23/12/22 11:21:40.41 PDLyWxsR.net
内容を理解してないから何も見ずに書けないんでしょ？
ごまかさないで
751:１３２人目の素数さん
23/12/22 12:55:57.54 4UrQceou.net
>>722
>定義
>略
質問
有限表示群の「有限」とは、何が有限なのか、それぞれに対して○もしくは×で答えよ
１．元の個数
２．生成元の個数
３．関係の個数
ヒント：○がつくのは一つではない
752:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:00:45.06 4UrQceou.net
>>727
>Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
>This is due to the unsolvability of the word problem for groups,
>or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
>ってことですね
>これが結論じゃないですか？
質問
上記の文の意味を説明せよ
日本語訳（DeepL）はこちら
「４次元以上の多様体はエフェクティヴに分類することができない：
これは、群の語問題、より正確には、自明性問題
（ある群の有限表示が与えられたとき、それが自明な群であるかどうか）
が解けないためである。」
753:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:04:26.05 4UrQceou.net
>>729
>ゼミ本番では、メモは手元に持っていて、
>原則何も見ずにやってつまったら…了解を得て、
>「メモを見させてください」はありだなきっと
>（三回まではOK？）
その条件で、以下を説明せよ
正方行列Mに関する以下の条件が同値である理由を説明せよ
１） 逆行列が存在する
２） 基本操作により階段行列にでき、その段数はMのサイズと同じである
３） 行列式が０でない
さあどうぞ
754:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:20:31.65 B/SAzY+J.net
>>730
>内容を理解してないから何も見ずに書けないんでしょ？
違うな
”内容を理解してない”は、半分は当たっているが
半分は外れだ
１）まず
・>>722-725の示すところによれば
Classification of manifolds：
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case
・なお、Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
もし、この要約に付け加えることがあれば、言ってくれ！
２）さて例えば、下記 Word problem for groups In 1911に提起され、in 1955 Novikovが ”such that the word problem for G is undecidable”を証明した
この間約40年、多くの歴代数学者が研究した上澄みを、調査してありがたく頂戴した。まずは、それでいいのです
ある人が同じことをやれば、やはり40年かかるだろうか？
３）"MM、Mathematical Maturity" （下記）について、今回のカキコで私のMMはアップしただろう
しかし、５ｃｈカキコは書いた瞬間に、書き手を離れて独り歩きするものだ
これを、今日の晩に見る人もいれば、明日見る人、一月後、一年後・・
書き手（本質は”名無しさん”）のMMとは無関係だろう（そもそもそのための引用とURLの添付ですよ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Word problem for groups
History
Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right,[1] together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.
It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.[6]
"MM、Mathematical Maturity"
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
「数学的成熟度」をもう少し具体的に説明。MM、Mathematical Maturity
謎の数学者 2021/02/22 数学者を目指すための数学の勉強法
755:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:41:35.05 B/SAzY+J.net
>>732
>>>727
>>Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
>>This is due to the unsolvability of the word problem for groups,
>>or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
>>ってことですね
>>これが結論じゃないですか？
>質問
>上記の文の意味を説明せよ
>日本語訳（DeepL）はこちら
>「４次元以上の多様体はエフェクティヴに分類することができない：
> これは、群の語問題、より正確には、自明性問題
> （ある群の有限表示が与えられたとき、それが自明な群であるかどうか）
> が解けないためである。」
良い質問だね
それ、自分で回答を書いていたろう？
>>713-714より
4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版第１章 ４次元多様体の基礎理論 の冒頭ｐ９に出てくるけど
命題１．１ 任意の有限表示群Gに対し、Gを基本群とする向き付けられた４次元多様体が存在する
一例として、
まずGの生成元を、g1,…,gs、基本関係式をr1,…,rtとするとき
S^1✕S^3のs個のコピーの連結和ｓS^1✕S^3およびその中に基点をとる。
このときi番目のS^1✕S^3内のS^1✕｛pt｝を基点と結んだ曲線がgiを表し、
rjはsS^1✕S^3の互いに交わらない単純閉曲線cjで表せる。
そこでcjの管状近傍を抜いてD＾2^S^2を張る「手術」により求める多様体が得られる
（貼り方の自由度はπ1(SO(3))＝Z2だけあるがいずれをとってもよい）
有限表示群が分類不能であることは以下の定理による
Novikov–Boone の定理
群に対する語の問題に対する否定的な解答として、
任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、
与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否か
を決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。
これは Pyotr Novikovが1955年に[3]、
また別証明をWilliam Booneが1958年に[4]
それぞれ得ている。
(引用終り)
つまり、
１）4次元（以上の）多様体では、”任意の有限表示”毎に、その対象となる個別の4次元多様体が存在する（実例を構成できる）
２）一方、任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、有効なアルゴリズムが存在しないので、有限表示群は分類不能
３）４次元以上の多様体は（有限表示群では）エフェクティヴに分類することができない
なお、>>734 高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case
756:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:43:46.79 B/SAzY+J.net
この後は、下記でやってねｗｗｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
くだらねぇ問題はここへ書け
757:１３２人目の素数さん
23/12/22 15:37:13.68 Zx6FHeh6.net
>>736
>高次元多様体は手術理論によって分類される。
それ、例えば単連結（＝基本群が自明群）の場合でしょ
758:１３２人目の素数さん
23/12/22 15:39:28.41 Zx6FHeh6.net
>>736
単連結４次元多様体の同相分類は出来てるよ
微分同相分類は全然できてないけど
同相と微分同相の違い、分かる？
759:１３２人目の素数さん
23/12/22 18:46:52.88 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ４
760:mension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more: two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above, by general position (2+2<5). In dimension 4, one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles, which works topologically but not differentiably; see Geometric topology: Dimension for details on dimension. https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_topology#Dimension Geometric topology つづく
761:１３２人目の素数さん
23/12/22 18:47:19.44 B/SAzY+J.net
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
4-manifold
4-manifolds are important in physics because in General Relativity, spacetime is modeled as a pseudo-Riemannian 4-manifold.
Topological 4-manifolds
The homotopy type of a simply connected compact 4-manifold only depends on the intersection form on the middle dimensional homology. A famous theorem of Michael Freedman (1982) implies that the homeomorphism type of the manifold only depends on this intersection form, and on a
Z /2Z invariant called the Kirby–Siebenmann invariant, and moreover that every combination of unimodular form and Kirby–Siebenmann invariant can arise, except that if the form is even, then the Kirby–Siebenmann invariant must be the signature/8 (mod 2).
Freedman's classification can be extended to some cases when the fundamental group is not too complicated; for example, when it is
\mathbb {Z} , there is a classification similar to the one above using Hermitian forms over the group ring of \mathbb {Z} .
If the fundamental group is too large (for example, a free group on 2 generators), then Freedman's techniques seem to fail and very little is known about such manifolds.
For any finitely presented group it is easy to construct a (smooth) compact 4-manifold with it as its fundamental group. As there is no algorithm to tell whether two finitely presented groups are isomorphic (even if one is known to be trivial) there is no algorithm to tell if two 4-manifolds have the same fundamental group. This is one reason why much of the work on 4-manifolds just considers the simply connected case: the general case of many problems is already known to be intractable.
(google訳)
フリードマンの分類は、基本群がそれほど複雑でない場合にいくつかのケースに拡張できます。たとえば、次のようなとき
\mathbb {Z}の群環上でエルミート形式を使用した上記と同様の分類があります \mathbb {Z}。
基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの発電機上の自由群)、フリードマンの手法は失敗するように見え、そのような多様体についてはほとんど知られていません。
有限に提示された群については、それを基本群として使用して (滑らかな) コンパクトな 4 多様体を構築するのは簡単です。有限に提示された 2 つの群が同型であるかどうかを判断するアルゴリズムがないため (1 つが自明であることがわかっている場合でも)、2 つの 4 多様体が同じ基本群を持つかどうかを判断するアルゴリズムもありません。これが、4 多様体に関する研究の多くが単純結合の場合のみを考慮する理由の 1 つです。つまり、多くの問題の一般的な場合は、すでに解決困難であることが知られています。
(引用終り)
以上
762:１３２人目の素数さん
23/12/22 22:36:34.34 BkjoS3dx.net
なぁんにもわかってない
763:１３２人目の素数さん
23/12/22 23:37:23.98 LIcp6+zp.net
>>11
(引用開始)
>どうきかれてもすぐに答えられるように準備をしておく必要があります．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．
ここ反論ある？何にどう反論するつもりか知らんけど
考えなくていい答えられなくていいっていう人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
(引用終り)
立場が逆転してないか？
１）”>>712
>じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。
>ちなみに僕が持ってる版は1979年版”
２）この記述が問題になったときに、なぜ「調べたり聞いたり」しないのか？
手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
ネット検索でもして、>>739-740のようなことを読まないといけない
３）「数学科に入って数学者」うんぬん以前の問題だろ？
基本のキ！
数学以外でも同じだよ。きちんと事実をしらべないといけない
河東氏の指摘の通りと思うよ
764:East Enders
23/12/23 06:46:00.98 B6Ixzxdu.net
>>740
>If the fundamental group is too large (for example, a free group on 2 ”generators”)
>基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの『発電機』上の自由群)
『発電機』ってなんですか？
765:East Enders
23/12/23 06:51:46.13 B6Ixzxdu.net
>>741
>なぁんにもわかってない
generatorを『発電機』と訳して平気な顔の ID:B/SAzY+Jこと
ナニワのシッタカミーハーヤンキー、West Wannaby君には
そもそもなにかをわかろうという気は全然なくて
ただひろゆきのごとくネットで知った知識を振り回して
他人にマウントしたいだけなんでしょう
今まで実生活で他人にマウントされまくった復讐なんでしょうけど
766:East Enders
23/12/23 07:05:24.80 B6Ixzxdu.net
>>742
>> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
>> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。
> この記述が問題になったときに
「間違ってる！」とわめいてるのは君だけ
何が気に入らないのかわからんけど
証明された定理が間違ってると文句つけるのは●違いだよ
>なぜ「調べたり聞いたり」しないのか？
君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのかな、なぜ、真っ先に
有限表示群の分類不能性に関するノビコフの定理の証明を調べないのか？
>手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
その本にはノビコフの定理の証明はもちろん、ステートメントも書いてない
要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
ただ、そこには
「なぜ、４次元以上では任意の有限表示群を基本群とする多様体が存在するのか」
が書いてないから、そこを追記しただけ
「４次元以上」なので、もちろん５次元以上でも基本群による分類はできない
５次元以上のトポロジーで分かっているのは、
例えば球面とホモトピー同値な多様体が球面であるとか
球面にどれだけ異なる微分可能構造が入るかとか
基本群が自明な場合の多様体の分類とかであって
「任意の多様体の同相分類が手術理論によって可能」
なんてことは何処にも書いてない
君が文章読めてないだけ
>ネット検索でもして、・・・のようなことを読まないといけない
検索対象間違ってる
君は「ノビコフの定理」が間違ってるといってるのだろう？
だったら、検索すべき語は word problem であって
Classification of manifolds ではない
君は検索も正しくできないんだね
767:East Enders
23/12/23 07:12:38.18 B6Ixzxdu.net
>>745
誤 君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのかな
正 君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのなら
>>742
>「数学科に入って数学者」うんぬん以前の問題だろ？基本のキ！
>数学以外でも同じだよ。きちんと事実をしらべないといけない
君は何を調べるべきか間違ってるよ
「有限表示群が分類できないから、基本群による多様体の分類ができない」
という主張が間違ってると君はいってるんだろ？
基本群による多様体の分類はできる！と君が言い切るのなら
まずなすべきは「有限表示群が分類できない」というノビコフの定理の証明を調べ
その誤り（？）を指摘して、有限表示群の分類の方法を示すことだろう
なにを怒っているのかね？
基本のキ？●違いのキじゃないのかい？
768:East Enders
23/12/23 07:15:29.18 B6Ixzxdu.net
ノビコフの定理を認めるのなら、
「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
も正しい
基本群を自明群に限定した場合の分類は
「『すべての』４次元多様体の分類」
ではない
West Wannaby君は国語からやり直したほうがいいだろう
769:１３２人目の素数さん
23/12/23 09:02:34.62 CO6RHQhW.net
>>744-746
>ノビコフの定理を認めるのなら、
>「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
>も正しい
>基本群を自明群に限定した場合の分類は
>「『すべての』４次元多様体の分類」
>ではない
正しくない！
正しくは、下記（>>727より）
”Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).”
