23/12/12 06:15:39.86 /D1vpNb1.net
数学は数学的概念それ自体の理論
物理は自然現象の理論 その中で数学を用いているだけ
もちろん、自然現象を語るのに必要な「新しい数学」を構築することはあり得る
とはいえ、構築された「新しい数学」は、それで自然現象を語れるか否かによらず
数学理論として独立した意義を有する
したがって、やっぱり数学と物理は異なる
物理的な意味を持たないから、数学として価値がない、とはいえない
まあ、いまどき、そんなアホなイチャモンをつける奴はいない、と信じるが
408:１３２人目の素数さん
23/12/12 07:40:00.07 Hh8yiJws.net
>>385
>数学は数学的概念それ自体の理論
>物理は自然現象の理論 その中で数学を用いているだけ
>
>もちろん、自然現象を語るのに必要な「新しい数学」を構築することはあり得る
>とはいえ、構築された「新しい数学」は、それで自然現象を語れるか否かによらず
>数学理論として独立した意義を有する
>
>したがって、やっぱり数学と物理は異なる
・お説の通りの面はある
・一方で、数学と周辺の関連分野との相互作用は、注目しておくのが良いと思うよ
・例えば、山下真由子と 理論物理学者 立川裕二氏との共同研究>>326
あるいは、小沢登高 「最近私の研究が、量子通信や量子コンピュータの理論的側面を扱う量子情報理論と関係していることを知りました。
そこでこの問題に取り組んだ結果、フォンノイマン因子環に対する数学的な未解決な予想が、一見まるで無関係な量子情報理論における予想と同値であることの証明に成功しました」>>328
・他にも上げれば切りが無い
伊藤清氏の確率微分方程式が、株価の理論式として使われてノーベル賞。伊藤清氏は何もしないかったが、一気に伊藤清氏の理論は有名になった
物理のミラー対称性は、フィールズ賞につながったが、そこに深谷先生の理論が使われた
望月拓郎氏の3億円の受賞も、物理への応用が評価されたような気がする
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学ブレイクスルー賞（Breakthrough Prize in Mathematics）- 2014年創設
各賞とも総額300万ドル授与される[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96)
ミラー対称性(mirror symmetry)はカラビ・ヤウ多様体と呼ばれる幾何学的な対象の間の関係であり、2つの カラビ・ヤウ多様体が幾何学的には全く異なっているにもかかわらず、弦理論の余剰次元としてそれらを扱うと等価となる対称性のことを言う。この場合、多様体は互いに「ミラー多様体」であると呼ばれる。
ミラー対称性はもともとは、物理学者によって発見された。数学者がミラー対称性に興味を持ち始めたのは1990年頃で、特に、フィリップ・キャンデラス（英語版）(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、パウル・グリーン(Paul Green)、リンダ・パークス(Linda Parks)らによって、ミラー対称性を数々の方程式の解の数を数える数学の分野である数え上げ幾何学で使うことができることが示されていた。実際、キャンデラスたちは、ミラー対称性を使いカラビ・ヤウ多様体の上の有理曲線を数えることができ、長きにわたり未解決であった問題を解明できることを示した(参照項目:ミラー対称性の応用)[1]。元来のミラー対称性へのアプローチは、理論物理学者からの必ずしも数学的には厳密(mathematical rigor)ではないアイデアに基づいているにもかかわらず、数学者はミラー対称性予想のいくつかを数学的に厳密な証明に成功しつつある[2]
409:１３２人目の素数さん
23/12/12 07:46:36.65 Hh8yiJws.net
>>384
>歴史を知ることと、概念を理解することは、直接関係ないけどね
正確には
”歴史を知らなくても、概念を理解することは可能だが
歴史を知ることで、その概念を深く理解することは可能だ”
が正解と思う
実際、ブルバキも抽象的な理論を補う意味だろうが、数学史を書いている
ヴェイユも、数学史を書いている（読んだけど、ムズかったｗ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アンドレ・ヴェイユ（André Weil, 1906年5月6日 - 1998年8月6日）は、フランスの数学者で、20世紀を代表する数学者の一人である。思想家のシモーヌ・ヴェイユは妹、児童文学者のシルヴィ・ヴェイユ（フランス語版）は娘である。
数学史の著作もある。
『数論 歴史からのアプローチ』足立恒雄・三宅克哉訳、日本評論社、1987年12月。ISBN 4-535-78160-5。
ニコラ・ブルバキ『ブルバキ数学史』 上、村田全・清水達雄・杉浦光夫 翻訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 フ-25-1〉、2006年3月8日。ISBN 4-480-08977-2。
ニコラ・ブルバキ『ブルバキ数学史』 下、村田全・清水達雄・杉浦光夫 翻訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 フ-25-2〉、2006年3月8日。ISBN 4-480-08978-0。
410:１３２人目の素数さん
23/12/12 08:21:45.33 M89tY/Cb.net
>>386
>数学と周辺の関連分野との相互作用は、注目しておくのが良いと思うよ
それが「わかる人」はね
>例えば、・・・
３次元物体の連続体力学が
今まで登った最高峰だという人が
いきなり何の準備もなく
代数トポロジーとかに「弾丸登山」
は無謀じゃないかい？
"ド・ラム コホモロジー"も知らんのだろう？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
411:１３２人目の素数さん
23/12/12 08:22:18.60 M89tY/Cb.net
>>387
>”歴史を知らなくても、概念を理解することは可能だが
> 歴史を知ることで、その概念を深く理解することは可能だ”
”歴史を忘れることで理解できる、ということもある”
今の君には何を言ってるか分からないかもしれないが
いつか理解してもらえれるならうれしいね
ニュートン力学は何が静止してるか忘れることで本当に理解できる
つまり天動説とか地動説とかいう議論が全く無意味化される
相対性理論は何と何が同時か忘れることで本当に理解できる
つまり絶対時間という”エーテル”が全く無意味化される
あたりまえとか必要とか思ってた前提が
実はなりたたないとか不要とか気づくことが大事
自分の中の”不可侵な聖域”をなくすこと
これこそが学問の意義じゃないか
と私は思うけど、君の意見は？
412:１３２人目の素数さん
23/12/12 08:41:56.43 rJ70TXAE.net
横からだが、歴史的に数学基礎論は数学の基礎付けのために始まった学問だから、現代の数学をベースにした数学基礎論は循環論法だっていうキチガイが基礎論スレにいたな
現代の教科書が読めないからって歴史から入る人間は話聞いてるとだいたい頭がおかしい
413:１３２人目の素数さん
23/12/12 08:56:42.52 M89tY/Cb.net
>>390
実際は
「現代の数学をベースにした数学基礎論は循環論法だっていう
スレを立てた奴が数学板にいたな」
数学基礎論「数学を使って数学の基礎を作ります」←循環論法じゃん
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
まあ、
「数学理論自身による数学理論の無矛盾性証明が信頼できるか？」
という疑問は当然あるが、それ以前に
「ある性質をもつ公理系が自身の無矛盾性証明を持つ場合
その証明から、自身の矛盾をもつ証明が具体的に構成できる
したがって、もし無矛盾、つまり矛盾が証明できないのであれば
無矛盾性証明も存在しない」
（ゲーデルの不完全性定理）
ということなので、無矛盾性の確立を目的とする数学基礎論はその意味を失う
もちろん、数理論理学の定理としてゲーデルの不完全性定理は意義がある
414:１３２人目の素数さん
23/12/12 09:30:33.03 rJ70TXAE.net
>>391
こっちのスレね
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:45番)
415:１３２人目の素数さん
23/12/12 09:48:22.11 fVa8inK6.net
>>392 同じ人かもな
416:１３２人目の素数さん
23/12/12 10
417::19:23.31 ID:948RporJ.net
418:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:19:44.79 948RporJ.net
つづき
1956年、永田はデデキント整域上の代数幾何学の基礎について論文を発表する[22]。この論文の導入部で永田はシュヴァレーに対して謝辞を述べている。シュヴァレーは1954年1月に京都大学で講義を行い、永田はここから多くのアイデアを得たという。またこの論文の執筆に対しても多くの助言があったという。
1958年、グロタンディークは国際数学者会議で抽象代数多様体のコホモロジー論について講演する（論文の発表は1960年）[29]。この中でグロタンディークは、永田とシュヴァレーの研究に言及したのち[注釈 4]、「正しい定義の指針」（the principle of the right definition）はセールのFACにあると言い、任意の可換環に対するスキームの定義を現在と同じ形で述べた[30]。
現在と同じスキームの定義に誰がどのようにして至ったかについては、様々な逸話がある。グロタンディークとデュドネは、セールが代数多様体のコホモロジー論を任意の可換環に対して書き起こすことは容易であると指摘した、と言っている[31]。カルティエは、マルティノー[注釈 5]がセールに彼の理論は極大イデアルを素イデアルに置き換えても成り立つことを指摘し、そしてカルティエが現在のスキームの定義と全く同じものを提案した、と言っている[31]。セールは、スキームを発明したものはいない[31]、完全に一般的な設定で考えてもうまくいくと考えたところにグロタンディークの独創性がある、と言っている[32]。これらを踏まえた上で、スキームの定義は空気の中にあった、と McLarty (2003, p. 14) は総括している。
(引用終り)
419:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:47:47.21 y5CcJSmf.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
420:g
421:１３２人目の素数さん
23/12/12 11:13:33.28 948RporJ.net
>>394
>”歴史を忘れることで理解できる、ということもある”
>今の君には何を言ってるか分からないかもしれないが
>いつか理解してもらえれるならうれしいね
さて、逆もある
（以下文献を上げない場合もあるがご容赦）
・一例が、ゼロ(0)の概念。ギリシャ数学やキリスト教の影響で、ゼロ(0)の概念の受容がヨーロッパでは遅れたと言われる
小数の10進位取り表記が、ずいぶん遅れた
・下記のデカルト座標系も
何が画期的だったか？
i)ギリシャ数学では、幾何と数論は全く別物だった（多分、分数(有理数)がベースだったからだろう）
下記、数直線は有理数Q→実数Rへの飛躍を含んでいる
ii)ギリシャ数学では、2乗の量（面積）と1乗の量（長さ）とは、全く別で加えるのは原則不可だった
実際１ｍ（メートル）と、１ｍ^2(平方メートル)を加えてはいけないみたいなこと
しかし、現代ではx+x^2 はありです。これで、２次関数が考えられる
・かように、従来の概念を否定するパラダイムシフトが、多々あった
そういう目で数学史を見たら良いと思いますよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
デカルト座標系
(Google訳)
歴史
デカルトという形容詞は、オランダ在住中の 1637 年にこの考えを発表したフランスの数学者で哲学者 のルネ・デカルトを指します。これは、やはり三次元の研究を行っていたピエール・ド・フェルマーによって独自に発見されましたが、フェルマーはこの発見を公表しませんでした。[1]フランスの聖職者ニコール・オレムは、デカルトやフェルマーの時代よりずっと前に、デカルト座標に似た構造を使用していました。[2]
デカルトもフェルマーも治療に単一の軸を使用し、この軸を基準にして測定された可変長を持っています。[要出典]一対の軸を使用するという概念は、デカルトの『幾何学』が 1649 年にフランス ファン スホーテンとその生徒たちによってラテン語に翻訳された後、後に導入されました。これらの解説者は、デカルトの著作に含まれるアイデアを明確にしようとする際に、いくつかの概念を導入しました。[3]
