23/05/15 19:23:41.25 OWZTQ5hk.net
>>136
> 臨界点がよく分からなかった（f'(z)=2zなので微分は気づいていたが）が、
> f(z)=z^2のz=0は 不動点でもあるなと思った
たまたま不動点なだけで、
別に不動点でなくても微分係数0なら等角にならない
臨界点がよくわからないんじゃ
大学1年の微積分がわからないってことだな
逆関数定理がわからないってことだから
大学入れず行ってない人は
微積分の初歩もわかってないんだな
150:１３２人目の素数さん
23/05/15 22:34:35.59 /xll5Syp.net
>>143
柏にいるトップ研究者が
幾何の分脈とはいえ
気楽に「正則=等角」を主張していることについて
どう思う？
151:１３２人目の素数さん
23/05/16 00:10:56.89 q59ajiMI.net
普遍被覆面を考えたら等角になるのかね？
152:１３２人目の素数さん
23/05/16 00:25:55.13 XEMwkDaf.net
>>143
いやね、実は 下記のf′(c) ≠ 0と等角性の関係の証明が、さっぱり浮かばなかったんだよ（苦笑）
一応、下記に見つけていま読んだ
複素数の行列表現使っているんだね
余談ですが、メンショフの定理 も書いてあるのだが・・
”証明は例えば.... を見よ”って、空じゃんかｗ
余談ついで
”余談 2.26 (桂田君教員採用試験を受ける)”が面白いな
”某県の教員採用試験で解かされた”は、高校教員かな？ だよね
(参考)
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
複素関数
桂田 祐史
2014 年 9 月 20 日, 2023 年 4 月 30 日
序にかえて
この文書は、「複素関数・同演習」という講義科目のためのノートです (例年は、授業の進行に
従い、昨年度の講義ノートを書き換えて行きますが、Covid-2019 以来作業が遅れ気味です。)。
この科目は、明治大学総合数理学部現象数理学科の 2 年生以上を対象にしていて、内容はい
わゆる関数論入門です。
P50
余談 2.26 (桂田君教員採用試験を受ける) 任意の正則関数の実部虚部が調和関数である、と
いう命題は、私が学生のとき (もう 30 年以上も前のこと)、某県の教員採用試験で解かされた
問題で、ちょっと思い出深い。どういう採点基準かは良く判らなかった。Cauchy-Riemann 方
程式は既知として使ってよいのか、u, v が C2 級であることは認めて良いか、とか。CauchyRiemann 方程式はその場で導出したが
・・略
2.5.4 逆関数定理
これから f が f(c) の十分小さな開近傍で局所的な逆関数 f^-1 を持ち、その f^-1 は CauchyRiemann の関係式を満たすことが分かる31。ゆえに f^-1 は正則である。
従って、正則関数が冪級数展開可能であるという定理 7.4 を証明してしまえば、導関数が連
続であることが分かるので、正則関数についての逆関数の定理の証明が完了となる
つづく
153:１３２人目の素数さん
23/05/16 00:26:48.81 XEMwkDaf.net
>>146
つづき
P51
2.5.5 等角性
f′(c) = p + iq ≠ 0 とするとき、f′(c) の偏角を θ とすると
f′(c) = p + iq =√(p^2 + q^2)e^iθ
ゆえに
略
も、それぞれ h と h を
・ 長さを √(p^2 + q^2) 倍して
・ 角度 θ の回転をした
ものである、と読み取ることが出来る (図を描くこと)。
以上から、正則関数は f′(c) ≠ 0 であれば、c で交わる 2 曲線の交角を変えないという性質(等角性) を持つことが分かる。
余談 2.27 等角写像については、次の定理が有名である
メンショフの定理
D は C の領域、f : D → C が連続、f は定数関数でないとするとき、次の (i), (ii) は同値
である。
(i) f は D で正則である。
(ii) D 内の孤立集合 E が存在して、f は D ＼ E で “等角” である。(ただし、ここで「等
角」とは、接線をもつ曲線の f による像は接線を持ち、2 つの交わる曲線が共に接線
を持てば、そのなす角は向きを込めて不変である、という意味である。)
証明は例えば.... を見よ。
この文書では、(割と多くの関数論のテキストがそうしているように)
いたるところ f′(z) ≠ 0
を満たす正則関数 f を等角写像 (conformal mapping) と呼ぶことにする。
(引用終り)
以上
154:１３２人目の素数さん
23/05/16 06:14:53.65 NBvExwx/.net
>>146
> 実は f′(c) ≠ 0と等角性の関係の証明が、さっぱり浮かばなかったんだよ（苦笑）
大学１年からやりなおしなよ
あ、大学行ってないから、
やりなおしじゃなく
はじめてか
> 複素数の行列表現使っているんだね
大学行ってないのがわかるね
行列の正則性を理解してない人は
多変数の逆関数定理も理解できないよ
複素関数として f′(c) ≠ 0 であるときそのときに限り
複素関数を２次元実写像とみたときそのヤコビアンが0でない
155:１３２人目の素数さん
23/05/16 09:26:59.53 40ov3O7L.net
(z,w)-->(f(z,w),g(z,w))でも
局所的に単射と局所的に可逆は
同値になる。
ただしfとgは正則。
156:１３２人目の素数さん
23/05/16 12:31:57.32 iUizzl9G.net
スレ主です
>>148
ありがとう
知っていることばを並べた、ことばのサラダありがとう
>>149
ありがとう
難しいことを言いますね
これはプロフェッサーか
ともかく、>>146-147に戻ると
等角性 f′(c) = p + iq =√(p^2 + q^2)e^iθ
この微分で df/dz＝re^iθと書けるってことね
ここで、変数分離して
df＝re^iθ dz とできる
この式は、直感的には、dzを微小領域（開集合）と考えると
微小領域 dzを、r倍してθ分回転すると、微小部分dfになると解釈できる
これが等角性>>146につながるのだろう（点cの周囲の微小領域の図形の角度が保存される）
（これを数学的に厳密に書くと、桂田 祐史>>146になるのだろう。単射だとか双正則だとかも含めて）
さて、これは二つの要素に分けられる
１） f′(c)の存在
２）df/dz＝re^iθ つまり、”r倍してθ分回転”
この二つの要素ね
f′(c)から、複素関数ならｆは正則が従うんだね（コーシー・リーマンの式）
複素関数以外でも等角性は考えられて
上記の１）２）の類似を満たせば拡張はありなのだろう
（だれか、すでに研究していると思うが）
あと、 f′(c) =0なら、微小領域 dzの角度の情報なども消されて、等角性が無くなるんだね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
変数分離
157:１３２人目の素数さん
23/05/16 13:43:31.66 aKfc+dzN.net
めっちゃくちゃww
158:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:06:52.68 Rs0qwRKV.net
>>150
ことばのサラダと感じるのは分かってない証拠
分かっていれば
1変数関数の「微分係数が0でない」の一般化が
多変数写像の「ヤコビアンが0でない」だと気づく
159:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:10:12.32 Rs0qwRKV.net
>>151
ID:iUizzl9G はほんとに大学行けなかったみたい
160:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:14:17.59 Rs0qwRKV.net
ニセ大卒がニセ教授にニセ数学を教わる🤣
161:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:57:54.60 jcEVxR9k.net
>>複素関数以外でも等角性は考えられて
>>上記の１）２）の類似を満たせば拡張はありなのだろう
その通り。
普通の数学者もそう考える。
162:１３２人目の素数さん
23/05/16 15:54:33.82 jcEVxR9k.net
ニセ教授でもそう考えるかもしれない
163:１３２人目の素数さん
23/05/16 16:40:18.02 iUizzl9G.net
>>147
>メンショフの定理
メンショフ さんは、下記 Menshov、Menchoff
メンショフの定理は、下記のLooman?Menchoff theoremが近い気がするが、不明（実力不足ｗ）
なお、検索："Menchoff" theorem conformal complex regular function 約 58 件 （0.54 秒）
これを全部掘れば、何か当たるかもだが、ギブアップしますｗ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dmitrii Menshov
Dmitrii Evgenevich Menshov (also spelled Men'shov, Menchoff, Men?ov, Menchov; Russian: Дми?трий Евгeньевич Меньшoв; 18 April 1892 ? 25 November 1988) was a Russian mathematician known for his contributions to the theory of trigonometric series.
He proved the Rademacher?Menchov theorem, the Looman?Menchoff theorem, and the Lusin?Menchoff theorem.
Menshov was an Invited Speaker of the ICM in 1928 in Bologna and in 1958 in Edinburgh.[1]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Looman?Menchoff theorem
In the mathematical field of complex analysis, the Looman?Menchoff theorem states that a continuous complex-valued function defined in an open set of the complex plane is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy?Riemann equations. It is thus a generalization of a theorem by Edouard Goursat, which instead of assuming the continuity of f, assumes its Frechet differentiability when regarded as a function from a subset of R2 to R2.
A complete statement of the theorem is as follows:
略
つづく
164:１３２人目の素数さん
23/05/16 16:40:48.18 iUizzl9G.net
>>157
つづき
検索："Menchoff" theorem conformal complex regular function
約 58 件 （0.54 秒）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Complex analysis
In terms of the real and imaginary parts of the function, u and v, this is equivalent to the pair of equations
{\displaystyle u_{x}=v_{y}} and
{\displaystyle u_{y}=-v_{x}}, where the subscripts indicate partial differentiation. However, the Cauchy?Riemann conditions do not characterize holomorphic functions, without additional continuity conditions (see Looman?Menchoff theorem).
