけど
lim[n→∞]a_n=lim[n→∞]b_nなら大丈夫ですかね
1023:１３２人目の素数さん
24/06/14 02:35:21.83 J56Y0HCG.net
完全な想像だけどロピタルを繰り返したら出ないかなあ
1024:１３２人目の素数さん
24/06/14 03:03:07.75 J56Y0HCG.net
a_n = 2,0,2,0,2,0,...
b_n = 1,1,1,1,...
で、2/(1-x^2) vs 1/(1-x)になるからだめやで
1025:１３２人目の素数さん
24/06/14 03:11:43.23 k5OAMAI4.net
ありがとうございます
たしかにダメですね
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