23/07/30 02:08:30.35 Fyeh8XR9.net
>>15
(1) Sがもとのチョコレートの1/4以上である確率を求めるには、SがA/4以上になる確率を求めればよいです。これは、切り抜く4点が正方形の対角線上にない場合に相当します。対角線上になる確率は、4点のうち2点が同じ対角線上にある場合と、4点が同じ点にある場合の和です。これらの場合はそれぞれ、
- 同じ対角線上にある場合：(1/2)^2 × (1/2)^2 = 1/16
- 同じ点にある場合：(1/4)^4 = 1/256
です。したがって、対角線上になる確率は、1/16 + 1/256 = 17/256 です。これを1から引くと、対角線上にならない確率、つまりSがA/4以上になる確率が求まります。それは、
1 - 17/256 = 239/256 ≈ 0.934
です。有効数字3桁で答えると、0.934です。
(2) Sの期待値を求めるには、Sの確率密度関数を求めて、その積分を計算すればよいです。しかし、この問題では確率密度関数を求めるのは難しいです。そこで、別の方法を考えます。
切り抜く4点をランダムに選ぶ代わりに、正方形をランダムに回転させて、その後固定された位置で切り抜くと考えます。このとき、切り抜かれた四角形の面積は回転した角度によって決まります。回転した角度をθとします。θは0からπ/4までの値をとります。
このとき、切り抜かれた四角形の面積Sは以下の式で表されます。
S = A - A cos(2θ)
この式から、Sの期待値E(S)は以下のように計算できます。
E(S) = ∫[0, π/4] S dθ / ∫[0, π/4] dθ
= ∫[0, π/4] (A - A cos(2θ)) dθ / (π/4)
= (A θ - A sin(2θ)/2)[0, π/4] / (π/4)
= (A π/4 - A / √2) / (π/4)
≈ 35.8 cm^2
有効数字3桁で答えると、35.8 cm^2 です。
(3) Sの中央値を求めるには、SがA/8以上になる確率が1/2になるようなθを求めればよいです。つまり、以下の方程式を解けばよいです。
A - A cos(2θ) = A/8
cos(2θ) = 7/8
2θ = arccos(7/8)
θ = arccos(7/8) / 2
このとき、Sの中央値は以下のようになります。
S = A - A cos(2θ)
= A - A cos(arccos(7/8))
= A - A × 7/8
= A / 8
= 100 / 8
= 12.5 cm^2
有効数字3桁で答えると、12.5 cm^2 です。