23/12/22 13:41:35.05 B/SAzY+J.net
>>732
>>>727
>>Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
>>This is due to the unsolvability of the word problem for groups,
>>or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
>>ってことですね
>>これが結論じゃないですか？
>質問
>上記の文の意味を説明せよ
>日本語訳（DeepL）はこちら
>「４次元以上の多様体はエフェクティヴに分類することができない：
> これは、群の語問題、より正確には、自明性問題
> （ある群の有限表示が与えられたとき、それが自明な群であるかどうか）
> が解けないためである。」
良い質問だね
それ、自分で回答を書いていたろう？
>>713-714より
4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版第１章 ４次元多様体の基礎理論 の冒頭ｐ９に出てくるけど
命題１．１ 任意の有限表示群Gに対し、Gを基本群とする向き付けられた４次元多様体が存在する
一例として、
まずGの生成元を、g1,…,gs、基本関係式をr1,…,rtとするとき
S^1✕S^3のs個のコピーの連結和ｓS^1✕S^3およびその中に基点をとる。
このときi番目のS^1✕S^3内のS^1✕｛pt｝を基点と結んだ曲線がgiを表し、
rjはsS^1✕S^3の互いに交わらない単純閉曲線cjで表せる。
そこでcjの管状近傍を抜いてD＾2^S^2を張る「手術」により求める多様体が得られる
（貼り方の自由度はπ1(SO(3))＝Z2だけあるがいずれをとってもよい）
有限表示群が分類不能であることは以下の定理による
Novikov–Boone の定理
群に対する語の問題に対する否定的な解答として、
任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、
与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否か
を決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。
これは Pyotr Novikovが1955年に[3]、
また別証明をWilliam Booneが1958年に[4]
それぞれ得ている。
(引用終り)
つまり、
１）4次元（以上の）多様体では、”任意の有限表示”毎に、その対象となる個別の4次元多様体が存在する（実例を構成できる）
２）一方、任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、有効なアルゴリズムが存在しないので、有限表示群は分類不能
３）４次元以上の多様体は（有限表示群では）エフェクティヴに分類することができない
なお、>>734 高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case