Conformal map
以下略
以上
165:１３２人目の素数さん
23/05/16 16:56:02.25 iUizzl9G.net
>>151
>めっちゃくちゃww
ありがとう
ご指摘のとおり
数学的な厳密性は無視して
おおざっぱなイメージを書いた
厳密な話は、いろんなところにあるだろう
あくまで、マンガだと思って参考にして、厳密な話は別途補充してもらえば良い
166:１３２人目の素数さん
23/05/16 18:38:34.00 jcEVxR9k.net
>>157
>>メンショフの定理は、下記のLooman?Menchoff theoremが近い気がする
あたり。
連続関数が正則になるための条件は
等角性でもコーシー・リーマン方程式でもよい。
こういう結果は早いもの勝ち。
零点を除いて正則な連続関数は正則であるというラドーの定理は
これに比べてややプロ好みだが味わい深い。
167:１３２人目の素数さん
23/05/16 19:15:42.86 NBvExwx/.net
>>159
文章が読めず、目でみたことしか理解できないおサルさんは
この動画見て悶えてなさい
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
168:１３２人目の素数さん
23/05/16 19:24:01.41 jcEVxR9k.net
一人一人は直進しているというのがポイントみたいね
169:１３２人目の素数さん
23/05/16 20:50:55.63 XEMwkDaf.net
>>161-162
ありがとう
スレ主です
動画面白いね
回転の中心部分のみ特異点で
そこではターンしているんだね
170:１３２人目の素数さん
23/05/16 20:55:42.35 XEMwkDaf.net
>>161
>文章が読めず、目でみたことしか理解できない
抽象的な矢印→を書いて
ポンチ絵で数学になるのが
圏論でしょ？
それって、やっぱり絵が便利と思う数学者も多いのだろうねｗ
蛇足だが
”矢印→”をやめて、全文文章にしても
当然ながら、同じ意味の文章表現はできるよね
けど多分だれも、そんなものは読まないだろうねｗ
171:１３２人目の素数さん
23/05/16 21:10:45.97 XEMwkDaf.net
>>160
>>>メンショフの定理は、下記のLooman-Menchoff theoremが近い気がする
>あたり。
>連続関数が正則になるための条件は
>等角性でもコーシー・リーマン方程式でもよい。
ありがとうございます
なるほど
実は
上記Looman-Menchoff theoremにいくつか条件を加えると
>>147のメンショフの定理 （桂田 祐史）が
系として得られる気がしたけど
”気がした”で
終わったｗ
172:１３２人目の素数さん
23/05/17 00:00:21.17 X9rwP1Sp.net
>>165 補足
実は、下記の桂田 定理 6.12 (メンショフの定理)はチラ見はしていたが
全く別ものだと思っていたのですｗ
いま見ると、これ>>157のLooman-Menchoff theorem そのものか！
いまごろ気づいたよ
で、”系 6.13 連続な複素関数が等角写像であれば、実は正則関数である”とも書いてあるな
ということは、定理 6.12＋系 6.13が、>>147のメンショフの定理 （桂田 祐史）ってことか！ｗ
なるほど
証明がないが URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) の
References Narasimhan, Raghavan (2001), Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, ISBN 0-8176-4164-5.
あたりを発掘すれば、出てきそうかな？ｗ （私は発掘できませんが）
なお
”6.4 等角写像の定義をめぐって”で
いろいろご見解が書いてありますね
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
2022年度 応用複素関数
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
続 複素関数
桂田 祐史 2015 年 3 月 12 日, 2022 年 7 月 11 日
関数論の基礎事項のうち、「複素関数」で説明できなかったものをいくつかピックアップし
てある。すでに講義したものもあるが、そうでないものも多い (解析接続、鏡像の原理、正規
族、Riemann の写像定理の証明など)。後者の部分は現時点では粗いものが少なくないので、
(筆者自身の) 準備のためのメモとしての性格が強い。
大規模工事中 (完成度は「複素関数」よりはかなり低い)。
つづく
173:１３２人目の素数さん
23/05/17 00:00:53.09 X9rwP1Sp.net
>>166
つづき
P86
6.4 等角写像の定義をめぐって
等角写像 (conformal mapping) という言葉は、関数論にとどまらず一般的に用いられる
言葉で、一言でいうと、交わる曲線のなす角を変えない、という条件を満たす写像のことで
ある。
(conformal transformation は「共形変換」とも訳される。こちらは 2 次元に限らず良く使わ
れる？等長性をが仮定されていたり、関数論の等角写像と相当違った意味でも使われることが
あるようである。日本語の「等角」、「共形」は訳し分けているような印象もある。その辺の事
情は良く分からない。)
これを尊重すると、連続な複素関数が等角であるとは、正則でいたるところ f′≠ 0 を満た
す、ということになる。実際、次のことが成り立つ。
定理 6.12 (メンショフの定理) 領域 D で定義された定数でない連続関数 f(z) が，D に
おいて正則になるための必要十分条件は，D 内の孤立集合を除いて D の各点で f が等角
写像になることである。
系 6.13 連続な複素関数が等角写像であれば、実は正則関数である。
関数論の授業でメンショフの定理に言及するのは面倒だから、等角写像とは、導関数が 0 に
ならない正則関数のこと、と説明するのが簡単かもしれない。
ところで等角写像の定義に、さらに関数が単射であることを含める流儀がある。すると関数
論で「等角写像」と言ったとき、どういう意味で使っているかは注意が必要ということになる。
個人的には、後者の意味では「双正則」という言葉を用いたいような気がする。そうすれば
紛れがない。
正則関数が単射であれば、導関数が 0 にならないことが導かれる、という事実にも注意すべ
きである。単射な正則関数のことを単葉関数 (univalent function) と呼ぶことも思い出して
おこう。
(引用終り)
以上
174:１３２人目の素数さん
23/05/17 07:12:01.71 wnLZHeWk.net
>>165
>>上記Looman-Menchoff theoremにいくつか条件を加えると
>> >>147のメンショフの定理 （桂田 祐史）が
>>系として得られる気がしたけど
>>”気がした”で
>>終わったｗ
「終わった」と思った時点で「発掘」をやめて
「自己流のこじつけ」に切り替えれば
すぐわかったと思います。
175:１３２人目の素数さん
23/05/17 12:33:01.70 3QFUU6w4.net
【中止しろ】 コロナより、ワクチンで、死者でてる
://egg.2ch.sc/test/read.cgi/cafe60/1671073993/l50
sssp://o.5ch.net/212y3.png
176:１３２人目の素数さん
23/05/17 13:26:34.70 Tqq1vlKd.net
>>163
>回転の中心部分のみ特異点で
>そこではターンしているんだね
ターン？してませんよ
真進してるだけですが何か？
目が悪い？それとも頭が悪い？
177:１３２人目の素数さん
23/05/17 15:03:35.29 Da81JO1j.net
スレ主です
>>170
> ターン？してませんよ
> 真進してるだけですが何か？
なるほど
中心に行くと、角速度が増加しているのかな？
ありがとう
>>168
ありがとう
>「終わった」と思った時点で「発掘」をやめて
>「自己流のこじつけ」に切り替えれば
>すぐわかったと思います。
”あたり”というヒントが大きかった気がします
あとは、時間のあるときに
178:１３２人目の素数さん
23/05/17 17:00:20.20 BK7ZLK3
179:J.net
180:１３２人目の素数さん
23/05/17 21:07:52.37 GwdjwMxk.net
>>171
> 中心に行くと、角速度が増加しているのかな？
見ることもできないって目が節穴かな？
まっすぐ中心に向かい
そのまま通り過ぎて
まっすぐ中心から遠ざかってるよ
ある一人だけに注目することができないって
ADHDかい？
コンサータ飲みなよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
181:１３２人目の素数さん
23/05/17 21:09:43.96 GwdjwMxk.net
これもおもしろい
仕掛けがわかれば、ああ、なるほど、と思うけどね
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
182:１３２人目の素数さん
23/05/17 21:13:25.15 GwdjwMxk.net
>>174
回って見える「錯視」といってるけど
実際に直径２の円の内側で直径１の円を回すと
直径１の円の周上の点は、直径２の円の直径上で
往復運動をすることになるから「錯覚」ではない
183:１３２人目の素数さん
23/05/17 21:17:59.65 GwdjwMxk.net
>>161も「アルキメデス螺線を回転させながら中心で滑らせると
螺線上の各点は中心を通過する直線運動をする
アルキメデスの螺線がいかなる曲線かわかっていれば
ああ、なるほど、と思う
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
184:１３２人目の素数さん
23/05/17 23:34:52.72 X9rwP1Sp.net
>>166
>証明がないが URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) の
>References Narasimhan, Raghavan (2001), Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, ISBN 0-8176-4164-5.
>あたりを発掘すれば、出てきそうかな？ｗ （私は発掘できませんが）
スレ主です
Narasimhanを発掘するつもりはなかったのだが（別文献での証明を探していた）
どうも ucsd に、”Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem”
のPDFをアップしている人がいた（下記）
相当画像悪いけど、全く読めないわけではない
チラ見はしたｗ（下記）
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
Lei Ni's Home Page Professor in Mathematics
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
Math 220-Complex Analysis, General Information Fall 2010
Sample exams and supplementary homework
Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem.
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
6 The Looman-Menchoff theorem
University of California San Diego
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu) ? Narasimhan-LM
In this section, we shall prove the Looman-Menchoff theorem stated in §1.1. We shall need, just in this section, to allow rectangles to degenerate into segments.
これで
P48のTheorem 1が The Looman-Menchoff theorem
で、続いて証明がある。約2ページ。但し、その前の4ページ半ほどが、準備のLemmma
証明の最後を見ると、背理法を使っている（分かったのはそれくらいだがｗ）
雰囲気は、上記のNarasimhan, Raghavan (2001)そのものみたいだね
私は、これを読む気がおきないのが残念ではありますｗ （証明がたいへんなのは分かった）
185:１３２人目の素数さん
23/05/17 23:47:25.68 X9rwP1Sp.net
youtube 解説動画が落ちていた
14：36秒もの
証明を読むたしには、なりそう
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
Looman Menchoff Theorem
Young Measures
59 回視聴 2023/03/16
If you have partial derivatives then they do not even imply continuity of a function let alone its differentiability (example in video).
But if those partials satisfy the Cauchy-Riemann equations, the function is holomorphic. In particular it is C-infinity smooth and even analytic.
186:１３２人目の素数さん
23/05/18 00:07:21.16 kOqY4klp.net
さて、これはどこまで正しいのか不明だが
ヒットしたので貼っておきます
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
187:ublication/225621333_A_generalization_of_the_Looman-Menchoff_theorem A generalization of the Looman-Menchoff theorem February 1990Israel Journal of Mathematics 70(1):93-103 DOI:10.1007/BF02807221 Authors: Venkateswara N Rao University of Toledo Download full-text PDF Citations (1) References (18) Abstract In this paper we give a generalization of the classical Looman-Menchoff theorem:If f is a complex-valued continuous function of a complex variable in a domain G, f has partial derivatives f x and f y everywhere in G and the Cauchy Riemann equations f x +if y = 0are satisfied almost everywhere, then f is holomorphic in G. From our generalization of this theorem, we deduce a theroem of Sindalovskii [9] as a corollary and also answer some of the questions raised in [9]. We note in this context that, as far as we know, Sindalovskii’s result is the best published to date in this area.
