23/04/28 14:20:04.32 ttlBhqNj.net
>>526
デーン不変量がお気に召したようなので一応続きも
P が立方体ならば θ_i はすべて π/2 ですから、D(P) は a ⊗π/2 の形になりますが、
R ⊗Z (R/πZ) 内では
a ⊗π/2=(a/2+a/2)⊗π/2=a/2⊗π/2+a/2⊗π/2=a/2⊗(π/2+π/2)
=a/2⊗ π = 0
という式変形により D(P) = 0 が導けます。
辺長が 1 の正四面体 T に対しては
D(T) = 6 ⊗ δ
cos δ =1/3
が成り立ち、ここから D(T) が0でないことが従います。
実際、上の式変形からも
わかるように R ⊗_Z (R/πZ) は R ⊗_Z (R/πQ) と自然に同一視でき、
従って
6 ⊗ δ = 0 ⇐⇒ δ ∈ πQ
ですが、
cos 2δ = 2 cos^2δ － 1 = －7/9,
cos 3δ = 2 cos 2δ cos δ － cos δ = －23/27, . . .
cos (k + 1)δ = 2 cos kδ cos δ － cos (k － 1)δ =A_{k+1}/3^{k+1}
(A_{k+1} ∈ Z \setminus3Z)
ですから δは πQ の元でなく、従って D(T) は0 でないことに
なります。これにより、立方体と正四面体は互いに分割合同ではないと
結論づけることができます。