・effectively classified と単なるclassifiedは違うよ
・そして、”「Computability」という視点で見ると”と書いてあるでしょ？
・なお、「more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?)」
とあるとおり、「trivial group?」という問題さえ、ノビコフの定理からの帰結で解けないのです
770:East Enders
23/12/23 09:12:11.54 B6Ixzxdu.net
>>748
>>ノビコフの定理を認めるのなら、
>>「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
>>も正しい
>正しくない！
何が正しくない？
ノビコフの定理が正しくない？
物事ははっきりわかるように言おうな
君は舌足らず言葉足らず思慮足らず
>effectively classified と単なるclassifiedは違うよ
ん？もしかして人にはできないけど、神ならできる、という主張？
君は神かね？
>「more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?)」
>とあるとおり、「trivial group?」という問題さえ、ノビコフの定理からの帰結で解けないのです
ある有限表示群が自明群かどうか判断する手続きは存在しないから
ある有限表示群をもつ多様体が、単連結かどうか判断する手続きも存在しない
それは全くその通りである まさか間違ってると思ってるのかい？
単連結だと分かっている場合の分類は出来ている
しかしそのことと
「ある多様体が単連結かどうか判断する手続きが存在しないこと」
は矛盾しないが？
771:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:10:10.36 CO6RHQhW.net
>>745
>>手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
>その本にはノビコフの定理の証明はもちろん、ステートメントも書いてない
>要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
ちがう！
・えーと>>739より再録
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of manifolds
Dimension 4: exotic
Further information: 4-manifold
Four-dimensional manifolds are the most unusual: they are not geometrizable (as in lower dimensions), and surgery works topologically, but not differentiably.
Since topologically, 4-manifolds are classified by surgery, the differentiable classification question is phrased in terms of "differentiable structures": "which (topological) 4-manifolds admit a differentiable structure, and on those that do, how many differentiable structures are there?"
Four-manifolds often admit many unusual differentiable structures, most strikingly the uncountably infinitely many exotic differentiable structures on R4. Similarly, differentiable 4-manifolds is the only remaining open case of the generalized Poincaré conjecture.
Dimension 5 and more: surgery
Further information: surgery theory
In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.
The reason for dimension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more: two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above,
772:by general position (2+2<5). In dimension 4, one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles, which works topologically but not differentiably; see Geometric topology: Dimension for details on dimension. (引用終り) ・上記に書いてあることは、”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.” 要するに、5次元以上では ”two Whitney disks”が交差（intersect）しない関係で、surgery theoryが使える 4次元では、”one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles” つまり、Whitney diskの代わりにCasson handleが使えるので、”topologically but not differentiably”で、5次元以上と同じことができると ・Casson handle https://en.wikipedia.org/wiki/Casson_handle を見てください つづく
773:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:10:31.86 CO6RHQhW.net
つづき
・松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155 >>645
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
との記載は、既に古いってことだ
因みに、私の手元には2009年版だけど、付録1がCasson handleの話で
フリードマンの4次元ポアンカレの噂が日本に伝えられたのは1981年の秋とある
まとめると、1979年版当時、Casson handleが 5次元以上でWhitney disk generically don't intersect
と同じ性質をもち、surgery theoryが使えるということを知らずに、松本幸夫氏は書いたんだね
この教訓は、古い本だけ見ていてはダメ！ってこと
新しい本の記述を確認すべし！
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
読めてないと思うけど、ちゃんと読んでみなよｗ
以上
774:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:15:54.80 CO6RHQhW.net
>>749
>>750-751 な
775:East Enders
23/12/23 12:29:53.71 B6Ixzxdu.net
松本幸夫「４次元のトポロジー」第10章 ４次元の罠の冒頭p155
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。」
>>750
>>要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
>ちがう！
何が？どう？
>”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.
>The reason for dimension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more:
>two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above,by general position (2+2<5).”
>要するに、5次元以上では ”two Whitney disks”が交差（intersect）しない関係で、surgery theoryが使える
そうだよ
だから？それで、すべての有限表示群が分類できる、なんて書いてある？
そんなことどこにも書いてないよ
手術理論によって、証明できたのはｈ同境定理
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
【定義 4.6 (h同境)】
n次元閉（可微分）多様体V, V が
同境V ∪V =∂Wn+1 で かつ，
包含写像 V → Wn+1，V → Wn+1 が
共にホモトピー同値写像となるとき，
V と V は h 同境であるという．
このとき，H∗(Wn+1, V )=0 が成り立つ．
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
V と V は C∞ 同相である．
高卒素人のWW君がｈ同境定理なんて知らなくても無理ないけど
なんも知らずに
「手術理論でどんな多様体も分類可能」（ドヤぁ）
とか吠えても笑われるだけだよ
776:East Enders
23/12/23 12:44:56.58 B6Ixzxdu.net
>>753のつづき
750
>4次元では、
>”one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles”
>つまり、Whitney diskの代わりにCasson handleが使えるので、
>”topologically but not differentiably”で、5次元以上と同じことができると
それ、松本幸夫「４次元のトポロジー」ｐ１５５のつづきの箇所にあたること
「では基本群に制限をつけてみたらどうだろう。
たとえば基本群が自明の場合、すなわち単連結の場合にはどうか。
単連結な４次元閉多様体ならすべて分類することができるのだろうか。」
1979年版ではこの後
「実は、これも現在未解決である」
と書いてあるが、その後、Freedmanにより、”topologically”には解決された
松本・上「４次元多様体 Ⅰ」ｐ７６－７７ 定理２．３６
「単連結な４次元位相閉多様体の同相類は
交差形式とKirby-Siebenmann類により
一意的に定まる」
同 系２．３７で
「S^４とホモトピー同値な４次元閉多様体はS^4と同相である」
ちなみに、”differentiably”には、今も未解決である
なにしろ通常のR^4と微分同相でないExotic R^4が
１つどころじゃなく非可算無限個存在するとわかった
今となってはねえ もうわけわかりませんわ
777:East Enders
23/12/23 12:55:42.40 B6Ixzxdu.net
>>751
>松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155
>「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
> との記載は、既に古いってことだ
そこはまったく古くない 4次元だけじゃなく5次元以上でもあてはまる
古いのは>>754でも示した以下の箇所
「では基本群に制限をつけてみたらどうだろう。
たとえば基本群が自明の場合、すなわち単連結の場合にはどうか。
単連結な４次元閉多様体ならすべて分類することができるのだろうか。
実は、これも現在未解決である」
>まとめると、1979年版当時、
>Casson handleが 5次元以上でWhitney disk generically don't intersectと同じ性質をもち、
>surgery theoryが使えるということを知らずに、松本幸夫氏は書いたんだね
Casson Handleのことは1979年版 第∞章の対談でも書いてあるから
その存在は当時も当然知っていた。トポロジーが専門だから当然
すでに野性的方法で交差しないディスクを張ることまで話している
だからもう位相的には解決寸前の状態ではあった
一方、微分可能構造に関することは全然書かれてないから
ゲージ理論を用いた方法論は全然”out of the blue”
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
778:East Enders
23/12/23 13:04:56.43 B6Ixzxdu.net
>>751
>この教訓は、
>古い本だけ見ていてはダメ！ってこと
>新しい本の記述を確認すべし！
>「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
>読めてないと思うけど、ちゃんと読んでみなよ
この教訓は、
ネット検索＆コピペだけでは、数学は全く理解できないってこと
ホイットニーのトリックによるハンドル消去の方法は
そもそも基本群による分類とは全く関わりがないどころか
むしろその先のことである
中身を理解せずに
「手術理論で基本群の分類が出来る！」
みたいな馬鹿なことをいうと大笑いされる
ということで、
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
なんて君には一生無理だから、速攻で古本屋に叩き売ろう
その金でマセマの線形代数買って読みな
君が読んで理解できるのは、マセマのキャンパス・ゼミシリーズが最高峰
ちなみにマセマにガロア理論の本はない
779:１３２人目の素数さん
23/12/23 14:21:55.73 SSH7aHi3.net
>>755
書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってるwww
馬鹿すぎるwww
Novikovの定理くらい調べろよwww
780:１３２人目の素数さん
23/12/23 15:05:36.29 CO6RHQhW.net
>>757
ありがとう！
援護射撃！！
781:East Enders
23/12/23 15:32:38.81 B6Ixzxdu.net
>>757
>書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってる
>馬鹿すぎる Novikovの定理くらい調べろよ
>>758
>ありがとう！ 援護射撃！！
撃たれて喜ぶ変態
782:１３２人目の素数さん
23/12/23 18:13:45.43 CO6RHQhW.net
えーと、>>757のID:SSH7aHi3氏は
>>755のID:B6Ixzxdu氏にリンクしてコメントしている
（もしリンク間違いでなければね）
さて、>>750-751を補足しておく
１）松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155 >>645
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
２）これで、注意すべきはノビコフ定理は、多様体の次元に依存しないってこと
つまり、４次元以上の例えば５次元多様体でも同じでしょ？
３）ところが、５次元多様体では
”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.”
