26/04/27 07:29:06.95 o1X9H+23.net
VBα+1=P(VBα×B)
という定義も見た
これだと確かにVBα⊂VBα+1となるが
B⊂Vβ
だとして
VB0=φ=V0
VB1=P(φ×B)=P(φ)=V1
VB2=P(VB1×B)⊂P(V1×Vβ)⊂Vβ'+3
(β'=max(1,β))
VB3=P(VB2×B)⊂P(Vβ’+3×Vβ)⊂Vβ'+6
…
VBω=∪VBn⊂∪Vβ'+3(n-1)⊂Vβ'+ω
α:limit
VBα⊂Vβ'+α
VB⊂V
でありまた
f1:V1→V1×B:f1(x)=(x,1):monic
により
f2=P(f):V2=P(V1)→P(V1×B)=P(VB1×B)=VB2:monic
fn+1:Vn+1=P(Vn)→P(Vn×B)→P(VBn×B)=VBn+1:monic
∩ ∩ ∩ ∩ ∩
fn+2:Vn+2=P(Vn+1)→P(Vn+1×B)→P(VBn+1×B)=VBn+2
fω:Vω＝∪Vn→∪VBn＝VBω:monic
α:limit
fα:Vα→VBα:monic
f:V→VB:monic
も構成できるが
B=2のときの
V→V2⊂V
はどちらもisoではないし（monicなので変形してisoを構成はできるが）
VとV2は本質的に異なるので
VBをVの（性質の）拡張と見ることは誤りと思う
914:１３２人目の素数さん
26/04/27 07:52:12.75 o1X9H+23.net
VとV2が本質的に異なるとは次の意味
V22=P(VB1×2)=P(V1×2)=P(1×2)
ここで
1×2={(0,0),(0,1)}
より
V22={φ,{(0,0)},{(0,1)},{(0,0),(0,1)}}
#V22=4
また
V2=P(V1)=P({0})={φ,{0}}={0,1}=2
#V2=2
つまり
f2:V2→V22
においてV2での元の包含（0⊂0,0⊂1,1⊂1）の他に
{(0,0)}⊂{(0,0),{0,1)}
というものもあるわけでね
（0⊂0,0⊂1,1⊂1はf2により{(0,1)}⊂{(0,1)},{(0,1)}⊂{(0,1),(1,1)},{(0,1),(1,1)}⊂{(0,1),(1,1)}に）
915:１３２人目の素数さん
26/04/27 07:53:06.01 o1X9H+23.net
>>914
>V22=P(VB1×2)=P(V1×2)=P(1×2)
V22=P(V21×2)=P(V1×2)=P(1×2)
916:h
26/04/27 12:30:20.95 sIJb3FKD.net
しかし
VBα+1=P(VBα×B)
という作り方は参考になるので
B↑V
の方も
B↑V0={φ:φ→(B＼{0})}=P(φ)={φ}
B↑Vα+1=P(Vα×(B＼{0}))
α:limit
B↑Vα=∪{B↑Vβ|β<α}
で定義するかな
あいやこれだと上手くないな
2↑V0={φ}=1=V1
2↑V1=P((2↑V0)×(2-1))=P({0}×{1})=P({(0,1)})={0,{(0,1)}}
2↑V2=P((2↑V1)×(2-1))=P({(0,1),({(0,1)},1)}
より
#(2↑V2)=4
になってしまってやっぱり余計なものが入ってくる
917:h
26/04/27 23:52:35.38 o1X9H+23.net
そもそも
2^XとP(X)を同一視するのがおかしいのは
i:X⊂Yで
res:2^Y→2^X:res(f)=fi
と自然なのは制限写像であるのに対して
P(i):P(X)⊂P(Y)
と自然なのは包含写像だから
918:h
26/04/27 23:53:58.14 o1X9H+23.net
自然なresの代わりに
ext:2^X→2^Y:ext(f)(y)=0 for y∈Y＼X, f(y) for y∈X
とすると
f:Vα→2
が集合でも
ext(f):V→2
はクラスなのでこのようなextを写像はもとよりクラスマップとしても考えるわけには行かない
919:h
26/04/28 07:47:09.17 j1IQjq9G.net
そもそも
2^Xの元fがXの部分集合Aと対応するとは
A=supp(f)={a∈X|f(a)=1}
とするということだが
それはXの中に限定していればAと補集合Ac={x∈X|f(x)=0}が1対1に対応するのでAcの方は忘れても良いということ
しかし
X⊂Yに拡張すると補集合の方は拡張され
V全体に拡張するとXが集合でも補クラスは集合ではないことになって破綻する
だから
2^Xの元は2つの排反な集合の組とみなすのが正しい見方ではないだろうか
集合Xに対し
2^X={(x,y)|x∩y=φ,x∪y=X}
みなすことで
2^V=∪2^X={(x,y)|x∩y=φ}⊂V×V⊂V
