23/04/04 07:49:00.69 nKToy0Oq.net
>>880
ありがと
いま、正則行列の定義で>>852の
”4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”
を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう）
非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する
つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう
xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る
Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない
しかし、Ax = 0だから
AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列）
これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する
つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]”
が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ
”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる
ついでに逆を
AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する
xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする
AX＝Ｏから
Ax = 0が従う
xij≠0だから、自明でない解 xを持つ
QED
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則行列
特徴づけ
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
・A は正則行列である
・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]
脚注
7.^ 斎藤 1966, p. 60.
参考文献
斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。