23/12/27 17:15:48.63 PVrWxSiG.net
>>810
>全ての実数は「差が有理数」という同値関係で、非可算無限個の同値類に分類できるが
>具体的にどういう同値類があるかを全部示すことはできない
>そういう分類にいかなる意味がある、と君は言える？
・なんども言っているが、「分類」を数学的に定義するまえに
「分類不能」をあたかも、数学の証明された定理のように述べることに、疑問を感じないのか？
・さて、「差が有理数」という同値関係は、有名なヴィタリ集合を導くのに使われる（下記）
だから、これについては有用であり意味があると思う。もちろん、それは数学基礎論としてだ
数論的な意味があるかは、また別
・そして、「差が有理数」という同値関係を判定する”アルゴリズムの有無”もまた
「分類」可否とは、話が別だということもこの例でわかる
（例えば、下記 e+π、e-πは 有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない（下記）
当然、一般の二つの超越数 αとβの差 α-βがどうかの判定アルゴリズムは無い。多分将来もないだろう）
・戻るが、「分類」に意味があるかないかは
「分類」の数理哲学的意味をもう少し掘り下げた後の議論と思う
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。
存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π、
有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。