24/01/01 15:22:46.75 kD74UmIv.net
>>887
(>>888の続き)
[第4段]:Case1)、n<A のとき。このとき 1/A<1/n だから、
e^i<(1+1/n)^n<lim_{x→+∞}(1+1/x)^x=e
であって、矛盾する。
Case2)、n>A のとき。
eの定義から e<2.72 だから 8e<8×2.72=21.76。
また、πの定義から π>3,14 だから 7π>7×3.14=21.98。
よって、 8e<7π であって、π>e>1 から Aの定義に注意すれば 1/A>1/7。
故に、3<A<7 であって、正の整数nについて n≧7。1/7<1/A<1/3 だから、
e^i<(1+1/A)^n<(1+1/3)^n=(1+1/3)^3×(1+1/3)^{n-3}<e×(1+1/3)^{n-3}、
よって、e^{i+3}<e×(1+1/3)^n、
kを正の整数とする。
e^{i+3k)}<(1+1/3)^n=(1+1/3)^3×(1+1/3)^{n-3k})<e×(1+1/3)^{n-3k}
とすれば、e^{i+6k}<e×(1+1/3)^n<e×(1+1/3)^{n-3k}<(1+1/3)^n。
故に、kについて小さい方から帰納的に同様な評価を有限回繰り返せば、
或る正の整数kが存在して、j≧k のとき e^{i+3j}<(1+1/3)^n。
しかし、これは、或る j≧k なる整数jが存在して e^{i+3j}>(1+1/3)^n なることに反し矛盾する。
Case3)、n=A のとき。このときCase2)の議論に n=A を適用して同様に考えれば、
e^i<(1+1/n)^n<lim_{x→+∞}(1+1/x)^x=e
であって、矛盾が生じる。
[第5段]:Case1)、Case2)、Case3)から起こり得るすべての場合で矛盾する。
故に、背理法によりlog(π)は無理数である。