23/12/20 13:26:58.30 pnzIsqbw.net
>>678-680
別に逆らうわけではないので
事実として淡々と見てもらえればうれしい
下記、Cobordism en.wikipedia にあるように、二つのn次元多様体 MとNに対して、それを一次元高いn+1次元空間に埋め込んで
それをn+1次元多様体Wでつなぐ。（図があるので、見てください）
（>>676 松本幸夫 著 · 2019 — Thom の 'コボルディズム理論' これは，'同境 (cobordant)'. というごく粗い同値関係により，すべての次元のすべての閉じた多様体を分類し なども）
よって、双対ではなく、同値関係ですね
なお
”The theory was originally developed by René Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but・・”
とあるので、ルネ・トムの創案だろう（下記だね。私の記憶とも合っている）
”グロタンディークとの不仲でも知られる”とあるように、
晩年はトポロジー いや 数学から 離れたらしい（G氏との不仲も一因らしい）
接尾辞 -ism については、下記ご参照
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cobordism
Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.
A cobordism (W; M, N). URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
The boundary of an (n + 1)-dimensional manifold W is an n-dimensional manifold ∂W that is closed, i.e., with empty boundary. In general, a closed manifold need not be a boundary: cobordism theory is the study of the difference between all closed manifolds and those that are boundaries.
The theory was originally developed by René Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but there are now also versions for piecewise linear and topological manifolds.
A cobordism between manifolds M and N is a compact manifold W whose boundary is the disjoint union of M and N,
∂W=M ∪ N.
Definition
Manifolds
The terminology is usually abbreviated to (W;M,N)}.[1]
M and N are called cobordant if such a cobordism exists.
All manifolds cobordant to a fixed given manifold M form the cobordism class of M.
つづく
701:１３２人目の素数さん
23/12/20 13:27:19.43 pnzIsqbw.net
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルネ・フレデリック・トム（仏: René Frédéric Thom、1923年9月2日 - 2002年10月25日）は、フランスの数学者。トポロジーを専門とする。カタストロフ理論の創始者。1958年フィールズ賞受賞。
カタストロフィー理論の創始者として有名だが、代数的トポロジーおよび微分トポロジーの第一人者でもある。コボルディズム理論を創始者の一人であり、トム空間（英語版）、トムの横断性定理（英語版）、特性類、特異点理論、葉層構造（英語版）論、力学系、ホモロジー、ホモトピーの研究の基礎を築き上げた。
後年は生物学や哲学に興味を移し[※ 1]数学の研究から離れていった。「トポロジーは死んだ」という過激な発言や、同僚のアレクサンドル・グロタンディークとの不仲でも知られる。
URLﾘﾝｸ(ja.wiktionary.org)
-ism
英語
語源
動作、様子、状態、理論を抽象名詞化するギリシア語の接尾辞 -ισμός (-ismós) より。その由来はギリシア語の -ισμα (-isma) で、その更に由来は、幹動詞の -ιζειν (-izein)。
(引用終り)
以上
702:１３２人目の素数さん
23/12/20 13:54:26.84 pnzIsqbw.net
追加下記
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
松本幸夫 著 · 2019
P329
3.8 第８章 Cobordism の説明で
”二つのm次元閉多様体MとM'がm+1次元のコボルディズムWで結ばれているとき(第５章参照)
MとM'はコボルダントであるという。この関係は同値関係であり・・”
(引用終り)
コボルディズムとコボルダントとの関係は、これなのでしょうね
（あまり詳しくないが）
余談ですが、トポロジーの手術の手法と関連している重要事項らしい
703:１３２人目の素数さん
23/12/20 14:00:37.49 pnzIsqbw.net
手術理論追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学的トポロジー
手術理論（英語: Surgery theory）は、Milnor (1961)により導入された多様体から別の多様体を作り出す、「制御された」テクニックの集まりである。手術は多様体の一部を切り出し、他の多様体の一部を置き換え、切り出した境界部分に沿って貼り合わせることでなされる。この方法は密接にハンドル分解（英語版）(handle decomposition)と密接な関係を持ち(同一ではない）、次元が 3 以上の多様体の分類と研究で主要なツールである。
さらにテクニカルには、この考え方は、よく理解されている多様体 M から出発し、手術を実行することで、多様体 M が求められる性質を持つ多様体として作り変えることに使用される。この方法では、ホモロジーやホモトピー群や他の興味深い不変量が知られている。
Kervaire and Milnor (1963) によるエキゾチック球面（英語版）(exotic sphere)の分類は、高次元トポロジーの主要なツールとしての手術理論の出現を導いた。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Surgery theory
In mathematics, specifically in geometric topology, surgery theory is a collection of techniques used to produce one finite-dimensional manifold from another in a 'controlled' way, introduced by John Milnor (1961). Milnor called this technique surgery, while Andrew Wallace called it spherical modification.[1] The "surgery" on a differentiable manifold M of dimension
{\displaystyle n=p+q+1}, could be described as removing an imbedded sphere of dimension p from M.[2] Originally developed for differentiable (or, smooth) manifolds, surgery techniques also apply to piecewise linear (PL-) and topological manifolds.
704:１３２人目の素数さん
23/12/20 14:14:24.51 VwmT5AHN.net
>>681
ていうか議論と思ってるのは君だけってことなんだけど？
705:１３２人目の素数さん
23/12/20 16:18:00.66 pnzIsqbw.net
>>685
・議論ではない
淡々と事実を書いた >>682より
松本幸夫 ：「3.8 第８章 Cobordism の説明で
”二つのm次元閉多様体MとM'がm+1次元のコボルディズムWで結ばれているとき(第５章参照)
MとM'はコボルダントであるという。この関係は同値関係であり・・”」
>>676 松本幸夫 著 · 2019 — 「Thom の 'コボルディズム理論' これは，'同境 (cobordant)'. というごく粗い同値関係により，すべての次元のすべての閉じた多様体を分類し」
・”同境(cobordant)（コボルダント）”で、boundary French bord なので
co-bord-antと分解して、 "co-bord"で、境界が同じ（同値）という意味ですね
-ant は、接尾辞 …の性質の、…の状態の、…する人・もの >>678
淡々と事実を書いた
それだけです
706:１３２人目の素数さん
23/12/20 16:46:09.30 pnzIsqbw.net
>>680
>最初にcobordantと定義したのが誰か知らんが
>今にして思えばbordantと定義すべきだったってこと
さらに、淡々と事実に即せば、下記です
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
21世紀のルネ・トム生誕100周年に寄せて
日本数学会 2023/08/12
大本亨(早稲田大学理工学術院)
本講演では,数え上げ幾何学の基礎づけに掛かる私の研究(トム多項式理論 [16, 17, 18,19, 21])を軸に,その源泉たるトムの数学の現代に与える意味と価値を再考する.
1 トムとコボルディズム理論
1.1 ルネ・トム(René Thom) 私の学生時代の指導教員は福田拓生先生でその師がルネ・トムであった。
よく知られるようにトムは彼の創始したコボルディズム理論で1958年にフィールズ賞を受賞した。
その理論のインパクトは,アティヤとサリバンが追悼記事 [2, 23] 述懐している.
トムは IHES で同僚だったグロタンディークとは不仲であったが,広中平祐先生とは相性がたいへんよかったとテシエやレーから聞いた ([6] 参照).
人間的な部分のみならず数学的な指向性も近かったのかも知れない一確かに特異点解消とコボルディズムの考え方には一脈通じるものがある。
そこでまず, コボルディズム理論を振り返ってみよう.
1.2 トム・ポントリャーギン構成 C∞ 多様体の特異サイクルがいつ部分多様体で. 実現できるか?という ...
この厳密化の一般論は, 代数多様体の交叉の理論あるいは方程式の変数の消去理論と位置づけられて(ファン・デル・ヴェルデンほか), 20世紀中葉のヴェイユやグロタンディークらによる代数幾何学の確立を経て,
セールの交叉公式および 80年代のフルトンとマクファーソンによる代数幾何的交叉理論 (Intersection Theory) [7] をもってひとまずは完成したと言って良いだろう.
しかし,以下で述べる《多重特異点の数え上げ問題》は,シューベルトらの重要な核心的課題であったにもかかわらず,
現在に至るまで包括的な理論的考察がなされていない.
実際そこには,フルトン [7] で触れられていない本質的に深い題材一点配置のモジュライ空間一が隠されている.
この節は代数幾何の文脈で議論を進める.