デカルト座標系の発展は、アイザック ニュートンとゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツによる微積分の発展において基本的な役割を果たすことになります。[4]平面の 2 座標の記述は、後にベクトル空間の概念に一般化されました。[5]
デカルト以来、平面の極座標や3 次元空間の 球面座標や円筒座標など、他の多くの座標系が開発されてきました。
説明
1 次元
詳細は「数直線」を参照
1 次元空間、つまり直線のデカルト座標系を選択するには、線の点O (原点)、長さの単位、および線の向きを選択する必要があります。
選択されたデカルト系の直線は、数直線と呼ばれます。このデカルト システムを選択すると、直線と実数の間の 全単射が引き起こされます。
422:１３２人目の素数さん
23/12/12 11:36:33.03 948RporJ.net
>>390-391
>横からだが、歴史的に数学基礎論は数学の基礎付けのために始まった学問だから、現代の数学をベースにした数学基礎論は循環論法だっていうキチガイが基礎論スレにいたな
>「現代の数学をベースにした数学基礎論は循環論法だっていう
> スレを立てた奴が数学板にいたな」
>
>数学基礎論「数学を使って数学の基礎を作ります」←循環論法じゃん
>ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
面白いけど
１）数学史をちゃんと勉強してないよね
カントールやデデキントが、（素朴）集合論を始めた
ところが、（素朴）集合論で「すべての集合の集合」のようなものを考えると
パラドックスが起きる
２）そこで、数学の公理化をしようとなった（ヒルベルト）
この数学の公理化の部分を、後世では一般に基礎論と呼ぶ
３）公理化については、ユークリッド幾何の公理的扱いがモデルになっている
これは、ゆとり以前では、小学校でユークリッド幾何とあわせて公理的扱いを教えたものです
点は長さも面積もたない、線は長さを持つが面積を持たない、面は面積を持つなどなど
そうして、最後定義に使う用語は、無定義用語に行き着くのです（なので循環論法にならない）
（無定義用語の存在は、避けられないのです）
”数学基礎論は循環論法”っていう人は、「数学の公理化」という行為が全く分かってない
それは、数学史をちゃんと勉強してないってことであり
”ゆとり”で、（”公理化”とか基礎的な知識の）インプットが不足ってことでしょ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
素朴集合論
パラドックス
任意の性質を用いて、制限なしに集合を構築できるという仮定は、パラドックスにつながる。一般的な例に、ラッセルのパラドックスがある。「自分自身を含まないすべての集合」で構成される集合は存在しない。したがって、素朴集合論を無矛盾なシステムとするためには、集合を構成するために使う原理に対して制限をかける必要がある。
公理的理論
公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
423:１３２人目の素数さん
23/12/12 11:43:30.88 948RporJ.net
なお、現代数学は決して特定の公理体系に直接依存していないということも
常識として、インプットしておくべきと思います（下記など）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
数学基礎論が衰退したのは何故か？理由を考察
謎の数学者
2021/05/13 現役数学者が教える大学数学
@egeg8759
1 年前
勉強したことがある人が、続けるのをやめた理由を話してくれるのはとても貴重。私の中で数学基礎論との付き合い方がより明確になりました。
@hikaruibayashi9004
2 年前（編集済み）
とても勉強になりました。「『そもそもなぜこんなことを考えるんだろう？』という疑問を突き詰めていくことが真の理解には不可欠なんだ！」と私は考えがちなので、数学の基礎論への関心が近年薄まっているという話は驚きが大きかったです。いつも興味深い動画をありがとうございます。
424:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:03:07.14 dMxDgkfg.net
>>394
>分かるよ、＊だね
また滑ったね 素人が
>〇は、「古い□の概念は忘れろ（理解の邪魔）」といったらしい
>いま、同じことが※で起きている。
>●氏は「古い■の概念は忘れろ（理解の邪魔）」と
また肥溜に落ちたね 素人が
425:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:06:32.83 wzujSq71.net
素人でも玄人でもいいから
２乗して項の数が減る多項式の例を
教えてほしい
426:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:13:39.74 fVa8inK6.net
>>398
>カントールやデデキントが、（素朴）集合論を始めた
>ところが（素朴）集合論で「すべての集合の集合」のようなものを考えるとパラドックスが起きる
>そこで、数学の公理化をしようとなった（ヒルベルト）
>この数学の公理化の部分を、後世では一般に基礎論と呼ぶ
それ、林晋さんに「数学史をちゃんと勉強してない」ってつっこまれるパターン
まず、カントールが集合論を公理化してなかったのは確かだが
彼は「すべての集合の集合を考える」とはいってない
矛盾が見いだされたのはフレーゲの体系
そこには「性質＊＊を満たすもの全体」を
集合とみなすような公理があったが、
そこから矛盾が導けることをラッセルが示した
ツェルメロによる集合論の公理化が上記の影響かどうかは知らない
ただ、そこで選択公理を設けてそこから整列定理を導いたので
別の騒動を引き起こしたけど
さて「数学の公理化の部分を、後世では一般に基礎論と呼ぶ」は全くのウソ
ヒルベルトは「数学の公理化」なんてブルバキみたいなざっくりしたことをいったわけではない
むしろ無矛盾性証明による具体的なプログラムを提示した それが基礎論の淵源
まあ、ゲーデルの不完全性定理により頓挫したけど
今でも証明論というものはある でも別に無矛盾性の確立のためにやってるわけではない
427:だからこれをもって「数学基礎論」というのは正しくない
428:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:20:50.98 fVa8inK6.net
>>399
数学基礎論は死んだけど、集合論は生きてるよね
コーエンのフォーシングのおかげで
「集合論も群論と変わんねえし」
って示されちゃったし
「」内の意味は分かる奴だけ分かりゃいい
429:１３２人目の素数さん
23/12/12 13:12:22.37 948RporJ.net
>>402
>まず、カントールが集合論を公理化してなかったのは確かだが
>彼は「すべての集合の集合を考える」とはいってない
>
>矛盾が見いだされたのはフレーゲの体系
違うんだな
原理は、「自己言及のパラドックス」下記です
特定の体系の話ではない
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自己言及のパラドックス
自己言及のパラドックスまたは嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。
集合論におけるパラドックス (ラッセルのパラドックス)
詳細は「ラッセルのパラドックス」を参照
集合論における典型的なパラドックスは次のようなものである。これは特に、バートランド・ラッセルが議論の対象としたことで知られる（ラッセルは述語論理における同様のパラドックスについても議論している）。
まず、様々な集合を2種類に分類する。ひとつは、自分自身を要素として含むような集合で、もうひとつは、自分自身を要素として含まないような集合である。
次に、その分類で、後者に分類されるもの全てからなるような集合を想定する。つまり、この集合は、「自分自身を要素として含まないような集合の集合」ということになる。（便宜上この集合を A とする。）
このような集合 A は、果たして「自分自身を要素として含まないような集合」のひとつであるかを考えてみると、もしも自分自身を要素として含まないのであれば、 A には A が含まれないということを意味する。ところが、 A は定義により、自分自身を要素として含まない集合全てを含むはずなので、 A には A 自身が含まれていなければならないはずである。ところが、もしも A に A 自身が含まれているとすると、それは A が自分自身を含む集合の一種であるから、 A の一要素として含まれていてはいけないことになる。
以上のように、この集合は自己言及のパラドックスを引き起こすことになる。
様々な解決案
言語階層
アルフレト・タルスキ
アーサー・プライア
ソール・クリプキ
バーワイズとエチェメンディ
真矛盾主義
嘘つきのパラドックスの論理構造
430:１３２人目の素数さん
23/12/12 13:20:14.07 948RporJ.net
>>403
>数学基礎論は死んだけど、集合論は生きてるよね
"数学基礎論が衰退したのは何故か？理由を考察 謎の数学者"
で言っていることは
いま研究分野として"数学基礎論”で成果を上げていくのが難しいってことだと思う
"数学基礎論”自身は、ちゃんと確立されたし
集合論も同様でしょ
圏論を"数学基礎論”に入れれば、圏論はピンピン元気だと思うけど
いま、"数学基礎論”はコンピューターサイエンスに軸足を移しつつあるように思う
今どきのAI系の情報理論なども取り込んでいくんじゃないのかな？
431:１３２人目の素数さん
23/12/12 13:59:36.36 EFmKwHrV.net
>>404
>>矛盾が見いだされたのはフレーゲの体系
>違うんだな 特定の体系の話ではない
数学ではなく、数学史の話なら、違わない
ラッセルが手紙を書いた相手がフレーゲ
内包公理を採用した集合論でももちろん同じ方法で矛盾が導けるが
カントールが内包公理を提案した、という史実がない
だから「数学史」として「ラッセルがカントールの集合論の矛盾を導いた」というならそれは誤り
念押しするけど、>>398で「数学史をちゃんと勉強してないよね」といってるから
数学としてではなく数学史の史実のみについていってるよね？
432:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:09:10.15 M89tY/Cb.net
>>405
>研究分野として"数学基礎論”で成果を上げていくのが難しい
”数学基礎論”という言葉で、”数学の基礎づけ”について述べてる？
それともまさかとは
433:思うけど”数理論理学もしくは集合論”について述べてる？ 前者は全くそのとおり もうそんな方向で誰も論文書いてない 後者は全然見当違い 門外漢のユーチューバーが知ったかでトンチンカンなこといってるのを素人が真に受けてるだけ 数学者だからって、数学の全ての分野に通じてるわけじゃないから、専門外の事に関する発言を真に受けちゃ恥かくよ >圏論を"数学基礎論”に入れれば、圏論はピンピン元気だと思うけど 数学の基礎付けとして圏論を語る人なんているのかい？ 論理とか集合論とかの拡大として圏論を持ち出す人はいるけどね それは基礎付けとは違うよ >いま、"数学基礎論”はコンピューターサイエンスに軸足を移しつつあるように思う それ今じゃなくて何十年も前からだよ もしかして1945年以降はみんな今って言っちゃってる？ なんか昭和生まれのおじい様が自分が生きてきた時代をすべて今って言っちゃうみたいな >今どきのAI系の情報理論なども取り込んでいくんじゃないのかな？ 今のAIは、論理とは直接関係ない、という基本的なことはご存じ？ 第五世代コンピュータの頃のまま語ってると見当違いなんで
434:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:18:09.92 M89tY/Cb.net
そもそも「数理論理学」を「数学基礎論」って言っちゃう時点で
２０世紀（というか1960年代のコーエン出現以前）から
全然アップデートされてない感じ
435:１３２人目の素数さん
23/12/12 21:06:56.17 Hh8yiJws.net
>>406
>>>矛盾が見いだされたのはフレーゲの体系
>>違うんだな 特定の体系の話ではない
> 数学ではなく、数学史の話なら、違わない
> ラッセルが手紙を書いた相手がフレーゲ
・出ました、お得意の論点ずらし、ストローマン
”>>402
>まず、カントールが集合論を公理化してなかったのは確かだが
>彼は「すべての集合の集合を考える」とはいってない
>
>矛盾が見いだされたのはフレーゲの体系”
