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＜ポジティブな話2＞
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数学
中島啓氏の業績-特殊単調体の幾何学と表現論との交叉
(2000年6月13日提出) (太田啓史 おおたひろし・名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
5. 表現論へ.
それから数年して, 中島さんは東大から東北大に移られた. 移られる前の数年間は, 「暗中模索の日々」 ([N11]) であつたようである. 当時は, 恐らく, ALE空間の上のインスタントンのモジユライ空間のホモロジーを, [K-N]のquiver表示を用いて超ケーラー商で記述し, 不動点定理などを用いて計算されていた[N4].
本人は, 当時東北大におられた表現論の人々, 堀田良之, 宇澤達, 長谷川浩司, 黒木玄各氏の影響を受けたのだ, と言われておられる
ある時 (これがどういうきっかけによるのかは知らないが) 同変K群ではなくホモロジー群の上へ, 「アファイン量子群」ではなく「アファインリー環」U(g) の表現を構成しようとしたらできちゃった[N5.5], という話を聞き, これは, 構成のアイデアが極めて幾何学的でわかりやすくかつ, その内容に強い衝撃を受けた覚えがある.
なぜALE超ケーラー4次元多様体上のインスタントンのモジユライ空間 (正しくはその完備化の特異点解消) のホモロジーに, ある意味で, 2次元的なアファインリー環の表現ができるのか, 大変不思議な気がした.
当時4次元のゲージ理論をやっていた筆者にとって, そこに2次元が出てきで驚いた最初の経験であった. (後にもっと衝撃的な話に出会ったのであるが).
しかし, 一方で一応, ALEの場合は一般の4次元多様体とは異なり, 裏でADE Dynkin図形が支配している特殊な4次元多様体だから, 対応するアファインリー環があっても, わからなくもない (でもやっぱりよくわからない)が, 一般の4次元多様体の場合はぞうは, うまくはいかないだろう, とも思っていた.
個人的な感想で恐縮であるが, この仕事は中島さんの仕事の真骨頂であると思っている. ただ, 当時更によくわからなかったことは, ホモロジーのある一部にのみ表現が作られていたことで, その点は最近の中島さんの仕事[N 10]で, 見事に解明されることとなるのである.
つづく