707:１３２人目の素数さん
23/12/20 18:32:22.85 pnzIsqbw.net
ついでに
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
トポロジーシンポジウム歴代講演者一覧
第７０回 (2023, 8/11-13)
（１）飯田 暢生（東京工業大学） ゲージ理論とコンタクト構造 講演集 pdf file
（２）Minkyu Kim (Korea Institute for Advanced Study) Finite path integral model and toric code based on homological algebra 講演集 pdf file
（３）山崎 薫里（高崎経済大学） 連続増加関数の拡張と経済学における応用 講演集 pdf file
（４）大場 貴裕（大阪大学） 6次元シンプレクティック多様体とその部分多様体のトポロジー 講演集 pdf file
（５）浅尾 泰彦（福岡大学） フィルター付き集合で豊穣化した圏のマグニチュード 講演集 pdf file
（６）佐藤 敬志（大阪公立大学） Unicellular LLT polynomials and twins of regular semisimple Hessenberg varieties 講演集 pdf file
（７）Sam Nelson (Claremont McKenna College) Biquandle Brackets and Quivers 講演集 pdf file
（８）大本 亨（早稲田大学） 21世紀のルネ・トム〜生誕100周年に寄せて 講演集 pdf file
（９）野澤 啓（立命館大学） 曲面群の円周への作用の剛性と調和測度について（足立真訓（静岡大），松田能文（青山学院大）との共同研究） 講演集 pdf file
（１０）原子 秀一（東京大学 JSPS特別研究員PD） \rho-多様体の上のあるQコホモロジー類の構成 講演集 pdf file
（１１）Dror Bar-Natan (University of Toronto) Cars, Interchanges, Traffic Counters, and some Pretty Darned Good Knot Invariants 講演集 pdf file
（１２）蔦谷 充伸（九州大学） Higher homotopy normalities in topological groups 講演集 pdf file
第６９回 (2022, 8/17-19)
（１）門田 直之（岡山大学） 写像類群の生成系に関する研究の変遷 講演集 pdf file
（２）中島 直道（北海道大学 JSPS 特別研究員 DC2） ルジャンドル特異点と情報幾何学 講演集 pdf file
（３）丸山 修平（名古屋大学 JSPS 特別研究員 PD） 拡張不可能な不変擬準同型の空間について 講演集 pdf file
（４）湯淺 亘（大阪公立大学） 曲面のスケイン代数と量子クラスター代数 講演集 pdf file
（５）吉瀬 流星（九州大学 D2） Topological complexity of Khalimsky circle 講演集 pdf file
（６）大井 志穂（新潟大学） C^{\ast} 環に値をとる連続写像のなすバナッハ環上の保存問題 講演集 pdf file
（７）佐久間 一浩（近畿大学） 折り目写像のトポロジー 講演集 pdf file
（８）森 淳秀（大阪歯科大学） 複素3次元空間の座標の絶対値で理解する葉層と Milnor 束のトポロジー 講演集 pdf file
（９）藤田 玄（日本女子大学） 非コンパクト多様体に対するあるトーラス同変指数について 講演集 pdf file
（１０）滝岡 英雄（金沢大学） 絡み目の HOMFLYPT 多項式と Kauffman 多項式の係数多項式 講演集 pdf file
（１１）小鳥居 祐香（広島大学／理化学研究所） リボン Yetter-Drinfeld 加群とタングル不変量 講演集 pdf file
（１２）田中 康平（信州大学） CW 複体上の境界を跨がないモーション設計とその複雑さ 講演集 pdf file
（１３）木原 浩（会津大学） 無限次元 C^{\infty}-多様体の滑らかなホモトピー 講演集 pdf file
708:１３２人目の素数さん
23/12/20 19:53:31.37 nwV3nGO1.net
>>678
>脱線した議論になっているように思います
>>686
>・議論ではない
矛盾？
709:１３２人目の素数さん
23/12/20 20:40:38.51 /uzt7TF8.net
>>689
>>>678
>>脱線した議論になっているように思います
>>>686
>>・議論ではない
>矛盾？
表面だけ見ているが
時間軸がずれている
１）”脱線した議論になっているように思います”は、過去の議論が
事実誤認あり：同境（コボルディズム）→同境(cobordant)（コボルダント）
つまり、脱線だと指摘した
（いわゆる Garbage In, Garbage Out：「入力がゴミ（garbage）なら、出力もゴミ」）
２）”議論ではない”は、「淡々と事実を書いた >>682」ということ
要するに、脱線の原因が正しい事実を踏まえていないという指摘です
なので、矛盾はない
(参考)
URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
GIGO（Garbage In, Garbage Out）とは、ソフトウェアやコンピュータシステムの性質を表す成句の一つで、「入力がゴミ（garbage）なら、出力もゴミ」という意味の英語表現を略したもの。
710:１３２人目の素数さん
23/12/20 21:03:55.99 /S7iw1+g.net
阪大はGIGOスクール認定校
711:１３２人目の素数さん
23/12/20 21:10:44.80 /uzt7TF8.net
＜事実の補強＞
いま手元に、「現代幾何学の流れ」2007.10 日本評論社 がある
このP41から、ルネ・トム コボルディズム理論の解説がある
福田拓生先生の解説では、古くはポアンカレも似たことを考えていたらしく
その50年後にポントリャーギン、ロホリンらも考えたとある
なお、例のミルナーが大絶賛したことも記されている
おっと、「7.アンチ・ブルバキズム」があるね
この話は、このスレの話題に沿うので下記を引用しておく
ルネ・トムは
”「論理的に基礎から書いてあれば誰でも分かる、というのは間違いである
分かるというのはそういうことではない」
「厳密な証明より、証明が誤っていても内容や方向性の方が大事である」
という考えをいろいろな場で言ったり書いたりしている”
”剛毅な人であった”とも
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
現代幾何学の流れ
砂田 利一 編 2007.10 日本評論社
内容紹介
1950年代以降の幾何学の発展の様子を、その研究に関わった数学者18人にスポットを当てて紹介する。これからの幾何学がわかる一冊。
・トム コボルディズム理論、カタストロフィー理論／福田拓生 ：数学セミナー 2003年5月号
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
書評
馬頭観音
5つ星のうち5.0 大いに参考になった（私の場合）、誰でもそうかは知らないが
2013年2月23日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
数学で良い本とは人により色々であろうが、私は自分の数学研究にプラスになることをもって良しとする。
この本は私には大いに良い本であった。自分の研究につなげようとして読んだから、かなり読むのに時間がかかった。自分の専門とちょっと離れたところで、難しくもあった。
私は２次元スタイン多様体の分類に手を付けたが、その上にどういう写像が存在するかで分類している。幾何学的な分類ではない。しかし幾何学的なものとの関連を付けたいという思いはある。
そのうちもう一度通読したいと思っている。今回は結局ぼんやり夢を描いただけなので。
2人のお客様がこれが役に立ったと考えています
712:１３２人目の素数さん
23/12/20 21:25:13.31 nwV3nGO1.net
>>690
>表面だけ見ているが
>時間軸がずれている
いえ？
私が>>685で
>>>681
>ていうか議論と思ってるのは君だけってことなんだけど？
と書いている「議論」は君が書いた>>678の
>脱線した議論になっているように思います
のことですよ？その後の君の「議論(w」のことも「事実の羅列」のことも埒外ですが
話をずらすのが得意？
713:１３２人目の素数さん
23/12/20 21:30:43.51 zwCt966e.net
長文読んでる人ているの？
わしゃ引用が始まったら完全にスキップしてるんだけど
714:１３２人目の素数さん
23/12/20 21:46:30.89 nwV3nGO1.net
居ないんじゃないかな
でも書きたいんだろうから書けばいいと思うよ
715:１３２人目の素数さん
23/12/20 23:36:37.46 /uzt7TF8.net
ありがと
長文苦手な人よ
むかしむかし、私が旧ガロアスレを始めたときも言われた
５ｃｈは、短文が主流だったんだよね、当時も今もね
懐かしいな
知っているが、私のスタイルはずっと変わらない
そして、ルールが変わってきた
以前、１スレは500KB制限だったけど、500KBの制限が撤廃された
１レスの長さが30行制限だったのが、60行になり
１レス2048B制限だったのが、最近3000Bに増えた
良いことだと思うよｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.mag2.com)
まぐまぐニュース！
悪い意味でとてもヤバい。SNSに読解力を奪われた日本の若者たち
国内2019.12.12 by 『クリエイターへ【日刊デジタルクリエイターズ】』
世界79の国と地域の高校生らを対象にした「国際学力到達調査」で、日本は特に「読解力」の項目で前回より大幅下落し、過去最低の順位を記録したことが報じられました。今回の無料メルマガ『クリエイターへ【日刊デジタルクリエイターズ】』では編集長の柴田忠男さんが、統計結果をもとに「読解力下落」の原因を探った上で、読解力のなさが実社会、企業に及ぼす悪影響を考察しています。
ものすごくヤバイ（悪い意味の）日本の高校生
経済協力開発機構（OECD）は79か国・地域の15歳計約60万人を対象に2018年に実施した「国際学力到達調査（PISA）」の結果を公表した。日本は「読解力」が急落して過去最低の15位、前回の15年調査の8位から大きく順位を下げたとの報道。理数系は上位を維持しているが、なぜ読解力がそんな体たらくなんだ。
PISAに参加した日本の高校1年生は6,100人。「科学的応用力」の得点は2位から5位、「数学的応用力」は5位から6位に順位を下げた。その分野は、1位は中国（北京、上海、江蘇、浙江）、2位はシンガポール、3位はマカオ。日本がOECD平均を下回ってしまった読解力の順位低下の要因は「子供たちの言語環境が急激に変わり、読書などで長文に触れる機会が減った」ことを文科省は挙げる。
日本の高校生はノンフィクションや新聞を読む割り合いが低かった。何を読んでいるかというと、LINEなどを使った短文のチャットで、毎日それをやっているのは日本が87.4％でOECD平均67.3％を上回る。日本の高校生が学習でのICT（情報通信技術）活用も参加国中最低水準。PISAでは何も書かない「無答」や、「問題の一部をコピペしただけの解答」が目立ったというんだから情けない。
716:１３２人目の素数さん
23/12/21 00:14:09.35 ABgxLQki.net
>>667
>下記 斎藤恭司先生では、”正則函数の芽”を使って、層（実際には層空間）を導入して
>層の理論を展開しているよ
>つまり、前層(圏論)の定義は、不使用です（前層使わずすっきり。最初のLeray の定義に近いのでは？ しらんけど）
補足しておきます
１）手元に、一松信「多変数解析函数論」2016年復刻版（初版1960年）がある
第7章 §3 層の概説 冒頭で「層の定義は現在慣用のH.カルタンの方式に従ったが、むしろルレイの導入した準層の概念から始める方がよいかもしれない」とある
２）同p136 定義7.26で「・・準層(英 presheaf)またはルレイの層という・・」
と記されている
なので、一松信先生によれば、Lerayの定義は 準層(英 presheaf)から始まったのかもしれない
もっとも、一松信先生の本では、圏論は一切出てこない
（よく見ると、一松信先生の本の”準層(英 presheaf)またはルレイの層”の定義は
圏論的な定義と微妙に違うなｗ。やっぱり、定義の意味考えるのは大事だなｗ）
因みに、一松信先生は、第7章 §3 層の概説 の最初の方で
定義7.15 (B,p,X)の組を”把（ハ、独Bund）”と名付けて、「把」という用語を使って説明を進める
この「把」が、最初は面食らって、”ハ？”という感じにさせられました
（他の本では使っていないよね）
でも、確率空間とか位相空間の組 (X,O)とか、組を作ってそれで議論を進めていくのだというのが
何年かたって分かりました
いま本を開くと、読んだ形跡はあるが、あまり頭に残っていないね
けれども、以前より読めるｗ
私みたいなバカ頭でも、斎藤先生とかいろいろ見ると、多少分かる部分が出てくるんだ
因みに、小平邦彦先生の下記複素多様体と複素構造の変形Iも、函数芽使って層を定義しています
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
7 複素多様体と複素構造の変形I [1968] 小平邦彦述 諏訪立雄記
第二章 層とコホモロジー....................................................... 34
§5．函数芽................................................................. 34