188:１３２人目の素数さん
23/05/18 07:02:19.10 8y+KNJ6Q.net
>>179
ちょい見でのぞいてみたら、横の"related research"に
気になるタイトルの論文があった。これまで貼る必要はないが。
The Topological Nature of Two Noguchi Theorems on
Sequences of Holomorphic Mappings Between Complex Spaces
Noguchiというのは野口潤次郎(東大名誉教授)のこと。
野口さんの「複素解析概論」ではLooman-Menshoffの定理や
Menshoffの定理は言及されていない。笠原本がMenshoffの定理を
紹介しているのは味わい深い。
189:１３２人目の素数さん
23/05/18 08:11:09.60 kOqY4klp.net
>>180
スレ主です
ありがとうございます
野口潤次郎先生ね
有名ですね
Looman-Menshoffの定理は、せっかくなので
もう少し調べてみます
190:１３２人目の素数さん
23/05/18 09:45:36.01 O+RJLhH1.net
>>180
>野口さんの「複素解析概論」ではLooman-Menshoffの定理や
>Menshoffの定理は言及されていない。
実解析を前提知識に含めていないから
191:１３２人目の素数さん
23/05/18 10:11:30.43 IMFj0RAv.net
>>182
>>野口さんの「複素解析概論」ではLooman-Menshoffの定理や
>>Menshoffの定理は言及されていない。
>実解析を前提知識に含めていないから
スレ主です
ありがとうございます。
なるほど
言われてみれば
Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem.>>177
を眺めると、それっぽいことが延々書いてあったｗ
実解析は詳しくないので、入っていけなかったが
言われてみれば
Looman-Menchoff theoremは
関数ｆ：R^2→R^2がある領域内で
可算個の点を例外として、
１）ｆは連続
２）偏微分 ∂f/∂x,∂f/∂y が存在する（不連続でも可）
この二つの条件から
fはコーシー・リーマンの方程式を満たす
を導くのだから、実解析か
言われて気づいたよ
192:１３２人目の素数さん
23/05/18 10:24:48.58 8y+KNJ6Q.net
>>183
>>関数ｆ：R^2→R^2がある領域内で
>>可算個の点を例外として、
>>１）ｆは連続
>>２）偏微分 ∂f/∂x,∂f/∂y が存在する（不連続でも可）
f(z)=1/z (z≠0)
f(0)= 0
とおくと、fはC上で上の条件を満たすが C上で正則ではない。
193:１３２人目の素数さん
23/05/18 10:33:54.88 O+RJLhH1.net
>>183
Looman-Menchoff の定理を示すには実解析や関数解析が必要で大掛かりな証明になる
194:１３２人目の素数さん
23/05/18 10:56:45.46 fSUAR99d.net
あうあうあーのひと？
195:１３２人目の素数さん
23/05/18 15:46:48.70 IMFj0RAv.net
>>184
難しいことを言われますね
下記の動画をみていました
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
複素関数の極(主に1/z^n)のグラフ-pole(1/z^n) graph
kojocho2
チャンネル登録者数 209人
10,619 回視聴 2007/06/02 Complex functions graph
４次元ユークリッド空間内に置いた複素関数の極のグラフとして主に1/z^nのグラフをグルグル回転させる動画。極の位数に着目。主要部とかはノンタッチ。おまけで真性特異点を少し。ソフトはBlender、スクリプトはnDDiplayを使用。Music by:Fra's Forum(URLﾘﾝｸ(francois.parfait.ne.jp))
AndreasAlfred
15 年前
I am a math teacher in Germany.Never before Isaw such functions in a video like this.Thank You!
196:１３２人目の素数さん
23/05/18 17:43:22.11 u/NCHwCz.net
>>187
>>難しいことを言われますね
以下の主張が誤りであるという指摘だとは
理解しにくいでしょうか
>>関数ｆ：R^2→R^2がある領域内で
>>可算個の点を例外として、
>>１）ｆは連続
>>２）偏微分 ∂f/∂x,∂f/∂y が存在する（不連続でも可）
>>この二つの条件から
>>fはコーシー・リーマンの方程式を満たす
>>を導く
197:１３２人目の素数さん
23/05/18 20:45:33.55 kOqY4klp.net
>>188
スレ主です
思い違いがありましたね
メンショフの定理を転記
1）笠原本 >>132
複素平面Cの領域Dを定義域とする定数ではない連続関数 f:D→C がDで正則なための必要十分は
Dの孤立集合を除いてDの各点でfが等角であるということを述べる定理がメンショフの定理
2）桂田 複素関数 >>146-147
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
メンショフの定理
D は C の領域、f : D → C が連続、f は定数関数でないとするとき、次の (i), (ii) は同値
である。
(i) f は D で正則である。
(ii) D 内の孤立集合 E が存在して、f は D ＼ E で “等角” である。(ただし、ここで「等
角」とは、接線をもつ曲線の f による像は接線を持ち、2 つの交わる曲線が共に接線
を持てば、そのなす角は向きを込めて不変である、という意味である。)
3) 桂田 続 複素関数 >>166-167
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
定理 6.12 (メンショフの定理) 領域 D で定義された定数でない連続関数 f(z) が，D に
おいて正則になるための必要十分条件は，D 内の孤立集合を除いて D の各点で f が等角
写像になることである。
4）wikipedia Looman?Menchoff theorem >>166
Let Ω be an open set in C and f : Ω → C be a continuous function. Suppose that the partial derivatives
∂f/∂x and ∂f/∂y
exist everywhere but a countable set in Ω.
Then f is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy?Riemann equation:
∂f/∂z^-＝1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0. （注：z^-は、共役複素数）
5)Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem.>>177
URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
転記略。上記で例外点の記載が省かれていることに、いま気づいた。例外点の存在を入れるのは、簡単なのか（あるいはテキストとしては あまりに煩雑になるからか）
結論
1）連続は、領域全部で要求され、例外点はなし
2）等角又は正則（holomorphic）では、例外点あり（ ”but a countable set”（和文”孤立集合”で同じ意味））
こうですね
198:１３２人目の素数さん
23/05/18 20:58:57.67 kOqY4klp.net
>>189 追加
・ふと思うと、4）のwikipedia Looman-Menchoff theoremが、記載ミスかも
・というのは、5）Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem は、proofだからなー
（proofに、例外が入るのは形容矛盾だろうｗ）
・一方、“等角” には例外点がある。それは、ｆ’＝0の点がそうだった
なので、wikipediaの記載は、“等角”の場合と混同しているのかもね
以上、未確認ですが一言ｗ
199:１３２人目の素数さん
23/05/18 21:01:45.53 s+sfEbyw.net
１ってGoursaｔの定理知らずに、Menshovって喚いてる素人だろ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_theorem_and_its_generalizations
200:１３２人目の素数さん
23/05/18 21:02:38.33 MEBR9p7P.net
>>275
>>前にも書いたけどオムロンの低周波治療器には頭部に使うなと注意書きがある
低周波治療器ではなく、「電気治療器」だったら使ってもＯＫでしょうか？
「OMRON/オムロン 電気治療器 HV-F9550 47,800円」
これを「tDCS」の代わりに、頭部に使ってみようかと考えています。
調べた所、最大で「２０㎃・ミリアンペア」であることが分かりました。
最小は不明ですが、強さ・弱さを調節できるらしく「１㎃」からかも知れません。
今、自分が使用している「tDCS」の最大が「２㎃」ですから、強さ的には
問題ないのかも知れません。
仮に、強さ的には問題なかったとして、他に�
201:u何が」問題になるでしょうか？ あれば教えて下さい。よろしくお願いします。
202:１３２人目の素数さん
23/05/18 21:03:29.20 MEBR9p7P.net
自分が書きたいスレッドに何度やっても書けなかったので、
こちらに書きました。
こちらに書けて、なぜ希望のスレッドに書けないのか、
まったく分かりません。
大変お手数ですが、これ「１９２」を希望のスレッドに
転載して頂けないでしょうか？
希望のスレッドは下記になります。
【tDCS】脳をオーバークロックする機器【foc.us】 [転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(kaden板)
誠に恐れ入りますが、よろしくお願いします。
203:１３２人目の素数さん
23/05/18 22:39:02.55 kOqY4klp.net
>>193
どうも
スレ主です
書いたよ 292で下記だな
ｽﾚﾘﾝｸ(kaden板:292番)
また困ったら来てくれ
気がついたら、書いてあげるよ
204:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:03:18.96 8y+KNJ6Q.net
昔、Narasimhanのテキストを読んでいて
fとgが正則で|f|^2+|g|^2が定数なら
fとgが定数でなければならないことの証明を読んで
「やった!これこそ自分が求めていたものだ」と思ったことがある。
205:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:05:28.71 kOqY4klp.net
>>191
> １ってGoursaｔの定理知らずに、Menshovって喚いてる素人だろ
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_theorem_and_its_generalizations
ありがとね
1）素人だろ： Y
2）Goursaｔの定理知らず： 正確には殆ど知らずにだな
なお、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Looman?Menchoff theorem
It is thus a generalization of a theorem by Edouard Goursat, which instead of assuming the continuity of f, assumes its Frechet differentiability when regarded as a function from a subset of R2 to R2.
と書いてあることは、チラ見している
”It is thus a generalization of a theorem by Edouard Goursat ”とあるよｗ
206:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:25:41.40 kOqY4klp.net
>>195
>昔、Narasimhanのテキストを読んでいて
Narasimhanさん、en.wikipediaで二人出てくるけど
下記、前者の人ですね
（名前は知っていたが、二人出てくることにいま気づいたけど・・）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Raghavan Narasimhan (August 31, 1937 ? October 3, 2015) was an Indian mathematician at the University of Chicago who worked on real and complex manifolds and who solved the Levi problem for complex manifolds.[1]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Mudumbai Seshachalu Narasimhan FRS (7 June 1932 ? 15 May 2021) was an Indian mathematician. His focus areas included number theory, algebraic geometry, representation theory, and partial differential equations. He was a pioneer in the study of moduli spaces of holomorphic vector bundles on projective varieties. His work is considered the foundation for Kobayashi?Hitchin correspondence that links differential geometry and algebraic geometry of vector bundles over complex manifolds. He was also known for his collaboration with mathematician C. S. Seshadri, for their proof of the Narasimhan?Seshadri theorem which proved the necessary conditions for stable vector bundles on a Riemann surface.
207:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:31:32.27 kOqY4klp.net
>>195
>fとgが正則で|f|^2+|g|^2が定数なら
>fとgが定数でなければならないことの証明を読んで
へー
そうなんや
|f|^2+|g|^2というのが、結構強い条件なのですね
証明というか、どういう事情でそうなるのか
すぐには浮かびませんｗ
208:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:32:00.88 8y+KNJ6Q.net
R.Narasimhanとドイツで議論したとき
「やった」というものを感じたら
シカゴまで追いかけて行ったかもしれない。
M.S.Narasimhanと空港バスの中で議論したときは
そのまま同じ飛行機に乗りたくなった。
209:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:47:11.65 kOqY4klp.net
>>189
>URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
下記のbooks.googleでかなり読める
圧倒的に読みやすい
読めないのは、P46と48のみだな
ここだけ上記を見れば良いね
教えて貰ったGoursaｔの定理>>191と対比すると
一つの筋は、二重積分を使う筋か
ありがとう、なるほどね
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
books.google
Complex Analysis in One Variable
著者: Raghavan Narasimhan
210:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:49:47.07 kOqY4klp.net
>>199
面白い話、ありがとうございます
211:１３２人目の素数さん
23/05/18 23:52:17.58 kOqY4klp.net
>>200 追加
下記URLから入ると、いろんなページが見られるよ
まあ、図書館で現物の本見る方が早いけどね
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
Complex Analysis in One Variable
前表紙
Raghavan Narasimhan, Yves Nievergelt
Springer Science & Business Media, 2000/12/21 - 381 ページ
212:１３２人目の素数さん
23/05/19 00:18:46.67 IuCJm6Rk.net
>>198
>>|f|^2+|g|^2というのが、結構強い条件なのですね
>>証明というか、どういう事情でそうなるのか
∂と∂¯を続けて作用させた式を書くと
|∂f|^2+|∂g|^2=0
これがNarasimhanを読んで初めて分かった。
213:１３２人目の素数さん
23/05/19 08:19:00.88 ORcAau1M.net
>>203
ありがとうございます
なるほど、式の雰囲気は分かりました
面白そうな式ですね
214:１３２人目の素数さん
23/05/19 09:52:11.52 JFpC5B37.net
>>190 補足と訂正
>・ふと思うと、4）のwikipedia Looman-Menchoff theoremが、記載ミスかも
スレ主です
再録>>189より
4）wikipedia Looman-Menchoff theorem >>166
Let Ω be an open set in C and f : Ω → C be a continuous function. Suppose that the partial derivatives
∂f/∂x and ∂f/∂y
exist everywhere but a countable set in Ω.
Then f is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy-Riemann equation:
∂f/∂z^-＝1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0. （注：z^-は、共役複素数）
(引用終り)
ここで、証明は二重積分を使う筋>>200とすると
”but a countable set in Ω”としても
測度論からは、二重積分に影響しない
そして、仮定側で除外した例外点は
結論側では、”結局holomorphicでした”ってことかな
つまり、上記wikipediaの記載も間違いではないのか
なので、Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem>>189では
テキストとしては、簡潔にしておこうというNarasimhan氏の配慮かも
215:１３２人目の素数さん
23/05/19 12:22:06.42 hMBc43z1.net
>>205
ではLooman-Menchoffはこれくらいにして
216:１３２人目の素数さん
23/05/19 12:56:35.22 JFpC5B37.net
>>206
スレ主です
少しだけ追加
>>205 補足
>そして、仮定側で除外した例外点は
>結論側では、”結局holomorphicでした”ってことかな
厳密な表現は、仮定側で除外した例外点においても
”holomorphic”となる正則関数の存在いえる
ってことね
（人為的に、”holomorphic”でない孤立点を作るのは別として）
さて
>>166-167 に戻る
> 6.4 等角写像の定義をめぐって
>定理 6.12 (メンショフの定理) 領域 D で定義された定数でない連続関数 f(z) が，D に
>おいて正則になるための必要十分条件は，D 内の孤立集合を除いて D の各点で f が等角
>写像になることである。
Looman-Menchoff theorem>>189
Let Ω be an open set in C and f : Ω → C be a continuous function. Suppose that the partial derivatives
∂f/∂x and ∂f/∂y
exist everywhere but a countable set in Ω.
Then f is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy?Riemann equation:
∂f/∂z^-＝1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0. （注：z^-は、共役複素数）
が言えたとして、（必要十分の）逆の等角写像→holomorphicはどうか？
（holomorphic→等角写像は、f’(z)≠0から従うことは、既に書かれている）
等角写像の定義次第だが、例えば、下記の古田 公司 野原 勉氏の定義を取れば
ヤコビ行列を使っている（ux(x, y)などの記号説明は後の資料ご参照）ので
∂f/∂x and ∂f/∂yの存在は含まれていて
Looman-Menchoff theoremが使えて
holomorphic であることが従う
（つまり、必要十分が言える）
あと、等角写像の定義でヤコビ行列を使うと
その点での
”continuous function”は含意される気がするが
厳密な確認はしていないが
つづく
217:１３２人目の素数さん
23/05/19 13:00:18.37 JFpC5B37.net
>>207
つづき
（参考）
//www.tcu.ac.jp/academics/liberalarts/
東京都市大学 共通教育部紀要
Vol. 12目次 （2019年）
//www.tcu.ac.jp/tcucms/wp-content/uploads/2019/10/tcu_2019_06_furuta_nohara.pdf
関数論初等講義
---等角写像と Joukowski 変換
自然科学系 数学教育部門 古田 公司 野原 勉
P2
2 等角写像
f(z) を z 平面上の領域 D で定義された z(= x + iy) の連続関数として
f(z) = u(x, y) + i(x, y)
と書く。
定義 2.1 点 c ∈ D において
∂(u,v)/∂(x, y) =
｜ux(x, y) uy(x, y)｜
｜vx(x, y) vy(x, y)｜
≠ 0 ・・・ (2.1)
とし, 点 c を始点とする任意の 2 つのなめらかな曲線 γ1, γ2 に対して a = f(c) に
おいて f(γ2) と f(γ1) とのなす角が c において γ2 と γ1 とのなす角に等しいとき,
写像 f は点 c において等角であるという。また, 写像 f が定義域 D の各点におい
て等角であるとき f を等角写像という。
命題 2.1 z の関数 f(z) が z 平面上の領域 D において正則でつねに f ′(z) 0 なら
ば f : z → = f(z) は等角写像である。また, 逆に, f : z → w = f(z) が z 平面上
の領域 D で定義された等角写像ならば D において f(z) は z の正則関数でつねに
f ′(z) ≠ 0 である。
命題 2.1 は, f(z) が z について正則である場合には Cauchy-Riemann の関係式より
f(z) = ux(x, y) + ix(x, y) = y(x, y) - iuy(x, y)
が成り立つので
∂(u,v)/∂(x, y) =
｜ux(x, y) uy(x, y)｜
｜vx(x, y) vy(x, y)｜
＝｜f’(z)｜^2 ・・・ (2.2)
が言えることによる。
つづく
218:１３２人目の素数さん
23/05/19 13:00:59.51 JFpC5B37.net
>>208
つづき
（上記のヤコビ行列関連資料）
>>114より
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
武藤研究室 東工大物理
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
講義 物理数学第一 平成１８年度 学部 ３学期
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
第 6 章 等角写像
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヤコビ行列
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
多変数の微分積分学1 (2013年度)
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
多変数の微分積分学1 第9回
桂田 祐史
2013 年 6 月 17 日
P5
例 7.3 (波動方程式)
ux, uxx, ut, utt
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
P2
定義 5.1 (偏導関数、高階微分、Ck 級) ?
f の変数 xj に関する偏導関数と呼び、
∂f/∂xj,∂/∂xj f, fxj
などの記号で表す。
(引用終り)
以上
219:１３２人目の素数さん
23/05/19 20:40:45.10 ORcAau1M.net
>>206
ありがとうございました
Looman-Menchoff、holomorphic function、conformal map
いままでの理解が浅かったことがよく分かりました
勉強になりました
220:１３２人目の素数さん
23/05/19 20:49:42.75 5t5bH3Qb.net
池沼仲間の>>185も仲間に入れてあげて
221:１３２人目の素数さん
23/05/19 21:54:55.82 ZeR3HOhy.net
いいよー
222:１３２人目の素数さん
23/05/20 04:01:33.52 XEZHWupA.net
>>211
ベールの範疇定理も載っている解析学の基礎に書いてあるような内容
の>>185を読んで池沼と感じる君が逆に池沼の可能性がある
223:１３２人目の素数さん
23/05/20 07:35:58.08 YBEFPHXy.net
>>ベールの範疇定理も載っている解析学の基礎に書いてあるような内容
Kroneckerもあり
Liouvilleもありだ
224:１３２人目の素数さん
23/05/20 08:51:16.85 zxbG6MDU.net
層（sheaf）の話 youtube
実は、コメントにあるように、前層(presheaf)の解説で終わってしまっている
でも、重要なことを言っているのは、650秒あたり URLﾘﾝｸ(youtu.be)
大学レベルの数学でよくあるのが、「なんでこんな定義？」「定義の意味わからん」
それは、先に進んで分かると述べている
一方、理解できてないのに進んでも、やっぱり分からないというのも事実
結局、繰り返すのが一つの方策 (下記 山口真由の勉強法「7回読み」ご参照。司法試験用語では”回す”という)
失敗パターンは、「数学に王道なし」「一歩一歩」ってやつ
少なくとも最初は、軽く最後まで読まないと。そして、もう一度
（数学では、速読と精読を組み合わせるとか、回数は理解度に合わせて調整するとか）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
層（sheaf）って何？関手（functor）の一種です。超ザックリ解説。
謎の数学者 2021/12/08 現役数学者が教える大学数学
Takuya Ishikawa
2 か月前
前層(presheaf)の解説で終わってしまっているので、層の名が表す概念まで続けてほしいです。
URLﾘﾝｸ(pharma.mynavi.jp)
マイナビ薬剤師
山口真由の勉強法「7回読み」の方法とコツを聞いてみた
勉強しているのになかなか望むような成果が出ない……と焦ってしまう人も多いのではないでしょうか。 薬剤師さんの「学び」の悩みに、東京大学法学部を首席で卒業し、大学生のときに司法試験と国家公務員Ⅰ種に合格した、いわば「学びのプロ」である山口真由さんが答えてくれました。
薬剤師国家試験の勉強にも応用できる7回読みとは？
同じ教材を7回読むだけで、勉強の成果は確実に上がります。
その方法はとてもシンプルなもので、同じ本を7回読むというもの。この話をすると「え、読むだけなの？」といつも驚かれるのですが
なぜ同じ教材を繰り返す人が少ないのでしょうか。
おそらく、1回1回をしっかり読もうとしているからですね。そうではなく、薄くサラサラと読み流すことを7回繰り返すことがこの勉強法のポイントになります。
繰り返し読むことで、学習内容を記憶に定着させるのが「7回読み勉強法」の基本的な考え方です。
225:１３２人目の素数さん
23/05/20 10:00:31.07 zxbG6MDU.net
>>189 追加
> 5)Narasimhan's proof on Looman-Menchoff theorem.>>177
>URLﾘﾝｸ(mathweb.ucsd.edu)
>転記略。上記で例外点の記載が省かれていることに、いま気づいた。例外点の存在を入れるのは、簡単なのか（あるいはテキストとしては あまりに煩雑になるからか）
手抜きした転記入れます
Theorem1(The Looman-Mwenchoff Theorem).
