24/03/16 11:26:45.61 +LjGwmYz.net
>>773
>>>769
>>例えば、yを有理数にとって ∀x∈ℕ.∃y∈Q.x<y とか
>>例えば、yを実数にとって ∀x∈ℕ.∃y∈R.x<y とか
>>∃yで放り出すと、yは自然数に限らないから 二つの式の意味は違う
>∀x∈ℕ.∃y∈ℕ.x<y でないと考えねばならない理由があるか？全くない
>したがって上記は却下
・そうかな？
例えば、∃y∈C（複素数）としよう
そうすれば、∀x∈ℕ.∃y∈C.x<y となるけど
そもそも、∃y∈C（複素数）は 一般には 不等号 < は適用できないぞ（下記）
・だから、∃yがどの範囲の数なのかを、論理式を書いた人が明示しないと
意味ある論理式にならないと思うけどね ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(math-fun.net)
趣味の大学数学
複素数で普通の順序・不等号・大小関係を考えないのはなぜか
2021年5月22日 木村
高校数学以降では、複素数の扱いを学びます。
実数では
0<1といったように大小比較ができますが、複素数ではそのような比較を考えません。それはなぜでしょうか。
簡単に言えば、仮に
0<iというような順序関係があったとすると、両辺に
iをかけると
0<－1となってしまうからです。
今回は、複素数では「普通の」順序・不等号を定義できないことを紹介します。
目次
順序とは何か
順序関係とは
複素数に「普通の」順序が定まらないこと
複素数でも順序を考えること自体はできる
複素数でも、全順序という順序を考えること自体はできるのです。しかし、普通の順序＝和と積と両立するような順序を考えることはできない、そういうものがあったとすると矛盾するというのが今回の話でした。
ちなみに、ベクトルに対しても辞書式順序を考えることはできます。しかし、演算と両立するような順序……と議論しようとすると、ベクトルではそもそも良い「積」を考えられません。ベクトルの内積は実数を返し、ベクトルを返さないです。外積はベクトルを返しますが、交換法則や結合法則を満たしません。
以上、複素数では普通の順序・不等号・大小関係を考えないのはなぜか、紹介してきました。
整数や実数で考えていたような、和と積と両立させる性質を持った順序を考えることはできない、というのが理由です。