§6．コホモロジー群......................................................... 37
§7．完全列（exactsequences）.............................................. 43
§8．Finesheaf .............................................................. 47
§9．deRhamの定理とDolbeaultの定理...................................... 49
§10．ベクトルバンドル..................................................... 58
§11．無限小変形............................................................ 61
717:１３２人目の素数さん
23/12/21 00:14:51.18 kh5H0Ezf.net
長文が苦手って誰のことだよ
読んでも無駄だから読んでないって書いたつもりなんですけどー
718:１３２人目の素数さん
23/12/21 05:49:35.97 hnVeBbYG.net
飲尿君は自分の考えでは何も書けないので
検索結果を飲尿でドヤる
所詮工業高校中退のナニワヤンキー
719:１３２人目の素数さん
23/12/21 05:52:49.78 hnVeBbYG.net
>>697
>組を作ってそれで議論を進めていくのだというのが何年かたって分かりました
NY(ナニワヤンキー）君は暴力団の組に入ってイキってればいい
720:１３２人目の素数さん
23/12/21 07:42:37.68 ABgxLQki.net
>>692 追加
>(参考)
>URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
>現代幾何学の流れ
>砂田 利一 編 2007.10 日本評論社
>・トム コボルディズム理論、カタストロフィー理論／福田拓生 ：数学セミナー 2003年5月号
p44
「ちなみに、筆者が直接聞いたところによると
トムは学生時代から微分可能写像の研究をしたかったとのことである
しかし、カルタン先生(H.Cartan)に「微分可能関数や写像は何でもありのどうしようもないものたちで
とうてい数学の対象にならない」と止められ
カルタンにすすめられて最初に読んだ数学の論文は岡潔の論文であったとのことである
「日本で岡先生に会えたときには感激した」と懐かしそうに言われた」
とあります
・岡先生スゲー！ 岡先生の上空移行：より高次元を考える
トムのコボルディズム理論につながっているのかな
・”カルタンにすすめられて最初に読んだ数学の論文は岡潔の論文であった”
か、カルタン先生(H.Cartan)の岡に対する評価が分かるね
721:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:13:19.79 jOc3BHEy.net
>>701
> しかし、カルタン先生(H.Cartan)に「微分可能関数や写像は何でもありのどうしようもないものたちで
> とうてい数学の対象にならない」と止められ
いま、手元に下記「4次元微分幾何学への招待」がある
電子版 ページ数：194ページ（2023）だ（が、手元のは紙版で187ページ（2014））
「4次元微分幾何学」は、理論物理学からも重要視されています
カルタン先生がルネトムを指導したときとは
時代が違うってことでしょうね
因みに、最後の著者略歴で、松下泰雄先生は
1977年日大院理工学研究科修士課程修了後、京大、大阪府大 研究生
1981年京大工学部数理工学助手
1983年工学博士（京大）
ちょっと変わった経歴ですね
工学博士（京大）の数学者です」
つづく
722:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:16:45.25 jOc3BHEy.net
つづき
(参考)
サイエンス社
4次元微分幾何学への招待【電子版】
不定値計量の存在，ニュートラル計量，複素曲面，ツイスター
松下泰雄(滋賀県立大学名誉教授) 著
鎌田博行(宮城教育大学教授) 著
中田文憲(福島大学教授) 著
発行日：2023年3月10日
発行：サイエンス社
ページ数：194ページ
つづく
723:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:17:07.72 jOc3BHEy.net
つづき
内容詳細
数学において幾何学を志す方々，さらには理論物理学に関心のある多くの方々に向けて，４次元空間の豊かな世界を，４次元多様体における不定値計量，特にニュートラル計量の存在条件を見ることから紹介した得難い一冊．複素曲面論，ツイスター理論といった関連する現在大きく発展しつつあるトピックスもとり上げ，今後の微分幾何学の一端も紹介．
立ち読み サイエンス社/SDB84_sample.pdf
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
松下 泰雄
(引用終り)
以上
724:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:19:06.26 jOc3BHEy.net
これ通るかな？
サイエンス社
4次元微分幾何学への招待【電子版】
不定値計量の存在，ニュートラル計量，複素曲面，ツイスター
立ち読み URLﾘﾝｸ(www.saiensu.co.jp)
725:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:20:42.04 jOc3BHEy.net
変な規制で引っかかって
分割投稿になった ；ｐ）
726:１３２人目の素数さん
23/12/21 10:35:25.40 jOc3BHEy.net
>>701
>・岡先生スゲー！ 岡先生の上空移行：より高次元を考える
> トムのコボルディズム理論につながっているのかな
>・”カルタンにすすめられて最初に読んだ数学の論文は岡潔の論文であった”
> か、カルタン先生(H.Cartan)の岡に対する評価が分かるね
(上空移行の補足)
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.)エフシー2.com/blog-entry-173.html
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長
（岡潔先生を語る37）上�
727:ﾚ行の原理 岡先生は多変数関数論の研究においていくつものめざましい問題を解決し、今日の数学の根幹の形成に大きく寄与しましたが、岡先生は既成の未解決問題を拾い集めて解決を試みたのではないという一事にくれぐれも留意したいと思います。 岡先生の心には若い日にリーマンに触発された数学の理想がありました。当初のイテレーション研究から、値分布論、多変数有理型関数の正規族、ハルトークスの集合とたどり、長い年月に及ぶ遍歴を経て「三つの中心的問題」に到達しましたが、岡先生はこれらの問題の解決を通じて、心のカンバスに描かれた数学の理想が実現されることを確信したのであろうと思います。 物語の全容の根柢に理想があり、理想に相応しい衣裳をまとう問題群が造型されるのであり、だれかしら未知の人が提出した未解決の難問に挑戦するというのではありません。岡先生の数学研究の真価は問題群の造型という一事に生き生きと現れていますし、数学の詩人「岡潔」の面目もそこにあります。 帰国後の岡先生は広島に移り住み、広島文理科大学に勤務していましたが、昭和10年（1935年）夏、中谷宇吉郎の招待に応じ、一家をあげて札幌に移動して夏休みの日々を送りました。7月末から9月はじめにかけてのことでしたが、ここで「上空移行の原理」の発見を経験しました。年初以来の懸案を乗り越える道筋を指し示す大きな発見でした。岡先生はこの発見を非常に喜んで、寺田寅彦のエッセイに「発見の鋭い喜び」という言葉を借り、幾度も繰り替えしてこのときの喜びを言い表わしました。次に挙げるのは後年の回想です。 上空移行の原理のアイデアが最初に訪れたのは8月29日と見て間違いないのではないかと思います。8月29日の記事に出ている「問題II」というのは「クザンの第一問題」のことで、上空移行の原理の発見を受けて執筆された第1論文「有理関数に関して凸状の領域」にも、そのまま「問題II」として登場します。その第1論文には「問題I」というのもありますが、それは「上空移行の原理」を確立すること、そのものを指しています。「上空移行の原理」と「クザンの第一問題」を並列し、同時に解決するというのが第1論文の道筋ですが、8月29日の時点ですでに「問題II」と言われているのですから、岡先生の心には、やがて執筆されるであろう論文の全容がすでに描かれていた様子がうかがわれます。 第i論文の序文は下記の通りです。 ところで私は、取り扱う空間を適当な次元に引き上げることにより、これらの問題の困難がしばしば緩和されることに気づいている。この論文では、この一般的なイデーをある特別の場合を対象にして実際に現出させることにより、標題の領域をより次元の高い柱状領域へと、言うなれば変形する原理を私は示す
728:１３２人目の素数さん
23/12/21 11:31:54.51 wtGPqP/c.net
ID:jOc3BHEy の関心を分析すると
代数（ガロア理論・類体論）
311 >「類体論に至る道」は、手元にある
552 >手元に「代数学」第二巻 藤原松三郎先生がある
圏論
319 >手元の圏論 Steve Awodey
502 >手元に、有名な 竹内外史 「層・圏・トポス」がある
554 >手元に、斎藤毅「数学原論」（東京大学出版会 2020）がある
岡潔
697 >手元に、一松信「多変数解析函数論」2016年復刻版（初版1960年）がある
４次元
643 >松本幸夫「４次元のトポロジー」2009年版 は、手元にある
692 >手元に、「現代幾何学の流れ」2007.10 日本評論社 がある
702 >手元に下記「4次元微分幾何学への招待」がある
有名人と日本人と流行が好きなミーハーですな
馬に食わせるほど数学書買っても
どれ一つ読んで理解できなきゃ無意味
全部古本屋に叩き売れば金になるよ
729:１３２人目の素数さん
23/12/21 13:59:15.73 jOc3BHEy.net
下記の松本 幸夫(著)4次元多様体I &II より
"2.4 単連結4次元位相多様体の分類"
"2.6 基本群が巡回群である4次元位相多様体の同相類の分類"
"8.1 複素曲面
8.1.2 Enriques-Kodaira分類表"
部分的だが、4次元多様体の分類が載っているよね
君は、持っているが本読んでないんだねｗｗｗ
>>645より
>じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。」
>ちなみに僕が持ってる版は1979年版
だからぁ～ｗ
1979年頃は4次元多様体の分類が殆ど進んでなかったから
妄言吐いてもそれで済んだんだ
しかし、2022年は4次元多様体の分類が少し進んだ
だから、(全く)”不可能なのである”は、言い過ぎだろ？ｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
朝倉数学大系 18
4次元多様体 I 上 正明・松本 幸夫(著) 2022年02月
試し読み
URLﾘﾝｸ(asakura.tameshiyo.me)
目次
0. なぜ4次元か（松本幸夫）
0.1 多様体のトポロジー
0.2 Rochlin の定理
0.3 4次元多様体論の発展
2. 4次元位相多様体の理論（上 正明）
2.4 単連結4次元位相多様体の分類
2.5 非単連結4次元位相多様体の手術
2.6 基本群が巡回群である4次元位相多様体の同相類の分類
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
朝倉数学大系 19
4次元多様体 II 上 正明・松本 幸夫(著) 2022年02月
試し読み
URLﾘﾝｸ(asakura.tameshiyo.me)
目次
8. 4次元多様体の幾何構造とLefschetzファイバー空間（上 正明）
8.1 複素曲面
8.1.2 Enriques-Kodaira分類表
730:１３２人目の素数さん
23/12/21 14:59:28.12 h4OlzQRf.net
>>709
>松本 幸夫(著)4次元多様体I &II
その本、0章以外は、全部書いたの上正明氏だよ
だから松本幸夫氏の名前を省略するのは、ありだけど
上正明氏の名前を省略するのは、なし
>部分的だが、4次元多様体の分類が載っているよね
それ、もう、>>652 >>658で指摘されてる
君、ここの書き込み読んでないんだね
読んでも理解できないことは記憶されないのか
>君は、持っているが本読んでないんだね
目次は読めたが中身は読めなかった君も同じだよ
まあ、大学行ってないんじゃ当然だけどね
731:１３２人目の素数さん
23/12/21 15:03:54.38 h4OlzQRf.net
>>709
>1979年頃は4次元多様体の分類が殆ど進んでなかったから
>妄言吐いてもそれで済んだんだ
妄言ではないね 間違ってないんだから
>しかし、2022年は4次元多様体の分類が少し進んだ
>だから、(全く)”不可能なのである”は、言い過ぎだろ？
文章、読み間違ってる
「すべての４次元多様体の分類が不可能」だよ
「４次元多様体の分類が全く不可能」ではない
日本語が読めない人に、日本語の数学の本は読めないよ
732:１３２人目の素数さん
23/12/21 17:42:34.78 jOc3BHEy.net
>>711
またまた、落ちこぼれが バカ発言してるｗ
１）”分類”の定義を書けよｗ
”分類”の数学的に決まった定義はないよ
つまり、その場その場で意味が変わる 自然言語として”分類”が述べられていることは明白だろ？
２）さて >>645より
>じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。」
>ちなみに僕が持ってる版は1979年版
これに該当する記述が、4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版