Let Ω be an open set in C and let f be a continuous function on Ω.
Suppose that ∂f/∂x,∂f/∂y exist at every point of Ω and satisfy
∂f/∂z^- ＝1/2(∂f/∂x+ i∂f/∂y)＝0 on Ω. （注：z^-は、共役複素数）
Then f is holomorphic on Ω.
なるほど 再録>>189
4）wikipedia Looman-Menchoff theorem >>166
Let Ω be an open set in C and f : Ω → C be a continuous function. Suppose that the partial derivatives
∂f/∂x and ∂f/∂y
exist everywhere but a countable set in Ω.
Then f is holomorphic if and only if it satisfies the Cauchy-Riemann equation:
∂f/∂z^-＝1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0. （注：z^-は、共役複素数）
(引用終り)
対比すると、Narasimhanでは、1/2(∂f/∂x+∂f/∂y)＝0→ f is holomorphic のみか
おっと、>>207 では ”if and only if”を、ちょっと誤読しているな。ほんと池沼だった
>>208より
”命題 2.1 z の関数 f(z) が z 平面上の領域 D において正則でつねに f ′(z)≠ 0 なら
ば f : z → = f(z) は等角写像である。また, 逆に, f : z → w = f(z) が z 平面上
の領域 D で定義された等角写像ならば D において f(z) は z の正則関数でつねに
f ′(z) ≠ 0 である。”
”命題 2.1 は, f(z) が z について正則である場合には Cauchy-Riemann の関係式より
f(z) = ux(x, y) + ix(x, y) = y(x, y) ? iuy(x, y)
が成り立つので∂(u,v)/∂(x, y) =|ヤコビ行列(原文ご参照)|＝ | f ′(z)|^2 ・・・ (2.2)
が言えることによる。”(引用終り)
だね
Narasimhanが証明でやっていることは、>>191がヒントを書いてくれたように
Goursatの定理の拡張とみれば、それほど難しくないのでは？ ”continuous”の仮定も効いているし
226:１３２人目の素数さん
23/05/20 10:08:00.34 zxbG6MDU.net
>>216 補足
>”continuous”の仮定も効いているし
continuous functionを仮定しているので
病的な関数は考えなくて良い
なので、実解析の深いところまでは、いかない気がする
Narasimhanが証明でやっていることは
積分に持ち込んで処理しているってことと見た
その準備のLemmaがいくつかいるだけ
227:１３２人目の素数さん
23/05/20 10:41:20.19 zxbG6MDU.net
>>216 補足
等角性→正則性
URLﾘﾝｸ(ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
堀田 一敬（Ikkei HOTTA）
准教授
山口大学 大学院創成科学研究科
工学部 工学基礎教育
URLﾘﾝｸ(ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
平成 18 年度 修士論文
平面擬等角写像
東京都立大学大学院 理学研究科 数学専攻
堀田 一敬
1.2 接写像
P25
これがちょうど θ2-θ1 になるには，arg の値が θ2 と θ1 によらず 0 にならなければいけない，
つまり等角ならば fz^-
228:/fz = 0 となる．この条件より fz^- = 0 となり ，fz^- = (ux -vy)/2 +i(vx +uy)/2 からこれはコーシー・リーマンの方程式 ux = vy，vx = -uy と同値となる． つまり等角性から正則性が導かれることを表している． （注：z^-は、共役複素数）
229:１３２人目の素数さん
23/05/20 12:04:32.46 hYGpCz7Z.net
勉強されましたね
230:１３２人目の素数さん
23/05/20 15:29:26.45 zxbG6MDU.net
>>219
ありがとうございます
スレ主です
お陰様で勉強させてもらいました
なかなかここまで深いレベルまで必要とされないので、いままで表面の理解だけで終わっていました
そもそもの話に戻ると
前スレからの”正則（Holomorphic）と等角(Conformal map)の問題”で
本来は、正則（Holomorphic）と等角(Conformal map)とは、全く別に起源をもつ概念だが
しかし、複素関数論では
コーシー・リーマンの方程式の導きにより
（The Looman-Mwenchoff Theorem も使って）
同値関係：正則（Holomorphic）←→等角(Conformal map)
が成立ってことですね
複素平面 C→C ですが
二次元でR^2→R^2 に翻訳することも可能です
しかし、複素関数論が高度に整備されているし、普通は複素関数 C→C で等角写像を扱います（圧倒的にR^2→R^2より分かり易いｗ）
（余談ですが、物理では共形変換ですね）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
共形変換（conformal transformation）とは、空間のある1点で交わった2曲線の接線のなす角度が保存される変換
等角写像とも。
並進、回転、スケール変換などはその最も簡単な例。
特に、2次元では無限個の変換が存在することが示され、複素平面上の解析関数で表現できる。
場の理論において、共形変換のもとで不変となっている物理系を記述する理論を共形場理論と呼ぶ。
231:１３２人目の素数さん
23/05/20 16:15:50.13 zxbG6MDU.net
>>27
>現代数学の基本概念 上下 2019
>by J¨urgen Jost (原名), J. ヨスト (著), 清水 勇二 (翻訳)丸善出版 (August 20, 2019)
>似たような方向性の有名所としてS.マックレーンの”数学-その機能と形式（原題：Mathematics, Form and Function）”がある．それぞれに時代や著者の違いが現れていて興味深い．
戻る
図書館に頼んでいた上記の本が来ました
一応報告だけ
S.マックレーンは、第9章力学という章があってびっくり
ここに”5.数学における力学”という一節がある
これは、一つの卓見でしょうね
J. ヨストの上 第4章 空間 が、いかにも現代数学の空間の章らしいｗ
J. ヨストの下 第5章 空間とは何か？ は？ ”5.1 概念的脱構築と歴史的視点”？ ドイツ哲学の系譜か
第9章でトポスか。強制法を扱っている
第10章 諸例の復習 ”10.1 Φ（無）、10．2 {1}(有)、10.3 {0、1}(選択)” は？ｗ 禅問答か 東洋哲学の系譜か
見る人によって、それぞれいい本に見えるかな（読む人のレベル次第で）
これ、結構名著かも
232:１３２人目の素数さん
23/05/20 17:58:47.57 0U9cE+nH.net
１でも他の誰でもいいが、２次元共形場理論について
なぜ「共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される」か
なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか
この２点について教えてくれ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
233: 2次元共形場理論 2次元共形場理論は歴史的には1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初めて定式化された。 2次元共形場理論で言及するのは次のような場合である。 一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。 しかし、空間1次元＋時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、 共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。 この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(Virasoro 代数)の部分代数となる。 Virasoro代数から得られるヒルベルト空間に対する制限は強力であり、 ミニマル模型と呼ばれる模型群に対しては、(これには臨界点上の2次元イジング模型も含まれる) 全ての相関関数の振る舞いをVirasoro代数とWard-Takahasi恒等式から厳密に求めることができる（可解である）。 可解である2次元共形場理論は、2次元統計系あるいは1+1次元量子系を理解する上で強力な武器となっている。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
234:１３２人目の素数さん
23/05/21 09:42:06.84 bq+56Klo.net
>>222
ありがとう
スレ主です
> 2次元共形場理論は歴史的には1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初めて定式化された
懐かしいな、久々に見たよ(BPZ)
詳しくないので、うまく回答できないがご容赦
>なぜ「共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される」か
>なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか
1）”拡張される”は、言葉のあやだろう
”それが数学的事実”ってことだな(下記 英wikipediaもご参照)
2）SO(2,2)は、日wikipediaの冒頭にあるよ
”共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d-1次元＋時間1次元のd次元時空間ではリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個あり、その内訳は以下のとおり”
だ。これで、d=2が2次元の場合だ
3）さて、”なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか”？
英 wikipedia より
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Conformal field theory
Two dimensions vs higher dimensions
などが参考になるかも・・。この章以外も読まないとダメだなｗ
二次元共形場の理論もね URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
あと、日 wikipedia 参考文献 江口 徹, 菅原 祐二:「共形場理論」、岩波書店、ISBN 978-4000052498（2015/9/18）はどうかな
4）さらに、個人的感想（妄想？）
a)低次元トポロジーが関係しているのでは？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（二次元 タイヒミューラー空間とか）
（あるいは、4次元関連かも？ 複素関数は R^2→R^2であって、4次元の存在？）
b)要するに、ある次元で特別なことが起きるというのは、類似の事例が数学では結構あるよ
余談
2次元共形場理論1984年が、数学で用意していた複素関数論にスッポリ嵌ったのは、相対性理論がテンソル解析に嵌ったのに類似か？ｗ
（S.マックレーン ”5.数学における力学”>>221の実例だな！）
235:１３２人目の素数さん
23/05/21 12:18:13.52 pNkNMu8Y.net
>>223
222は1に尋ねたのが間違いだったな
案の定、中身ゼロ回答
236:１３２人目の素数さん
23/05/21 16:58:34.17 pNkNMu8Y.net
>>223
> さて、”なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか”？
> 英 wikipedia より
> URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
> Conformal field theory
> Two dimensions vs higher dimensions
> などが参考になるかも・・。この章以外も読まないとダメだなｗ
１は日本語だけでなく英語も読めず
結局ここに答えが書いてあることも見つけられなかった、と
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
１は数学やめたら？無駄だから
237:１３２人目の素数さん
23/05/21 18:32:59.28 bq+56Klo.net
>>224
スレ主です
ありがとう
ついでに 下記くろき玄 貼る（”くろき”がNGワードらしい）
これでも見たら？
なお、ド素人なので、中身は聞かれてもわからん
くろき玄に聞いてねｗ
＜URLが通らないので検索請う＞
くろき玄の文書置き場
2017年6月10日更新 (2008年9月19日作成)
くろき玄、「共形場理論の定式化について」、1995年8月における京大数理研における講演のまとめ、研究会「群の表現論と等質空間の解析学」、1995年7月31日～8月3日、主催者：齊藤睦、数理解析研究所講究録 No. 929 (1995)、 103--134 に掲載 (最新の訂正版：PDF)
曲線やバンドルの変形をどのように共形場理論と結び付けるかに関するノート。このノートを見れば Virasoro 代数と affine Lie 代数の中心拡大の部分と代数曲線上の幾何の関係がわかる。共形場理論は曲線および曲線上のバンドルの変形理論を場の量子論の言葉を使って書き直したものとみなせる。
＜URLが通らないので検索請う＞
共形場理論の定式化について
くろき 玄
東北大学大学院理学研究科数学専攻
2003 年 12 月 26 日 (月) 第 7.1 版 (1995 年 11 月 2 日初版)
1 共形場理論の枠組でとらえられる色々な例
この節では共形場理論の枠組でとらえられる例にはどのようなものがあるかについて説
明する. 主に [BPZ] の model と Wess-Zumino-Witten model に関係した場合を扱う.
