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20236݄9 ENCwMATH 第 76 回 K3 曲面
21世紀の楕円曲線、或は、K3 と Enriques曲面
向井 茂(京大・数理研)
前回はミラーや猪瀬等、特別な4次曲面族とK3曲面全体との関係
について説明した。今回は Enriques 曲面も含めて周期から出発す
る。周期に関するTorelli型定理のおかげで、これらの曲面族に完璧
な番地を与えることができ、楕円曲線やアーベル曲面との関連が見
えてくる。
参考 前回のノート
は私のホームページ
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp) p y p p p p p
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からお取り下さい。
2019 年 12 月の Encounter Math.「K3 曲面」では，8 次元の E8 格子や 24 次元の
Niemeier 格子・Leech 格子を紹介し，その応用として，向井茂による K3 曲面に
シンプレクテックに作用する有限群と Mathieu 群の話，および E. Vinberg の 2 つ
の K3 曲面や Kummer 曲面の自己同型群（離散無限群）に関する話を取り上げた．
これらは K3 曲面上の代数曲線のなす Picard 格子に着目して豊富な対称性を持つ
K3 曲面を論じたもので，非特異有理曲線 P
1
(C) に対応した Picard 格子の元であ
るルート（長さ －2 のベクトル）が大切であった．
今回は Picard 格子の 2 次コホモロジー格子 H2
(X,Z) ∼= Z
22 内での直交補空間と
して定まる超越格子（K3 曲面の周期）に着目した話題を取りあげる．ここでは一
般のものではなく，周期に非自明に作用する（すなわちシンプレクテックでない）
位数 2, 3 または 4 の自己同型を持つ K3 曲面に焦点を当てる．
正標数のK3曲面
東京大学 桂 利行