で、どのように記述されているかを教えてよｗ
３）その記述が、正（最新で正しい記述）でしょｗｗ
つまり、同じ著者で、新しい記述と古い記述があれば、新しい記述を正とすべきですよｗｗｗ
追伸
>その本、0章以外は、全部書いたの上正明氏だよ
>だから松本幸夫氏の名前を省略するのは、ありだけど
>上正明氏の名前を省略するのは、なし
いやいや、共著者で名前を出しているんだから
上正明氏の原稿にも目を通しているはずだよね
そうでないと、無責任だろうｗ
因みに、>>692「現代幾何学の流れ」
砂田 利一 編 2007.10 日本評論社
のように、数学セミナー誌の連載をまとめた本もあるが
普通は、編者は目を通して過誤やタイポがあれば、指摘してなおしてもらうよ
733:１３２人目の素数さん
23/12/21 18:33:42.22 hnVeBbYG.net
>>712
>じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。
>ちなみに僕が持ってる版は1979年版
>これに該当する記述が、
>4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版
>で、どのように記述されているかを教えてよ
え？読んだんじゃないの？
第１章 ４次元多様体の基礎理論 の冒頭ｐ９に出てくるけど
命題１．１ 任意の有限表示群Gに対し、Gを基本群とする向き付けられた４次元多様体が存在する
一例として、
まずGの生成元を、g1,…,gs、基本関係式をr1,…,rtとするとき
S^1✕S^3のs個のコピーの連結和ｓS^1✕S^3およびその中に基点をとる。
このときi番目のS^1✕S^3内のS^1✕｛pt｝を基点と結んだ曲線がgiを表し、
rjはsS^1✕S^3の互いに交わらない単純閉曲線cjで表せる。
そこでcjの管状近傍を抜いてD＾2^S^2を張る「手術」により求める多様体が得られる
（貼り方の自由度はπ1(SO(3))＝Z2だけあるがいずれをとってもよい）
734:１３２人目の素数さん
23/12/21 18:38:14.63 hnVeBbYG.net
有限表示群が分類不能であることは以下の定理による
Novikov–Boone の定理
群に対する語の問題に対する否定的な解答として、
任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、
与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否か
を決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。
これは Pyotr Novikovが1955年に[3]、
また別証明をWilliam Booneが1958年に[4]
それぞれ得ている。
735:１３２人目の素数さん
23/12/21 20:44:15.95 ABgxLQki.net
>>713-714
ありがと
・結論として（1979年版）
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
における「したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」の記述無し
つまり、その記述は「2022年版では、不採用」
ってことですね
・1979年版の記述に相当する部分を2022年版で入れるためには、用語「分類」を定義しないといけない
（別の章の「分類」についての記述と整合を取るためにね。別の章の「分類」と
いま「すべての４次元多様体の分類も不可能」と述べる「分類」との整合性が問われるのは当然だから）
・そして、そこまでして「すべての４次元多様体の分類も不可能」と述べる意義が薄いという判断でしょう
なお、下記を再録しておきますね
(参考)>>665より再録
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of manifolds
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified: given two n-manifolds (n≥ 4) presented as CW complexes or handlebodies, there is no algorithm for determining if they are isomorphic (homeomorphic, diffeomorphic).
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
Any finite presentation of a group can be realized as a 2-complex, and can be realized as the 2-skeleton of a 4-manifold (or higher).
Thus one cannot even compute the fundamental group of a given high-dimensional manifold, much less a classification.
736:１３２人目の素数さん
23/12/21 20:53:13.41 QAjEA2yI.net
自分で検索した文章の意味もわかってない
737:１３２人目の素数さん
23/12/21 21:26:59.40 waV4YpI2.net
つかさ
引用だけして理解もしてないのは
数学徒とは言えないと思うけんど
738:１３２人目の素数さん
23/12/21 21:32:38.62 R0bvGUBP.net
相手が言ってる事とそっくり同じ内容の文章を引っ張ってくるってどういう頭してんだか
739:１３２人目の素数さん
23/12/22 00:46:37.07 Mu+Nyte+.net
amazonで読めもしない本のレビューたくさん書いてそう笑
740:１３２人目の素数さん
23/12/22 02:10:58.89 780p27pH.net
>>719
雑学家はジジイなんだよなー
このスレのはちょっと若そうではある。
741:１３２人目の素数さん
23/12/22 06:28:27.08 iJJua0Zv.net
>>715 ID:ABgxLQki
>なお、下記を再録しておきますね
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified: given two n-manifolds (n≥ 4) presented as CW complexes or handlebodies, there is no algorithm for determining if they are isomorphic (homeomorphic, diffeomorphic).
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
Any finite presentation of a group can be realized as a 2-complex, and can be realized as the 2-skeleton of a 4-manifold (or higher).
Thus one cannot even compute the fundamental group of a given high-dimensional manifold, much less a classification.
>>716 ID:QAjEA2yI
>自分で検索した文章の意味もわかってない
>>717 ID:waV4YpI2
>引用だけして理解もしてないのは数学徒とは言えない
>>718 ID:R0bvGUBP
>相手が言ってる事とそっくり同じ内容の文章を
>引っ張ってくるってどういう頭してんだか
ナニワヤンキー＆ミーハー君は中卒だから
「語の問題」なんて知らんし一生理解できないんだよ
742:１３２人目の素数さん
23/12/22 10:07:09.05 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群の表示
生成元と基本関係による群の表示（presentation of group）とは、群をその生成元と生成元の間に成り立つ関係によって特定することを言う。一般に群はある自由群の全射準同型像なので必ず表示を持つが、それは一意的ではない。
定義
略
よくある例
略
性質
定理
任意の群は生成元と基本関係による表示を持つ
これを見るには与えられた群 G に対し G 上の自由群 FG を作ればよい。
略
この表示は、G および K が必要以上に大きいときには極めて非効率なものとなり得ることに注意。
系
任意の有限群は有限表示を持つ
これは与えられた群の元すべてを生成元とし、乗積表を基本関係に置けばよい。
Novikov–Boone の定理
群に対する語の問題（英語版）に対する否定的な解答として、任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否かを決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。これは Pyotr Novikov（英語版）が1955年に[3]、また別証明をWilliam Boone（英語版）が1958年に[4]それぞれ得ている。
幾何学的群論
幾何学的群論の意味において、群の表示はある種の幾何を決定する。それはケイリーグラフであったり、語の距離（英語版）であったりといったものである。これらは二種類の順序（弱順序およびブリュア順序（英語版））を与え、ハッセ図と対応する。その重要な例はコクセター群である。
さらにいえば、このグラフの適当な性質（粗構造）は生成元の取り方に依らないという意味で内在的である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Word problem for groups
History
Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right,[1] together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.[2] Subsequent authors have greatly extended Dehn's algorithm and applied it to a wide range of group theoretic decision problems.[3][4][5]
It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.[6] It follows immediately that the uniform word problem is also undecidable. A different proof was obtained by William Boone in 1958.[7]
略
743:１３２人目の素数さん
23/12/22 10:39:01.04 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ２
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) （>>665より再録）
Classification of manifolds
Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
Overview by dimension
・Dimensions 0 and 1 are trivial.
・Low dimension manifolds (dimensions 2 and 3) admit geometry.
・Middle dimension manifolds (dimension 4 differentiably) exhibit exotic phenomena.
・High dimension manifolds (dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically) are classified by surgery theory.
Thus dimension 4 differentiable manifolds are the most complicated: they are neither geometrizable (as in lower dimension), nor are they classified by surgery (as in higher dimension or topologically), and they exhibit unusual phenomena, most strikingly the uncountably infinitely many exotic differentiable structures on R4. Notably, differentiable 4-manifolds is the only remaining open case of the generalized Poincaré conjecture.
One can take a low-dimensional point of view on high-dimensional manifolds and ask "Which high-dimensional manifolds are geometrizable?", for various notions of geometrizable (cut into geometrizable pieces as in 3 dimensions, into symplectic manifolds, and so forth). In dimension 4 and above not all manifolds are geometrizable, but they are an interesting class.
