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1:１３２人目の素数さん
 24/01/12 16:44:26.45 B7c0MiSM.net
俺はもう疲れたよ証明に

2:１３２人目の素数さん
 24/01/12 17:05:50.91 catgh5nl.net
>>1 
885 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2023/12/31(日) 15:50:49.09 ID:xhhv+g7J [1/2] 
m/n=log(π) m、nは互いに素な正の整数 
↔ e^{m/n}=π ↔ e^m=π^n 
e<π＜e^2 から e<n<2e 
∴∃i=1,…,m-1　m=n+i 
∴e^i=(π/e)^n<(1+(π-e)/e)^n 
　　　<(1+(3.2-2.7)/(2.7))^n=(1+(32-27)/(27))^n=(1+1/(27/5))^n 
　　　<(1+1/5)^n 
　　　<(1+1/π)^π 
　　　<lim_{x→+∞}(1+1/x)^x＝e 
∴矛盾 
∴log(π) は無理数 
886 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2023/12/31(日) 15:58:44.87 ID:xhhv+g7J [2/2] 
e<π＜e^2 から　不要

3:１３２人目の素数さん
 24/01/12 20:08:11.22  catgh5nl.net
>>1 
888 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2024/01/01(月) 15:20:00.11 ID:kD74UmIv [1/2] 
>>887 
[第１段]：log(π)が有理数であるとする。 
A＝(π-e)/e とおく。4＞π＞3＞e＞2 だから、 
e＜π＜e^2 から 1＜log(π)＜2 であって、 
或る互いに素な両方共に正の整数m、nが存在して log(π)＝m/n だから、 
1＜m/n＜2 から n＜m＜2n。 
m、nはどちらも正の整数だから、 
mに対して或る i＝1,…,m-1 が存在して m＝n+i。 
また、π＝e^{m/n}。よって、π＝e^{(n+i)/n} とAの定義から 
e^i＝(π/e)^n＝(1＋A)^n。 
 
[第２段]:4e＝4Σ_{k=0,1,…,+∞}1/k! 
　　　＞4(1+1+1/2!) 
　　　＝4×5/2 
　　　＝10、 
また、3π＜3×3.2＝9.6、 
よって、4e＞3π であって、π＞e＞1 から Aの定義に注意すれば 1/A＜1/3。 
 
[第３段]：7/2＞π＞3＞e＞5/2 からAの定義に注意すれば A＜1/e＜1 だから、A＜1/A。 
よって、(1＋A)^n＜(1＋1/A)^n であって e^i＜(1＋1/A)^n。

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