純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18at MATH

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18 - 暇つぶし2ch843:すいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる。厳密な定義は以下のとおりである。定義 X は i によりそのコンパクト化K に埋め込まれているので、K はいわばXに「点を付け加えて」コンパクト化したものとみなす事ができる。実応用上、こうした「付け加えた点」（すなわち K＼ i(X)の点）は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、 K＼ i(X) をコンパクト化 (K,i) の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。著名なコンパクト化の方法として、アレクサンドロフの一点コンパクト化とストーン・チェックのコンパクト化という両極端なものがある。前者はその名の通り、１点付け加えるだけで（コンパクトでない）任意の空間X をコンパクト化する方法である。これはいわば「最小の」コンパクト化で、X の任意のコンパクト化K に対し、アレクサンドロフの一点コンパクト化 X^*は必ずK の商空間になる。より直観的にいえば、K の無限遠境点を一点に潰したものがアレクサンドロフの一点コンパクト化に一致する。（ただしこの性質が成り立つには X^∗もK もハウスドルフであることが必要）。一方ストーン・チェックのコンパクト化は逆の極端で、X の任意のハウスドルフなコンパクト化K に対し、K はストーン・チェックのコンパクト化の商空間になる。すなわちK はストーン・チェックのコンパクト化の無限遠境点を適当な同値関係で割ったものとしてできあがる。したがってストーン・チェックのコンパクト化はいわばハウスドルフな中では「もっとも大きな」コンパクト化である。ストーン・チェックのコンパクト化はX がチコノフ空間であるときにその存在が証明されている。しかしX がT1空間でありさえすればその類似物（ウォールマンのコンパクト化）が作れる事が知られている。一点コンパクト化の例・n次元ユークリッド空間 R^n の一点コンパクト化は、n次元球面 S^n と同相である。特にリーマン球面 C^ は複素平面 C の一点コンパクト化として与えられる。・自然数全体（離散位相） N の一点コンパクト化は N に最大元 ω を付け加えた順序集合 N∪{ω} の順序位相と同相になる。

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