23/06/30 01:38:59.62 xAHovNTd.net
0<a≤b≤cとする。
ax=by=cz=1とおくと
xyz=1、0<z≤y≤x、
0<1/(x+y)≤1/(x+z)≤1/(y+z)
与式は
x³/(1/y +1/z)+y³/(1/z +1/x)+z³/(1/x +1/y)≥3/2
⇔x²/(y+z)+y²/(z+x)+z²/(x+y)≥3/2
よって次の組合せを考える
z≤y≤xと
z/(x+y)≤y/(x+z)≤x/(y+z)
z²/(x+y)+y²/(x+z)+x²/(y+z)≥
zx/(x+y)+yz/(x+z)+xy/(y+z)
左辺は同じ≥
zy/(x+y)+yx/(x+z)+xz(y+z)
辺々足して2で割ると
左辺≥(z+y+x)/2≥3(xyz)¹ᐟ³/2=3/2