23/07/07 00:48:22.98 a+lPxTiM.net
>>329
すでに理解されていると思うが一応補足
(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx) ・・・(☆)
を満たす自然数解 (x,y,z)=(a,b,c) を見つけたとする。
この時、(x,y,z)=(-a+3b+3c-2,b,c) も☆の解になる。
例えばここで、☆の解(x,y,z)=(a,b,c)に対し、s=a+b+c で定義される値を考えることにする。
てきとうにこの値を「サイズ」とでも名付けよう。
☆は対称式なので、☆の解(a,b,c)は、順番を入れ替えても、☆の解になる。
a≦b≦cになるように入れ替えた上で、(-a+3b+3c-2,b,c)という解を作ると、その解のサイズは、s=-a+4b+4c-2
サイズが維持される条件は a+b+c=-a+4b+4c-2 → 2a+2=3b+3c これは成立することはない。
このようなことに注意すると、(a,b,c)がa≦b≦cを満たす自然数解である限り、あの変換でサイズは常に大きくなることが判る。
つまり、☆の自然数解(a,b,c)に対し、a≦b≦cとなるように名前を入れ替えた上で、
(-a+3b+3c-2,b,c)として見つけられた解は、自然数解であり、かつ、もとの解より
サイズが必ず大きくなっている。サイズが大きくなると言うことは、新しい解と言うことである。
これを繰り返していけば、無限に自然数解を見つけられる。