1037:132人目の素数さん
23/08/09 22:49:16.32 7zK7dhm9.net
【外国人の本音】日本人の口臭について...批判覚悟で言います
1038:132人目の素数さん
23/08/09 22:49:27.91 /x3euq4L.net
多変数複素解析学においては、関数や写像をそれらの解析性を保ったままで拡張する問題は様々な場面で現れ、重要である。解析接続によって写像の定義域が最大限に拡張されて生ずる複素多様体は任意ではありえず、凸性に似た幾何学的な制約を受ける。ここから多変数関数論の基本的諸問題が生ずる。たとえばこの多様体が$\mathbb{C}^n$上の領域である場合には局所擬凸であり、したがってこれらは擬凸、すなわち多重劣調和な皆既関数を持つので、その結果として正則凸になる(岡の定理)。この事実に基礎づけられた解析的方法により、関数の分解や近似に関わる種々の大域的問題が、$\mathbb{C}^n$上の領域に対してだけでなくより一般な擬凸多様体上で、あるときは完全に一般化された設定で、またある時は然るべき増大度の条件を付けて解かれてきた。
1039:132人目の素数さん
23/08/09 22:50:36.28 7zK7dhm9.net
というようなことを言ってくれるひとがいれば
まだいいのだが、言わずに思われてるとすれば
最悪だ。
1040:132人目の素数さん
23/08/09 22:50:55.36 /x3euq4L.net
こういう歴史の中で、ここ10年間の特筆すべき出来事の1つに、
B\l ockiやGuanとZhou(関啓安・周向宇)による吹田予想の解決が
あることには異論がないと思われる。
これは$L^2$評価の方法に新たな可能性を開いた意味もあり、
ここ5年間はこの方面で新たな研究が活発化している。
講演ではそのような研究結果をいくつか紹介する。
Demaillyの開性予想の解決に伴って表れた最小$L^2$拡張についての
Guanによる凹性定理とそれを用いた斎藤予想の解決や、
複素多様体上の$L^2$理論のLevi問題への新たな応用(学会の一般講演)が主であるが、
筆者自身によるものについては背景についてもやや詳しく述べてみたい。
1041:132人目の素数さん
23/08/09 22:53:07.43 /x3euq4L.net
「箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由,例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし,すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが,一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら,あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
1042:132人目の素数さん
23/08/09 23:00:11.13 /x3euq4L.net
岡の定理の複素多様体上への一般化は、
最初Stein[St]により岡の原理をなぞる形で行われたが、
これは最初から正則凸性を前提としたもので、
擬凸性の微分幾何的な意味を掘り下げた
Grauertの研究[G-1,2]の方が深く、
後にAndreotti-Vesentini[A-V-1,2]や
H\"ormander[Hm]の$L^2$理論、
およびFefferman[Ff]による
強擬凸領域上のBergman核の漸近展開の
解析へとつながった。ただしSteinがそのとき導入した
クラスは、正則関数で点が分離され(正則分離的)かつ
正則凸であるような多様体であり、
これらの上の解析的連接層のコホモロジー理論は
容易にStein空間まで一般化される(cf. [G-R])。
すなわち解析関数論の基本的諸命題がStein空間上の
定理として記述しうる。
さらに$n$次元Stein多様体が$\mathbb{C}^N
$$(N=n+\left[\frac{n}{2}\right]+1)$に
複素閉部分多様体として埋め込めることや、
この上での岡の原理の研究が深まったことなどは、
比較的最近になってからのことである(cf. [Ftn])。
$L^2$理論の方も[Hm]におけるBergmanの予想の
解決を起点として、Feffermanや平地[Hi]らによる
核関数の漸近展開という
精密な解析と連動しながら進展を続けている。
1043:132人目の素数さん
23/08/09 23:02:26.46 /x3euq4L.net
その一方で、Grauertは[G-3]において、
複素多様体上では擬凸領域の境界が
次元のある解析的集合を含む場合があり、
そのときには領域上の正則関数が定数のみでも
あり得ることを示した。このような領域上の解析としては、
複素境界値問題の本格的な解析であるKohn-Nirenbergの仕事[K-N]や、
それを踏まえたGrauert-Riemenschneiderによる
小平のコホモロジー消滅定理の拡張[G-Rms1,2]がある。
中野[N]と藤木[Fk]は弱擬凸領域上でAndreotti-Vesentini流の
完備K\"ahler多様体上の消滅定理を踏まえて、
解析空間のブローダウン条件を解明した。その後、
DiederichとFornaessが[D-F]においてワームと呼ばれる
特異な性質を持つ有界領域を発見し、
複素多様体上でも似た領域が発見されるなど(cf. [D-Oh])、
徐々にこうした弱擬凸領域への理解が進み、
様々な視点から研究されるようになった。
1044:132人目の素数さん
23/08/09 23:06:31.31 /x3euq4L.net
Serreの問題とはStein多様体をファイバーとし
Stein多様体を底空間とするファイバー束が
Steinかどうかを問う問題で、多くの肯定的結果と
否定的結果が知られているが、
否定的な場合にも岡の原理の成立[R]が指摘される
など、関数論的に興味ある現象が存在するようである。ここでは[C-L]の例について調べた結果、
次を示すことができた。
\begin{theorem}$\mathbb
{C}^2$の有界正則領域$F$と$\sigma\in AutF$
で次を満たすものが存在する。
1) $\sigma$は%固定点を持たず、
$AutF$の%真性不連続な
無限巡回部分群
$\Gamma=\{\sigma^k; k\in\mathbb{Z}\}$を生成する。
2) 穴あき円板$\mathbb{D}^*:=\{z\in\mathbb{C}; 0<|z|<1\}$と
基本群$\pi_1(\mathbb{D}^*)$から$AutF$への準同型$\rho$で
$Im\rho=\Gamma$を満たすものに対し、
ファイバー束$\mathbb{D}^*\times_\rho F$は{\rm Stein}多様体ではないが
完備な{\rm K\"ahler}計量を持つ。\end{theorem}
1045:132人目の素数さん
23/08/09 23:08:45.99 /x3euq4L.net
Demaillyの学位論文[Dm]や筆者の結果[Oh-1]により、
定理1は多変数関数論の古典的な理論の一部を
擬凸でない多様体上に拡張することが完全に無意味ではないことを示していると考えられる。
そこで定理1の応用を捜したところ、より詳しく次の事実が判明した。
\begin{theorem}$\sigma$は固定点を持たず、
$\Gamma$は$AutF$の真性不連続部分群であり、
商多様体$F/\Gamma$は正則分離的であるが正則凸ではない。\end{theorem}
定理2の$F/\Gamma$は、Griffithsが1977年に京都で提起した問題\\
