23/12/22 10:48:06.21 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ３
翻訳してみた
（MicroSoft訳）
ディメンション別の概要
・次元 0 と 1 はtrivial.
・低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.
・中次元多様体(dimension 4 differentiably)はエキゾチックな現象を表わす。
・高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される。
したがって、次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である: それらは(低次元のように)幾何学的に可能ではありません（neither geometrizable）。
また、手術によって(高次元または位相的に)分類されることもありません。
そして、それらは異常な現象を示し、最も顕著なのは、R 4上の数え切れないほど無限に多くのエキゾチックな微分可能な構造である。
特筆すべきは、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen caseである。
高次元多様体に対して低次元の視点を取ることができる そして、「どの高次元多様体が幾何学的に可能であるか?」と尋ねます。
幾何学的多様体の様々な概念(3次元のように幾何学的に可能な断片に切断されたり、シンプレクティック多様体に切断されたり)について。次元4以上では、すべての多様体ではない は幾何学的に記述可能ですが、興味深いクラスです。
逆に、低次元多様体に対して高次元の視点を取ることができる そして、「手術は低次元多様体について何を予測しますか?」と尋ねます。
「もし手術が低次元で機能したら、低次元多様体はどのように見えるだろうか?」という意味です。
次に、低次元多様体の実際の理論を比較することができます 高次元多様体の低次元類似体に、 そして、低次元多様体が「期待通り」に振る舞うかどうかを見る: それらはどのような方法で高次元多様体のように振る舞うのでしょうか(ただし、理由は異なりますが、 または異なる証明を介して) そして、それらはどのような点で珍しいのでしょうか?