共形場理論の数学的解釈には色々な流儀があるが, このノートにおいては, 共形場理論
を compact Riemann 面とその上の特定の幾何構造 (例えば, principal G-bunlde やその上
の quasi parabolic structure) の family とそれに付随して現われる無限次元代数の表現の
組に対して, family の base space 上の線型微分方程式 (twisted D-module) を対応させる
仕組としてとらえる.
例 1.1 (BPZ model). 共形場理論は [BPZ] において初めて定式化された.
BPZの modelにおける conformal block の理論は, 数学的には, compact Riemann 面とその上の N 個
の点の組 (X; Q1, . . . , QN ) の family の上の理論として定式化される.
4 最後に
最後に詳しく触れることができなかった点について少しコメントしておこう.
略
238:１３２人目の素数さん
23/05/21 18:33:37.20 bq+56Klo.net
>>225
フォローありがとう
239:１３２人目の素数さん
23/05/21 18:35:30.27 bq+56Klo.net
>>226
URLだけだと通るかな？ｗ
URLﾘﾝｸ(genkuroki.github.io)
URLﾘﾝｸ(genkuroki.github.io)
240:１３２人目の素数さん
23/05/21 18:36:15.40 bq+56Klo.net
>>228
通った！ｗ
ワケワカですねｗ
241:１３２人目の素数さん
23/05/21 18:38:55.70 rh28UfMx.net
>>194
>>193
>>どうも
>>スレ主です
初めまして。
スレ主ということは、「１」さんということですね。
>>書いたよ 292で下記だな
確認しました。書いて頂き感謝申し上げます。
ありがとうございます。
>>また困ったら来てくれ
>>気がついたら、書いてあげるよ
あらためて感謝申し上げます。
肝心の「電気治療器」の回答がまだ誰からも来ていない
のですが、気長に待とうと思います。何分過疎ってるので。
242:230
23/05/21 18:47:18.35 rh28UfMx.net
この�
243:Xレッドにはこうして書き込めるのに、 自分の希望するスレッドには、「今だに」まったく書き込めません。 「電気治療器」の回答が来ても、その返信ができないため、 今後どうしようか迷っています。 ちなみにですが、私が使用している「tDCS」は数学や物理の問題 を解くのにも役に立つかも知れません。 頭が良くなります(笑)
244:１３２人目の素数さん
23/05/21 19:24:36.46 pNkNMu8Y.net
>>231
>頭が良くなります(笑)
頭悪いな（嘲）
245:１３２人目の素数さん
23/05/21 19:49:43.31 bq+56Klo.net
>>226 追加
通るかな？
これ、面白いな
URLﾘﾝｸ(genkuroki.github.io)
くろき玄、「共形場理論と保型形式論」、1993年8月における Young Summer Seminar で話した内容のまとめ。 (PDF)
古くから数の世界と函数の世界のあいだには多くの類似があることが知られている。たとえば (有理) 整数と (一変数の) 多項式函数はよく似た性質を持ち、有理数と有理函数、無理数と無理函数、代数的数と代数函数、超越数と超越函数のように数と函数に同じ形容詞を付けることができる。代数体 (＝有理数体の有限次拡大) と複素数体上の代数函数体 (＝コンパクト Riemann 面上の有理型函数全体のなす体) はよく似ている。 (それら二つのあいだに有限体上の代数函数体をはさむと類似の関係がさらに見やすくなるというのが A. Weil による有名な古典的アイデアである。)
この類似のもとで「代数体と代数群から得られる保型形式」の対応物は「コンパクト Riemann 面上の主束のモジュライ空間上の直線束の大域切断」＝「affine Lie 代数の対称性を持つ共形場理論における conformal block」であることがわかる。つまり、共形場理論は保型形式論のコンパクト Riemann 面での類似物なのである。
URLﾘﾝｸ(genkuroki.github.io)
共形場理論と保型形式論
くろき玄
1 序
昔1、何も知らない私は次のような質問をしたことがある:
「Riemann 面の上の共形場理論の Spec Z 上の類似物2は何か?」3
そのときには解答を得ることができなかった。しかし、この問の答は非常に簡単である:
「それは古くから研究されている保型形式論である」
この解説文の目的はこのことを説明することである4
1私が大学院博士課程前期の 1 年生のとき (今から約 5 年前)
2より一般には代数体 (すなわち有理数体 Q の有限次拡大体) もしくは有限体上の曲線に対する類似
物を考えるのが自然である。Spec Z は Q の場合に対応しているが、無限素点も考慮しなければいけないので、Spec Z と書くべきかもしれない
3この質問は「共形場理論が Z 上の構造を持つか?」とは一応異なる。その方向も「共形場理論は数
論的幾何学の構造を持つか?」に関係していて興味深い。残念ながらこの解説ではこれ以上その方向に触れることはできない
4以下、イイカゲンなことも書く予定である
246:１３２人目の素数さん
23/05/21 20:11:21.42 bq+56Klo.net
>>230
どうも
スレ主です
ありがとう
>このスレッドにはこうして書き込めるのに、
>自分の希望するスレッドには、「今だに」まったく書き込めません。
>「電気治療器」の回答が来ても、その返信ができないため、
>今後どうしようか迷っています。
ふーん、なるほど
セールスするわけじゃないが
下記浪人は規制を回避する一つの検討の選択枝かも（効果を保証するものではありませんので十分ご検討ください）
（因みに私は、下記Jane Style+浪人を使っています。（なお、最近浪人がよく”焼かれる”そうなので、気をつけてね））
あと、数回なら書いてあげるよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(premium.5ch.net)
プレミアムRonin (浪人) 主な特典
書き込み規制対象のプロバイダーからの書き込み
書き込みが規制されているプロバイダーからでも書�
247:ｫ込みができるようになります。 スレッド作成時の規制緩和 スレッド作成時の規制を緩和します。 連続投稿の規制緩和 連続投稿の規制を緩和します。 http://janesoft.net/janestyle/ 5ちゃんねる専用ブラウザ 「Jane Style」
248:１３２人目の素数さん
23/05/21 20:23:08.62 bq+56Klo.net
>>233
追加しておきます
同様に内容は分かってないので、つっこみは無しねｗ
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
共形場理論の数学
河東泰之 (Yasuyuki Kawahigashi)
東大数理
2012 年 6 月 17 日，理研
そもそも数理物理とは何を指すのか．本来，「物理」の部分が本体
の名詞であり，「数理」はそれにかかる形容詞であるから，数学的
手法を用いて，物理的結論 (何とか粒子の質量を予言するとか) を
導くべきであろうが，そういうことを研究している数学者は非常
に少ない．
実際に私を含めた多くの数学者がしているのは，物理的から来る
問題設定，アイディア，技術などを用いた，数学的に興味深いと
思われる理論，問題の数学的研究である．
今日の話もその一つであり，共形場理論に関連して生じる数学的
問題のうち，ヒルベルト空間の上の作用素 (演算子) のなす無限次
元の代数構造に関連した問題を取り上げる．
もっと幾何学的なアプローチもいろいろあるが，そちらとの関係
はあまりよくわかっておらず，今日は取り上げない．
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
日本物理学会誌 Vol. 62, No. 10, 2010
共形場理論とインスタントンの統計力学
立川 裕二
超弦理論を研究していると、超弦理論なしで議論できる二つの量が、不思議なことに一致しているべきであるという予言が導かれる
ことがしばしばある。この稿では、如何にしてそのような予言がなされるかを説明し、その一例として、2 次元の共形場理論のコ
ヒーレント状態と 4 次元のインスタントンの統計力学の関係式を具体的に読者が確認できるようにしたい。
249:１３２人目の素数さん
23/05/21 23:03:33.81 bq+56Klo.net
>>223
>日 wikipedia 参考文献 江口 徹, 菅原 祐二「共形場理論」岩波書店（2015/9/18）
これの試し読みpdfに、キリング・ベクトル場>>225とか、角度を変えないとか
コーシー・リーマン方程式、1.18）は無限次元のリー代数を生成する
全部書いてあった。これは、良い本です！
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波 共形場理論 江口 徹 著 , 菅原 祐二 著 2015/09/17
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
試し読み
1.2 共形変換
P8
以上の考察より，共形変換とは空間の無限小領域（～= 接空間）におけ
る図形の形を不変に保つ変換（相似変換）であると述べることができる＊4．これが「共形」（conformal）の名の由来である．
P9
これを満たすベクトル場 vμ(x) を「計量 gμν に対する共形キリング・ベクトル場（conformal Killing vector field）」と呼び＊6，無限小共形変換の生成子となる．
独立解を求めることができる．表 1.1 には d 次元ユークリッド空間
の共形キリング・ベクトル場とその積分形（パラメータの大きさが有限のとき
