24/04/14 23:08:26.01 TQbd33b9.net
>>190
点Aの座標を(a,b)とし、Aを通る傾きmの直線を
y = m(x-a) + b とする。
曲線Cを y = f(x) とし、f(x) は連続とする。
交点 P, Q のx座標 p(m), q(m) は mに関して微分可能とする。
直線とCで囲まれる領域の面積は
S(m) = ∫[p(m), q(m)] {m(x-a)+b－f(x)} dx,
これをmで微分すれば
dS/dm = －(dp/dm) {m(p-a)+b－f(p)} + (dq/dm){m(q-a)+b－f(q)}
+ ∫[p,q] (x-a) dx
= ∫[p,q] (x-a) dx (*)
= [ (1/2)(x-a)^2 ](p→q)
= (1/2){(q-a)^2 － (p-a)^2}
= (1/2)(q-p)(q+p-2a),
ここで 点P, Qが交点であること：
m(p-a)+b－f(p) = 0, m(q-a)+b－f(q) = 0,
を使った。
さて、あるmで S(m)が極値をとるならば dS/dm = 0,
交点は2つあるので p<q,
∴ q + p -2a = 0,
∴ A は PQ の中点になる。 (終)
(参考書)
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
p.164 下 ～ p.165 上
"α" がここに云うmにあたる。