なのです。つまり、surgery theory（手術理論）による分類が可能！
（この分類は、多分基本群による分類より大雑把だろう）
４）さて Freedmanの理論が1980年代に出て、”4 dimensions topologically”の場合に
キャッソンハンドルを使うsurgery theory（手術理論）が可能になったってことだ
（キャッソンハンドルを使ったらすんなり行くか？
それは別問題らしく、やっぱ難しいのは事実）
しかし、４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
５）４次元で微分可能な場合はどうか？
それは、４次元微分可能ポアンカレ予想がどう解決されるか次第じゃないのかな？
もし、Freedmanの理論のキャッソンハンドルの類似が、微分可能の場合に構成できて
surgery theory（手術理論）が可能になったら嬉しい
しかし、そうなるかどうかが 現状では不明ってことだね（なので”分類不可能”は、やはり言い過ぎ）
783:１３２人目の素数さん
23/12/23 18:28:15.68 CO6RHQhW.net
一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体がある（下記）
時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される
なので、4次元多様体論は、物理の面からも注目されている
”分類不可能”で、済ませられる問題ではない！
ノビコフ定理があろうが、物理学者は 彼らの物理的な視点で、4次元多様体を研究する
その一例が、”サイバーグ・ウィッテン”（下記）
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
でも、取り上げられている通りですよ！ｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分幾何学において、擬リーマン多様体 (pseudo-Riemannian manifold)[1][2]（また、半リーマン多様体 (semi-Riemannian manifold) ともいう）は、リーマン多様体の一般化であり、そこでは計量テンソルが必ずしも正定値双線型形式（英語版）でないこともある。代わって、非退化というより弱い条件が、計量テンソルへ導入される。
一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体 (Lorentzian manifold) があり、そこでは、一つの次元が他の次元とは反対の符号を持っている。このことは、接ベクトルが時間的、光的、空間的[注釈 1] へと分類される。時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される。
ローレンツ多様体
物理学への応用
リーマン多様体の後に続いて、ローレンツ多様体は擬リーマン多様体の最も重要な部分をなす。ローレンツ多様体は、一般相対論の応用において重要である。
一般相対論の原理的な基礎は、時空は符号 (3, 1) もしくは、同じことであるが、(1, 3) を持つ 4次元ローレンツ多様体としてモデル化することができる。正定値の計量をもつリーマン多様体とは異なり、(3, 1) もしくは (1, 3) の符号は、接ベクトルを時間的、光的、空間的へ分類することができる（因果律を参照）。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pseudo-Riemannian manifold
A special case used in general relativity is a four-dimensional Lorentzian manifold for modeling spacetime, where tangent vectors can be classified as timelike, null, and spacelike.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
サイバーグ・ウィッテン不変量
784:East Enders
23/12/23 19:03:09.07 B6Ixzxdu.net
>>760
大阪の同業者が毎度恒例のわけのわからないことをいってますね
＞ノビコフ定理は、多様体の次元に依存しないってこと
＞つまり、４次元以上の例えは５次元多様体でも同じでしょ？
「例え」ではないけどね
そして４次元以上とあるように５次元以上でも当然成立する
>>755で書いた通り
＞ところが、５次元多様体ではsurgery theory（手術理論）による分類が可能！
これまた753で書いた通り
手術理論はｈ同境定理の証明で用いられるが
その条件を見れば、単連結と書いてある
したがって、任意の多様体ではなく、単連結多様体の分類
【定義 4.6 (h同境)】
n次元閉（可微分）多様体V, V が
同境V ∪V =∂Wn+1 で かつ，
包含写像 V → Wn+1，V → Wn+1 が
共にホモトピー同値写像となるとき，
V と V は h 同境であるという．
このとき，H∗(Wn+1, V )=0 が成り立つ．
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
V と V は C∞ 同相である．
これらのことから、757の
「書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってる
●●すぎる Novikovの定理くらい調べろよ」
は、ID:CO6RHQhWこと大阪の同業者West Wannaby君に対するコメントと考えられます
785:East Enders
23/12/23 19:09:52.32 B6Ixzxdu.net
>>760
>４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
>（微分同相でも）”分類不可能”は、やはり言い過ぎ
何怒ってんだか、わかりませんね
４次元以上の任意の多様体の同相もしくは微分同相分類の不可能性と
４次元の単連結な多様体の同相分類の可能性
５次元以上の任意の多様体の同相もしくは微分同相分類の可能性は
両立しますけど
今の研究は
４次元の単連結な多様体の微分同相分類
に対するものですが、なかなか難しいようです
４次元球面の微分可能ポアンカレ予想も解けてませんね
786:East Enders
23/12/23 19:16:04.18 B6Ixzxdu.net
>>461
>”分類不可能”で、済ませられる問題ではない！
分類不可能＝研究終了、と誤解したようですが、実に短慮といわざるを得ません
>ノビコフ定理があろうが、物理学者は 彼らの物理的な視点で、4次元多様体を研究する
4次元多様体の研究は、物理学ではなく数学として研究されてますが、何か？
ゲージ理論は数学ですが、何か？
4次元多様体の研究で、物理実験は一切行われていませんが、何か？
（数学と物理の区別をつけず全く同一だと思っている素人は実に残念なものです）
787:East Enders
23/12/23 19:20:42.90 B6Ixzxdu.net
大阪の同業者君は、マセマから始めたほうがいいでしょう
コホモロジー？ そんなの全然先ですよ
URLﾘﾝｸ(books.mathema.jp)
788:１３２人目の素数さん
23/12/23 20:26:22.69 CO6RHQhW.net
>>762
>＞ところが、５次元多様体ではsurgery theory（手術理論）による分類が可能！
> これまた753で書いた通り
> 手術理論はｈ同境定理の証明で用いられるが
> その条件を見れば、単連結と書いてある
> したがって、任意の多様体ではなく、単連結多様体の分類
>【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
>V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
>もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
>V と V は C∞ 同相である．
定理を読み違えているよ
１）まず 定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理) 『単連結』とあるが
”可微分”を見落としているんじゃないの？
２）いま主に問題にしている４次元キャッソンハンドルの話は、”可微分”ではない
実際、h-cobordism は、下記引用の通り『単連結』のしばりなし（５次元で参考にする例も同じ）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
h-cobordism
In geometric topology and differential topology, an (n + 1)-dimensional cobordism W between n-dimensional manifolds M and N is an h-cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps M→ W and N→ W are homotopy equivalences.
The h-cobordism theorem gives sufficient conditions for an h-cobordism to be trivial, i.e., to be C-isomorphic to the cylinder M × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds.
The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high-dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.
Background
Before Smale proved this theorem, mathematicians became stuck while trying to understand manifolds of dimension 3 or 4, and assumed that the higher-dimensional cases were even harder.
The h-cobordism theorem showed that (simply connected) manifolds of dimension at least 5 are much easier than those of dimension 3 or 4.
The proof of the theorem depends on the "Whitney trick" of Hassler Whitney, which geometrically untangles homologically-tangled spheres of complementary dimension in a manifold of dimension >4.
An informal reason why manifolds of dimension 3 or 4 are unusually hard is that the trick fails to work in lower dimensions, which have no room for entanglement.
つづく
789:１３２人目の素数さん
23/12/23 20:26:36.25 CO6RHQhW.net
つづき
（google訳）
スメールがこの定理を証明する前、数学者は 3 次元または 4 次元の多様体を理解しようとして行き詰まり、高次元の場合はさらに難しいと考えていました。
hコボルディズム定理は、少なくとも 5 次元の (単純接続された) 多様体が 3 次元や 4 次元の多様体よりもはるかに簡単であることを示しました。
定理の証明は、ホモロジー的にもつれを幾何学的に解きほぐす、ハスラー ホイットニーの「ホイットニー トリック」に依存しています
次元 >4 の多様体における相補的な次元の球。
3 次元や 4 次元の多様体が異常に難しい非公式な理由は、もつれ（解消）の余地がない低次元では トリックが機能しないためです。
(引用終り)
以上
790:１３２人目の素数さん
23/12/23 21:13:37.07 CO6RHQhW.net
>>760
>４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
>（微分同相でも）”分類不可能”は、やはり言い過ぎ
そもそも、「分類」とは？
「分類」には、数学的に厳密な定義はない！
辞書・辞典の意味であり、人や場面で意味が変わるべきもの
例えば、下記の沙川貴大氏（東京大学）
彼らは、必要に応じて、コボルディズムによる分類を考えている
松本幸夫氏の「分類」とは意味が違うかも知れないが、そんな議論に意味はない
”分類不可能”は、やはり言い過ぎと思う
http://東京大学/2022/12/Cobordism_SPT.pdf
コボルディズムによるSPT相の分類についてのメモ
沙川貴大 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻2022年12月29日
概要
•対称性に保護されたトポロジカル相(SPT相)の分類として有力視されているコボルディズムについて、簡単にまとめる。（メインの主張の要約は27ページにある。）
• SPT相やトポロジーについてのある程度の前提知識は仮定する。また、本稿は主に物理屋を念頭に置いたものであり、数学的に厳密でない箇所の方が多い。
•以下の二つの「補足」を加筆した(2023年1月)。
まず、コボルディズムの分類空間の構成(ポントリャーギン・トム構成)や、分類定理の証明のアウトライン、異種球面への応用などにごく簡単に触れた。
また、普遍係数定理やアンダーソン双対に出てくるExtについてまとめた。
これらの「補足」は独立しており、物理ともあまり関係ない。
筆者はトポロジーも場の理論も専門ではありません。
本稿は非専門家が趣味で書いたものです。苦情や間違いのご指摘などがあればお知らせいただけると幸いです。
つづく
791:１３２人目の素数さん
23/12/23 21:13:58.71 CO6RHQhW.net
つづき
目次
•はじめに
•舞台設定時空とその構造、オンサイト対称性、(コ)ボルディズムとは
• SPT相の分類メインの主張、アンダーソン双対の意味、適用範囲
•簡単な例ボソンの簡単な場合、相互作用するトポロジカル絶縁体・超伝導体
ボルディズム群(1/3)
•次にボルディズム(bordism)群を定義する[15-19]。
（以下でボルディズムと呼ぶものをコボルディズムと呼ぶことも多い。）
なめらかな多様体を考える。
適用範囲はどこまでか？
格子模型から出発した数学的に厳密な議論は、[24-27]などにおいて、𝑑=2,3の場合について作用素環を用いて行われ、成功を収めている。このようなボトムアップのアプローチが高次元まで含めて包括的に成功すれば、SPT相の分類が数学的に厳密に完成すると思われる。
(引用終り)
以上
792:１３２人目の素数さん
23/12/23 23:26:02.81 lXOBALA3.net
setaレベルの知能で多様体の分類理論の話題についていけるはずない
793:１３２人目の素数さん
23/12/24 00:24:23.21 ALCFg7l8.net
>>770
ありがと
下記のことかね？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
5-manifold
In mathematics, a 5-manifold is a 5-dimensional topological manifold, possibly with a piecewise linear or smooth structure.
