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差積は、下記
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差積
代数学において、n 個の変数 X1, …, Xn の差積（させき、英: product of differences, difference product）とは
Vn:=∏ {1≤ i<j≤ n} (X_{j}-X_{i})
で与えられる多項式 Vn のことである。アレクサンドル゠テオフィル・ヴァンデルモンド（英語版） に因んで、ヴァンデルモンドの行列式あるいはヴァンデルモンド多項式とも呼ばれる。
差積は交代式であるが対称式でない[注釈 1]。全ての交代式は差積を因数にもつ。
交代式
詳細は「交代式」を参照
差積を導入する意義として大きなものは、その変数の入れ替えに関する交代性である。順序付けられている、n 個の変数列 X1, X2, …, Xn に、奇置換を施すと差積の符号が変わるが、偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、最も単純な交代式（最簡交代式；the basic alternating polynomial) として特徴づけられる（後述）。
差積は交代式であるから、ある2つの変数が等しい差積は零に等しい。
判別式
詳細は「判別式」を参照
多項式の判別式とは、重根があるかどうかを判別する式であるが、これは根の差積の平方により定義される（が、差積自身を判別式とする文献もある[要出典]）。
判別式 Δ の一部である、差積の平方 Vn2 は、根を入れ替えても (－1)2 = 1 より変化せず、対称式であると分かる。すなわち、差積の平方は、多項式の根の集合（非順序組）に対して定まる不変式となる。
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Vandermonde polynomial
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Alexandre-Théophile Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde (28 February 1735 – 1 January 1796) was a French mathematician, musician, and chemist who worked with Bézout and Lavoisier; his name is now principally associated with determinant theory in mathematics. He was born in Paris, and died there.
Biography
Vandermonde was a violinist, and became engaged with mathematics only around 1770. In Mémoire sur la résolution des équations (1771) he reported on symmetric functions and solution of cyclotomic polynomials; this paper anticipated later Galois theory (see also abstract algebra for the role of Vandermonde in the genesis of group theory). In Remarques sur des problèmes de situation (1771) he studied knight's tours, and presaged the development of knot theory by explicitly noting the importance of topological features when discussing the properties of knots:
Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) was on combinatorics, and Mémoire sur l'élimination (1772) on the foundations of determinant theory. These papers were presented to the Académie des Sciences, and constitute all his published mathematical work. The Vandermonde determinant does not make an explicit appearance.