Conversely, one can take a high-dimensional point of view on low-dimensional manifolds and ask "What does surgery predict for low-dimensional manifolds?", meaning "If surgery worked in low dimensions, what would low-dimensional manifolds look like?" One can then compare the actual theory of low-dimensional manifolds to the low-dimensional analog of high-dimensional manifolds, and see if low-dimensional manifolds behave "as you would expect": in what ways do they behave like high-dimensional manifolds (but for different reasons, or via different proofs) and in what ways are they unusual?
744:１３２人目の素数さん
23/12/22 10:46:40.12 UdcuU27V.net
他人に非難されたら長文コピペ大量に流してダダをこねる
精神構造が小学生
745:１３２人目の素数さん
23/12/22 10:48:06.21 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ３
翻訳してみた
（MicroSoft訳）
ディメンション別の概要
・次元 0 と 1 はtrivial.
・低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.
・中次元多様体(dimension 4 differentiably)はエキゾチックな現象を表わす。
・高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される。
したがって、次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である: それらは(低次元のように)幾何学的に可能ではありません（neither geometrizable）。
また、手術によって(高次元または位相的に)分類されることもありません。
そして、それらは異常な現象を示し、最も顕著なのは、R 4上の数え切れないほど無限に多くのエキゾチックな微分可能な構造である。
特筆すべきは、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen caseである。
高次元多様体に対して低次元の視点を取ることができる そして、「どの高次元多様体が幾何学的に可能であるか?」と尋ねます。
幾何学的多様体の様々な概念(3次元のように幾何学的に可能な断片に切断されたり、シンプレクティック多様体に切断されたり)について。次元4以上では、すべての多様体ではない は幾何学的に記述可能ですが、興味深いクラスです。
逆に、低次元多様体に対して高次元の視点を取ることができる そして、「手術は低次元多様体について何を予測しますか?」と尋ねます。
「もし手術が低次元で機能したら、低次元多様体はどのように見えるだろうか?」という意味です。
次に、低次元多様体の実際の理論を比較することができます 高次元多様体の低次元類似体に、 そして、低次元多様体が「期待通り」に振る舞うかどうかを見る: それらはどのような方法で高次元多様体のように振る舞うのでしょうか(ただし、理由は異なりますが、 または異なる証明を介して) そして、それらはどのような点で珍しいのでしょうか?
746:１３２人目の素数さん
23/12/22 10:55:11.27 PDLyWxsR.net
河東ゼミの教え そのコピペ何も見ずに書いてみよう
747:１３２人目の素数さん
23/12/22 11:09:40.74 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に考えろ
・>>722-725の示すところによれば
Classification of manifolds：
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case
・なお、Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
ってことですね
これが結論じゃないですか？
松本 幸夫(著)4次元多様体I &II >>709
をよく読んでくださいねｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
朝倉数学大系 18
4次元多様体 I 上 正明・松本 幸夫(著) 2022年02月
試し読み
URLﾘﾝｸ(asakura.tameshiyo.me)
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
朝倉数学大系 19
4次元多様体 II 上 正明・松本 幸夫(著) 2022年02月
試し読み
URLﾘﾝｸ(asakura.tameshiyo.me)
748:１３２人目の素数さん
23/12/22 11:14:11.07 B/SAzY+J.net
>>726
>河東ゼミの教え そのコピペ何も見ずに書いてみよう
違うよ
河東ゼミの教え 下調べは徹底的にやれ！ ゼミ本番は、原則何も見ずに
だな
なお、ゼミ本番では、メモは手元に持っていて、原則何も見ずにやってつまったら
河東の了解を得て、「メモを見させてください」はありだなきっと
（三回まではOK？（仏の顔も三度））
749:１３２人目の素数さん
23/12/22 11:16:49.22 B/SAzY+J.net
>河東ゼミの教え 下調べは徹底的にやれ！ ゼミ本番は、原則何も見ずに
１）この下調べが、一番の勉強なんだよ
２）”ゼミ本番は、原則何も見ずに”は、ちゃんと理解しろ ってこと
暗記しろ って意味じゃないだろう（もちろん、暗記が理解につながることは否定しない）
750:１３２人目の素数さん
23/12/22 11:21:40.41 PDLyWxsR.net
内容を理解してないから何も見ずに書けないんでしょ？
ごまかさないで
751:１３２人目の素数さん
23/12/22 12:55:57.54 4UrQceou.net
>>722
>定義
>略
質問
有限表示群の「有限」とは、何が有限なのか、それぞれに対して○もしくは×で答えよ
１．元の個数
２．生成元の個数
３．関係の個数
ヒント：○がつくのは一つではない
752:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:00:45.06 4UrQceou.net
>>727
>Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
>This is due to the unsolvability of the word problem for groups,
>or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
>ってことですね
>これが結論じゃないですか？
質問
上記の文の意味を説明せよ
日本語訳（DeepL）はこちら
「４次元以上の多様体はエフェクティヴに分類することができない：
これは、群の語問題、より正確には、自明性問題
（ある群の有限表示が与えられたとき、それが自明な群であるかどうか）
が解けないためである。」
753:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:04:26.05 4UrQceou.net
>>729
>ゼミ本番では、メモは手元に持っていて、
>原則何も見ずにやってつまったら…了解を得て、
>「メモを見させてください」はありだなきっと
>（三回まではOK？）
その条件で、以下を説明せよ
正方行列Mに関する以下の条件が同値である理由を説明せよ
１） 逆行列が存在する
２） 基本操作により階段行列にでき、その段数はMのサイズと同じである
３） 行列式が０でない
さあどうぞ
754:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:20:31.65 B/SAzY+J.net
>>730
>内容を理解してないから何も見ずに書けないんでしょ？
違うな
”内容を理解してない”は、半分は当たっているが
半分は外れだ
１）まず
・>>722-725の示すところによれば
Classification of manifolds：
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case
・なお、Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
もし、この要約に付け加えることがあれば、言ってくれ！
２）さて例えば、下記 Word problem for groups In 1911に提起され、in 1955 Novikovが ”such that the word problem for G is undecidable”を証明した
この間約40年、多くの歴代数学者が研究した上澄みを、調査してありがたく頂戴した。まずは、それでいいのです
ある人が同じことをやれば、やはり40年かかるだろうか？
３）"MM、Mathematical Maturity" （下記）について、今回のカキコで私のMMはアップしただろう
しかし、５ｃｈカキコは書いた瞬間に、書き手を離れて独り歩きするものだ
これを、今日の晩に見る人もいれば、明日見る人、一月後、一年後・・
書き手（本質は”名無しさん”）のMMとは無関係だろう（そもそもそのための引用とURLの添付ですよ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Word problem for groups
History
Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right,[1] together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.
It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.[6]
"MM、Mathematical Maturity"
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
「数学的成熟度」をもう少し具体的に説明。MM、Mathematical Maturity
謎の数学者 2021/02/22 数学者を目指すための数学の勉強法
755:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:41:35.05 B/SAzY+J.net
>>732
>>>727
>>Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
>>This is due to the unsolvability of the word problem for groups,
>>or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).
>>ってことですね
>>これが結論じゃないですか？
>質問
>上記の文の意味を説明せよ
>日本語訳（DeepL）はこちら
>「４次元以上の多様体はエフェクティヴに分類することができない：
> これは、群の語問題、より正確には、自明性問題
> （ある群の有限表示が与えられたとき、それが自明な群であるかどうか）
> が解けないためである。」
良い質問だね
それ、自分で回答を書いていたろう？
>>713-714より
4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版第１章 ４次元多様体の基礎理論 の冒頭ｐ９に出てくるけど
命題１．１ 任意の有限表示群Gに対し、Gを基本群とする向き付けられた４次元多様体が存在する
一例として、
まずGの生成元を、g1,…,gs、基本関係式をr1,…,rtとするとき
S^1✕S^3のs個のコピーの連結和ｓS^1✕S^3およびその中に基点をとる。
このときi番目のS^1✕S^3内のS^1✕｛pt｝を基点と結んだ曲線がgiを表し、
rjはsS^1✕S^3の互いに交わらない単純閉曲線cjで表せる。
そこでcjの管状近傍を抜いてD＾2^S^2を張る「手術」により求める多様体が得られる
（貼り方の自由度はπ1(SO(3))＝Z2だけあるがいずれをとってもよい）
有限表示群が分類不能であることは以下の定理による
Novikov–Boone の定理
群に対する語の問題に対する否定的な解答として、
任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、
与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否か
を決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。
これは Pyotr Novikovが1955年に[3]、
また別証明をWilliam Booneが1958年に[4]
それぞれ得ている。
(引用終り)
つまり、
１）4次元（以上の）多様体では、”任意の有限表示”毎に、その対象となる個別の4次元多様体が存在する（実例を構成できる）
２）一方、任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、有効なアルゴリズムが存在しないので、有限表示群は分類不能
３）４次元以上の多様体は（有限表示群では）エフェクティヴに分類することができない
なお、>>734 高次元多様体(dimension 5 and more differentiably, dimension 4 and more topologically)は手術理論によって分類される
低次元多様体 (次元 2 と 3) は admit geometry.（ geometrizable）
次元 4 の微分可能多様体は最も複雑である、微分可能 4-多様体は一般化ポアンカレ予想の唯一残されたopen case
756:１３２人目の素数さん
23/12/22 13:43:46.79 B/SAzY+J.net
この後は、下記でやってねｗｗｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
くだらねぇ問題はここへ書け
757:１３２人目の素数さん
23/12/22 15:37:13.68 Zx6FHeh6.net
>>736
>高次元多様体は手術理論によって分類される。
それ、例えば単連結（＝基本群が自明群）の場合でしょ
758:１３２人目の素数さん
23/12/22 15:39:28.41 Zx6FHeh6.net
>>736
単連結４次元多様体の同相分類は出来てるよ
微分同相分類は全然できてないけど
同相と微分同相の違い、分かる？
759:１３２人目の素数さん
23/12/22 18:46:52.88 B/SAzY+J.net
現代数学虎の穴 河東ゼミの教え：徹底的に調べろ４
760:mension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more: two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above, by general position (2+2<5). In dimension 4, one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles, which works topologically but not differentiably; see Geometric topology: Dimension for details on dimension. https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_topology#Dimension Geometric topology つづく
761:１３２人目の素数さん
23/12/22 18:47:19.44 B/SAzY+J.net
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
4-manifold
4-manifolds are important in physics because in General Relativity, spacetime is modeled as a pseudo-Riemannian 4-manifold.