Non-simply connected 5-manifolds are impossible to classify, as this is harder than solving the word problem for groups.[1]
Simply connected compact 5-manifolds were first classified by Stephen Smale[2] and then in full generality by Dennis Barden,[3] while another proof was later given by Aleksey V. Zhubr.[4]
This turns out to be easier than the 3- or 4-dimensional case: the 3-dimensional case is the Thurston geometrisation conjecture, and the 4-dimensional case was solved by Michael Freedman (1982) in the topological case,[5] but is a very hard unsolved problem in the smooth case.
In dimension 5, the smooth classification of simply connected manifolds is governed by classical algebraic topology. Namely, two simply connected, smooth 5-manifolds are diffeomorphic if and only if there exists an isomorphism of their second homology groups with integer coefficients, preserving the linking form and the second Stiefel–Whitney class. Moreover, any such isomorphism in second homology is induced by some diffeomorphism. It is undecidable if a given 5-manifold is homeomorphic to
S^{5}, the 5-sphere.[1]
Examples
Here are some examples of smooth, closed, simply connected 5-manifolds:
・S^{5}, the 5-sphere.
・S^{2} ｘ S^{3}, the product of a 2-sphere with a 3-sphere.
・S^{2} ｘ～S^{3}}, the total space of the non-trivial S^{3}-bundle over S^{2}.
・SU (3)/SO (3), the homogeneous space obtained as the quotient of the special unitary group SU(3) by the rotation subgroup SO(3).
794:１３２人目の素数さん
23/12/24 02:20:39.19 Dd6aQW2T.net
そもそも文化的な議論ができる知能レベルにない
795:１３２人目の素数さん
23/12/24 06:50:32.51 mBupeFAw.net
他者による検証の重要性がわかるスレ
796:EE
23/12/24 06:56:38.38 wWW986Ai.net
>>766
>定理を読み違えているよ
>定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)
>『単連結』とあるが”可微分”を見落としているんじゃないの？
>いま主に問題にしている４次元キャッソンハンドルの話は、”可微分”ではない
>実際、h-cobordism は、『単連結』のしばりなし（５次元で参考にする例も同じ）
素人がわけもわからずなんか吠えとる
4行目
キャッソンハンドルを使った4次元の場合は確かに可微分ではないが
証明を一度でも見たことあれば ｈ同境を利用しているのが分かる
5行目
ｈ同境の定義自体は確かに単連結でなくてもよいが
ｈ同境定理は単連結という前提がある 素人が否定できることではない
”The h-cobordism theorem showed that
(simply connected) manifolds of dimension at least 5
are much easier than those of dimension 3 or 4.”
”simply connected” は単連結のこと
797:EE
23/12/24 07:02:47.06 wWW986Ai.net
>>767
>（google訳）
>hコボルディズム定理は、少なくとも 5 次元の (単純接続された) 多様体が
>3 次元や 4 次元の多様体よりもはるかに簡単であることを示しました。
自動翻訳は、数学用語を知らんから、そのまま使えないよ
simply connected を 「単純接続された」と訳してるけど
これは数学用語として定義されている「単連結」だから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
君は定義をないがしろにする素人だから数学が初歩から理解できない
線形代数が理解できなかったのもそのせい
マセマで勉強しなおしなよ
798:EE
23/12/24 07:11:16.42 wWW986Ai.net
>>768
>そもそも、「分類」とは？
>「分類」には、数学的に厳密な定義はない！
>”分類不可能”は、やはり言い過ぎと思う
何に怒り●ってるのかちっともわからん
松本幸夫氏のいう分類が
「全４次元多様体の同相分類」
であることは明白
・基本群が違えば同相でない
・いかなる有限表示群も基本群となる
・有限表示群の分類は不可能
の３点から
・全４次元多様体の同相分類は不可能
といえる 反駁の余地は微塵もない
基本群も有限表示群も知らん素人が
「人間様は万能だ！できぬことなどなにもない！」
と吠え散らかしても●違い扱いされるだけ
>>770
>●●レベルの知能で多様体の分類理論の話題についていけるはずない
そもそも正則行列を知らんということはヤコビアンも知らんということ
ヤコビアンを知らんということは微分同相も分からんということ
そんな人に多様体の分類が分かるわけもない
だから彼には散々いっているのだが 線形代数から勉強しろ、と
799:EE
23/12/24 07:21:55.34 wWW986Ai.net
>>772 >そもそも文化的な議論ができる知能レベルにない
>>773 >他者による検証の重要性がわかるスレ
そもそもWest Wannaby君は、一般的な行列式の定義すら理解できない
３✕３の行列式を知ってる程度でドヤってたことから
４✕４以上は定義も知らず計算もできないんだなとわかる
仮に定義を知っていたとして、定義通り計算するのは馬鹿である
行列式を知らん新大学１年生ならともかく
すでに線形代数の単位を取得した大学２年生なら
そんな愚かな真似はしない
基本操作による行列の階段化を実施すればいい
階段行列の対角成分の積を求めればそれが行列式の値
なぜそれでいいのかは線形代数の教科書でも読んでくれ
マセマに書いてあるかどうかは知らんが
ちなみに上記を
「固有値を求めるための行列の対角化」
と勘違いしてる迂闊な人がいるけど全然違う
固有値を求めるのは、代数方程式の根を求めるのと同等
だからより難しい
しかし基本操作による行列の階段化は
連立線形方程式の解を求めるのと同等
行列式を求めるのに固有値を求めるなんていうのは
「代数方程式の根全部の積を求めるのに根全部を求める」
のと同じくらい馬鹿な行為
少なくとも国立大学理系の入試には受からない
800:１３２人目の素数さん
23/12/24 08:36:47.86 ALCFg7l8.net
>>771
ご参考
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
研究集会「多様体のトポロジーの未来へ」
松本幸夫先生（東京大学大学院数理科学研究科）は 2004年11月8日に満60才のお誕生日を迎えられます。 これを機会に研究集会を開催いたします。 奮ってご参加下さい。
日時 : 2004年11月8日（月）14:00 ～ 11日（木）17:00
場所 : 東京大学大学院数理科学研究科大講義室
世話人代表 : 上 正明（京都大学大学院理学研究科）
大鹿 健一（大阪大学大学院理学研究科）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
研究集会「多様体のトポロジーの未来へ」予稿集
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
SurgeryTheoryandGeometry (山崎正之) (城西大学理学部数学教室)
1古典的手術理論
1.2手術
手術が多様体の分類にどのように使われるのかを次節以下で説明する．
1.3 Poincare複体と法写像
1.4 WallのL群
1.6手術の完全列
2最近１０数年の進歩
2.1ホモロジー多様体
2.2制御手術理論
3手術の応用
なお、urlなしだが、下記を紹介しておく
・古田 幹雄, pdf file (610 K bytes), ps file (280 K bytes)
・上 正明, pdf file (87 K bytes), ps file (260 K bytes) （11月4日更新）
・松本 幸夫, pdf file (160 K bytes), ps file (160 K bytes)
801:１３２人目の素数さん
23/12/24 09:06:27.48 ALCFg7l8.net
>>778
小島定吉
「これまでの3次元多様体を巡る研究を振り返ってみると，そのトポロジーを研究する過程で複雑な大域的様相を表現する言葉が整備され，それ自身がいろいろな分野と絡むたいへん豊かな数理構造を含んでいることに気がつく．
一時期3次元多様体のトポロジーを知ることが大きな目標だったのは事実だが，それが唯一最大の目標だったのは遠い昔のことで，今は，3次元多様体は，空間の歪みを表現する新しい数学の言葉を生み出す元になっている．」
これは、なかなか深い言葉ですね
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Knowing the topology of 3-manifolds
(小島定吉) y(東京工業大学)
1 3次元多様体の幾何化
2 3次元多様体のトポロジーが分かって
Perelmanによる幾何化予想の解決は，現時点ではまだ検証中である．
しかし，現状はさておき，トポロジーが分かった3次元多様体をめぐる数学はこの先どのように進むであろうか．
これまでの3次元多様体を巡る研究を振り返ってみると，そのトポロジーを研究する過程で複雑な大域的様相を表現する言葉が整備され，それ自身がいろいろな分野と絡むたいへん豊かな数理構造を含んでいることに気がつく．
一時期3次元多様体のトポロジーを知ることが大きな目標だったのは事実だが，それが唯一最大の目標だったのは遠い昔のことで，今は，3次元多様体は，空間の歪みを表現する新しい数学の言葉を生み出す元になっている．
森田茂之氏が[9]で語った「トポロジーは振興宗教のようなもの」というやや自嘲した見方は，もはや過去の危惧になろうとしている．
また，自然数を元にたいへん深い数学が展開されるのと比較すると，大槻知忠氏が[5]で記した「幾何学における3次元多様体は，数論における自然数になれるか?」という期待が現実化してきていることも伺わせる．