と定義できる（x,yはVの元則ち集合）
あるいは
2^X={(x,X)|x⊂X}
と包含関係の成立する2つの集合の組とみなすことで
2^V=∪2^X={(x,y)|x⊂y}=R⊂
包含関係を定義する集合R⊂のことと見なせるか
920:h
26/04/28 07:50:33.68 j1IQjq9G.net
>>919
>2^Xの元は2つの排反な集合の組とみなすのが正しい見方ではないだろうか
みなすというより対応させると言うべきか
ただこうみなしても
X⊂YでP(X)⊂P(Y)だのに2^X⊂2^Yでないことは解消されないけれど
921:h
26/05/06 22:48:43.28 dfYErJAA.net
やはり
ブール値モデルの普通の定義はダメジャネ？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
VB0=φ
から初めて
VBα+1=Map(VBα,B)
とし
α=∪α
である極限順序数について
VBα=∪{VBβ|β<α}
とするのだが
B=2={0,1}
の場合
VB≠V
どころか
V→VB:iso
もない
それは
B=2
のとき
VB1=Map(VB0,B)=Map(0,2)={0}=1=V1
VB2=Map(VB1,B)=Map(1,2)={{(0,0)},{(0,1)}}={0*,1*}←V2=2:isom
ここで
0*={(0,0)},1*={(0,1)}
VB3=Map(VB2,B)=Map({0*,1*},{0,1})={{(0*,0),(1*,0)},{(0*,1),(1*,0)},{(0*,0),(1*,1)},{(0*,1),(1*,1)}}={f*00,f*10,f*01,f*11}←V3=P(V2)={φ,{0},{1},{0,1}}={0,1,{1},2}
ここで
f*00={(0*,0),(1*,0)},f*10={(0*,1),(1*,0)},f*01={(0*,0),(1*,1)},f*11={(0*,1),(1*,1)}
だが
VB1∩VB2=φ,VB1∩VB3=φ,VB2∩VB3=φ
なのだから
V1→VB1
V2→VB2
V3→VB3
はcompatibleではない
つまり
V1∪V2∪V3=V3→VB1∪VB2∪VB3
は定義されない
あとも同様
922:h
26/05/06 22:49:46.98 dfYErJAA.net
boolean modelってもしかしてイカサマじゃ無いかな
923:h
26/05/06 22:54:20.69 dfYErJAA.net
こうなる元凶は
P(X)を2^Xと同一視するという眉唾な話から来ている
P(X)はあくまでXの部分集合の全体
それをB=2の場合のブール値モデルのVBα+1がP(VBα)になるようにするような定義にしなくてはいけない
924:h
26/05/06 23:09:55.46 dfYErJAA.net
Vの方は
V0⊂V1=P(V0)
から
V1=P(V0)⊂P(V1)=V2
…
Vα⊂Vα+1=P(Vα)
から
Vα+1=P(Vα)⊂P(Vα+1)=Vα+2
となるので
Vω=∪Vn
に意味があるのに
VBωは背反なVBnの合併集合なので
何考えてんだか分け分からないよな
925:h
26/05/07 00:20:05.40 JswjJAcg.net
V1→VB1:iso
∩ ↓
V2→VB2:iso
∩ ↓
V3→VB3:iso
でコンパチにすることができるが
V=∪Vα→colimVBα
は定義できないはず
なぜなら
Vα+1→VBα+1:iso
で
x∈Vα+1が写った先は定義域がVBαである写像
それをcolimVBαに写すと定義域がクラスの写像
クラスマップになってしまうからそれを元とすることはできないため
926:h
26/05/07 12:47:12.87 JswjJAcg.net
Map(A,B)は普通はdomainがA全体である写像の全体
Map(A,B)={f∈P(A×B)|∀a∈A,∃!b∈B; (a,b)∈f}
だが
Map*(A,B)={f∈P(A×B)|∀a∈A,∀b,c∈B: (a,b),(a,c)∈f→b=c}
（a∈Aに対してf(a)がiなくてもいい）
とすれば
X⊂Y
に対して
Map*(X,B)⊂Map*(Y,B)
となるが
B=2={0,1}
であっても
P(A)→Map(A,B):X→fX={(x,1)|x∈X}∪{(y,0)|y∈A-X}:iso
Map(A,B)→P(A):f→supp(f)={a∈A|(a,1)∈f}:iso
だのに
P(A)→Map(A,B)⊂≠Map*(A,B):not epic
だし
Map*(A,B)→P(A):f→supp(f)