Topological 4-manifolds
The homotopy type of a simply connected compact 4-manifold only depends on the intersection form on the middle dimensional homology. A famous theorem of Michael Freedman (1982) implies that the homeomorphism type of the manifold only depends on this intersection form, and on a
Z /2Z invariant called the Kirby–Siebenmann invariant, and moreover that every combination of unimodular form and Kirby–Siebenmann invariant can arise, except that if the form is even, then the Kirby–Siebenmann invariant must be the signature/8 (mod 2).
Freedman's classification can be extended to some cases when the fundamental group is not too complicated; for example, when it is
\mathbb {Z} , there is a classification similar to the one above using Hermitian forms over the group ring of \mathbb {Z} .
If the fundamental group is too large (for example, a free group on 2 generators), then Freedman's techniques seem to fail and very little is known about such manifolds.
For any finitely presented group it is easy to construct a (smooth) compact 4-manifold with it as its fundamental group. As there is no algorithm to tell whether two finitely presented groups are isomorphic (even if one is known to be trivial) there is no algorithm to tell if two 4-manifolds have the same fundamental group. This is one reason why much of the work on 4-manifolds just considers the simply connected case: the general case of many problems is already known to be intractable.
(google訳)
フリードマンの分類は、基本群がそれほど複雑でない場合にいくつかのケースに拡張できます。たとえば、次のようなとき
\mathbb {Z}の群環上でエルミート形式を使用した上記と同様の分類があります \mathbb {Z}。
基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの発電機上の自由群)、フリードマンの手法は失敗するように見え、そのような多様体についてはほとんど知られていません。
有限に提示された群については、それを基本群として使用して (滑らかな) コンパクトな 4 多様体を構築するのは簡単です。有限に提示された 2 つの群が同型であるかどうかを判断するアルゴリズムがないため (1 つが自明であることがわかっている場合でも)、2 つの 4 多様体が同じ基本群を持つかどうかを判断するアルゴリズムもありません。これが、4 多様体に関する研究の多くが単純結合の場合のみを考慮する理由の 1 つです。つまり、多くの問題の一般的な場合は、すでに解決困難であることが知られています。
(引用終り)
以上
762:１３２人目の素数さん
23/12/22 22:36:34.34 BkjoS3dx.net
なぁんにもわかってない
763:１３２人目の素数さん
23/12/22 23:37:23.98 LIcp6+zp.net
>>11
(引用開始)
>どうきかれてもすぐに答えられるように準備をしておく必要があります．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．
ここ反論ある？何にどう反論するつもりか知らんけど
考えなくていい答えられなくていいっていう人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
(引用終り)
立場が逆転してないか？
１）”>>712
>じゃ、第10章 ４次元の罠の冒頭p155 見てくれる？
> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。
>ちなみに僕が持ってる版は1979年版”
２）この記述が問題になったときに、なぜ「調べたり聞いたり」しないのか？
手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
ネット検索でもして、>>739-740のようなことを読まないといけない
３）「数学科に入って数学者」うんぬん以前の問題だろ？
基本のキ！
数学以外でも同じだよ。きちんと事実をしらべないといけない
河東氏の指摘の通りと思うよ
764:East Enders
23/12/23 06:46:00.98 B6Ixzxdu.net
>>740
>If the fundamental group is too large (for example, a free group on 2 ”generators”)
>基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの『発電機』上の自由群)
『発電機』ってなんですか？
765:East Enders
23/12/23 06:51:46.13 B6Ixzxdu.net
>>741
>なぁんにもわかってない
generatorを『発電機』と訳して平気な顔の ID:B/SAzY+Jこと
ナニワのシッタカミーハーヤンキー、West Wannaby君には
そもそもなにかをわかろうという気は全然なくて
ただひろゆきのごとくネットで知った知識を振り回して
他人にマウントしたいだけなんでしょう
今まで実生活で他人にマウントされまくった復讐なんでしょうけど
766:East Enders
23/12/23 07:05:24.80 B6Ixzxdu.net
>>742
>> すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
>> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。
> この記述が問題になったときに
「間違ってる！」とわめいてるのは君だけ
何が気に入らないのかわからんけど
証明された定理が間違ってると文句つけるのは●違いだよ
>なぜ「調べたり聞いたり」しないのか？
君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのかな、なぜ、真っ先に
有限表示群の分類不能性に関するノビコフの定理の証明を調べないのか？
>手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
その本にはノビコフの定理の証明はもちろん、ステートメントも書いてない
要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
ただ、そこには
「なぜ、４次元以上では任意の有限表示群を基本群とする多様体が存在するのか」
が書いてないから、そこを追記しただけ
「４次元以上」なので、もちろん５次元以上でも基本群による分類はできない
５次元以上のトポロジーで分かっているのは、
例えば球面とホモトピー同値な多様体が球面であるとか
球面にどれだけ異なる微分可能構造が入るかとか
基本群が自明な場合の多様体の分類とかであって
「任意の多様体の同相分類が手術理論によって可能」
なんてことは何処にも書いてない
君が文章読めてないだけ
>ネット検索でもして、・・・のようなことを読まないといけない
検索対象間違ってる
君は「ノビコフの定理」が間違ってるといってるのだろう？
だったら、検索すべき語は word problem であって
Classification of manifolds ではない
君は検索も正しくできないんだね
767:East Enders
23/12/23 07:12:38.18 B6Ixzxdu.net
>>745
誤 君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのかな
正 君がノビコフの定理は間違ってると●違ってるのなら
>>742
>「数学科に入って数学者」うんぬん以前の問題だろ？基本のキ！
>数学以外でも同じだよ。きちんと事実をしらべないといけない
君は何を調べるべきか間違ってるよ
「有限表示群が分類できないから、基本群による多様体の分類ができない」
という主張が間違ってると君はいってるんだろ？
基本群による多様体の分類はできる！と君が言い切るのなら
まずなすべきは「有限表示群が分類できない」というノビコフの定理の証明を調べ
その誤り（？）を指摘して、有限表示群の分類の方法を示すことだろう
なにを怒っているのかね？
基本のキ？●違いのキじゃないのかい？
768:East Enders
23/12/23 07:15:29.18 B6Ixzxdu.net
ノビコフの定理を認めるのなら、
「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
も正しい
基本群を自明群に限定した場合の分類は
「『すべての』４次元多様体の分類」
ではない
West Wannaby君は国語からやり直したほうがいいだろう
769:１３２人目の素数さん
23/12/23 09:02:34.62 CO6RHQhW.net
>>744-746
>ノビコフの定理を認めるのなら、
>「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
>も正しい
>基本群を自明群に限定した場合の分類は
>「『すべての』４次元多様体の分類」
>ではない
正しくない！
正しくは、下記（>>727より）
”Computability
Manifolds in dimension 4 and above cannot be effectively classified:
This is due to the unsolvability of the word problem for groups, or more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?).”
・effectively classified と単なるclassifiedは違うよ
・そして、”「Computability」という視点で見ると”と書いてあるでしょ？
・なお、「more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?)」
とあるとおり、「trivial group?」という問題さえ、ノビコフの定理からの帰結で解けないのです
770:East Enders
23/12/23 09:12:11.54 B6Ixzxdu.net
>>748
>>ノビコフの定理を認めるのなら、
>>「したがって、すべての４次元多様体の（基本群による）分類も不可能なのである。」
>>も正しい
>正しくない！
何が正しくない？
ノビコフの定理が正しくない？
物事ははっきりわかるように言おうな
君は舌足らず言葉足らず思慮足らず
>effectively classified と単なるclassifiedは違うよ
ん？もしかして人にはできないけど、神ならできる、という主張？
君は神かね？
>「more precisely, the triviality problem (given a finite presentation for a group, is it the trivial group?)」
>とあるとおり、「trivial group?」という問題さえ、ノビコフの定理からの帰結で解けないのです
ある有限表示群が自明群かどうか判断する手続きは存在しないから
ある有限表示群をもつ多様体が、単連結かどうか判断する手続きも存在しない
それは全くその通りである まさか間違ってると思ってるのかい？
単連結だと分かっている場合の分類は出来ている
しかしそのことと
「ある多様体が単連結かどうか判断する手続きが存在しないこと」
は矛盾しないが？
771:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:10:10.36 CO6RHQhW.net
>>745
>>手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
>その本にはノビコフの定理の証明はもちろん、ステートメントも書いてない
>要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
ちがう！
・えーと>>739より再録
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of manifolds
Dimension 4: exotic
Further information: 4-manifold
Four-dimensional manifolds are the most unusual: they are not geometrizable (as in lower dimensions), and surgery works topologically, but not differentiably.
Since topologically, 4-manifolds are classified by surgery, the differentiable classification question is phrased in terms of "differentiable structures": "which (topological) 4-manifolds admit a differentiable structure, and on those that do, how many differentiable structures are there?"
Four-manifolds often admit many unusual differentiable structures, most strikingly the uncountably infinitely many exotic differentiable structures on R4. Similarly, differentiable 4-manifolds is the only remaining open case of the generalized Poincaré conjecture.
Dimension 5 and more: surgery
Further information: surgery theory
In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.