このような状況で確信的なことなど言い得ないが，講演の後半では，最近のJ.BrockとJ.Soutoの仕事を素材に([7]を参照)，3次元多様体をめぐる研究の将来像のささやかな一つに言及したい．
802:１３２人目の素数さん
23/12/24 09:24:00.00 ALCFg7l8.net
>>768
>>>760 >>４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ >>（微分同相でも）”分類不可能”は、やはり言い過ぎ さて、ここに戻ろう >>751 >松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155 >「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。 > したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」 > との記載は、既に古いってことだ ・2023年時点で、微分可能でない一般のトポロジーでは フリードマンの理論で単連結の場合に手術の手法が使えて分類可能？ 一方、微分可能な場合は、ポアンカレ予想が未解決 ・しかしながら、４次元は物理的にも非常に重要な対象で、物理からのいろいろ手法の流入がある 一例が、ウィッテン氏に代表される手法 この話は、「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」にもある（目次を見ただけだがｗ） ・思うに、「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫」では 「すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」というネガティブな表現は差し控えたと想像する ・あたかも、３次元多様体にリッチフローというやや物理学的手法が使われたごとく ４次元多様体で将来何が起きるかは、予断を許さないと思ったのではないだろうか？
804:１３２人目の素数さん
23/12/24 12:32:26.87 Bl76pZg7.net
分類ってそもそも数学なのか？
805:EE
23/12/24 14:56:13.35 wWW986Ai.net
>「すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
>というネガティブな表現は差し控えた
「５次以上の全ての代数方程式の冪根による解法も不可能なのである」
という表現はネガティブだから差し控えたほうがいいと？
「任意の集合論的論理式に対する公理的集合論による真偽の決定も不可能なのである」
という表現はネガティブだから差し控えたほうがいいと？
全ての方程式の解法が存在する、という目標はポジティブだから達成されねばならないと？
全ての命題の真偽を決定する、という目標はポジティブだから達成されねばならないと？
「アーベルの定理」は打ち負かされなければならないと？
「ゲーデルの定理」は打ち負かされなければならないと？
大阪の同業者君、あなた、狂ってる？
806:１３２人目の素数さん
23/12/24 15:28:06.60 ALCFg7l8.net
＜ポジティブな話＞
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
深谷賢治
Mirror symmetry of Abelian variety and multi theta functionsの改訂版をいれました。（2000年6月）
「数学者による数学者のための弦双対性入門」は、サーベイズインジオメトリーのサイバーグウィッテン理論特集の再録です。
当時は（今でもそうですが）深谷が題材を十分に把握しきれていないため、多くの間違いがあると思われます。
「ゲージ理論の数理と物理」は原子核３者夏の学校で深谷が講義したものを大阪大学の素粒子の大学院の人たちがまとめてくれたものです。
記録者が優秀なので、ここにある文献では一番誤りが少ないと思われます。
「量子コホモロジー」は1995年のサーベイズインジオメトリーシンプレクティック幾何学からの再録です。少し古くなりましたが、一応載せておきます。
静岡大学の講義録は横山美佐子さんが作ってくださったものです。大変よくできていて、もとの講義を聴くよりこれを読む方がわかりやすいと思います。
つづく
807:１３２人目の素数さん
23/12/24 15:32:52.48 ALCFg7l8.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
数学者による数学者のための弦双対性入門 深谷賢治 2000年か
序文
見かけ上５つあると思われ，さらにコンパクト化まで考えると無数にあると考えられていた超弦理論が，みんな一つだった，あるいはつながっていた，というのが，String Dualityの大きな発見であった
それを受けて，超弦理論はここ数年大変な勢いで進歩している
これは，数学になにをもたらすのだろうか
ひと昔まえ ミラー対称性が物理からやってきて，代数幾何を中心に数学に大きな影響を与えた
サイバーグとウィッテンのN=2 超対称ゲージ理論の双対性の発見が，その副産物として，４次元位相幾何学に大きなものをもたらした
これらを見ていると隣の世界の出来事といって放ってもおけない
しかも，少し眺めてみると，どうも，その発展の問題意識がすこぶる数学的である
第１，２つの関係なかったものに関係をつけて喜ぶ，というのはいかにも数学者の態度である
（一昔前なら，関係がついたって，結局どっちも分からないんでしょ，というのは物理学者から数学者へのせりふだったのではないだろうか）
もう一つ筆者が興味を持ちやすかった理由は，超弦理論は最近の進展の中で，World Sheetつまりリーマン面上の理論（例えば共形場の理論）からSpace Timeつまり１０次元の空間へ重点を移したという．そして，よくでてくるのは，Space Timeあるいはコンパクト化に使う空間に関わるモジュライ空間である
まさしく，現在の幾何学の主要な対象である
超弦理論の中心は，無限次元リー環の表現論から，モジュライ空間の幾何学に移った，といっては言い過ぎだろうか．（勿論，この２つは，実は密接にかかわっていて，両方の見方を，自由に移りながらする事が，大切であるのだろう）
それはともかく，超弦理論の最近の進展が数学になにをもたらすのか，考えながら，hepからダウンロードした論文を眺めていた結果できたのがこの予稿である
しかし，書いているうちに，私にはこれを書く資格がないのではないかという危惧を何度も感じた
自分がよく分からないことを，人に向かって説明しようと試みるのは，ナンセンスではないか
しかし，この原稿は翻訳つまり物理語を数学語に訳す翻訳である，と思うことにした
翻訳は，同時に，理解するための行為である
１，２章は，すでに１０年前に確立していた弦理論の基本的な事項を，数学語で解説することを試みた．
というより，物理で確立しているさまざまな手続きによる計算が始まる前の，なぜそう計算するのか，なにを計算しているのか，を考えてみた
それをせずに，単に物理の手続きを信じて進めることもできるが，それはしたくなかった
実際現在の発展の中心である，「非摂動的効果」は，そういった以前の手続きでは捉えられない部分だからである
手続きの意味を熟知した物理学者が，それをふまえて使えば問題はないが，よく分からないまま鵜呑みにするのは危険であると思った
３章以後がDualityの解説である．できるだけ多くの話題に触れたいと思い，どちらかというと広く浅く，になってしまった
しかし，まだ，勿論話題は偏っているであろう
目次に書いたように，筆者はこのテーマについて素人であり，間違いは多くあると思われる．あらかじめご了承頂きたい
(引用終り)
以上
808:EE
23/12/24 16:50:14.89 wWW986Ai.net
大阪の同業者、WW君は”ポジティブ”をアピールしてるが
そのくせ、円分方程式の根がラグランジュの分解式で解けることに全く興味を持たない
これこそ”ポジティブ”かつ面白い成果であるにも関わらず
WW氏の”ポジティブ”アピールはただ流行に乗るミーハー精神の現れでしかなく
数学への興味は皆無であることが明らかである
だったら数学に一切関心を持つのをやめたほうがいいかと思う
自分が真に興味を持てることに”ポジティブ”であったほうが有意義だろう
809:EE
23/12/24 16:56:55.62 wWW986Ai.net
円分方程式の根の話は、高校数学の三角関数に直結する
特殊角の三角関数の値が平方根で表せることは、高校生でも知っている
例えば30°、60°、18°、36°、54°、72°、・・・
これらは、例えば円の三等分、五等分に関わるものである
また
３°のcos,sinの値は、平方根で表せるが
１°のcos,sinの値は、平方根では表せない
というのも、実は円分体の性質に関わるものである
こういうことに微塵も興味を持たない
大阪の同業者 WW氏は
実際には数学に全く興味がないのだろう
810:１３２人目の素数さん
23/12/24 17:09:11.48 ALCFg7l8.net
＜ポジティブな話2＞
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学
中島啓氏の業績-特殊単調体の幾何学と表現論との交叉
(2000年6月13日提出) (太田啓史 おおたひろし・名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
5. 表現論へ.
それから数年して, 中島さんは東大から東北大に移られた. 移られる前の数年間は, 「暗中模索の日々」 ([N11]) であつたようである. 当時は, 恐らく, ALE空間の上のインスタントンのモジユライ空間のホモロジーを, [K-N]のquiver表示を用いて超ケーラー商で記述し, 不動点定理などを用いて計算されていた[N4].
本人は, 当時東北大におられた表現論の人々, 堀田良之, 宇澤達, 長谷川浩司, 黒木玄各氏の影響を受けたのだ, と言われておられる
ある時 (これがどういうきっかけによるのかは知らないが) 同変K群ではなくホモロジー群の上へ, 「アファイン量子群」ではなく「アファインリー環」U(g) の表現を構成しようとしたらできちゃった[N5.5], という話を聞き, これは, 構成のアイデアが極めて幾何学的でわかりやすくかつ, その内容に強い衝撃を受けた覚えがある.
なぜALE超ケーラー4次元多様体上のインスタントンのモジユライ空間 (正しくはその完備化の特異点解消) のホモロジーに, ある意味で, 2次元的なアファインリー環の表現ができるのか, 大変不思議な気がした.
当時4次元のゲージ理論をやっていた筆者にとって, そこに2次元が出てきで驚いた最初の経験であった. (後にもっと衝撃的な話に出会ったのであるが).
しかし, 一方で一応, ALEの場合は一般の4次元多様体とは異なり, 裏でADE Dynkin図形が支配している特殊な4次元多様体だから, 対応するアファインリー環があっても, わからなくもない (でもやっぱりよくわからない)が, 一般の4次元多様体の場合はぞうは, うまくはいかないだろう, とも思っていた.
個人的な感想で恐縮であるが, この仕事は中島さんの仕事の真骨頂であると思っている. ただ, 当時更によくわからなかったことは, ホモロジーのある一部にのみ表現が作られていたことで, その点は最近の中島さんの仕事[N 10]で, 見事に解明されることとなるのである.
つづく
811:１３２人目の素数さん
23/12/24 17:09:28.02 ALCFg7l8.net
つづき
6. ヒルベルトスキーム.
更にいくつか質問をしたところ, Vafa-Wittenの仕事[V-W]があることを教えて頂いた. (この辺の事情については[N7].) これには, またまた驚いてしまった.
平たく言えば, 4次元多様体の上のインスタントンのモジユライ (ベクトル束のモジユライ) 空間のポアンカレ多項式の母関数が保型性を持つ, というのである.