の共形変換の形）が示してある．d>2 ではこの表は共形キリング・ベクトルを
尽くしている．これらは d 次元時空の共形変換群を生成し，SO(d, 2) に同型
であることが知られている．
P10
それでは 2 次元の場合を考えてみよう．
（1.13）は，コーシー・リーマン方程式（関係式）と解釈できる．
P1
250:2 したがって（1.18）は無限次元のリー代数を生成する．このように，局所的な共 形変換が無限次元の代数をなすというのが 2 次元の共形場理論の著しい特徴 であり，2 次元で共形対称性が強力な解析手段となる所以である． それでは大域的な共形変換はどのように与えられるであろうか？ 大域的な 性質なので理論を定義する空間のトポロジーに依存する
251:１３２人目の素数さん
23/05/22 06:01:50.85 qAJHmigG.net
>>236
> 試し読みpdfに、
> キリング・ベクトル場とか、
> 角度を変えないとか
> コーシー・リーマン方程式、
> 1.18）は無限次元のリー代数を生成する
> 全部書いてあった。
そんなん全部初歩だからな
> これは、良い本です！
全部読めずにただ褒める素人 イタイね
> P12
> したがって（1.18）は無限次元のリー代数を生成する．
あんた、ほんとに的確な引用ができない人だねえ
その前の↓を引用しなくちゃ無意味でしょ
局所的な無限小共形変換は，
z=0 のまわりのローラン展開で表すのが便利である；
z → ?(z) ≡ z+ Σ（n∈Z）ε_n z_n+1. （1.17）
z￣ の変換はこの複素共役である．
明らかに変換（1.17）は無限個の生成子を持ち，
複素ベクトル場で次のように表そう.；
n ≡ ?zn+1 ∂/∂z , n ∈ Z. （1.18）
これらのベクトル場は次の交換関係（リー括弧）を持つ；
[l_m, l_n]=(m?n)l_（m+n）, (m, n ∈ Z). （1.19）
したがって（1.18）は無限次元のリー代数を生成する．
あんた、数学興味あんの？ないでしょ
252:１３２人目の素数さん
23/05/22 06:04:19.20 qAJHmigG.net
>>237 修正
局所的な無限小共形変換は，
z=0 のまわりのローラン展開で表すのが便利である；
z → φ(z) ≡ z+ Σ（n∈Z）ε_n z_n+1. （1.17）
z￣ の変換はこの複素共役である．
明らかに変換（1.17）は無限個の生成子を持ち，
複素ベクトル場で次のように表そう.；
ｌ_n ≡ -zn+1 ∂/∂z , n ∈ Z. （1.18）
これらのベクトル場は次の交換関係（リー括弧）を持つ；
[l_m, l_n]=(m?n)l_（m+n）, (m, n ∈ Z). （1.19）
したがって（1.18）は無限次元のリー代数を生成する．
この程度の手間も惜しむ怠惰な人は
そもそもコピペしないほうがいいよ
無駄だから
253:１３２人目の素数さん
23/05/22 06:06:21.65 qAJHmigG.net
>>238 再修正
局所的な無限小共形変換は，
z=0 のまわりのローラン展開で表すのが便利である；
z → φ(z) ≡ z+ Σ（n∈Z）ε_n z_n+1. （1.17）
z￣ の変換はこの複素共役である．
明らかに変換（1.17）は無限個の生成子を持ち，
複素ベクトル場で次のように表そう.；
ｌ_n ≡ -zn+1 ∂/∂z , n ∈ Z. （1.18）
これらのベクトル場は次の交換関係（リー括弧）を持つ；
[l_m, l_n]=(m-n)l_（m+n）, (m, n ∈ Z). （1.19）
とにかく数学理解したいなら汗かけよ
証明読まない、計算しない、数式コピペしない
そんな怠惰な人は数学興味もっても無駄
254:１３２人目の素数さん
23/05/22 06:07:25.74 qAJHmigG.net
ああ、なんとかの一つ覚えで「ありがとう」って書くのはNGな
そういうのは偽善者のすることだからな（一刀両断）
255:１３２人目の素数さん
23/05/22 14:59:21.57 GU3MIcVP.net
スレ主です
ごくろうさまｗ
>>240
「ありがとう」は、礼儀の一つ
礼を欠くと、失礼（ or 欠礼）になる
>>237-239
あんた、「岩波 共形場理論 江口 徹 著 , 菅原 祐二 著 2015/09/17」
を誤解しているけど、これ物理の本であって、数学本ではないよｗｗｗ
実際、江口徹・菅原祐二 両名とも、物理屋ですｗ
江口徹氏は、著名人で知る人ぞ知る
（素粒子物理では知らないと”もぐり”かも。数学屋さんはどうか知らないがね）
菅原祐二氏も、東大物理出身ですね（下記）
キリング・ベクトル場は
数学屋には不案内と思ったから、特記した
あんたの引用した部分を省いたのは
だいたい数式は文字化けして手直しが面倒なのとｗ
トリビアだから省いたのとｗ
引用が多いと、レスが2048バイト制限を超えるのと
いろんな事情があったのですｗ
ともかく、ご苦労さま
お礼を言っておきますｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
江口 徹（えぐち とおる、1948年2月 - 2019年1月30日[1]）は、日本の素粒子物理学研究者。東京大学名誉教授。京都大学基礎物理学研究所元所長。
茨城県土浦市生まれ。2009年「数理物理学的な手法による素粒子論の研究」により恩賜賞・日本学士院賞を受賞。
略歴
1970年3月 - 東京大学理学部卒業
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
菅原 祐二
学歴
- 1994年3月東京大学大学院 理学系研究科 物理学専攻
- 1989年3月東京大学 理学部 物理学科
256:１３２人目の素数さん
23/05/22 15:11:03.75 GU3MIcVP.net
>>222
> １でも他の誰でもいいが、２次元共形場理論について
>なぜ「共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される」か
>なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか
>この２点について教えてくれ
ついでにコメント
１）この質問者のID:0U9cE+nH氏も時間を掛ければ、検索して私以上のレベルには行ったろう（質問のレベルが高いからそう思った）
２）多分、素朴な疑問として、気軽に書いてみたんだろうね
３）”１でも他の誰でもいいが”とあるとおりだ。回答者はだれでもいいのだが
４）スレ主としては、誘い水のつもりで書いただけだよ
257:１３２人目の素数さん
23/05/22 15:49:43.66 GU3MIcVP.net
>>247
>>なぜ３次元以上ではそのような拡張ができないのか
いろんな数学で、特殊な次元が存在する例がある
・例えば、M理論の10次元とか11次元とか
・例えば、Leech latticeの24次元とか（下記）
・”なぜ”という問いに対する答えは、なかなか難しいよね、納得できる回答
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
M理論
M理論（Mりろん）とは、現在知られている5つの超弦理論を統合するとされる、11次元（空間次元が10個、時間次元が1個）の仮説理論である。尚、この理論には弦は存在せず、2次元の膜（メンブレーン）や5次元の膜が構成要素であると考えられている。
超弦理論との関係
超弦理論が1980年代に物理学界で話題になると研究が急速に進み、超弦理論は5つの異なるバージョンに発展した。それらの5つのバージョンの超弦理論はそれぞれ、I型、IIA型、IIB型、ヘテロSO（32）、ヘテロE8×E8と呼ばれる。これらの5つのバージョンを統合するのがM理論である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
One approach to formulating M-theory and studying its properties is provided by the anti-de Sitter/conformal field theory (AdS/CFT) correspondence.
6D (2,0) superconformal field theory
ABJM superconformal field theory
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Leech lattice
In mathematics, the Leech lattice is an even unimodular lattice Λ24 in 24-dimensional Euclidean space, which is one of the best models for the kissing number problem. It was discovered by John Leech (1967). It may also have been discovered (but not published) by Ernst Witt in 1940.
The vertex algebra of the two-dimensional conformal field theory describing bosonic string theory, compactified on the 24-dimensional quotient torus R24/Λ24 and orbifolded by a two-element reflection group, provides an explicit construction of the Griess algebra that has the monster group as its automorphism group. This monster vertex algebra was also used to prove the monstrous moonshine conjectures.