Map*(A,B)→P(A):f→dom(f)={a∈A|(a,0)∈f∨(a,1)∈f}
のどちらもmonicでない
927:h
26/05/07 18:34:47.54 +mu5g0aN.net
だから
前にも書いたけど
B:boolean
のbottomの0を基点と考えそれを切除した
B*=B-{0}
を使って
Map**(A,B)=Map*(A,B*)
と定義してやれば
B=2={0,1}
について
P(A)→Map**(A,B):X→fX={(x,1)|x∈X}:iso
Map**(A,B)→P(A):f→supp(f)=dom(f)={a∈A|∃b∈B*: (a,b)∈f}:iso
は自然で自明だし
X⊂Y
に対して自然に
Map**(X,B)⊂Map**(Y,B)
となるし
B:boolean
一般で考えられて
boolean map:B⊂C
に対しても自然に
Map**(X,B)⊂Map**(X,C)
だし
VBα+1=Map**(VBα,B)
極限順序数
α=∪α
のとき
VBα=∪{VBβ|β<α}
VB=∪VBα
と自然な定義ができる
（これが欲しい性質を持つことは示してない）
928:h
26/05/07 18:43:22.13 +mu5g0aN.net
B=2
のときは
V→VB:iso
VB→V:iso
（ただしもちろんVB⊂≠V×B⊂≠V）
929:h
26/05/07 19:10:41.09 +mu5g0aN.net
>>927
>VBα+1=Map**(VBα,B)
このように定義したVBで
x=yの真理値はどう定義すべきかな
これと
x∈yの真理値を望ましく定義できればVBがboolean modelとなる
超限帰納的に定義するんだろうな
まず
x,y∈VB0=φ=0
は存在しないからOK
x,y∈VB1=Map**(φ,B)=Map*(φ,B*)={φ}={0}=1
は
x=y=0だから
0=0の真理値は1∈Bかな？
x∈y(=φ)の真理値は0∈Bかな？
x,y∈VB2=Map**(1,B)=Map*({0},B*)=Map({0},B*)∪Map(φ,B*)=Map({0},B*)={(0,b)|b∈B*}={0}×B*=1×B*
だから
x=(0,b),y=(0,c)
として
x=yの真理値はb∧c∈Bかな？
x,y∈VB3=Map**(1×B*,B)=Map*(1×B*,B*)
x∈Map(X,B*), X⊂1×B*
y∈Map(Y,B*), Y⊂1×B*
に対して
x=yの真理値は・・・・
うーんどうするんだろ？
930:h
26/05/07 19:23:58.97 +mu5g0aN.net
>>929
>x=(0,b),y=(0,c)
>として
>x=yの真理値はb∧c∈Bかな？
これはダメじゃん
x=y=(0,b)
のとき
x=yの真理値が1∈Bにならない
じゃあ
x=(0,b),y=(0,c)
のとき
x=yの真理値はb→cかな？
（ブール代数でb→c=￢b∨c）
でもこれじゃy=xの真理値￢c∨bと違っちゃうか
じゃあこれだ
(b→c)∧(c→b)=(￢b∨c)∧(b∨￢c)=(b∧c)∨(￢b∧￢c)
931:h
26/05/07 19:25:37.38 +mu5g0aN.net
b=cのときはx=yの真理値は1で
b=￢cのときはx=yの真理値は0
うむ
なかなか良さげだ
932:h
26/05/08 00:38:10.67 843WxOSn.net
>>929
>x,y∈VB2=Map**(1,B)=Map*({0},B*)
=Map(φ,B*)∪Map({0},B*)
={0}∪Map({0},B*)={0}∪{{(0,b)}|b∈B*}
そもそも
VBα+1=Map**(VBα,B)
とはどんなものを意図しているのか
Bは「存在確率」のようなものを意図しているらしい
VB0=φ=0=V0
VB1={0}=V1
B→2はB*→2*={0,1}-{0}={1}を導くので
VB2={0}∪{{(0,b)}|b∈B*}→{0}∪{{(0,b)}|b∈2*}={0}∪{{(0,1)}}→{0}∪{{0}}={0,1}=2=V2
933:h
26/05/08 01:44:21.24 zj6cUMd2.net
X⊂Y
に対して自然に
inc:Map**(X,B)⊂Map**(Y,B)
res:Map**(Y,B)→Map**(X,B)
があって
res・inc=id
となるし
f:X→Y
に対して自然に
f**:Map**(Y,B)→Map**(X,B)
が定義できる
上のresもこれ
B:boolean
一般で考えられて
boolean map:B→C
がbottom 0に付いてだけ単射なら
（つまりB*→C*を誘導するなら）
自然な
Map**(X,B)→Map**(X,C)
を誘導する