と言っていたのが
いつの間にか数学史の話で、「ラッセルが手紙を書いた相手がフレーゲ」？？
・いやいや、私はそういう論点ずらし、ストローマンをしないように心がけている
ロジックを貫徹するクセ（習慣）をつけておかないと
もし 論点ずらし、ストローマンのクセ（習慣）がつくと、数学的思考ができなくなると思うんだ
436:１３２人目の素数さん
23/12/12 21:16:25.49 /D1vpNb1.net
>>409
>「ラッセルが手紙を書いた相手がフレーゲ」？？
これは事実です
URLﾘﾝｸ(russell-j.com)
>論点ずらし
>>398で「数学史をちゃんと勉強してないよね」と書いたのは誰でしたか？
あいかわらずみっともないですね ひろゆきIIさん
437:１３２人目の素数さん
23/12/12 21:46:56.14 Hh8yiJws.net
>>407
>後者は全然見当違い 門外漢のユーチューバーが知ったかでトンチンカンなこといってるのを素人が真に受けてるだけ
私は、あなたの妄言より、下記の謎の数学者のいうことを信じるｗ
彼は基礎論素人かもしれないが、あなたは”ド素人”ですｗｗ
「数学基礎論が衰退したのは何故か？理由を考察 謎の数学者 2021/05/13」 URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
>>圏論を"数学基礎論”に入れれば、圏論はピンピン元気だと思うけど
> 数学の基礎付けとして圏論を語る人なんているのかい？
グロタンディーク関連で、”「圏論」をベースに数学原論を書き直すべき”だって
あと、圏論と構造主義 深山洋平 北大 2012-12-26など（下記）
URLﾘﾝｸ(books.rakuten.co.jp)
ブルバキとグロタンディーク[アミーア・D．アクゼル]
評価5.00投稿日：2012年07月29日
ブルバキの結成から衰退までを丁寧に記述した数学史の本。ブルバキの功罪について、著者の考えが明確に示されており興味深い。ブルバキの功績は、言うまでもなく、数学を「公理」と「構造」に基づいた厳密な言語体系として再構成し、それらを「数学原論」として著したことである。
著者は、ブルバキの最盛期にメンバーであった、アレクサンドル・グロタンディークの「圏論」をベースに数学原論を書き直すべきだったと主張している。
グロタンディークはブルバキの第３期メンバーであり、数学原論を圏論ベースで書き直すのは時期的に無理があるし、圏論みたいな過度に抽象的な道具を使って当初の目的（学生や一般人への数学の啓蒙）を達成できたかどうかは甚だ疑問である。グロタンディーク自身、ブルバキの活動を「巨大な百科事典を作る試みであり、新たな数学理論を切り開くのには役立たない」と批判し、ブルバキを抜けてしまうので、結局、ブルバキとグロタンディークは互いの価値観を受け入れられなかったのだと思う。
URLﾘﾝｸ(eprints.lib.hokudai.ac.jp)
圏論と構造主義 深山洋平 北大 2012-12-26
２マックレーンによる数学の基礎付け：トポス理論
３アウディの数学的構造主義
彼は，哲学的構造主義の研究が進められる一方で，彼が考える意味での数学的構造主義の実際の方法，すなわち圏論を用いる方法が無視されていると指摘する。
438:１３２人目の素数さん
23/12/12 21:53:12.74 Hh8yiJws.net
>>408
>そもそも「数理論理学」を「数学基礎論」って言っちゃう時点で
>２０世紀（というか1960年代のコーエン出現以前）から
>全然アップデートされてない感じ
・ネーミングで、中身がすぐ変わるはずもない
「数理論理学」の定義は？
「数学基礎論」の定義は？
名前付けのゴマカシかい？
・永田の本：可換体、体
雪江の本：体、可除環
どう名前をつけようと
問題は書いている数学の内容のはずだ
439:１３２人目の素数さん
23/12/12 22:22:35.31 wzujSq71.net
書き方の問題
440:１３２人目の素数さん
23/12/12 23:05:24.40 4V2Ga62w.net
>>411
マックレーンの「形式と機能」を圏論による解析力学の入門書として読んでしまった俺はやはりニューマスの申し子ではあったのだろうなとは思うわマジで。
441:１３２人目の素数さん
23/12/12 23:49:57.46 Hh8yiJws.net
>>414
>マックレーンの「形式と機能」を圏論による解析力学の入門書として読んでしまった俺はやはりニューマスの申し子ではあったのだろうなとは思うわマジで。
ありがと
ああ、あの本ね
令名を噂で聞いて、図書館で取り寄せて貰って
読んだけど
といっても、斜め読みだけど
おぼろげに記憶を辿ると
じっくり読めば面白いそうと思った
が、残念ながら、そこまで行かなかった（あまり読めないうちに期限が来た）
なので、あれ読めたら凄いと思うわ
まじで
442:１３２人目の素数さん
23/12/12 23:59:22.24 Hh8yiJws.net
>>413
>書き方の問題
ありがとう
これは、御大か
なるほど、碁は手順が大事という
数学も、どういう順番で書くかで
分かり易くもなり、分かりにくくもなり
手順前後に気をつけましょうってことか
永田先生の本ね。いまなら読めるかも。書店でチラ見しておけば良かったな
443:１３２人目の素数さん
23/12/13 06:50:17.18 s62ezuyd.net
>>411
>私は、・・・より、・・・のいうことを信じる
つまり、中身が理解できないから
言ってる人の肩書を見て全てを賭ける、と
典型的な🐎🦌の態度ですなぁ
詐欺師にカモられまっせ
444:１３２人目の素数さん
23/12/13 06:53:43.77 s62ezuyd.net
>>411
>グロタンディーク関連で、”「圏論」をベースに数学原論を書き直すべき”だって
どうぞ、ご随意に
数学原論は数学の本 数理論理学の本ではないから
ちなみに数理論理学の圏論によるアプローチはすでに行われまくってます
まあ、素人さんは全く知らんでしょうがね
あ、ググらんでいいよ 知ってる人はみな知ってるからコピペされても鬱陶しいだけ
445:１３２人目の素数さん
23/12/13 06:59:30.79 s62ezuyd.net
>>412
>・ネーミングで、中身がすぐ変わるはずもない
> 「数理論理学」の定義は？
> 「数学基礎論」の定義は？
誰に尋ねてんの？
「ゲーデルの不完全性定理で数学基礎論は死んだ」と言ってる人は
数学基礎論を「数学の基礎づけのための行為」といってますよね
日本語読めてない？
で、ゲーデル以後は数学を用いた論理学の研究としての
「数理論理学」だということですよね
で、それを完全に決定づけたのがコーエンのフォーシングによる
一般連続体仮説と選択公理の決定不能姓
要するに集合論のモデルは一つではなく、無数にあるということ
群のモデルが無数にあるのと同じだよね そういう意味で
集合論は群論同様只の数学に成り果てた
エポックになる発見の時期の前後で分野の中身はがらっと変わるんだよ
君は素人のままだから死ぬまで理解できないだろうけど
446:１３２人目の素数さん
23/12/13 07:02:16.96 s62ezuyd.net
447:マックレーンは数学者としては有能だが、集合論（というか無限）には理解がない 圏論がでてこようが、無限基数の研究の意義が失われるわけではない ・・・という意味で、頭の固いジジイ
448:１３２人目の素数さん
23/12/13 07:40:00.38 b464xS7y.net
>>416
>なるほど、碁は手順が大事という
>数学も、どういう順番で書くかで
>分かり易くもなり、分かりにくくもなり
>手順前後に気をつけましょうってことか
数学書の読み方、勉強法にも、手順前後はありそう
早く、全体像を掴むこと
下記を再録しておきます
ある定義、定理が、ストンと腹に落ちるように分かるには
その定義、定理が、どう使われていて、全体の理論の中での位置づけが分からないとそうならない
そうしないと、下記の”わんこら”さんになってしまうのです
全体像を掴むには、部分の理解が進まないとダメなのだが
この矛盾を突破するには、とにかく一度はその本を全部読まないと
途中で止まってしまってはいけないと思う
もちろん、写経や要点をノートに纏めることは、否定するものではありません
(参考)
>>131より再録
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
竹山 美宏
数学書の読み方について
(4) 命題などの証明も、一文一文、ていねいに写し、一文ごとに「なぜそうなのか？」を確認する。
ここで絶対にやってはいけないことは、
自分をごまかして「なんとなく正しそうだし良いか」と納得してしまうことです。
もし議論の展開が理解できないのなら、まず、命題の仮定をもう一度見直してみます。
そして、前の方を読み直したり、ちょっと先の方を読んでみたりして、じっくり考えましょう。
こういう読み方をしてると、本を読むのにとてつもない時間がかかると思うでしょう。
それで良いのです。普通の数学者であれば誰でも、
「何時間も本と格闘して数行しか進まなかった」という経験をしていると思います。
(引用終り)
・この勉強法の危険なところは、下記 わんこらさんのようになってしまうところ
・そもそも、その数学書一冊が それほど時間を掛ける価値があるのかどうか？ その見極めをするのが先決
・次に、自分のレベルに合っているかどうか？ あまりに本のレベルが高いと、この勉強法では届かず泥沼の可能性がある
・下記のわんこらチャンネルにある通りで、先に進まないと分からないところが多々あるはず。その視点も抜けているのが危険
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…わんこら式数学の勉強法はこうやって生まれた
わんこらチャンネル 2020/05/30
留年繰り返して7年で大学卒業した後
ニートになった僕ですが
そんな僕が挫折を繰り返してきた歴史と、たどり着いた数学の勉強の仕方について動画にしました
この勉強法がわんこら式と呼ばれるようになりました
大学の数学の専門書、解析入門1を使って
数学の勉強法について話します
色々な人の参考になれば嬉しいです
@user-up1tm3hq1x
2 年前
自分も元数学科生で同じような経験したのでめっちゃわかります笑！自分は厳密性に拘りすぎて数学基礎論の沼にハマって1回生の単位が壊滅的でした笑！2回生以降はすべての拘りを捨ててひたすら単位のためだけの勉強をし続けた結果なんとか卒業出来ましたがかなり苦労しました！
449:１３２人目の素数さん
23/12/13 07:48:42.71 b464xS7y.net
>>420
>マックレーンは数学者としては有能だが、集合論（というか無限）には理解がない
>圏論がでてこようが
下記の”圏論と集合論 渕野昌 23年1月”のご一読を、きみに勧める
なお、私は”現代思想2020年現代思想7月号「特集＝圏論」
450:”を買って読んだ (参考) https://fuchino.ddo.jp/misc/category-vers-sets-2020-x.pdf 圏論と集合論 渕野昌 23年1月 以下の文章は、現代思想2020年現代思想7月号「特集＝圏論」に寄稿した論説の拡張版である。 雑誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も復活させている。 また、投稿後／校正後の加筆訂正も含まれる。 このテキストの最新版は、https://fuchino.ddo.jp/misc/category-vers-sets-2020-x.pdfとしてdownloadすることができる
451:１３２人目の素数さん
23/12/13 07:52:56.02 KH7+KBnt.net
>>421
全く数学理解出来てない奴のおすすめとかwww
何の理解も出来ない能無しコピペ野郎は自分で専用スレ一つだけ立ててそこから出てくんなよ
452:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:04:24.27 b464xS7y.net
>>419
> 「ゲーデルの不完全性定理で数学基礎論は死んだ」と言ってる人は
> 数学基礎論を「数学の基礎づけのための行為」といってますよね
> で、ゲーデル以後は数学を用いた論理学の研究としての
> 「数理論理学」だということですよね
そんなことは、ないと思うよ
ゲーデルの研究は、当時1階述語論理ベースだった
しかし、人間は1階述語論理ベースでは数学を考えていない
高階述語論理ベースの基礎論は、まだまだ研究余地あるだろう
例えば、下記逆数学（2階述語論理）
あるいは、高階述語論理の一つの候補が、圏論です
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析学の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
圏論による論理学―高階論理とトポス 単行本 – 2007/12/18
清水 義夫 (著)
453:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:13:58.57 b464xS7y.net
>>423
>全く数学理解出来てない奴のおすすめとかwww
>何の理解も出来ない能無しコピペ野郎は自分で専用スレ一つだけ立ててそこから出てくんなよ
出ましたね、得意の論点ずらし、ストローマン
ロジックで不利になると、すぐ個人攻撃に走る
それやっていると、ロジックの貫徹の耐力が落ちて、数学の能力落ちるよ
454:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:17:56.55 lJrt93oO.net
>>421
>早く、全体像を掴むこと
>ストンと腹に落ちるように分かるには
>どう使われていて、全体の中での位置づけが分からないとそうならない
>そうしないと、”わんこら”さんになってしまうのです
使い方だけ分かればいい
位置づけだけ分かればいい
早く分かればいい
そういう人は数学科じゃなく工学部にいったらいい、ってことか
”わんこら”は入る学科を間違った さっさと気づいて転科しろってことね
>時間を掛ける価値があるのかどうか？
>その見極めをするのが先決
>自分のレベルに合っているかどうか？
>あまりに本のレベルが高いと、泥沼の可能性がある
要するに自分のレベルを心得て
「マセマ」レベルの本を探して読め
ってことですな
ガロア理論でいうと矢ヶ部か石井俊全か
うん、枯れた理論ならそういう本が出る筈だからね
「わかるガロア理論」みたいな
そのうち「わかるコホモロジー」も出るかもね
期は熟している
455:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:24:16.75 idXlNJQT.net
>>422
>”圏論と集合論 渕野昌 23年1月”のご一読を、きみに勧める
その文章では
「数学の基礎は集合論でなく、カテゴリー論である」
という発言が「痛い」と書いてあるが、君、意味わかってるか？
456:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:37:35.51 lJrt93oO.net
>>424
>そんなことは、ないと思うよ
の「そんなこと」はどんなこと？まさか
「ゲーデルの不完全性定理で数学基礎論は死んだ」
のこと？
つまり「数学の基礎付け問題はまだ生きている！」と？
おやおや、Before Cohenどころか、Before Goedelな人ですか？
>ゲーデルの研究は、当時1階述語論理ベースだった
>しかし、人間は1階述語論理ベースでは数学を考えていない
どこから一階論理が出てきた？
ゲーデルの不完全性定理は自然数論の定理だよ 分かってる？
>高階述語論理ベースの基礎論は、まだまだ研究余地あるだろう
>例えば、下記逆数学（2階述語論理）
>あるいは、高階述語論理の一つの候補が、圏論です
高階論理に何を期待している？
もしかして「唯一無二のモデルを持つ完全な理論」かい？
まいったな、defeat Skolemな人ですか？
レーヴェンハイム–スコーレムの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、
可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、
全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、
という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、
そして無限モデルを持つ一階の理論は
”同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つ”
ようなことはない、という結論が得られる。」
457:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:45:38.77 hjPsllD5.net
世の中には
「相対論は間違ってる」（相ま）
「非ユークリッド幾何は間違ってる」（非ユま）
な人がいるのは知ってたが、今度は
「ゲーデルの不完全性定理は間違ってる」（ゲーま）
ですか
「不完全性定理は一階論理上の体系だから成立するのであって高階論理上では成立しない」（ドヤぁ）
いやあのね一階とか高階とかじゃなく、一階論理上の自然数論を含む公理系でも完全にはできますよ
ただそのような公理系では、何が公理であるかを人が分かるように明確に定義することは不可能ですけどね
（つまり「帰納的公理化可能」ではない）
やっぱり前提をうっかり読み落とす粗雑な人に数学は無理ですね
458:１３２人目の素数さん
23/12/13 08:52:48.65 Wk0uTNeF.net
もしかしてガロア理論に食いついた理由と高階論理に食いついた理由は同じ？
「ぐぬぬ、たしかに任意の代数方程式はべき根だけでは解けぬ・・・
しかし、今やガロア理論がある！（ガロア群を使えば解けるかもしれない）」
「ぐぬぬ、確かに一階論理上の自然数論では証明も反証もできない命題がある 特に自身の無矛盾性はそうだ
しかし、今や高階論理がある！（高階論理を使えばどんな命題も決定可能で、当然自身の無矛盾性も証明できるかもしれない）」
「角の三等分屋」「円積屋」「現代のトマス・ホッブス」でしたか
ジョン・ウォリス役を買って出る人がわらわら出てきそうな悪寒
459:１３２人目の素数さん
23/12/13 10:59:24.23 BJtZkva3.net
>>428-430
> どこから一階論理が出てきた？
> ゲーデルの不完全性定理は自然数論の定理だよ 分かってる？
いい質問ですね
その答えは下記です
１）一階述語論理は、単純で扱いやすい。基礎論向きだが、表現力に問題あり
２）「近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある」下記
（二階述語論理の問題点をおさえて、使える論理を作ろうと。「計算複雑性理論への応用」があるらしい）
なお、私見だが普通人は数学を、一階述語論理そのものでは考えていないと思う
ただ、論文を書くときは、一階述語論理を主に使うのだが、しかし厳密な一階述語論理に縛られない
グロタンディークは、それじゃない？ 「おれ、一階述語論理には縛られないぞ」じゃないかな？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理（英: first-order predicate logic）
本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細はそれぞれの記事を参照。
一階述語論理の表現力
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大
460:部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある。 形式的証明 命題論理においては、論理公理 (logical axiom) と呼ぶ論理式の集合と、ある論理式たちから新たな論理式を導出する規則（推論規則）を導入し、論理公理から推論規則の有限回の適用によって得られる論理式全体とトートロジー全体が一致するようにすることができる（命題論理の健全性と完全性）。一階述語論理においても、適切に論理公理と推論規則を導入することで、論理公理から推論規則を使って導出される論理式全体と恒真論理式全体が一致するようにできる。 健全性と完全性 古典一階述語論理は健全かつ完全である つづく
461:１３２人目の素数さん
23/12/13 11:00:46.58 BJtZkva3.net
つづき
他の論理との比較
・型つき一階述語論理は変項や項に型または種を導入したものである。型の個数が有限個であれば普通の一階述語論理と大きな違いはなく、有限個の単項述語で型を記述し、いくつかの公理を追加すればよい。真理値として Ω という特殊な型を持つ場合があるが、その場合の論理式は Ω 型の項となる。
・二階述語論理は部分集合および関係、すなわち全ての述語の量化を許すものである。
・高階述語論理は述語を引数とする述語など、さらに一般化したものの量化を許す。
こうした論理の多くは、一階述語論理の何らかの拡張と言える。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階述語論理（英: second-order predicate logic）
二階論理の表現能力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。
歴史と論争
フレーゲは量化の種によって異なる変項を使っていたが、彼には2種類の異なる論理を扱っているという認識はなかった。ラッセルのパラドックスによって、その体系に問題があることが明らかとなった。論理学者らは問題を解決すべく、フレーゲの論理に制限を加える各種方法を検討し、それが一階述語論理となった。一階述語論理では、集合や属性は量化できないことになった。このような論理の階層化がこのころ初めてなされるようになった。
一階述語論理を使うと、集合論を公理的体系として形式化できることがわかり（完全性の問題はあるが、ラッセルのパラドックスほど悪いことではない）、公理的集合論が生まれ、集合は数学の基盤となった。算術、メレオロジー、その他の様々な論理的理論が一階述語論理の範囲内で公理的に定式化でき、ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった。
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。しかし、その一部は二階述語論理を持ち出すまでもなく、一階述語論理に若干の拡張を加えるだけで表現可能である。
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。記述計算量の研究では、複雑性クラスを説明するのにそれに属する言語を表現できる論理体系の能力で表す。そのため、二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる
(引用終り)
以上
462:１３２人目の素数さん
23/12/13 11:22:07.20 BJtZkva3.net
>>427
>>”圏論と集合論 渕野昌 23年1月”のご一読を、きみに勧める
>その文章では
>「数学の基礎は集合論でなく、カテゴリー論である」
>という発言が「痛い」と書いてあるが、君、意味わかってるか？
良いところに気づいたね（そうなのです、渕野先生は集合論養護派です）
それに対する答えは、下記がよく纏まっていると思う
(参考)
URLﾘﾝｸ(martbm.)はてなブログ.com/entry/20170723/1500777080
martingale & Brownian
463:motion 2017-07-23 ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？ ご存知のように、数学の「基礎」はカントールによって危機に陥れられた。つまり、（素朴）集合論によって。あらゆる集合を含む集合は、自分自身を含むだろうか？ この答えは含むと言っても矛盾だし、含まないと言っても矛盾。正解は「それ」は「集合ではない」というものであった。では、なにが集合なのだろう？ そこから、公理的集合論は始まる。 バートランドラッセルが提案した「プリンキピア・マセマティカ」は、上記のパラドックスに「直接」、パッチを当てる、という意味では、素直な発想だったと言えるであろう。コンピュータの世界では今では一般的になった「型」という考えを使ってこの問題にアプローチする方法であったわけだが、興味深いのは、この頃の「哲学者」はまだ、真面目に「数学」をやっていた、ということであろう。 しかし、この問題はそれ以降はより、エレガントに議論されるようになる。つまり、数学基礎論（＝論理学）と、公理的集合論として。しかし、そこで問題となったのは「後者」であった。なぜ、公理的集合論が問題なのか？ それは、一言で言えば、この「公理系」が「直感的」ではないことなのだ。 昔から知られている結果ではあるが、おもしろいアプローチが知られている。それが、 カテゴリー（圏論） である。つい最近、以下の本を読んでいたら、第３章が「集合論について」となっている。 ベーシック圏論 普遍性からの速習コース 作者: Tom Leinster,斎藤恭司,土岡俊介 出版社/メーカー: 丸善出版 発売日: 2017/01/29 ちなみに、最後のＺＦＣとの相等性については、以下の論文で議論されていて、 Gerhard Osius. Categorical set theory: A characterization of the category of sets. (1974) Categorical set theory: A characterization of the category of sets - ScienceDirect http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404974900322 また、以下の教科書では、上記の圏論的な枠組みの中で、実数の構成まで記述されている。 S. Mac Lane and I. Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic. (1994) Sheaves in Geometry and Logic http://atondwal.org/Sheaves_in_Geometry_and_Logic__MacLane_Moerdijk.pdf つまり、この公理系が魅力的なのは実際にその主張内容が、「私たちに直感的に理解可能なもの」しかないが、他方において、ＺＦＣの弱い主張と解釈できるとするなら、これを 数学の「基礎」 とすることは、どこまで可能なのか、ということになる