これは, 物理でのS-dualityと呼ばれるものの帰結らしく, Vafa-Wittenの論文をみると, ALE空間の場合の中島さんの結果を用いて, 彼らはその主張を検証しているのである. 他に吉岡康太氏のCP2の場合の結果[Yo]などでも検証していた.
ここでいうS-dualityとはN=4の超対称性を持つ4次元ゲージ理論における強結合領域と弱結合領域を反転させる双対性であり, この際 (複素化された) 結合定数が保型性に関わる.
4次元多様体だけを見ているだけでは, 上の母関数が保型性を持つなど全く想像できないことであり, 驚くべきことである.
論理的なことを言えぼ, S-dualityは証明されている性質ではなく, Vafa-Wittenたちが, 中島さんたちの計算結果を使ってS-dualityの状況証拠を固めたと言うべきかもしれない.
ほぼ時期同じくして, (物理の) Seiberg-Witten理論[S-W]が出てきており, ここにきてどうも, ALE空間に限らず一般の4次元多様体の世界の裏にも本当に2次元が隠れているのではないか, という印象を強く持ち始めてきた.
(断っておくが, 中島さんの5節の仕事はそれよりも早くに4次元と2次元の関わりを例示していたのである.)
この頃から, 中島さんは, 「多様体一つを調べていてはダメで, 全部まとめた「もの」を考えて初めて構造が見えてくる」とよく言われるようになり, 「この「もの」を母空間」と名付け, これこそが22世紀 (21世紀ではない) の幾何学の対象であるべき, と主張されるようになった.
その意味で, 個々の「多様体」はむしろ「単調体」とでも言うべきものである,
ということは, 幾何学賞授賞講演の折りも力説されていて, 記憶に新しい. 多様体だけでは空間概念としては不十分という認識に共感を持つ人は少なからず存在すると思うが, それを母空間と名付けてみたことで, むしろ言葉が一人歩きしたようなこともあったように思われる.
なにしろ, その頃は幾何学について非常にシニカルであり, よく表現論と比較して幾何学のあるべき姿についての自説を説いておられ, よくお叱りを受けたものである.
7. えびら多様体.
略
(引用終り)
以上
812:EE
23/12/24 17:46:38.09 wWW986Ai.net
WW氏はほんとミーハーですな
>>788
>「多様体一つを調べていてはダメで,
> 全部まとめた「もの」を考えて
> 初めて構造が見えてくる」
このことと「分類が不可能」は両立するので、
別に「分類不能」に発狂して隠滅する必要はない
813:EE
23/12/24 17:55:58.48 wWW986Ai.net
WW氏は自分が見えてないので
深谷氏ガーとか中島氏ガーとか
他人の褌でドヤってる暇があったら
「平面領域のベクトル場について
境界円上での状況が分かると
領域内の零点に関して何が分かるか
くらい考えたほうがよろしかろう
814:EE
23/12/24 20:14:13.05 wWW986Ai.net
複素関数は、複素平面上のベクトル場と考えることができる
（関数の値をベクトルと考えればいい）
関数の零点は、ベクトル場の零ベクトルとなる
で、適当に領域をとり、
境界での「ベクトル」に適切な処理をして
積分することによりある値が求まるが
そこから領域の中の零点の状況がわかる
815:１３２人目の素数さん
23/12/26 14:33:40.83 CY6XjM10.net
回転数
degree大事
816:１３２人目の素数さん
23/12/27 08:08:19.76 Bz9nsHoH.net
＜ポジティブな話3＞
大事なことなので、貼っておきます
・幾何学的群論（1980年代後半から）
・有限単純群の分類（出来たという宣言は1983年だったが、当時はまだギャップがあったそうです）
これは、1979年当時は知られていなかったでしょうね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群論
組合せ論的群論と幾何学的群論
群を記述するのには複数の方法がある。有限群は、可能な全ての積 g * h によって構成される乗積表を書き出すことによって記述することができる。もう一つの主要な方法としては、「生成系（生成元）と関係式」によって群を定義する方法であり、これは群の表示と言われる。
群 G の生成系を与える任意の集合 F = {gi}i ∈ I が与えられたとき、F の生成する自由群から群 G への全射準同型が存在する。この全射準同型の核は F のある部分集合 D で生成され、基本関係のなす部分群と呼ばれる。このような群の表示は、ふつう ⟨F | D⟩ と書かれる。例えば、整数全体の成す加法群 Z = ⟨a | ⟩ はただ一つの元 a (= ±1) によって生成され、基本関係を持たない（n が 0 でない限り n1 は 0 ではないから）群である。生成元に対応する記号からなる文字列は語 (word) と呼ばれる。
群を生成元と基本関係によって与える方法から、いくつかの問題が自然に生じてくる。語の問題というのは「群の生成元からなる二つの語が、いつその群の同じ元を定めるか」というものである。この問題をチューリングマシンに関連付けることにより、この問題を一般に解決することのできるアルゴリズムが存在しないことを示すことができる。同じくらい困難な問題に「異なる表示によって与えられる二つの群が、いつ互いに同型となるか」という同型問題がある。
幾何学的群論とは、語の問題や同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象を求めるといったような幾何学的な視点から解決を試みるものである[2]。前者の方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路の長さとして語の距離が定義できる。後者のやり方として、ミルナーと Svarc による、（コンパクト多様体のような）距離空間 X に適当な方法で作用する群 G が与えられれば、群 G は空間 X に擬等長 (quasi-isometric) であるという定理がある。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Group theory
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Geometric group theory
つづく
817:１３２人目の素数さん
23/12/27 08:08:39.55 Bz9nsHoH.net
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学的群論
幾何群論は、有限に生成された群の代数的性質と、これらの群が作用する空間の位相的および幾何学的性質との間の関係を探索することによる、有限生成群の研究に特化した数学の領域です(つまり、問題の群が次のように実現される場合)。幾何学的対称性またはいくつかの空間の連続的な変形)。
幾何学的群論におけるもう 1 つの重要な考え方は、有限に生成された群自体を幾何学的オブジェクトとして考えることです。これは通常、グループのケイリー グラフを研究することによって行われます。ケイリー グラフには、グラフ構造に加えて、いわゆるワード メトリックによって与えられる計量空間の構造が与えられます。
歴史
幾何学的群論が数学の別個の分野として出現したのは、通常、1980年代後半から1990年代初頭にさかのぼる。これはミハイル・グロモフの1987年のモノグラフ『Hyperbolic groups』[8] およびその後のモノグラフの『Asymptotic Invariants of Infinite Groups』[9] により拍車がかかった。前者は大尺度(large-scale)で負の曲率を持つ有限生成群の概念を捉えた双曲群（英語版）（語双曲群またはグロモフ双曲群または負曲率群としても知られる）を概念を導入したもので、後者は離散群の擬等長（英語版）類を理解するというグロモフのプログラムの概要を説明したものである。グロモフの研究は、離散群の研究に変革的な影響を与え[10][11][12]、「幾何学的群論」というフレーズがその後すぐに現れ始めた。（例えば[13] 参照）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限単純群の分類
有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。
この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である
1983 ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし準薄（英語版）ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
(引用終り)
以上
818:１３２人目の素数さん
23/12/27 08:26:22.10 bvi4pd71.net
>>793
>大事なことなので、貼っておきます
大事なことなので、質問しときます
Q 有限群・有限生成群・有限表示群の定義を述べ、それぞれの関係を示し、できればその関係を特徴づける例も示せ
819:１３２人目の素数さん
23/12/27 09:49:28.73 PVrWxSiG.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：自分で調べて分かることは、自分で調べろ！
（それでも分からないときは、下記へどぞ）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
くだらねぇ問題はここへ書け
追記
・教訓は、古い本の記述を鵜吞みにするなってことだね
820:１３２人目の素数さん
23/12/27 10:01:18.67 4pBIh7es.net
ウィキペディアの記述を鵜呑みにするのはもっとよくない
821:１３２人目の素数さん
23/12/27 10:26:03.28 Iv9N2bVa.net
河東氏の言う通りに数学に取り組まないと
こんな人間になりかねないよ、というサンプル
822:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:04:09.41 jmgqV8kA.net
>>796
以下の問いが答えられなかった、ってことかな？
>Q 有限群・有限生成群・有限表示群の定義を述べ、それぞれの関係を示し、できればその関係を特徴づける例も示せ
よく、
「有限生成群も有限表示群も有限群」（ドヤぁ）
という人がいるので、そういう人には、
「定義を一度確認しましょうね」
ということにしています
823:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:05:46.20 4pBIh7es.net
>>798
そんなサンプルはあまりにもありふれている
824:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:06:42.10 jmgqV8kA.net
じゃ、一番簡単なところから、追加質問
Q2 有限生成群だが有限群でない例を１つあげよ
825:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:09:01.00 4pBIh7es.net
無限巡回群
826:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:10:20.95 PVrWxSiG.net
>>797
>ウィキペディアの記述を鵜呑みにするのはもっとよくない
なるほどね
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：ウィキペディアの記述が正しいか、自分で調べて確認しろ！
・中野予想解決で、ある本の記述では不足で、その元論文を調べたら、解決のヒントが書いてあったという人がいる
なかなか深い教えですね
・昔っから、フェイクニュースを鵜吞みにするなともいう
（裏付けを取れ！）
・ところで、昔 鈴木通夫 「群論」（上）（下）1978 があって（今は、2015があるらしい）
これは、有限単純群の分類が完成する直前の本で、その過程が結構詳しく書いてあった
その後、有限単純群の分類出来たという宣言 1983年の話は、数学セミナーに記事が出たのを読んだ
（ところが、実は大穴が開いていたというのは、wikipedeiaの記事で知った）
なので、有限単純群の分類については、だいたい裏付けありです
・幾何学的群論？ さあ？ 単なる受け売りです
グロモフの1987年のモノグラフ『Hyperbolic groups』？ これも同じだが
グロモフさん 京都賞を受賞したのだが、むかし5chにいた”猫”さんが、グロモフ 京都賞の推薦文を書いたと自慢していた（旧ガロアすれの過去ログにある）
（”猫”さんが、IHÉSに留学したときに身近にいて、その仕事をよく知っていたからという）
まあ、コメントはこんなところです
あとは、みなさん自己責任でお願いします
そもそも、５ｃｈなんて ウィキペディア以下でｗ、その記述を鵜呑みなど
とんでもなことでございますｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波
現代数学 19
群論 （下）
著者 鈴木 通夫 著
刊行日 1978/08/18
この本の内容
有限群論で国際的に評価される著者自らが執筆した教科書．上巻で，基本定理や方法，一般群論，下巻で有限群論を解説する．節末問題には解答のヒントを付し，教育的配慮がよくなされている．
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
現代数学 19
群論 （下）
著者 鈴木 通夫 著
刊行日 2015/09/10
827:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:12:49.39 jmgqV8kA.net
>>802 その通りだけど、コピペ君に答えてほしかったな
無限巡回群Zは、只一つの生成元をもつ自由群ですね（したがって有限表示群でもある）
では、次はいきなり難しい問題
Q3 有限生成群だが有限表示群ではない例は存在するか？Yesならその例を１つあげよ
828:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:16:20.30 jmgqV8kA.net
そもそもネットだろうが本だろうがセンセイのいうことだろうが
自分で理解することなしに鵜呑みにしたら間違うし恥かくし死ぬ
そういうことおかまいなしに
サーチしたものを丸のみコピペしまくってる
「鵜飼いの鵜」が一羽いるようですが
なにがうれしいのやら
829:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:26:39.82 jmgqV8kA.net
>まあ、コメントはこんなところです
>あとは、みなさん自己責任でお願いします
もしかして、ファシリテーター気取り？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
830:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:35:12.51 PVrWxSiG.net
>>793 補足
ここで言っていることは
ワード問題で分類不能
でも、ワード問題とは関係ない別の手法があるってこと
そもそも、”分類”という言葉が、数学的に定義された用語ではない（ワード問題？ｗ）
例えて言えば、人類を分類するぞ！
・人種で分類しようとしても、混血がすすめば簡単じゃないよね
・しかし、男女の性別とか、年齢（成年、未成年）とか
・一つの分類手法で分類不能でも、他の方法による分類は否定できない
なので、一つの分類手法のネガティブな面を強調しすぎるのは、テキストとして如何かとなる
831:１３２人目の素数さん
23/12/27 11:45:33.86 M+WNcN2N.net
>>807
>ワード問題で分類不能
>でも、ワード問題とは関係ない別の手法があるってこと
幾何学的群論ってワード処理と関係ないどころか大ありじゃなかったっけ？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
P.S.
