23/05/18 20:45:33.55 kOqY4klp.net
>>188
スレ主です
思い違いがありましたね
メンショフの定理を転記
1）笠原本 >>132
複素平面Cの領域Dを定義域とする定数ではない連続関数 f:D→C がDで正則なための必要十分は
Dの孤立集合を除いてDの各点でfが等角であるということを述べる定理がメンショフの定理
2）桂田 複素関数 >>146-147
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
メンショフの定理
D は C の領域、f : D → C が連続、f は定数関数でないとするとき、次の (i), (ii) は同値
である。
(i) f は D で正則である。
(ii) D 内の孤立集合 E が存在して、f は D ＼ E で “等角” である。(ただし、ここで「等
角」とは、接線をもつ曲線の f による像は接線を持ち、2 つの交わる曲線が共に接線
を持てば、そのなす角は向きを込めて不変である、という意味である。)
3) 桂田 続 複素関数 >>166-167
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
定理 6.12 (メンショフの定理) 領域 D で定義された定数でない連続関数 f(z) が，D に
おいて正則になるための必要十分条件は，D 内の孤立集合を除いて D の各点で f が等角
写像になることである。
4）wikipedia Looman?Menchoff theorem >>166
Let Ω be an open set in C and f : Ω → C be a continuous function. Suppose that the partial derivatives
∂f/∂x and ∂f/∂y
exist everywhere but a countable set in Ω.
Then f is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy?Riemann equation:
∂f/∂z^-＝1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0. （注：z^-は、共役複素数）
5)Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem.>>177
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
転記略。上記で例外点の記載が省かれていることに、いま気づいた。例外点の存在を入れるのは、簡単なのか（あるいはテキストとしては あまりに煩雑になるからか）
結論
1）連続は、領域全部で要求され、例外点はなし
2）等角又は正則（holomorphic）では、例外点あり（ ”but a countable set”（和文”孤立集合”で同じ意味））
こうですね