464:１３２人目の素数さん
23/12/13 12:00:22.65 Wk0uTNeF.net
>>431
>>どこから一階論理が出てきた？
>>ゲーデルの不完全性定理は自然数論の定理だよ 分かってる？
>その答えは下記です
>一階述語論理は、単純で扱いやすい。基礎論向きだが、表現力に問題あり
>「近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある」
>（二階述語論理の問題点をおさえて、使える論理を作ろうと。「計算複雑性理論への応用」があるらしい）
上記の答えは
「どこから一階論理が出てきた？」に対するもので、
「ゲーデルの不完全性定理は自然数論の定理だよ 分かってる？」に対しては沈黙してるので
「全く分かってませんでしたが、悔しいので認めたくありません！」ということでいいかい？
いい加減、口を慎むことを覚えたほうがいいんじゃない？
なんでもかんでも知ったかぶってしゃべれば他人にマウントできるなんて
ひろゆきみたいな甘っちょろい精神は通用しないって気づいたほうがいいよ
465:１３２人目の素数さん
23/12/13 12:07:18.50 FhmmBUk/.net
>>433
なんか全然答えになってないものを「纏まってる」といってる時点で
君、なんもわかってないよね？
たとえばラッセルのパラドックスを圏論でどう解決するの？
少なくともその質問の答えがここにない時点で、
君がそのHPをコピペしたというチョイスは大失敗だね
466:１３２人目の素数さん
23/12/13 12:17:33.21 BJtZkva3.net
>>420
>マックレーンは数学者としては有能だが、集合論（というか無限）には理解がない
>圏論がでてこようが、無限基数の研究の意義が失われるわけではない
・集合論が必要とされた背景に、カントールの無限集合論があるのは事実だが
・一方で、デデキントに代表される 抽象代数学の集合論がある
（例 理想数をイデアルと考える（環の部分集合）。他にも、ガロア理論を拡大体とガロア群との対応と解するなど）
ちなみに、デデキントの切断も、実数を有理数の集合を使って定義する思想
（それはコーシー列によるのと同値）
が、先進的だと足立先生は、どこかで書いていた
要するに、抽象代数学からの要請としても
集合論は簡単に捨てられないのです
(参考)
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
デデキントの算術と再帰性定理 足立恒雄 第22回数学史シンポジウム(2011.10.29〜30) 所報 33
デデキントは算術を厳密に構成するために集合論を創始した.本稿では名著『数とは何
か,そしてまた何であるべきか』 (1887) における算術の基礎付けを現代的な見地から整
理して紹介する
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
デデキントの数学思想 (数学史の研究)
足立, 恒雄 2014 数理解析研究所 講究録
467:１３２人目の素数さん
23/12/13 13:16:25.77 Oe8E14n4.net
>>436
なんか意味ありげなこといおうとしたが
結局意味不明な戯言しかいえなかった
って感じだな
468:１３２人目の素数さん
23/12/13 13:49:48.68 BJtZkva3.net
>>435
>たとえばラッセルのパラドックスを圏論でどう解決するの？
それは、下記ですね
１）パラドックスをめぐる立場は、大きく論理主義、直観主義、形式主義の３つに分けられる
２）ブラウワー 直観主義 排中律や二重否定除去、数学的構成主義
３）圏論「圏論的論理学は、直観主義的論理のために型理論に基づいて定義された」
です
圏論 Steve Awodeyにも、ちょっと書いてあったよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学基礎論
歴史
19世紀末に、ゲオルク・カントルにより、集合が考えられた。集合にもとづいた数学の再整理は大きな成果を生み、数学において欠くべからざる道具となってきた。一方、バートランド・ラッセルは、素朴な集合の取り扱い（内包公理）により「自分自身を要素としない集合全体の”集まり”」も集合とされるが、左記の集合は、それ自身を要素としない時、その時に限り自身を要素とするという矛盾を引き起こすことをラッセルのパラドックスとして指摘した。ここに、数学の基礎付けの問題が発生した。
パラドックスをめぐる立場は、大きく論理主義、直観主義、形式主義の３つに分けられる。
直観主義は、数学的な対象や真理が、精神活動によって直接とらえられるものとする立場で、ブラウワーが提唱した。彼は数学における構成的方法を重視したが、そのため排中律の無制限な使用が不当であると非難した。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
直観主義 (数学の哲学)
来歴と評価
これに類する主張は、カントールの集合論に対抗する形でクロネッカーやポアンカレによってもなされていたが、最も明確に表明したのはオランダの位相幾何学者ブラウワーである。ブラウワーの立場に対してポアンカレらの立場は前直観主義と言われることがある。
ブラウワーの主張は感覚的で分かりにくかったが、その後ハイティング等によって整備され、結果的には古典論理から排中律を除いた形で形式化されたものが今日、直観主義論理として受け入れられている。 現代では直観主義論理は、数学の証明は全�
469:ﾄ構成的に為されなければならないという主張（数学的構成主義）と関連が深いと考えられている つづく
470:１３２人目の素数さん
23/12/13 13:50:21.06 BJtZkva3.net
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直観主義論理
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。
ラムダ計算
カリー＝ハワード対応はIPCと直和と直積を持つ単純型付きラムダ計算との間に拡張できる。[6]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論
歴史
集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
トポスと呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての公理的集合論に取って代わることすら可能である。圏論をこのように数学の全体的な基礎付けとして用いる考え方には疑義も呈されているが、実際構成的数学を記述する手段としても、トポスは非常に精緻に機能することが示されている。
他の分野への影響
圏論的論理学は、直観主義的論理のために型理論に基づいて定義された。この分野はさらに関数型プログラミングの理論および領域理論に応用されている。これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
つづく
471:１３２人目の素数さん
23/12/13 13:50:50.17 BJtZkva3.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.)<)
自己言及のパラドックス
自己言及のパラドックス
自己言及のパラドックスまたは嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
集合論におけるパラドックス (ラッセルのパラドックス)
詳細は「ラッセルのパラドックス」を参照
集合論における典型的なパラドックスは次のようなものである。これは特に、バートランド・ラッセルが議論の対象としたことで知られる（ラッセルは述語論理における同様のパラドックスについても議論している）。
(引用終り)
以上
472:１３２人目の素数さん
23/12/13 14:49:15.13 lJrt93oO.net
>>438-440
>>たとえばラッセルのパラドックスを圏論でどう解決するの？
>それは、下記ですね
>パラドックスをめぐる立場は、大きく論理主義、直観主義、形式主義の３つに分けられる
ワンストライク
>ブラウワー 直観主義 排中律や二重否定除去、数学的構成主義
ツーストライク
>圏論「圏論的論理学は、直観主義的論理のために型理論に基づいて定義された」
スリーストライク
バッターアウト
いやぁ、かすりもしませんでしたね
デイナ・スコットって人、知ってますか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
まあ、どうせ全然知らないでしょう
そのスコットさんが領域理論ってのを考えたんですがね
領域理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
要するにラッセルパラドックスっていうのは、例えば集合{0,1}からそれ自身への写像で
不動点を持たないものが存在する（例えば０→１、１→０という写像）ので、起きるわけですが
これを、写像が必ず不動点をもつような領域を考えることによって解決するというものです
もちろん、圏論における解釈も可能です その筋の人ならみんな知ってる有名なことですがね
カタギの一般人はまったくといっていいほど知らないですね ああ残念
カタギの一般人はスコットも知らないし、P/NP問題のクックも知らないし、ホーア論理のホーアも知らないんですよね
もしかしてチューリング賞
473:とかいうACMの賞があるのも知らないんじゃないかな 日本人は誰も取ってないし ノーベル賞がーとかフィールズ賞がーとか騒ぐけどチューリング賞がーとはいわないですもんね まあ、別に賞とったから偉いとか賞とれないからだめとか🐎🦌なこというつもりはまったくないですけどね
474:１３２人目の素数さん
23/12/13 16:08:19.81 BJtZkva3.net
>>441
> デイナ・スコットって人、知ってますか？
圏論 Steve Awodeyに、書いてあったと思う>>438
というか、それでデイナ・スコットを知った
> 領域理論
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
いつも指摘しているが、英語版を併読するのが正解ですよ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ね
すると、”See also Category theory”とある
Category theory には、下記引用の通りで
”数学の基礎として公理的な集合論の代替として機能する”
”カテゴリ論理は現在、直観主義論理の型理論に基づいて明確に定義された分野”です
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Category theory （google訳添付）
Certain categories called topoi (singular topos) can even serve as an alternative to axiomatic set theory as a foundation of mathematics. A topos can also be considered as a specific type of category with two additional topos axioms. These foundational applications of category theory have been worked out in fair detail as a basis for, and justification of, constructive mathematics. Topos theory is a form of abstract sheaf theory, with geometric origins, and leads to ideas such as pointless topology.