258:あ
23/05/22 20:26:00.15 0S5AJj3x.net
ガロアって画像によるけど亀頭みたいな頭してるよね
259:１３２人目の素数さん
23/05/22 23:25:52.25 7NpsVkVo.net
>>244
スレ主です
ありがとう
それは、下記で”弟アルフレッドによるガロアの肖像画”かな？
余談ですが、鬼頭姓の方もいますね
鬼滅の刃ブームのときは、困惑したかも
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エヴァリスト・ガロア
弟アルフレッドによるガロアの肖像画
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
260:lois_Portrait_No.2.jpg/440px-E._Galois_Portrait_No.2.jpg ポピュラーな画像（よく使われるやつ） https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/500px-Evariste_galois.jpg
261:１３２人目の素数さん
23/05/23 14:51:34.51 EOGxs/PA.net
ぶすですね
好きだった女性がガロアと同じくらいガロアのやってた数学が理解できてなかったらふられちゃったのもにゃぴですね
262:１３２人目の素数さん
23/05/23 14:57:00.84 EOGxs/PA.net
相手の女性は人類の知の拡張と種の進化に貢献しなかった責任痛感して修道院にお籠もりを…ん、にゃぴして頂きたかったですね
263:１３２人目の素数さん
23/05/23 18:31:46.91 y+MU+Srk.net
こっちの画像はよく使われています
ぶすかどうかは、それをどう数学として定義するかによる
ChatGPTにお伺いを立てたらどうかな？
ポピュラーな画像（よく使われるやつ）
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
264:１３２人目の素数さん
23/05/23 20:40:33.59 /s4TVnyl.net
今日はチンコでも擦ってオナニーして寝なさい
朝にはスッキリと数学と向き合えるぞ
265:１３２人目の素数さん
23/05/23 20:42:07.59 /s4TVnyl.net
オラ、スッキリしたぞーーー！！
266:１３２人目の素数さん
23/05/23 21:03:54.96 n8lpDNJO.net
ご苦労様
267:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:03:51.59 n8lpDNJO.net
fujita conjecture 藤田 隆夫 飯高先生の系譜か
東大教養学部から東工大へか
ようやくここまで分かった
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Fujita conjecture
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
Advanced Studies in Pure Mathematics 10, 1987
Algebraic Geometry, Sendai, 1985
pp. 167-17
On Polarized Manifolds Whose Adjoint Bundles Are Not Semipositive
Takao Fujita
Department of Mathematics
College of Arts and Science University of Tokyo
Komaba, Meguro, Tokyo 153 Japan
URLﾘﾝｸ(search.star.titech.ac.jp)
藤田 隆夫 Takao Fujita
東京工業大学 名誉教授(2015-)
職歴 東京大学 教養学部 助手(1975-1979)
東京大学 教養学部 助教授(1979-1989)
東京工業大学 理学部 教授(1989-1998)
東京工業大学 大学院理工学研究科 教授(1998-2015)
学歴（出身学校・出身大学等）
東京大学 理学系研究科 数学 博士 中退(1975)
東京大学 理学部 数学科 卒業(1972)
学位論文 On Kaehler fiber spaces over curves, 理学博士, 東京大学, 1978.
生年月 1949.07
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
飯高予想について
大阪大学大学院理学研究科数学専攻
藤野 修 ? 令和 2 年 6 月 3 日
概 要
飯高予想に関して色々述べる。ほぼ雑談である。
5 1980年代の飯高プログラム
1970 年代後半から藤田隆夫、Eckart Viehweg、川又雄二郎らによって
飯高予想の重要な部分的解決が次々に得られる。この時代が飯高プログ
ラムの絶頂期の一つだったのではないかと推測する。
268:１３２人目の素数さん
23/05/24 06:41:10.24 L25GFECC.net
１、箱入り無数目でついに完全敗北宣言
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:411番)
＞）いま、列が100ある
＞決定番号（自然数）はd1からd100の100個だ
＞時枝さんは、d1からd100で、あるdi ｜ 1≦i≦100
＞（簡単に、d1からd100の100個は全て異なるとする）
＞で、diが最大でない確率は99/100だという
＞ここまでは良いよ
ここまでは良いよ で完全敗北
１の愛する日本は負けました！
天皇１は斬首されて死にました！
ご愁傷様
269:１３２人目の素数さん
23/05/24 08:34:47.17 Q3YAVdaM.net
>>253
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:411番)
繰り返す
その４
１）いま、列が100ある
決定番号（自然数）はd1～100の100個だ
２）時枝さんは、d1～100で、あるdi ｜ 1≦i≦100（簡単に、d1～100の100個は全て異なるとする）
で、diが最大でない確率は99/100だという
ここまでは良いよ
３）だけど、列の長さが有限だったら？
いくら長くても有限長では、数当ては失敗するよね
列の長さが可算無限のときにのみ、当たるように見えるｗ
それは、列長可算無限だと非正則分布になるよ(>>302 ご参照)
それがゴマカシってことでしょ？！ ｗ
270:１３２人目の素数さん
23/05/24 09:43:11.92 bstjraD5.net
有限バカ一代
271:１３２人目の素数さん
23/05/24 11:23:54.79 JXlsSlsx.net
>>255
無限バカ一代かなｗ
272:１３２人目の素数さん
23/05/24 14:23:38.80 wqnUBSJo.net
大阪雪駄からでた藁の早稲田
273:１３２人目の素数さん
23/05/24 15:23:03.73 JXlsSlsx.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.jst.go.jp)
戦略的創造研究推進事業 CREST
研究領域「数学と諸分野の協働によるブレークスルーの探索」
研究課題「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」
研究終了報告書
研究期間 平成２０年１０月～平成２６年３月
研究代表者 日比 孝之
（大阪大学大学院情報科学研究科、教授）
146. 渋田敬史，完全交差トーリックイデアルの乗数イデアルについて，JST CREST「現代の産業社会とグレ
ブナー基底の調和」グレブナー若手集会，静岡大学，静岡，2012.2.17.
（前スレ2より）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:622番)
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004
URLﾘﾝｸ(gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004
274:１３２人目の素数さん
23/05/25 07:59:24.03 VQVrRtXA.net
河東さん、竹崎正道先生の系譜か
いまごろ知ったよｗ
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
適当に集めたリンクです．一貫性は全然ありません．
河東のホームページに戻る．
小沢登高 書類上はうちの博士第5号だが私は何も指導していません．いろいろ教えていただきました
G. Pisier 小沢君の先生
竹崎正道 私の先生 URLﾘﾝｸ(www.math.ucla.edu)
275:１３２人目の素数さん
23/05/25 20:11:00.97 4rbEdQv4.net
>>258
グレブナー基底とかいう前にブッフバーガーアルゴリズム習得しような
クラメールの公式とかいう前にガウス消去法習得しような
北朝鮮の大学では線形代数も教えないのか？
276:１３２人目の素数さん
23/05/25 20:56:46.96 VQVrRtXA.net
>>260
それな
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
雑誌詳細：数学セミナー 2023年6月号
巻頭
数学と農学の意外な関係……濱田龍義 1
”最近では便利なソフトウェアの出現により
数学を知らなくても「このソフトウェアに質問を入力したら○○の答えが得られます」 ということが増えて・・”
とあるよ
いまどき、習うより慣れろという言葉もある
同時並行で、ソフトウェアを使いながら、勉強すれば良いと思う
まあ、あんた落ちこぼれさんだろ？
落ちこぼれさんの言うことに、説得力ないな
277:１３２人目の素数さん
23/05/26 06:16:37.34 W2KppRwr.net
>>261
ソフトがつかえればいい、という怠惰な奴は
そもそも数学に全く興味ない落ちこぼれ
高校の落ちこぼれ１の言う事には全く説得力がない
なんで数学板にいるの？数学への復讐？
278:１３２人目の素数さん
23/05/26 08:18:06.17 hofHxtn2.net
>>262
>>261より
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
雑誌詳細：数学セミナー 2023年6月号
巻頭
数学と農学の意外な関係……濱田龍義 1
「○○は数学を理解していなくても大丈夫」
「数式を使わない○○」
というのは
すでに慣用句になりつつある
農学という分野を学ぶ学生にこそ
基礎としての数学が重要であると信じているし
今後
相互に新しい分野が芽吹いていくのではないかと期待している
(引用終り)
数学の側から
壁を作る必要はないと思うけど？
「農学？ おまえら数学分かってないだろ？」
とか言わない方が良いんじゃね？ｗ
279:１３２人目の素数さん
23/05/26 08:20:49.61 hofHxtn2.net
ひっし こいてさ
落ちこぼれが
「農学？ おまえら数学分かってないだろ？」
とかｗ
自分の身を振り返って見ろよｗ
280:１３２人目の素数さん
23/05/26 12:01:48.92 1I7sPBPp.net
読めないが
チラ見したので
貼る
Fujita conjecture.、Effective Matsusaka big theorem.か
URLﾘﾝｸ(people.math.harvard.edu)
Science in China Ser. A Mathematics 2005 Vol. 48 Supp. 1?31
Multiplier ideal sheaves in complex and algebraic geometry
Yum-Tong Siu
Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA (email: siu@math.harvard.edu)
Received January 27, 2005
Abstract
There are two parts in this article.
The first part, which is the main part of the article, discusses the application, by the method of multiplier ideal sheaves, of analysis to complex algebraic geometry.
The second part discusses the other direction which is the application of complex algebraic geometry to analysis, mainly to problems of estimates
and subellipticity for the ￣∂ operator.
1.2.1 Fujita conjecture.
1.2.2 Effective Matsusaka big theorem.
281:１３２人目の素数さん
23/05/26 12:04:54.19 1I7sPBPp.net
127頁もの
長いので、チラ見もしてないがｗ
貼る
URLﾘﾝｸ(www-fourier.ujf-grenoble.fr)
Multiplier ideal sheaves and analytic methods in algebraic geometry
Jean-Pierre Demailly
Universit´e de Grenoble I, Institut Fourier
Lectures given at the ICTP School held in Trieste, Italy, April 24 ? May 12, 2000
Vanishing theorems and effective results in Algebraic Geometry
282:１３２人目の素数さん
23/05/26 12:26:04.85 1I7sPBPp.net
>>266 追加
Introductionだけチラ見したので貼る
（文字化けご容赦）
0. Introduction
Transcendental methods of algebraic geometry have been extensively studie
283:d since a very long time, starting with the work of Abel, Jacobi and Riemann in the nineteenth century. More recently, in the period 1940-1970, the work of Hodge, Hirzebruch, Kodaira, Atiyah revealed still deeper relations between complex analysis, topology, PDE theory and algebraic geometry. In the last ten years, gauge theory has proved to be a very efficient tool for the study of many important questions: moduli spaces, stable sheaves, non abelian Hodge theory, low dimensional topology . . . Our main purpose here is to describe a few analytic tools which are useful to study questions such as linear series and vanishing theorems for algebraic vector bundles. One of the early successes of analytic methods in this context is Kodaira’s use of the Bochner technique in relation with the theory of harmonic forms, during the decade 1950-60. The idea is to represent cohomology classes by harmonic forms and to prove vanishing theorems by means of suitable a priori curvature estimates. The prototype of such results is the Akizuki-Kodaira-Nakano theorem (1954): if X is a nonsingular projective algebraic variety and L is a holomorphic line bundle on X with positive curvature, then Hq (X, ?pX ?L) = 0 for p+q > dim X (throughout the paper we set ? p X = Λ pT ・ X and KX = Λ nT ・ X, n = dim X, viewing these objects either as holomorphic bundles or as locally free OX-modules). It is only much later that an algebraic proof of this result has been proposed by Deligne-Illusie, via characteristic p methods, in 1986. つづく