The reason for dimension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more: two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above,
772:by general position (2+2<5). In dimension 4, one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles, which works topologically but not differentiably; see Geometric topology: Dimension for details on dimension. (引用終り) ・上記に書いてあることは、”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.” 要するに、5次元以上では ”two Whitney disks”が交差（intersect）しない関係で、surgery theoryが使える 4次元では、”one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles” つまり、Whitney diskの代わりにCasson handleが使えるので、”topologically but not differentiably”で、5次元以上と同じことができると ・Casson handle https://en.wikipedia.org/wiki/Casson_handle を見てください つづく
773:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:10:31.86 CO6RHQhW.net
つづき
・松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155 >>645
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
との記載は、既に古いってことだ
因みに、私の手元には2009年版だけど、付録1がCasson handleの話で
フリードマンの4次元ポアンカレの噂が日本に伝えられたのは1981年の秋とある
まとめると、1979年版当時、Casson handleが 5次元以上でWhitney disk generically don't intersect
と同じ性質をもち、surgery theoryが使えるということを知らずに、松本幸夫氏は書いたんだね
この教訓は、古い本だけ見ていてはダメ！ってこと
新しい本の記述を確認すべし！
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
読めてないと思うけど、ちゃんと読んでみなよｗ
以上
774:１３２人目の素数さん
23/12/23 10:15:54.80 CO6RHQhW.net
>>749
>>750-751 な
775:East Enders
23/12/23 12:29:53.71 B6Ixzxdu.net
松本幸夫「４次元のトポロジー」第10章 ４次元の罠の冒頭p155
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである。」
>>750
>>要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから
>ちがう！
何が？どう？
>”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.
>The reason for dimension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more:
>two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above,by general position (2+2<5).”
>要するに、5次元以上では ”two Whitney disks”が交差（intersect）しない関係で、surgery theoryが使える
そうだよ
だから？それで、すべての有限表示群が分類できる、なんて書いてある？
そんなことどこにも書いてないよ
手術理論によって、証明できたのはｈ同境定理
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
【定義 4.6 (h同境)】
n次元閉（可微分）多様体V, V が
同境V ∪V =∂Wn+1 で かつ，
包含写像 V → Wn+1，V → Wn+1 が
共にホモトピー同値写像となるとき，
V と V は h 同境であるという．
このとき，H∗(Wn+1, V )=0 が成り立つ．
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
V と V は C∞ 同相である．
高卒素人のWW君がｈ同境定理なんて知らなくても無理ないけど
なんも知らずに
「手術理論でどんな多様体も分類可能」（ドヤぁ）
とか吠えても笑われるだけだよ
776:East Enders
23/12/23 12:44:56.58 B6Ixzxdu.net
>>753のつづき
750
>4次元では、
>”one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles”
>つまり、Whitney diskの代わりにCasson handleが使えるので、
>”topologically but not differentiably”で、5次元以上と同じことができると
それ、松本幸夫「４次元のトポロジー」ｐ１５５のつづきの箇所にあたること
「では基本群に制限をつけてみたらどうだろう。
たとえば基本群が自明の場合、すなわち単連結の場合にはどうか。
単連結な４次元閉多様体ならすべて分類することができるのだろうか。」
1979年版ではこの後
「実は、これも現在未解決である」
と書いてあるが、その後、Freedmanにより、”topologically”には解決された
松本・上「４次元多様体 Ⅰ」ｐ７６－７７ 定理２．３６
「単連結な４次元位相閉多様体の同相類は
交差形式とKirby-Siebenmann類により
一意的に定まる」
同 系２．３７で
「S^４とホモトピー同値な４次元閉多様体はS^4と同相である」
ちなみに、”differentiably”には、今も未解決である
なにしろ通常のR^4と微分同相でないExotic R^4が
１つどころじゃなく非可算無限個存在するとわかった
今となってはねえ もうわけわかりませんわ
777:East Enders
23/12/23 12:55:42.40 B6Ixzxdu.net
>>751
>松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155
>「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
> したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
> との記載は、既に古いってことだ
そこはまったく古くない 4次元だけじゃなく5次元以上でもあてはまる
古いのは>>754でも示した以下の箇所
「では基本群に制限をつけてみたらどうだろう。
たとえば基本群が自明の場合、すなわち単連結の場合にはどうか。
単連結な４次元閉多様体ならすべて分類することができるのだろうか。
実は、これも現在未解決である」
>まとめると、1979年版当時、
>Casson handleが 5次元以上でWhitney disk generically don't intersectと同じ性質をもち、
>surgery theoryが使えるということを知らずに、松本幸夫氏は書いたんだね
Casson Handleのことは1979年版 第∞章の対談でも書いてあるから
その存在は当時も当然知っていた。トポロジーが専門だから当然
すでに野性的方法で交差しないディスクを張ることまで話している
だからもう位相的には解決寸前の状態ではあった
一方、微分可能構造に関することは全然書かれてないから
ゲージ理論を用いた方法論は全然”out of the blue”
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
778:East Enders
23/12/23 13:04:56.43 B6Ixzxdu.net
>>751
>この教訓は、
>古い本だけ見ていてはダメ！ってこと
>新しい本の記述を確認すべし！
>「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
>読めてないと思うけど、ちゃんと読んでみなよ
この教訓は、
ネット検索＆コピペだけでは、数学は全く理解できないってこと
ホイットニーのトリックによるハンドル消去の方法は
そもそも基本群による分類とは全く関わりがないどころか
むしろその先のことである
中身を理解せずに
「手術理論で基本群の分類が出来る！」
みたいな馬鹿なことをいうと大笑いされる
ということで、
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
なんて君には一生無理だから、速攻で古本屋に叩き売ろう
その金でマセマの線形代数買って読みな
君が読んで理解できるのは、マセマのキャンパス・ゼミシリーズが最高峰
ちなみにマセマにガロア理論の本はない
779:１３２人目の素数さん
23/12/23 14:21:55.73 SSH7aHi3.net
>>755
書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってるwww
馬鹿すぎるwww
Novikovの定理くらい調べろよwww
780:１３２人目の素数さん
23/12/23 15:05:36.29 CO6RHQhW.net
>>757
ありがとう！
援護射撃！！
781:East Enders
23/12/23 15:32:38.81 B6Ixzxdu.net
>>757
>書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってる
>馬鹿すぎる Novikovの定理くらい調べろよ
>>758
>ありがとう！ 援護射撃！！
撃たれて喜ぶ変態
782:１３２人目の素数さん
23/12/23 18:13:45.43 CO6RHQhW.net
えーと、>>757のID:SSH7aHi3氏は
>>755のID:B6Ixzxdu氏にリンクしてコメントしている
（もしリンク間違いでなければね）
さて、>>750-751を補足しておく
１）松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版 第10章 ４次元の罠の冒頭p155 >>645
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
２）これで、注意すべきはノビコフ定理は、多様体の次元に依存しないってこと
つまり、４次元以上の例えば５次元多様体でも同じでしょ？
３）ところが、５次元多様体では
”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.”
なのです。つまり、surgery theory（手術理論）による分類が可能！
（この分類は、多分基本群による分類より大雑把だろう）
４）さて Freedmanの理論が1980年代に出て、”4 dimensions topologically”の場合に
キャッソンハンドルを使うsurgery theory（手術理論）が可能になったってことだ
（キャッソンハンドルを使ったらすんなり行くか？
それは別問題らしく、やっぱ難しいのは事実）
しかし、４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
５）４次元で微分可能な場合はどうか？
それは、４次元微分可能ポアンカレ予想がどう解決されるか次第じゃないのかな？
もし、Freedmanの理論のキャッソンハンドルの類似が、微分可能の場合に構成できて
surgery theory（手術理論）が可能になったら嬉しい
しかし、そうなるかどうかが 現状では不明ってことだね（なので”分類不可能”は、やはり言い過ぎ）
783:１３２人目の素数さん
23/12/23 18:28:15.68 CO6RHQhW.net
一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体がある（下記）
時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される
なので、4次元多様体論は、物理の面からも注目されている
”分類不可能”で、済ませられる問題ではない！
ノビコフ定理があろうが、物理学者は 彼らの物理的な視点で、4次元多様体を研究する
その一例が、”サイバーグ・ウィッテン”（下記）
「4次元多様体 I&II 上正明・松本 幸夫(著) 2022年02月版」
でも、取り上げられている通りですよ！ｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分幾何学において、擬リーマン多様体 (pseudo-Riemannian manifold)[1][2]（また、半リーマン多様体 (semi-Riemannian manifold) ともいう）は、リーマン多様体の一般化であり、そこでは計量テンソルが必ずしも正定値双線型形式（英語版）でないこともある。代わって、非退化というより弱い条件が、計量テンソルへ導入される。
一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体 (Lorentzian manifold) があり、そこでは、一つの次元が他の次元とは反対の符号を持っている。このことは、接ベクトルが時間的、光的、空間的[注釈 1] へと分類される。時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される。
ローレンツ多様体
物理学への応用
リーマン多様体の後に続いて、ローレンツ多様体は擬リーマン多様体の最も重要な部分をなす。ローレンツ多様体は、一般相対論の応用において重要である。
一般相対論の原理的な基礎は、時空は符号 (3, 1) もしくは、同じことであるが、(1, 3) を持つ 4次元ローレンツ多様体としてモデル化することができる。正定値の計量をもつリーマン多様体とは異なり、(3, 1) もしくは (1, 3) の符号は、接ベクトルを時間的、光的、空間的へ分類することができる（因果律を参照）。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pseudo-Riemannian manifold
A special case used in general relativity is a four-dimensional Lorentzian manifold for modeling spacetime, where tangent vectors can be classified as timelike, null, and spacelike.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
サイバーグ・ウィッテン不変量
784:East Enders
23/12/23 19:03:09.07 B6Ixzxdu.net
>>760
大阪の同業者が毎度恒例のわけのわからないことをいってますね
＞ノビコフ定理は、多様体の次元に依存しないってこと
＞つまり、４次元以上の例えは５次元多様体でも同じでしょ？
「例え」ではないけどね
そして４次元以上とあるように５次元以上でも当然成立する
>>755で書いた通り
＞ところが、５次元多様体ではsurgery theory（手術理論）による分類が可能！
これまた753で書いた通り
手術理論はｈ同境定理の証明で用いられるが
その条件を見れば、単連結と書いてある
したがって、任意の多様体ではなく、単連結多様体の分類
【定義 4.6 (h同境)】
n次元閉（可微分）多様体V, V が
同境V ∪V =∂Wn+1 で かつ，
包含写像 V → Wn+1，V → Wn+1 が
共にホモトピー同値写像となるとき，
V と V は h 同境であるという．
このとき，H∗(Wn+1, V )=0 が成り立つ．
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
V と V は C∞ 同相である．
これらのことから、757の
「書いてある内容を全く理解出来ずに間違った妄想して得意げにマウント取ってる
●●すぎる Novikovの定理くらい調べろよ」
は、ID:CO6RHQhWこと大阪の同業者West Wannaby君に対するコメントと考えられます
785:East Enders
23/12/23 19:09:52.32 B6Ixzxdu.net
>>760
>４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
>（微分同相でも）”分類不可能”は、やはり言い過ぎ
何怒ってんだか、わかりませんね
４次元以上の任意の多様体の同相もしくは微分同相分類の不可能性と
４次元の単連結な多様体の同相分類の可能性
５次元以上の任意の多様体の同相もしくは微分同相分類の可能性は
両立しますけど
今の研究は
４次元の単連結な多様体の微分同相分類
に対するものですが、なかなか難しいようです
４次元球面の微分可能ポアンカレ予想も解けてませんね
786:East Enders
23/12/23 19:16:04.18 B6Ixzxdu.net
>>461
>”分類不可能”で、済ませられる問題ではない！
分類不可能＝研究終了、と誤解したようですが、実に短慮といわざるを得ません
>ノビコフ定理があろうが、物理学者は 彼らの物理的な視点で、4次元多様体を研究する
4次元多様体の研究は、物理学ではなく数学として研究されてますが、何か？
ゲージ理論は数学ですが、何か？
4次元多様体の研究で、物理実験は一切行われていませんが、何か？
（数学と物理の区別をつけず全く同一だと思っている素人は実に残念なものです）
787:East Enders
23/12/23 19:20:42.90 B6Ixzxdu.net
大阪の同業者君は、マセマから始めたほうがいいでしょう
コホモロジー？ そんなの全然先ですよ
URLﾘﾝｸ(books.mathema.jp)
788:１３２人目の素数さん
23/12/23 20:26:22.69 CO6RHQhW.net
>>762
>＞ところが、５次元多様体ではsurgery theory（手術理論）による分類が可能！
> これまた753で書いた通り
> 手術理論はｈ同境定理の証明で用いられるが
> その条件を見れば、単連結と書いてある
> したがって、任意の多様体ではなく、単連結多様体の分類
>【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)】
>V, V を連結かつ『単連結』な閉じた n次元 C∞ 多様体とする．
>もしも，n ≥ 5 であって V とV が h 同境ならば，
>V と V は C∞ 同相である．
定理を読み違えているよ
１）まず 定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理) 『単連結』とあるが
”可微分”を見落としているんじゃないの？
２）いま主に問題にしている４次元キャッソンハンドルの話は、”可微分”ではない
実際、h-cobordism は、下記引用の通り『単連結』のしばりなし（５次元で参考にする例も同じ）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
h-cobordism
In geometric topology and differential topology, an (n + 1)-dimensional cobordism W between n-dimensional manifolds M and N is an h-cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps M→ W and N→ W are homotopy equivalences.
