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メモ
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第62回幾何学シンポジウム
2015年8月27日(木)～30日(日)
14:40-15:40 基調 A会場
植田 一石 (東京大学数理科学研究科)
ミラー対称性とLagrangeトーラスファイブレーション
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
ミラー対称性とLagrangeトーラスファイブレーション 植田一石 2015年
1.導入
高次元の多様体を調べる典型的な方法のつは、ファイブレーションを考えることである。
厳密な意味でのファイバー束の構造を持つ多様体は多くないが、特異ファイバーを許すことで適用範囲は飛躍的に広がる。
シンプレクティック多様体にファイブレーションの構造を入れる際には、ファイバーにも何らかのシンプレクティック幾何的な条件を課して考えるのが自然である。
シンプレクティック多様体のシンプレクティック幾何的な部分多様体としてすぐに思いつくものとしては、シンプレクティック部分多様体と部分多様体がある。
シンプレクティック多様体のシンプレクティック部分多様体によるファイブレーションで最も重要なものはシンプレクティックファイブレーションである。
これは非退化な特異点のみを許したファイバー束の一般化であり、関数の概正則幾何的な類似でもある。
ここで概複素多様体から面への概正則写像が非退化であるとは、概複素局所座標を上手く取ると1 2 1 2の形に表せることを指す。
また、シンプレクティック多様体にはシンプレクティック構造と整合的な概複素構造を与えておくものとする。
Donaldsonによる有名な定理によって、任意のシンプレクティック多様体はシンプレクティック束の構造を持ち、適当に爆発することでシンプレクティックファイブレーションの構造を入れることができる。
シンプレクティック多様体のシンプレクティック部分多様体は、シンプレクティック形式の制限が非退化であることで定義されるが、部分多様体の概念はこれとある意味で対極にあり、シンプレクティック形式の制限が零であることで定義される。
非退化性が開条件なのに対し、零であることは閉条件なので、部分多様体がであることは、シンプレクティックであることに比べてずっと厳しい条件である。
シンプレクティック部分多様体は少し変形してもシンプレクティック部分多様体であるが、部分多様体は少し変形すると部分多様体で無くなってしまう。
部分多様体によるファイブレーションの中でも、一般のファイバーがトーラスであるようなものは特に重要である。その根拠のつがの定理であり、の意味での完全可積分系が、適当な条件の下でトーラスファイブレーションを与えることを主張する。
もうつの根拠は、シンプレクティック多様体の幾何学的量子化によって得られる空間が、トーラスファイブレーションのファイバーを基底とするベクトル空間と密接に関わることである。
この関係はトーリック多様体に於いて最も顕著であるが、旗多様体や面上の階数のベクトル束のモジュライに於いても類似の構造を見出すことが出来る。
以下では、このトーラスファーブレーションがミラー対称性とも深く関わる事を紹介したい。