>人種で分類しようとしても
人種は存在しませんね ざんね～ん
832:１３２人目の素数さん
23/12/27 12:23:18.91 PVrWxSiG.net
・”人種”が批判されているのは、その通りだが、福沢諭吉が言っていた歴史があるらしい
・ところで、数学で、実数の分類で i)有理数、ii)代数的数、iii)超越数がある
が、この３種の数を見分けるアルゴリズムは存在しない（当然ですが）
・例えば、オイラー定数γは、いまだ有理数か、否かさえ不明
（そんな例はいたるところ多数で、リーマンゼータの正の奇数に対する特殊値も同様らしい（wikipediaの危険性は承知の上で簡便処理ご容赦））
・だから、与えられた実数が有理数かどうかの見分けができないからといって
実数の分類で i)有理数、ii)代数的数、iii)超越数 が無意味とはいえないよね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
人種（じんしゅ、英語：Race）とは、ヒトの分類の概念[注釈 1][1][2]
3.四大人種（ネグロイド（黒色人種群）、コーカソイド（白色人種群）、モンゴロイド（黄色人種群）、オーストラロイド（黒褐色人種群））などの現生人類の集団[4][5]。英語 raceの日本語訳語[6]。
人種（ヒトの分類）の概念が虚構とする考え方から、人種主義への批判や反論などの議論が続いている（後述）[8][9]が、本項ではヒトの分類上における人種を扱う。
福沢諭吉
日本における初めての学説は、明治初期の日本人の人種観として福澤諭吉の『掌中万国一覧』[16]に見ることができる｡
前条の如く世界の人員を五に分ち其性情風俗の大概を論ずること左の如し
(一)白皙人種
(二)黄色人種
(三)赤色人種
(四)黒色人種
(五)茶色人種
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
833:1%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0 オイラーの定数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%89%B9%E6%AE%8A%E5%80%A4 リーマンゼータ関数の特殊値 正の奇数に対する特殊値 正の偶数に対する特殊値が常に無理数となることはその一般化された公式を見れば一目瞭然である一方、正の奇数に対する特殊値がすべて無理数であるかどうかは現在もまだわかっていないが、すべて無理数ではないかと予想されている[6]。
834:１３２人目の素数さん
23/12/27 12:30:28.42 bvi4pd71.net
>>809
全ての実数は「差が有理数」という同値関係で、非可算無限個の同値類に分類できるが
具体的にどういう同値類があるかを全部示すことはできない
そういう分類にいかなる意味がある、と君は言える？
835:１３２人目の素数さん
23/12/27 17:15:48.63 PVrWxSiG.net
>>810
>全ての実数は「差が有理数」という同値関係で、非可算無限個の同値類に分類できるが
>具体的にどういう同値類があるかを全部示すことはできない
>そういう分類にいかなる意味がある、と君は言える？
・なんども言っているが、「分類」を数学的に定義するまえに
「分類不能」をあたかも、数学の証明された定理のように述べることに、疑問を感じないのか？
・さて、「差が有理数」という同値関係は、有名なヴィタリ集合を導くのに使われる（下記）
だから、これについては有用であり意味があると思う。もちろん、それは数学基礎論としてだ
数論的な意味があるかは、また別
・そして、「差が有理数」という同値関係を判定する”アルゴリズムの有無”もまた
「分類」可否とは、話が別だということもこの例でわかる
（例えば、下記 e+π、e-πは 有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない（下記）
当然、一般の二つの超越数 αとβの差 α-βがどうかの判定アルゴリズムは無い。多分将来もないだろう）
・戻るが、「分類」に意味があるかないかは
「分類」の数理哲学的意味をもう少し掘り下げた後の議論と思う
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。
存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π、
有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
836:１３２人目の素数さん
23/12/28 06:03:25.16 gOPcxqz+.net
>「分類」を数学的に定義するまえに「分類不能」をあたかも、
>数学の証明された定理のように述べる
「同相分類」と述べている
「同相」は数学で定義されている
中卒のWW君が位相を全く知らないだけ
基本群が違えば同相でないのだから
同相分類では当然基本群による分類が必要
したがって基本群が分類できないなら同相分類もできない
絶対の真実 否定するのは数学理解できない＆理解する気もない素人
837:１３２人目の素数さん
23/12/28 06:05:14.23 gOPcxqz+.net
>「分類」に意味があるかないかは
>「分類」の数理哲学的意味を
>もう少し掘り下げた後の議論
素人は数学が理解できず数理哲学とかいう
「トンデモカルト宗教」を真に受ける（嘲）
838:１３２人目の素数さん
23/12/28 06:33:50.88 3xI3y5/Y.net
>>811
理由が書いてあるんだから、どういう意味で分類不可能なのかくらい分かるだろwww
馬鹿すぎるwww
839:１３２人目の素数さん
23/12/28 06:35:02.16 ek9OrFe7.net
証明見ても定理のステートメントはっきり出来ないとか数学やってないだろwww
840:１３２人目の素数さん
23/12/28 08:03:08.28 NrDHG6VA.net
>>645 より再録
(引用開始)
>>643
>なんか、おかしな事書いてないかな？
いいや
>松本幸夫「４次元のトポロジー」2009年版 は、手元にある
>P108 に"同じ群の表示かどうか判定する一般的に有効な手続き(argorithm)は存在しない
>ということが知られている"とはあるが
じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
バッチリ、こう書いてあるから
「それどころか、４次元以上の閉多様体をすべて分類することは、実は不可能なのである
いま、G＝・・・を、＜表示＞によって与えられた任意の群とする。
すると、この群を基本群にもつような４次元連結閉多様体が存在することが証明できる。
・・・
ところが§７．２の終わりにちょっと注意しておいたように、
すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。」
(引用終り)
いまごろ、論点ずらしか？ｗ
841:１３２人目の素数さん
23/12/28 14:36:14.08 mLpCZ7PA.net
トポロジーで何も他に構造入れずに話してるんだからTopでの主張に決まってるだろ
842:１３２人目の素数さん
23/12/29 09:05:44.81 mPJha3V6.net
松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版
『すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである』
しかし、そう書いたご自身の 下記「4次元多様体と Lefschetz ファイバー空間 講演集」2017
Lefschetz ファイバー空間の種数1で成功した分類定理とそれを種数2でも完成させようとした話がある
・要するに、ある手段で分類不可能でも他にも手段はある
・必ずしも、全体を完全に分類できなくとも、面白そうなところ 重要なところから手をつけるという方針もある
ってことじゃないですか
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：古い本の記述を鵜呑みにするな！ 新しい情報を自分で調べて確認しろ！
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
トポロジーシンポジウム
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
トポロジーシンポジウム 第６４回 (2017, 8/21-24)
（１０）企画講演 松本 幸夫（学習院大学） 4次元多様体と Lefschetz ファイバー空間 講演集 pdf file
(抜粋)
P86
3 4次元多様体
（1970年代後半まで）
P88
4.ファイバー構造を持つ4次元多様体
(上記 ”1970年代後半まで”の後の進展)
トーラスファイバー空間
P89
（自分の講義のときに説明したら、深谷賢治氏（当時院生）が聴いていて、ホップ・ファイブレーションを使ってもっと簡単に構成できることを教えてくれたとある。それを、論文の中で紹介したそうだ）
P89
楕円曲面
P90
5.Lefschetz ファイバー空間
（種数1で成功した分類定理を種数2でも完成させようという意気込みで始めた
結局未完）
P91
（チャート理論の「変形操作」で、最終的に「標準的な」チャートにたどりつけば、Lefschetz ファイバー空間の分類が完成する（未完だが））
（なお、現在でも、Lefschetz ファイバー空間の「（ある標準的なLefschetz ファイバー空間とのファイバー和による）安定化を経由した分類」はチャート理論を使って可能である（[29][13][14]））
843:１３２人目の素数さん
23/12/29 09:46:40.20 fit3YXdt.net
>>818
「全部が分類できない」と「ある特定の部分は分類できる」は全く矛盾いたしませんが
いったい誰の何がどう間違ってると●違ってるのか、
誰にも分かる論理的な日本語の文章で書いてもらえますか？
ニホンザルの猛り●った咆哮は耳障りなので勘弁願います
844:１３２人目の素数さん
23/12/29 09:55:56.98 fit3YXdt.net
>>809
人種は存在しない
Y染色体のハプログループは存在するが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Y染色体ハプログループは他の染色体の遺伝子情報とは独立である
したがって人種とかいう誤った分類で
黒人とされる人がヨーロッパ人に多いタイプに属したり
白人とされる人がアフリカ人に多いタイプに属したり
ということはある
845:１３２人目の素数さん
23/12/29 17:34:07.38 mPJha3V6.net
>松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版
>『すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである』