$\mathbb{C}^n$の開集合の相対閉な解析的部分集合が
($\mathbb{C}^n$内で)局所的にSteinならSteinか\\
\hspace{-3.5mm}の反例になっている。定理1の$\mathbb{D}^*\times_\rho F$が
そうであることはCol\c{t}oiu-Diederich[C-D]により2007年に指摘されたが、
2次元の反例は知られていなかった。$\mathbb{C}^2$上の局所擬凸
かつ非Steinな分岐Riemann領域はFornaess[F]により構成されていたが、
この有名な例がGriffithsの問題の反例にもなっているかどうかは未解決であったし、
おそらく現在もそうであろ
1046:う。
1047:132人目の素数さん
23/08/09 23:12:12.20 /x3euq4L.net
{\textbf{Abstract.}} A theorem asserting the
existence of proper holomorphic maps with
connected fibers to an open subset of
$\mathbb{C}^N$ from a locally pseudoconvex
bounded domain in a complex manifold will be
proved under the negativity of the canonical
bundle on the boundary. Related results of
Takayama on the holomorphic embeddability
and holomorphic convexity of pseudoconvex
manifolds will be extended under similar
curvature conditions.
1048:132人目の素数さん
23/08/09 23:14:10.37 /x3euq4L.net
textbf{Abstract.} Plurisubharmonic (=PSH) functions and the $L^2$ method will be discussed in connection to the completeness question of the Bergman metric and certain rigidity question of analytic families.
Notes on the negligible sets for $L^2$ holomorphic functions will be given, too.\\
1049:132人目の素数さん
23/08/09 23:16:08.58 /x3euq4L.net
Questions of vital interest in several complex variables consist of producing analytic objects
on complex manifolds by solving the functional equations involving the geometric data.
The origin of such activity can be seen, somewhat implicitly, in Oka's solution of
Cousin's problem by exploiting the notion of holomorphic convexity (cf. [O-1,2]).
After the solution of the Levi problem for the domains over $\mathbb{C}^n$, plurisubharmonic functions
and the $L^2$ methods have been combined in this context
on pseudoconvex manifolds. Demailly [Dm-4] briefly summarizes this development as follows.
1050:132人目の素数さん
23/08/09 23:18:29.14 /x3euq4L.net
Since their inception by Oka and Lelong in the
mid 1940s, plurisubharmonic functions have
been used extensively in many areas of
algebraic and analytic geometry, as they are
the function theoretic counterpart of
pseudoconvexity, the complexified version of
convexity. One such application is the theory of
$L^2$ estimates via
the Bochner-Kodaira-H\"ormander technique,
which provides very strong existence theorems
for sections of holomorphic vector bundles
with positive curvature. One can mention here
the foundational work achieved by Bochner,
Kodaira, Nakano, Morrey, Kohn,
Andreotti-Vesentini, Grauert, H\"ormander,
Bombieri, Skoda and Ohsawa-Takegoshi
in the course of more than four decades.''
1051:132人目の素数さん
23/08/09 23:20:01.46 /x3euq4L.net
The purpose of the present article is to report
on some of the activities along this line
focusing on the results obtained in the recent
two decades. After recalling the basic
definitions and classical results, we shall
review applications of the $L^2$ method
on complete K\"ahler manifolds related to the
completeness question of the Bergman metric
and the question of rigidity of analytic families.
As an application of the $L^2$ extension
theorem in [Oh-T], a characterization of
negligible sets for $L^2$ holomorphic functions
will be presented at the end.
1052:132人目の素数さん
23/08/09 23:20:37.43 /x3euq4L.net
松
1053:132人目の素数さん
23/08/09 23:20:55.43 /x3euq4L.net
竹
1054:132人目の素数さん
23/08/09 23:21:09.13 /x3euq4L.net
梅
1055:1001
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