トポイ(単数形トポス)と呼ばれる特定のカテゴリーは、数学の基礎として公理的な集合論の代替として機能することもあります。トポスは、2 つの追加のトポス公理を備えた特定のタイプのカテゴリーと考えることもできます。圏論のこれらの基礎的な応用は、構成的数学の基礎および正当化として、かなり詳細に研究されてきました。トポス理論は抽象層理論の一形態であり、幾何学的な起源を持ち、pointlessトポロジーなどのアイデアにつながります。
Categorical logic is now a well-defined field based on type theory for intuitionistic logics, with applications in functional programming and domain theory, where a cartesian closed category is taken as a non-syntactic description of a lambda calculus. At the very least, category theoretic language clarifies what exactly these related areas have in common (in some abstract sense).
カテゴリ論理は現在、直観主義論理の型理論に基づいて明確に定義された分野であり、関数プログラミングやドメイン理論に応用されており、デカルト閉カテゴリがラムダ計算の非構文記述として扱われます。少なくとも、圏論言語は、これらの関連領域に（抽象的な意味で）正確に何が共通しているのかを明らかにします。
475:１３２人目の素数さん
23/12/13 17:04:20.06 BJtZkva3.net
>>378
>〈アタマ切れすぎ??橋洋一さん〉
>植田氏と同じ「東京大学理学部数学科卒業、東京大学経済学部学士入学」といえば、同氏より４年ほど後輩に当たる??橋洋一氏がいる。
>１０年以上も前の話だが、警察のミステイクで「ドロボー扱い」され、（元政府要人だけに）大きく報道された。ちょうどまだそのほとぼりが冷めない頃、蟄居中の??橋さんに、（「今だったらヒマで答えてくれるかもしれない」と思い）当時数検１級の壁に苦しんで何時間考えてもわからない数学の問題をメールで教えを請うたことがある。驚いたことに、あっという間にその解答をメールで返答してくれたのだ。まさに脱帽。彼の異次元のアタマのよさに感服した次第
戻る
・これ、>>312の「２）勉強のコツは、１ランク上の勉強をしておくことだ
つまり、高校までの数学を使うなら、その上の大学数学を
大学数学を使うならば、その上の院レベルの勉強を。そうすれば楽だ」
の事例に当てはまる気がする
・要するに、??橋洋一氏は「幼少期から数学者となることを志し[10]、東大数学科を卒業」なので
プロ数学者の修行はしたわけで
将棋では元奨励会、囲碁では元院生クラスで
「数検１級」問題は、囲碁雑誌の誌上段位認定問題みたいなものでしょうか？（１級の人にはとけるはず？）
・なので、プロあるいはプロの修行した人には
「数検１級」は”一目”で解けてもおかしくないかも
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%B5%8C%E6%B8%88%E5%AD%A6%E8%80%85)
??橋洋一（たかはし よういち、1955年〈昭和30年〉9月12日 - ）
経歴
1978年（昭和53年）、東京大学理学部数学科卒業。幼少期から数学者となることを志し[10]、東大数学科を卒業後、同大学経済学部経済学科に学士編入学して籍を置きつつ、文部省統計数理研究所に非常勤研究員として勤めるが、諸事情により退職[11]。
476:１３２人目の素数さん
23/12/13 17:08:07.56 uQAlB2iJ.net
めちゃくちゃwwwww
477:１３２人目の素数さん
23/12/13 17:14:25.79 RiabRY1l.net
>>442
>いつも指摘しているが、英語版を併読するのが正解ですよ
・・・とイキってみても日本語も読めないのに英語が読めるわけもなく
やっぱり圏論のページに逃げてトンチンカンな引用でごまかす
>”数学の基礎として公理的な集合論の代替として機能する”
>”カテゴリ論理は現在、直観主義論理の型理論に基づいて明確に定義された分野”
上の二行には、ラッセルパラドックスを解決するって書いてないですよね 幻視？
478:１３２人目の素数さん
23/12/13 17:53:19.40 vYS4S2SE.net
なんか数学スレにしてはえらく伸びてると思ったら基礎論連中が乱入してきたのか
河東セミナー理論はどうなった
479:１３２人目の素数さん
23/12/13 18:26:12.65 iB9NEBuP.net
>>446
わいが横から基礎論スレでも歴史から入るやつはろくでもないって書いたせいで、基礎論の話になっちまったけど、元々ガロアでスレ伸ばしてた人たちが話題を基礎論に変えて言い争ってるだけやで
480:１３２人目の素数さん
23/12/13 18:35:51.00 s62ezuyd.net
>>443
>勉強のコツは、１ランク上の勉強をしておくことだ つまり
>高校迄の数学を使うなら、その上の大学数学を
>大学数学を使うなら、その上の院レベルの勉強を
>そうすれば楽だ
さて、ここで
大学数学＝大学理系の数学（一般教養）
院レベル＝大学数学科の数学（専門科目）
としておきましょう
確かに大学一般教養の微分積分学・線形代数がわかっていれば
高校の数学はハナクソレベルでしょう
し・か・し、高校の数学も分からん人に
大学一般教養の微分積分学・線形代数がわかるでしょうか？
まあ、無理でしょう
また、大学数学科の数学では、
大学一般教養の数学はわかっているもの
として話を進めます
したがって、微分積分学も線形代数もわかってないなら
はっきりいってチンプンカンプンでしょう
したがって
「一般教養の数学を使うなら、その上の数学科の勉強を」
は完全に無理です
つまり上記の「勉強のコツ」は完全に不可能といってよく
実際、そのようなことをやろうとして失敗したのが
ID:BJtZkva3 といっていい
ちなみに数検１級は、せいぜい大学一般教養レベル
出題範囲を見れば明らか
群論・環論・体論・多様体論・ルベーグ積分・関数解析etc
なんてものは一切必要ない
【解析】 微分�
481:@、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析 【線形代数】 線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論 【確率統計】 確率、確率分布、回帰分析、相関係数 【コンピュータ】 数値解析、アルゴリズムの基礎 【その他】 自然科学への数学の応用 など
482:１３２人目の素数さん
23/12/13 19:19:51.18 s62ezuyd.net
まあ、連続体力学が数学最高峰の人なら
ベクトル解析使うところを微分形式で置き換えて
「数学者」気分味わっとけばいいでしょ
483:１３２人目の素数さん
23/12/13 20:59:29.64 b464xS7y.net
>>446
>ベクトル解析使うところを微分形式で置き換えて
>「数学者」気分味わっとけばいいでしょ
・ベクトル解析は、例えは下記だね
・微分形式も勉強しましたよ
・いま思うに、ベクトル解析と微分形式とそれぞれ良いところがあるよ
・適材適所かな
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ims.tsukuba.ac.jp)
筑波大学数理物質系物質工学域 鈴木修吾
授業資料
線形代数のポイント
線形代数入門
ディラック記法による線形代数
ベクトル解析入門
ベクトル解析
URLﾘﾝｸ(www.ims.tsukuba.ac.jp)
ベクトル解析入門 平成21年2月26日
URLﾘﾝｸ(www.ims.tsukuba.ac.jp)
ベクトル解析 平成20年4月20日
484:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:09:55.60 b464xS7y.net
>>448
・時代が変われば、使う数学も変わる
・個人でFEM(有限要素法)や、数式処理Mathematica、Pythonが使える時代
・時代時代で勉強法は変えていくべきと思う
（昔、シャンクスが、πを707桁まで計算しますが、528桁目に間違いがありました）
(参考)
URLﾘﾝｸ(dic.pixiv.net)
ピクシブ百科事典
シャンクス（SHANKS）
URLﾘﾝｸ(gendai.media)
2021.07.15
どこまでも終わらない挑戦…コンピュータによる円周率計算の歴史
『円周率πの世界』4
柳谷 晃
円周率を手計算した人物としては、イギリスの在野の数学者、ウィリアム・シャンクス（1812～1882）が有名ですが、彼もまたマチンの公式を使っていました。シャンクスは1873年、πを707桁まで計算しますが、528桁目に間違いがありました。この誤りは1944年、D・F・ファーガソンという人物が卓上計算機を使って計算し、間違いを見つけています。
ENIACは、シャンクスが生涯をかけた計算の約4倍もの桁数を、わずか70時間で達成したことになります。
ちなみに、シャンクスの計算の間違いを指摘したファーガソンは、手動の計算機で540桁まで計算をしていました。ファーガソンが達成したこの桁数までが、手計算による円周率の近似値の到達点といっていいと思います。
485:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:14:41.45 74yiDkAc.net
>>449
「わかるBRS(T)コホモロジー」ぐらいな水準だよもん俺
486:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:16:41.43 b464xS7y.net
>>446
>なんか数学スレにしてはえらく伸びてると思ったら基礎論連中が乱入してきたのか
>河東セミナー理論はどうなった
ありがと
・私も、河東先生のゼミの方針はありと思うが
・それを数学全般に広げて、とにかく全部一歩一歩完璧にというから、なんだかねと言った
487: ・そもそも、それを主張する人は、数学勉強法で失敗しているだろう？と言ったんだｗ ・そしたら、攻撃してくるんだよねｗｗ そこから、バトルに発展しましたｗｗｗ ；ｐ）
488:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:31:28.08 b464xS7y.net
>>442
>>”数学の基礎として公理的な集合論の代替として機能する”
>>”カテゴリ論理は現在、直観主義論理の型理論に基づいて明確に定義された分野”
> 上の二行には、ラッセルパラドックスを解決するって書いてないですよね 幻視？
"ラッセルのパラドックス"は、下記いわゆる
”自己言及のパラドックスまたは嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである”で
これは、直観主義論理の二重否定の法則を認めないことで
"ラッセルのパラドックス"は回避できるのです（常識ですよ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ne.jp)
直観主義論理 (intuitionistic logic )
直観主義においては、「ある命題かその命題の否定かのどちらかが必ず真である」という排中律（A∨￢A）は認められない。
また、Aではないことが真ではないからといって、Aが真であるとは言えないから、二重否定の法則（￢￢A⊃A）も認められない。
（したがって背理法の使用も制限される。）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二重否定の除去
二重否定の除去は古典論理では定理だが、直観主義論理ではそうではない。
URLﾘﾝｸ(math.artet.net)
直観主義論理の公理系
(参考)再録>>404
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自己言及のパラドックス
自己言及のパラドックスまたは嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。
集合論におけるパラドックス (ラッセルのパラドックス)
詳細は「ラッセルのパラドックス」を参照
489:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:36:09.49 b464xS7y.net
>>442
>圏論 Steve Awodeyに、書いてあったと思う>>438
>というか、それでデイナ・スコットを知った
いま手元の圏論 Steve Awodeyを見ているが
序（まえがき）に
「Dana Scottには有益な指摘と支援に対して感謝する」とあるけど
本文中での記述は、見つけられなかった
ひょっとして、別の本だったかもね
490:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:45:33.59 iB9NEBuP.net
直観主義でラッセルのパラドックスが回避できるってなんだよ
a = { x | x ∉ x }という集合の存在から矛盾が証明できないってこと？わいはできるぞ
491:１３２人目の素数さん
23/12/13 21:51:22.03 b464xS7y.net
>>311
>URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
>ガロア理論講義 1996.12