下記の”2016年の新版で追加された『低次元トポロジーの50年』（2012年7月のインタビュー）”
を見て思い出したのは
当時、神田の書泉グランデだったかで、2016年の新版を立ち読みした記憶
確か、フリードマンが4次元ポアンカレを解決する前の米での研究集会で、向こうから松本先生にいろいろ教えて欲しいみたく
話しかけてきたのに、フィールズ賞を受賞したあとで話をしたら、態度が変わっていたとあって
ちょっと笑える話だったので、記憶に残っている
（松本先生、立ち読みごめん！ 1979年版も買ったし、2009年版は手元にあるので、ご容赦ください）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
新版 4次元のトポロジー 単行本（ソフトカバー） – 2016/8/23
松本 幸夫 (著)日本評論社
書評
Takuo Yasuoka
5つ星のうち5.0 『低次元トポロジーの50年』
2016年9月16日に日本でレビュー済み
今回2016年の新版で追加された『低次元トポロジーの50年』（2012年7月のインタビュー）はポアンカレ予想の解説の決定版としても読むことができます！なぜ、トポロジーだけでは解けなかったのか、これからの研究はどうしたらよいか、が示されています。
ポアンカレ予想が解かれるまでの経緯が、松本先生の研究生活の視点から説明されていて、非常にわかりやすく本質をついています。やはり、低次元は高次元よりも複雑なので難しくなるということです。キャッソンハンドルを変形して単純化するよりも逆にたくさん取り付けて複雑化することによってトポロジー的に４次元のポアンカレ予想は解かれたということです。
４次元のトポロジーにゲージ理論が取り入れられた経緯を読めば、「次は熱でやってみたらどうか」と思いますが、まさに、ポアンカレ予想は熱方程式によって解かれたのです！
トポロジーという閉じた世界では解けなかった問題が、世界を拡張することによって解かれました。
（「閉じた」集合でのゲーデルの不完全性定理、ワイルの『開かれた世界』が思い起こされます）
これからの研究方向については、特異点がある幾何学はどうか、ということです。
（スケール変換であるくりこみ理論、角度を保つ共形場理論などが参入できるかな？）
以下、2009年の増補新版のレビューです。
略
846:１３２人目の素数さん
23/12/29 17:54:45.43 fit3YXdt.net
どうせなら Takuo Yasuoka の自己紹介の文章をコピペしたら？
私達は、最高学府やお国のため、世のため人のために生きているのではない。
「人権と世界平和」＝「自己実現と適応」である。
生物は宇宙の縮図。
速く正確にではなく「ゆっくりと精密に」。
自然科学はコーストレーションの歴史があります。
粗視化で一時期は非常にうまくいきますが、
精密さを追求すると、それまでの常識が非常識になります。
人間には感情や意志があり、
法則によっていると思われている自然よりも
複雑で難しいと思っていました。
しかし、自然を研究していくと、
自然が人間よりも単純なわけではなく、
人間は自然の縮図であるということが
だんだんとわかってきました。
自然の方が人間よりも複雑です。
「人間は自然に生かされている」。
自然を記述して理解しようとして構築された数学を、
今度は逆に、数学自体を研究拡張して
新しい数学体系を構築すると
自然の理解が更に深まる。
自然と数学は表裏一体です。
（つづく）
847:１３２人目の素数さん
23/12/29 17:56:59.63 fit3YXdt.net
>>822のつづき
今の世界的な傾向として、
人間の複雑さに対する自己欺瞞が横行していると思います。
もっと、謙虚に、丁寧に、精密に、
全ての人々の幸せのために真剣に議論をする。
力に訴えるのではなく「本物の」自然科学をお手本として。
現代世界の大義は「世界平和と人権、真理の探究」です。
真理の探究はゲーデルにより深刻な危機に晒されましたが、
宇宙はヒルベルトプログラムのように閉じてはいません。
ゲーデルは閉じた体系に対する無矛盾性の証明が
できないことを示したにすぎません。
世界平和と人権に対しても、
大義が真であることを開かれた世界において
知行合一により実践していくことが求められています。
「世界平和と人権」とは、精神保健では「適応と自己実現」ということです。
（つづく）
848:１３２人目の素数さん
23/12/29 17:59:22.80 fit3YXdt.net
>>823
数学者はユークリッド幾何学からリーマン幾何学、
さらにその先までをも探究するが、
論理そのものを変更はしない。
古典力学における代数は、
量子力学において変更されるが、
論理は変更されない。
過激な物理学者は、法則は変わると主張するが、
論理については何も言わない。
憲法と法律の関係も同じことかもしれない。
憲法を規定するのは大義である。
宇宙の一部である我々の大義とは「自己実現と適応」である。
宇宙からのネゲントロピーにより
自己実現である生命が生成して
自己実現（喪失と獲得）を繰り返して
エントロピーが増大し消滅する。
自己中心は他者の自己実現を妨げ、
自身の自己実現をも妨げる。
従って、自己実現には適応が要求される。
戦争は自己実現と適応に反することである。
（つづく）
849:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:01:21.38 fit3YXdt.net
>>824
真理の探究である物理学は
粗視化であるコーストレーションを繰り返しながら
精密になっていく。
ヒルベルトプログラムにおけるゲーデルの記号論理学において、
数理科学では真理に到達することは不可能かと思われたが、
ゲーデルは閉じた世界であるヒルベルトプログラムに従っていたに過ぎない。
ワイルが『開かれた世界』で示したが、世界は開かれている。
我々は世界を拓いていきながら自己実現をしていく実存である。
自己実現は真理の探求と等価である。
大義とは「真理の探求」であり、
いにしえから先哲が説いてきたように「自己実現と適応」である。
真の憲法とは大義の論理的帰結である。
従って、大義の帰結である憲法を改正するということは
決してあってはいけないことである。
（つづく）
850:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:03:31.94 fit3YXdt.net
>>825
生命は宇宙と太陽からネゲントロピーを受けて
自己を実現してゆくのみならず、
エントロピーを増大させる。
これは一見自己矛盾である。
しかしながら、生命には遺伝子による自己実現の永続がある。
これは、宇宙の法則と同型である。
宇宙の星々も生成消滅しながら自己実現をしているのである。
日本のルーツである天皇を大切にすべき大義はここにある。
しかしながら、それは物質的なことには限らない。
遺伝子による記憶の伝達だけではなく、
日本精神の伝達ということである。
両方が成立できることが古今東西（南北）求められている。
適応は宇宙における調和の生活による表現である。
（つづき）
851:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:05:47.17 fit3YXdt.net
>>826
局所的な偽は大局的にも真理ではない。
人権と世界平和という大局的な真理において、
局所的な争いをどう捉えるか。
物理学においては、
一般相対性理論と量子力学のような、
大局性と局所性の解離の問題がある。
量子力学で熱力学第二法則を証明できるという研究がある。
局所的真理によって大局的真理に到達できるということである。
局所的な国々はお互いに大局的な人権と世界平和に向けて
努力を重ねることが真理の探究であり、大義である。
（つづく）
852:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:08:15.95 fit3YXdt.net
>>827
宇宙の摂理は、生成消滅。
エントロピーとネゲントロピー。
シバとヴィシュヌ。
生命は宇宙と等価である。
生成と消滅を繰り返している。
精神と身体の合一である人間において、
身体のアポプトーシスを精神が発現するのは
他の生命にはないことかもしれない。
しかし、人間が他の生命と異なるのは、
自然の一部である個人（＝「自我」）が
「自己」（＝宇宙の摂理）を
論理的にコントロールできる可能性
を理解できることである。
それが「人間」ということである。
しかしながら。人間は自然の一部である。
自我の死は自然が決めることであるが、
自己は永遠である。
（つづく）
853:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:09:31.01 fit3YXdt.net
>>828
物理学において、
「時空と力及び物質」の統一理論は
真理の「理念」である。
古典物理学において、質点は理念であり現実ではない。
数学において、集合は大きさのない点の集まりである。
このことは健常人にも精神病者にも理解できない。
物理学者と数学者にのみ理解できることである。
「時空と力及び物質」の統一理論は
現実世界の理論ではなく「理念」である。
「質点」で説明できなければ、
拡がりをもつ「弦」や「ループ」で説明することになるが、
この段階においても、
究極の理論は真理における「理念」である。
数学において、
単なる点の集合に位相を導入することにより「形」が現れ始め、
さらに「距離」を導入することにより「大きさ」が現れる。
物理学において、時空にメトリックを導入することにより
歪みが生じ、重力となる。
光速度が一定なのは、光の伝搬は時空の性質に過ぎないからである。
これら全ては理念であり、現実ではない。
理念に「現実という位相」を導入することにより、
様々な現実的物質や生物が生じる。
したがって、物理学と数学には理念と現実という側面がある。
（つづく）
854:１３２人目の素数さん
23/12/29 18:11:34.31 fit3YXdt.net
>>829
憲法もおなじことである。
「人権と世界平和」＝「自己実現と適応」という理念に
「現実という位相」を導入することで自衛隊が生じる。
したがって、日本国憲法という理念に
自衛隊を入れることは本末転倒である。
日本国憲法という理念に
現実的位相を導入することにより
自衛隊が生じる。
エリクソンのライフサイクルが平均とすれば、
平均ではない、真の自己実現がある。
人権と世界平和、真理の探究のために生きることが本質である。
仏教の修行もそうである。
私の言い方がわからない人は自己中心。
一昔前には時空の性質よりも常識を要求された。
しかし、今や、重力波も常識である。
時空は均一ではない。
同様に、生命の時空、つまり自己実現も多様体である。
各々の時空を共有して世界を広げてゆくことが大義。
自己実現と世界平和。
宇宙は膨張しており開かれた世界。
ブラックホールは吸い込み吹き出し領域。
マルチバースは星々の生成消滅による時空の創生。
宇宙は生命と等価。
（完）