The h-cobordism theorem gives sufficient conditions for an h-cobordism to be trivial, i.e., to be C-isomorphic to the cylinder M × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds.
The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high-dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.
Background
Before Smale proved this theorem, mathematicians became stuck while trying to understand manifolds of dimension 3 or 4, and assumed that the higher-dimensional cases were even harder.
The h-cobordism theorem showed that (simply connected) manifolds of dimension at least 5 are much easier than those of dimension 3 or 4.
The proof of the theorem depends on the "Whitney trick" of Hassler Whitney, which geometrically untangles homologically-tangled spheres of complementary dimension in a manifold of dimension >4.
An informal reason why manifolds of dimension 3 or 4 are unusually hard is that the trick fails to work in lower dimensions, which have no room for entanglement.
つづく
789:１３２人目の素数さん
23/12/23 20:26:36.25 CO6RHQhW.net
つづき
（google訳）
スメールがこの定理を証明する前、数学者は 3 次元または 4 次元の多様体を理解しようとして行き詰まり、高次元の場合はさらに難しいと考えていました。
hコボルディズム定理は、少なくとも 5 次元の (単純接続された) 多様体が 3 次元や 4 次元の多様体よりもはるかに簡単であることを示しました。
定理の証明は、ホモロジー的にもつれを幾何学的に解きほぐす、ハスラー ホイットニーの「ホイットニー トリック」に依存しています
次元 >4 の多様体における相補的な次元の球。
3 次元や 4 次元の多様体が異常に難しい非公式な理由は、もつれ（解消）の余地がない低次元では トリックが機能しないためです。
(引用終り)
以上
790:１３２人目の素数さん
23/12/23 21:13:37.07 CO6RHQhW.net
>>760
>４次元多様体が”分類不可能”は、明らかに言い過ぎ
>（微分同相でも）”分類不可能”は、やはり言い過ぎ
そもそも、「分類」とは？
「分類」には、数学的に厳密な定義はない！
辞書・辞典の意味であり、人や場面で意味が変わるべきもの
例えば、下記の沙川貴大氏（東京大学）
彼らは、必要に応じて、コボルディズムによる分類を考えている
松本幸夫氏の「分類」とは意味が違うかも知れないが、そんな議論に意味はない
”分類不可能”は、やはり言い過ぎと思う
http://東京大学/2022/12/Cobordism_SPT.pdf
コボルディズムによるSPT相の分類についてのメモ
沙川貴大 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻2022年12月29日
概要
•対称性に保護されたトポロジカル相(SPT相)の分類として有力視されているコボルディズムについて、簡単にまとめる。（メインの主張の要約は27ページにある。）
• SPT相やトポロジーについてのある程度の前提知識は仮定する。また、本稿は主に物理屋を念頭に置いたものであり、数学的に厳密でない箇所の方が多い。
•以下の二つの「補足」を加筆した(2023年1月)。
まず、コボルディズムの分類空間の構成(ポントリャーギン・トム構成)や、分類定理の証明のアウトライン、異種球面への応用などにごく簡単に触れた。
また、普遍係数定理やアンダーソン双対に出てくるExtについてまとめた。
これらの「補足」は独立しており、物理ともあまり関係ない。
筆者はトポロジーも場の理論も専門ではありません。
本稿は非専門家が趣味で書いたものです。苦情や間違いのご指摘などがあればお知らせいただけると幸いです。
つづく
791:１３２人目の素数さん
23/12/23 21:13:58.71 CO6RHQhW.net
つづき
目次
•はじめに
•舞台設定時空とその構造、オンサイト対称性、(コ)ボルディズムとは
• SPT相の分類メインの主張、アンダーソン双対の意味、適用範囲
•簡単な例ボソンの簡単な場合、相互作用するトポロジカル絶縁体・超伝導体
ボルディズム群(1/3)
•次にボルディズム(bordism)群を定義する[15-19]。
（以下でボルディズムと呼ぶものをコボルディズムと呼ぶことも多い。）
なめらかな多様体を考える。
適用範囲はどこまでか？
格子模型から出発した数学的に厳密な議論は、[24-27]などにおいて、𝑑=2,3の場合について作用素環を用いて行われ、成功を収めている。このようなボトムアップのアプローチが高次元まで含めて包括的に成功すれば、SPT相の分類が数学的に厳密に完成すると思われる。
(引用終り)
以上
792:１３２人目の素数さん
23/12/23 23:26:02.81 lXOBALA3.net
setaレベルの知能で多様体の分類理論の話題についていけるはずない
793:１３２人目の素数さん
23/12/24 00:24:23.21 ALCFg7l8.net
>>770
ありがと
下記のことかね？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
5-manifold
In mathematics, a 5-manifold is a 5-dimensional topological manifold, possibly with a piecewise linear or smooth structure.
Non-simply connected 5-manifolds are impossible to classify, as this is harder than solving the word problem for groups.[1]
Simply connected compact 5-manifolds were first classified by Stephen Smale[2] and then in full generality by Dennis Barden,[3] while another proof was later given by Aleksey V. Zhubr.[4]
This turns out to be easier than the 3- or 4-dimensional case: the 3-dimensional case is the Thurston geometrisation conjecture, and the 4-dimensional case was solved by Michael Freedman (1982) in the topological case,[5] but is a very hard unsolved problem in the smooth case.
In dimension 5, the smooth classification of simply connected manifolds is governed by classical algebraic topology. Namely, two simply connected, smooth 5-manifolds are diffeomorphic if and only if there exists an isomorphism of their second homology groups with integer coefficients, preserving the linking form and the second Stiefel–Whitney class. Moreover, any such isomorphism in second homology is induced by some diffeomorphism. It is undecidable if a given 5-manifold is homeomorphic to
S^{5}, the 5-sphere.[1]
Examples
Here are some examples of smooth, closed, simply connected 5-manifolds:
・S^{5}, the 5-sphere.
・S^{2} ｘ S^{3}, the product of a 2-sphere with a 3-sphere.
・S^{2} ｘ～S^{3}}, the total space of the non-trivial S^{3}-bundle over S^{2}.
・SU (3)/SO (3), the homogeneous space obtained as the quotient of the special unitary group SU(3) by the rotation subgroup SO(3).
794:１３２人目の素数さん
23/12/24 02:20:39.19 Dd6aQW2T.net
そもそも文化的な議論ができる知能レベルにない
795:１３２人目の素数さん
23/12/24 06:50:32.51 mBupeFAw.net
他者による検証の重要性がわかるスレ
796:EE
23/12/24 06:56:38.38 wWW986Ai.net
>>766
>定理を読み違えているよ
>定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh 同境定理)
>『単連結』とあるが”可微分”を見落としているんじゃないの？
>いま主に問題にしている４次元キャッソンハンドルの話は、”可微分”ではない
>実際、h-cobordism は、『単連結』のしばりなし（５次元で参考にする例も同じ）
素人がわけもわからずなんか吠えとる
4行目
キャッソンハンドルを使った4次元の場合は確かに可微分ではないが
証明を一度でも見たことあれば ｈ同境を利用しているのが分かる
5行目
ｈ同境の定義自体は確かに単連結でなくてもよいが
ｈ同境定理は単連結という前提がある 素人が否定できることではない
”The h-cobordism theorem showed that
(simply connected) manifolds of dimension at least 5
are much easier than those of dimension 3 or 4.”
”simply connected” は単連結のこと