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前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:760番)より
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp) 行列における零因子の構造
北 数 教
第４２回 数学教育実践研究会
平成1４年８月3日(土)
北海道小樽桜陽高等学校
北海道石狩南高等学校
数学科教諭 小栗 是徳
３．零因子とCaylay-Hamiltonの方程式
正方行列に限ると，零因子の存在とその構成は，Caylay-Hamiltonの方程式(以下，ＣＨＥと略称)から明快である。
以下，Ａ＝（ａij）：ｎ次正方行列とする。
まず，『Ａが零因子⇒detＡ＝０』は背理法によって成立。
この逆が成立することを，ＣＨＥから証明すると共に，Ａに対してDef８のＢを具体的には構成する。
固有値については既知とし，Ａの固有方程式をｆA(ｘ)＝０，ＣＨＥをｆA(Ａ)＝Ｏとする。
(引用終り)
これはこれで良いと思うが
>>82に示したように
「一次方程式 Ax = Ｏ は自明な解しかもたない[7]」（ここにＯは零行列）
を使って
正方行列Aの行ベクトルに対して、
一次従属
つまり
Ax = Ｏの非自明な解の存在から
Rank A ＜＝n-1 がすぐ出る
よって
Rank A＝ｎ ←→ Aは正則
Rank A＜＝n-1 ←→ Aは非正則
となる
そして、 Ax = Ｏの非自明な列x を零行列Ｏに埋め込んで
(0・・,x,0・・・)=Ｘなる正方行列を構成すれば
明らかに行列Ｘ≠Ｏで、AＸ = Ｏ が構成できて、Aは零因子が出る
AＸ = Ｏのとき、背理法でAには(左)逆元が存在しないことは、上記の通り（正則行列では、左右の逆行列は一致）
行列が高校数学で復活したらしいから、こんな別証明も教えて良いだろう