23/07/01 10:23:45.29 ST8m23Be.net
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:990番)
無限次元空間の測度 上 拡張定理 (紀伊國屋数学叢書 13) 単行本 – 1978/5/1
山崎泰郎 (著)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:956番)
・例えば、時枝記事 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
後半「このふしぎな戦略を反省してみよう.
・同「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系，1905年)にそっくりである」
ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)そっくり」というけれど
なにがどう”そっくり”なのか？
数列のしっぽの同値類という以外は、全く別ものでしょ？
(引用終り)
１）”ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある”
を補足する
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)」は、1次元R^1にルベーグ測度(長さ)を入れた話
同様に、2次元R^2なら面積、3次元R^3なら体積、4次元R^4なら超体積・・となる
では、無限次元R^Nではどうか？
素朴に超体積r^Nを考える（一辺がrの超立方体）
0<=r<1 では、r^N＝0
1<r では、r^N＝∞ （r＝1のみr^N＝1）
つまり、有限次元で使える素朴なルベーグ測度の超体積の考えは
R^Nでは使えない
２）距離も同様で、例えばs∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)>>19
距離：二乗和の平方L=√(Σsm^2) で考えると、∀sm＝r (0＜ｒ)ではL→∞に発散する
（普通は、ヒルベルト空間(下記)のように一工夫必要で、そこのツッコミが上記”山崎”なのでしょうね）
３）なので、時枝さん「R^Nでしっぽの同値類を考えたら、ヴィタリR^1の非可測集合そっくり」は、飛躍ありまくりでしょ！ｗ
（もちろん、R^Nのしっぽの同値類や、その代表の集合が可測になるとは思わないが）
つづく