このp163～170 "6.5 歴史覚書"がいい
矢ヶ部、倉田、彌永のガロア本が挙げられている
また、ガロア理論が簡潔に纏められている
（ラグランジュ分解式は、ここには出てこないｗ）
ガロア理論講義ではP128 円分体で
円の17等分 1の17乗根を具体的に導いている
しかし、ラグランジュの分解式は明示的には使っていない
あくまで、ガロア群と中間体の対応を使って
冪根（いまの場合平方根）表示を導いているのですｗｗ
492:１３２人目の素数さん
23/12/13 22:04:43.97 b464xS7y.net
>>456
>a = { x | x ∉ x }という集合の存在から矛盾が
下記、渕野先生「基礎の公理」より
”この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）”が存在しないことなどが帰結されます
”x ∉ x”は、「基礎の公理」の通りでは？
(参考)
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について
渕野 昌(Sakaé Fuchino)
Last modified: Sat Aug 13 14:44:46 +0900 2016
（この文章はまだ書きかけです）
基礎の公理 (Axiom of Foundation) は，
(1)
すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する
ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2
493: ∋ x3 ∋ ・・・ が存在しないことなどが帰結されます．
494:１３２人目の素数さん
23/12/13 22:16:06.46 iB9NEBuP.net
>>458
頭おかしいんじゃないか？病院行ったほうがいいぞ
495:１３２人目の素数さん
23/12/13 23:02:46.21 b464xS7y.net
>>458 追加
(参考)
URLﾘﾝｸ(masou.blogspot.com)
Masou
2008-04-06
正則性公理- x∈x の排除
基礎の公理とは，
2. x∈x を排除できる。
(もし、x∈x とすると、x∈x∈x∈x.. 無限降下列ができてしまう)
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
集合論の覚書
松尾信一郎の雑記帳 2023年07月31日 #数学基礎論
正則性公理や正礎性公理とも呼ばれる． さて，基礎の公理から，∀x[x∉x] である．
496:１３２人目の素数さん
23/12/13 23:10:07.13 iB9NEBuP.net
どうやったらこんなキチガイが生まれるんだよ…
497:１３２人目の素数さん
23/12/13 23:10:42.88 b464xS7y.net
>>458 追加
>下記、渕野先生「基礎の公理」より
>”この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）”が存在しないことなどが帰結されます
１）”x ∉ x”が、「基礎の公理」（正則性公理）での標準です（”x ∈ x”はダメ）
２）しかし、わざわざ「基礎の公理」（正則性公理）を定めないならば、”x ∈ x”は矛盾でもなんでもない
（もし、”x ∈ x”が矛盾ならば、正則性公理の必要なし！）
３）だから、”x ∉ x”も、”x ∈ x”も、ZFCの正則性公理以外とは、なんら矛盾せず存在しうるのです
しかし、”x ∈ x”は公理を設けてでも、排除した方がすっきりするのです（真の無限降下列の排除につながる）
498:１３２人目の素数さん
23/12/13 23:17:41.69 iB9NEBuP.net
むっちゃ早口で言ってそう
499:１３２人目の素数さん
23/12/13 23:34:46.88 b464xS7y.net
追加
URLﾘﾝｸ(jp.quora.com)
Quora
正則性公理は必要ですか？これは何に応用できますか？
回答
Masaki Saito
会社員 (2020–現在)1年前
集合論以外の数学にとって正則性公理は必要ではないので勿論応用もないのですが、集合論にとって正則性公理は技術的にかなり好都合な上に、導入することによる害もないので、今更正則性公理不要論を唱える集合論者はいないと思います。
正則性公理の導入がいかに好都合かというのを実感したければキューネン集合論（主に3章4章）を読んでください、と言いたいところですが端的にいうと、順序数に関するさまざまな述語、関数が推移的モデルに対して絶対的になることや、超限再帰の可用性が広がることがかなり好都合です。
正則性公理はx={x}のような集合の存在を否定するという意味では数学の世界を狭める公理とも考えられますが、集合論以外の数学でx={x}のような集合に遭遇することはなく基礎の公理のもとでも通常の数学を展開できるので、正則性公理の導入は害にはなりません。普通に数学やっててx={x}のような集合に遭遇することがないからこそ、集合論以外の数学にとって正則性公理は必要ではないし応用もありません。
参考までに、正則性公理に関してこんな記事がありました：
基礎の公理の成り立たない集合論について
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
500:１３２人目の素数さん
23/12/14 00:07:39.90 KwBYRePE.net
この人特定のキーワードに反応してランダムに文献を貼り付ける人工無能かなんかなの？
501:East Enders
23/12/14 05:46:40.35 g3rVwl37.net
>>451
>個人でFEM(有限要素法)や、数式処理Mathematica、Pythonが使える時代
でも大阪の同業者には使えなさそう 電卓使える？
502:East Enders
23/12/14 05:54:49.03 g3rVwl37.net
>>453
>全部一歩一歩完璧に
それ幻聴 ストローマン
>それを主張する人は、数学勉強法で失敗しているだろう？
といってる大阪の同業者が、数学の勉強失敗してるという
>そしたら、攻撃してくるんだよね
そもそも論理を理解しようという主旨の発言に
論理が理解できてないと内心思ってる大阪の同業者がカチンときて
「そん
503:なのやったら発狂する」とか言ってイチャモンつけてきた いやいや悪いけど大阪の同業者あんたもう溢れ出る自己愛で●いまくってるって 君の数学は２０歳まで（大学一般教養まで）で終わる数学だから しかも１８歳から２０歳まで（つまり大学一般教養）の分が抜けてるから マセマでもなんでもいいから、本きっちり読んで勉強してな ゼミはしなくていいよ
504:East Enders
23/12/14 06:03:15.43 g3rVwl37.net
>>454
>"ラッセルのパラドックス"
>これは、直観主義論理の二重否定の法則を認めないことで
>"ラッセルのパラドックス"は回避できるのです（常識ですよ）
大阪の同業者君、またトンデモ「常識」語っちゃったか
排中律なくせばラッセルのパラドックス回避、なんて
いつどこでだれがいったの？ブラウワー？そんなの、初耳だよ
別の”規則”をなくせば、パラドックスは回避できるけどね
縮約規則を除いた線形論理とかね
ちなみに線形論理で排中律を残してもパラドックスは起きない
505:East Enders
23/12/14 06:06:25.08 g3rVwl37.net
>>456
大阪の同業者West Wannabe氏は、論理を理解する能力がなくて
それ以外の記述のみから憶測するので、実にしばしば
”トンデモ不規則発言”をしてしまうんですわ
これでもう何度も失敗して恥かいてるはずなんですがねえ
ひろゆき同様、反省能力がないみたいです 困りましたなあ・・・
506:East Enders
23/12/14 06:10:56.08 g3rVwl37.net
>>457
>ガロア理論講義では 円分体で、円の17等分 1の17乗根を具体的に導いている
>しかし、ラグランジュの分解式は明示的には使っていない
>あくまで、ガロア群と中間体の対応を使って
>冪根（いまの場合平方根）表示を導いているのです
”明示的には”ね 明示されてないからわからない、と
でも、それ、やっぱり、大阪の同業者君が
ラグランジュの分解式分かってないってことじゃん
だって分かってたら明示してなくても「ああ、これこれ」って気づくから
ということで、どこでどう使ってるか探してみてね
僕はいちいちつきあってられないから 自分でどうぞ
507:East Enders
23/12/14 06:15:45.37 g3rVwl37.net
>>458
おやおや、大阪の同業者君、
「排中律やめれば、ラッセルのパラドックスは防げる」
の誤りの次は
「正則性公理で、ラッセルのパラドックスは防げる」
かい？
いっとくけど矛盾を導く公理系に新たな公理を追加しても矛盾は防げないよ
公理的集合論の場合は、内包公理を諦めて、分出公理を用いる
これこそ常識な
注）これが唯一無二の解決策ではありません、
解決方法は他にいくらでもあります
ただしその結果もたらされる体系は全然異なりますが
508:East Enders
23/12/14 06:45:06.71 g3rVwl37.net
>>459 >●おかしいんじゃないか？○○行ったほうがいいぞ
>>461 >どうやったらこんな●チガイが生まれるんだよ…
>>463 >むっちゃ早口で言ってそう
ID:b464xS7yことWest Wannabeの同業者です。
このたびは私の仲間が度々トンデモ発言を繰り返して
読者の皆さんに大変な迷惑をかけてしまい申し訳ありませんでした。
同業者として、非常に恥ずかしいとともに、
何故こんな残念なことになってしまったのだろう
という後悔の気持ちで一杯です。
元々根気のない子で、社会ではいつも苛められて、
いつの頃からか精神的にも異変が出てきたので
何とかしなければいけないと心配していたのですが、
まさかこんなことになってしまうとは．．．．．
同業者として何とお詫びすればよろしいのやら．．．
でも、来週から●●工場に勤務することが決まりました。
多分、一生ここに書く暇はないと思います。
トンデモであるWest Wannabeを一生この板に出さないことが、
同業者の私にできる、皆様への精一杯のお詫びだと考えています。
このたびは本当に申し訳ありませんでした。
・・・なんてこと自分にはちょっと言えないわ
West Wannabeは自分でなんとか始末して
509:East Enders
23/12/14 06:53:48.97 g3rVwl37.net
>>465
>この人特定のキーワードに反応してランダムに文献を貼り付ける人工無能かなんかなの？
West Wannabeの「ツボ」はいくつかあるようです
１つは「５次以上の代数方程式の一般的な代数解法は�
510:ｶ在しない」 どうもこれが不満のようです 任意次数の代数方程式の一般的な（代数的でなくてもいいが厳密な）解法 を知りたいようです 幼児的全能感の維持ですかね？ もう一つは「公理系において証明も反証もできない命題が存在する」 どうもこれも不満なようです いかなる命題の真偽も決定可能な究極の公理系 を欲しているようです これまた幼児的全能感の維持ですかね？ ほかに幼児的全能感を達成したがる人を刺激する「数学的事実」ってありますかね？
511:１３２人目の素数さん
23/12/14 06:58:06.29 KwBYRePE.net
ちょっとこれ思い出しちゃった
我々は1が何故このようなスレッドを立てたのかという
疑問を解決するため、1の故郷である群馬県に向かった。
「まだ日本にこんなところがあったのか…」
思わず口に出てしまった言葉を同行した上司に失礼だと咎められた。
512:１３２人目の素数さん
23/12/14 08:31:04.22 PbloHO1D.net
この人が文脈不明のテクストを無意味かつ大量にコピペするのは、
数学の実質がぜんぜん理解できておらず、それが数学について
何か語っているつもりになれる自慰行為だからなのでしょう
513:１３２人目の素数さん
23/12/14 11:35:21.18 E/mU8Dp5.net
フィールズ賞数学者のストローマン
”involve certain radical simplifications”をすると、”Corollary 3.12 is not a proof”だという（下記）
「Corollary 3.12 を、ノックアウトしたのだ」
望月氏「フィールズ賞数学者よ、君がノックアウトしたのは藁人形ですｗ」
知る限り、20世紀以降の数学界で公式の議論でストローマンを使ったのを見るのは初めてだｗ
５ｃｈでは、頻出ですけどね
非公式な議論などで、「あなたの言いたいことは、要するにこうですね」と要約することは必要だよ
議論を進めるためにね
しかし、公式の論文レビューで、ストローマンを使ってダメ出しするとはねｗ
ストローマン論法は、一つ間違うと詭弁に堕するのです
マネするやついるかもねｗ
教育上良くないから、だれか注意してやってほしいですｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.math.uni-bonn.de)
Why abc is still a conjecture
PETER SCHOLZE AND JAKOB STIX Date: July 16, 2018
2.1. Glossary: IUTT-terminology and how we may think of these objects.
To facilitate the discussion, we will describe (only) the notions that are strictly relevant to explain what we regard as the error.
This will involve certain radical simplifications, and it might be argued that such simplifications strip away all the interesting mathematics that forms the core of Mochizuki’s proof.
URLﾘﾝｸ(zbmath.org)
zbMATH Open
Inter-universal Teichmüller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English) Zbl 1465.14002
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021).Reviewer: Peter Scholze (Bonn)
More formally, the central claim in this series of papers is Corollary 3.12 in part III.
In the fourth part, this some
514:what abstract statement is shown to imply the ABC conjecture over general number fields. Unfortunately, the argument given for Corollary 3.12 is not a proof, and the theory built in these papers is clearly insufficient to prove the ABC conjecture. Together with J. Stix, the reviewer has spent a week in Kyoto to discuss these issues with the author, and has detailed the findings in a manuscript entitled “Why ABC is still a conjecture” [https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/WhyABCisStillaConjecture.pdf (opens in new tab)] that discusses the issues in slightly more detail.
515:１３２人目の素数さん
23/12/14 12:11:53.36 E/mU8Dp5.net
>>465
>この人特定のキーワードに反応してランダムに文献を貼り付ける人工無能かなんかなの？
さて、典型的なストローマン
・>>456 「直観主義でラッセルのパラドックスが回避できるってなんだよ
a = { x | x ∉ x }という集合の存在から矛盾が証明できないってこと？わいはできるぞ」
と言ったでしょ？ｗ
・”a = { x | x ∉ x }という集合の存在から矛盾が証明できる”という主張に対して
少なくとも、”x ∉ x”は矛盾でもなんでもないぞ
ということを、典拠とともに示した
・ところが、それにまともに答えず
”特定のキーワードに反応してランダムに文献を貼り付ける人工無能”
とストローマン
やれやれ
フィールズ賞数学者のストローマンの真似かよ
516:１３２人目の素数さん
23/12/14 13:08:55.44 jUgdOWZc.net
>>477
>少なくとも、”x ∉ x”は矛盾でもなんでもないぞ
それ、ストローマン
内包公理、知ってますか？
任意の述語Pについて
P(x) ⇔ x∈{y|P(y)}
これが、内包公理の「スキーム」
Pに具体的な述語を入れれば公理になる
P(y)をy ∉ yとする
そしてxに{z | z ∉ z}を入れる
このとき
P(x) は {z | z ∉ z} ∉ {z | z ∉ z}
であるから
{z | z ∉ z} ∉ {z | z ∉ z} ⇔ {z | z ∉ z} ∈ {z | z ∉ z}
となる
これ矛盾 古典論理を直観主義論理に変えても同じ
>やれやれ フィールズ賞数学者のストローマンの真似かよ
おやおや フィールズ賞数学者のショルツ氏を
RCS（“redundant copies school” 冗長コピー学派）
とかいってストローマン論法でいちゃもんつけた
日本人なら知ってますが
あれは実にみっともなかったですね
ICM2022では黙殺されましたね 当然でしょう
517:１３２人目の素数さん
23/12/14 13:15:35.08 jUgdOWZc.net
ところで、線形論理では Ｘ⇔￢Ｘは矛盾ではない
Ｘ⇔￢Ｘ とは Ｘ⇒￢Ｘ かつ ￢Ｘ⇒Ｘ のこと
ＸとＸ⇒￢Ｘから￢Ｘは導けるが、
線形論理の場合 Ｘは使ってしまうとなくなるので
もはやＸでなくなる したがってＸと￢Ｘは同時に成立しない
同様に
￢Ｘと￢Ｘ⇒ＸからＸが導けるが
これまた￢Ｘは使ってしまうとなくなるので
もはや￢Ｘでなくなり、やはり、Ｘと￢Ｘは同時に成立しない
このような論理で 排中律が成り立ってもとくに上記に変更はない
518:１３２人目の素数さん
23/12/14 13:48:26.72 E/mU8Dp5.net
>>468
>>"ラッセルのパラドックス"
>>これは、直観主義論理の二重否定の法則を認めないことで
>>"ラッセルのパラドックス"は回避できるのです（常識ですよ）
>大阪の同業者君、またトンデモ「常識」語っちゃったか
>排中律なくせばラッセルのパラドックス回避、なんて
>いつどこでだれがいったの？ブラウワー？そんなの、初耳だよ
・必死のストローマン、論点ずらしの詭弁丸出し
・やれやれ、フィールズ賞数学者のストローマンの真似かよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二重否定とは、否定の意を持つ語や、否定作用素を二度使用したりすることである。
・言語学における二重否定については、二重否定 (言語学)を参照。
・論理学における二重否定の除去については、二重否定の除去を参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E8%A8%80%E8%AA%9E%E5%AD%A6)
二重否定とは、否定の意味を持つ語を二度使用する用法である。下述するように正反対の意味を持つ言語現象をあらわすのに用いられる
概要
肯定の意味で二重否定を用いる修辞技法は緩叙法と呼ばれる。本項では主に、単純否定を意味するのに二重否定を用いる用法、すなわち二つの否定語が対応してひとつの否定表現を作る否定呼応を中心に述べる。
緩叙法を用いる言語はひとつの否定表現をひとつの否定語と対応させるため、否定語を重ねることは否定を否定（－×－は＋という論理）して肯定を意味することになるためであり、逆に否定呼応を用いる言語では、否定語を複数用いることは否定の否定（－×－）ではなく、否定の強調または否定の成立条件（－＋－）であるとされるからである。両者をひとつの言語の中で認めると、論理的な混乱を招くことになる。
つづく
519:１３２人目の素数さん
23/12/14 13:48:43.03 E/mU8Dp5.net
つづき
英語
このような用法は、特に英語で問題になる。たとえば、Nobody don't like me. (誰も僕を好いてくれない)や I don't know nothing. (僕は何も知らない) などがこれにあたる。
このような言い方は2つの否定を意味する語句が対応しあって1つの否定表現を形作るもので、英語は本来はこのように否定文では否定形の語を一貫して使う否定呼応を用いる言語であった。
すなわち、否定呼応を用いる言語では、二重に否定語を用いても単純にひとつの否定表現を作るだけであり、論理学的に見た場合は単なる否定である。
しかし、否定呼応を用いない言語では、二重に否定語を用いることは論理学的に見るところの「否定」の否定であり、肯定である
しかし18世紀にきわめて人工的・作為的性質の強い規範文法が整備された際、否定呼応という言語現象に無理解な学者たちは、論理学規範を言語という特殊条件を考慮せずに適応し、「否定語を2回使うということは否定の否定を意味し、論理的に肯定である」と主張し、英語の否定呼応を抹殺した。
とりわけ聖職者ロバート・ラウスが 1762 年に出版した文法書 A Short Introduction to English Grammar with Critical Notes は否定呼応を否定の否定であるとみなし（今日の言語学的観点からすれば『誤解』し）、この表現を非文法的な言い方の最たるものとしている。
これにより英語は否定呼応を用いる言語から緩叙法を用いる言語へと半ば強制的に変換させられた。
現在各国の標準英語でも上記の見解が踏襲されており、否定語を二回使用することは肯定であるとされている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
論理学、特に命題論理において、二重否定の除去（英: double negation elimination）および二重否定の導入（にじゅうひていのどうにゅう、英: double negation introduction）は、いずれも推論の種類の一つである。形式的には、いわゆる二重否定に相当する「連続した2つの否定作用素」を追加（二重否定の導入）したり削除（二重否定の除去）したりする操作を論理式に施すことである。古典論理においてはいずれも妥当な推論であるが、直観主義論理において二重否定を除去できない場合があるように、他の論理体系の下では妥当とは限らない。
(引用終り)
以上
520:１３２人目の素数さん
23/12/14 13:59:44.89 E/mU8Dp5.net
>>467
>>それを主張する人は、数学勉強法で失敗しているだろう？
> といってる大阪の同業者が、数学の勉強失敗してるという
>>そしたら、攻撃してくるんだよね
> そもそも論理を理解しようという主旨の発言に
> 論理が理解できてないと内心思ってる大阪の同業者がカチンときて
・ほら、ストローマン丸出し
（まるで、フィールズ賞数学者のストローマンの真似かよｗ）
・「そもそも論理を理解しようという主旨の発言」と言っておきながら
自分はストローマンの詭弁で、全く発言が論理的ではない
やれやれですｗｗｗ
521:１３２人目の素数さん
23/12/14 14:03:42.47 jUgdOWZc.net
>>480
>・必死のストローマン、論点ずらしの詭弁丸出し
それあなた
>>478読んでください
あなたに論駁の余地は全くありませんからぁ 残念！
522:１３２人目の素数さん
23/12/14 14:09:58.19 W2u9g0jA.net
>>482
>自分はストローマンの詭弁で、全く発言が論理的ではない
ええ、あなたが
>>478読んでください
あなたに論駁の余地は全くありませんからぁ 残念！
523:１３２人目の素数さん
23/12/14 15:42:05.11 KwBYRePE.net
>>477
> x ∉ xが矛盾でもなんでもない
これと私の発言になんの関係があるんだよ
単に特定の単語に反応してランダムに文献貼り付けてるだけじゃねーか
524:１３２人目の素数さん
23/12/14 15:58:01.56 KwBYRePE.net
>>477
お前は { x | 0 = 1 }なんて集合の存在が矛盾してるとか思ってるのかよ
525:１３２人目の素数さん
23/12/14 16:04:48.59 BDnLg41u.net
>>486
>{ x | 0 = 1 }
空集合ですね
ところで、
ラッセル集合{x | x∉x} の上位版で、
カリー集合 {x | x∈x⇒P} ってのもありますね
これ使うと、どんなPも証明できるスグレモノです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
526:１３２人目の素数さん
23/12/14 16:14:24.36 KwBYRePE.net
>>487
じゃあ、x ∉ x が矛盾してると誰が困るんだよ