23/04/01 22:17:42.83 EAl9sfTc.net
>>849
>>こいつ、本当に
>>零因子行列知らないんだな！！
零因子も行列もよく使われるが
零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか
非可逆正方行列ならどこかで見たような気がする
851:１３２人目の素数さん
23/04/01 22:25:25.56 EAl9sfTc.net
余因子行列ならよく見る
852:１３２人目の素数さん
23/04/02 07:16:03.04 MWc2ll13.net
>>850
> 零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか
確かに非正則行列は零因子であるし、逆も真だが
非正則の条件として答えることはないな
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
1. A は正則行列である（AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在する）
1R. AB = E となる n 次正方行列 B が存在する
1L. BA = E となる n 次正方行列 B が存在する
2. A の階数は n である
3L. A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
3R. A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる
4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
5. A の行列式は 0 ではない
6C. A の列ベクトルの族は線型独立である
6R A の行ベクトルの族は線型独立である
7. A の固有値は、どれも 0 でない
ついでにいうと、行列の階数として以下の1を定義としたとき、2以降のいずれも1と同値
1. A に基本変形を施して階段行列 B を得たときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
2. 表現行列 A の線型写像の像空間の次元。
3C. A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）
3R. A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）
4. A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
853:１３２人目の素数さん
23/04/02 07:21:22.36 MWc2ll13.net
>>851
任意の正方行列に対して余因子行列は存在する
854:１３２人目の素数さん
23/04/02 07:28:58.01 MWc2ll13.net
「Aが零因子でない」ではなく
「Aとその余因子行列との積が零行列でない」なら
ちょっとは面白いか
855:１３２人目の素数さん
23/04/02 07:40:26.42 e7OuYDly.net
>>828
手を動かさないと解析は無理
856:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:18:19.72 CtFh/chl.net
>>855
>手を動かさないと解析は無理
ありがとう
これから、ハーン・バナッハの定理を勉強する若者のために
>>852
>> 零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか
> 確かに非正則行列は零因子であるし、逆も真だが
> 非正則の条件として答えることはないな
なるほど
しかし、”零因子行列→零因子の行列”とでも言えば、良かったかも
だが、線形代数で零因子を知っていれば、”零因子行列→零因子の行列”以外に解釈のしようもないでしょう
(参考)
URLﾘﾝｸ(yoshiiz.blog.fc2.com)
よしいずの雑記帳 2010-08-05
体上の正方行列が零因子になる条件
体(例：実数体、複素数体)上の正方行列が零因子になる条件は、基本的な結果であり、それを導くのも難しくないのですが、線型代数や代数学の入門書には意外と書かれていません。
まず、体上の正方行列は、零因子か正則行列のどちらかです。しかも、一方のみ成り立ちます。つまり、正則行列かつ零因子であるようなものは存在しません。
よく知られているように、正則行列であるための必要十分条件は、行列式が0でないことです。後者はさらに、0が固有値でないことと同値です。この対偶を考えれば、体上の正方行列について、以下の条件がすべて同値であることがわかります。
・零因子である
・行列式が0になる
・0が固有値の一つである
一般に、零因子には左零因子と右零因子があります。ところが、体上の行列においては、左零因子であることと右零因子であることは同値になります。しかも、Aが零因子のとき、あるOでない正方行列Xが存在してAX=XA=Oとなります(ヒント：行列Aの最小多項式を考える)。ただし、AX=Oを満たす全てのXが必ずしもXA=Oを満たすとは限りません。その逆も同様です。
(引用終り)
以上
857:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:29:25.11 e7OuYDly.net
>>856
コピペばかりしても、ハーン・バナッハの定理以前に実解析で脱落するので、解析は身に付かない
858:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:34:36.11 e7OuYDly.net
>>856
実解析を知らない人間に、フーリエ変換の総和核とか説明しても分かりっこないとつくづく感じた
859:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:41:29.70 CtFh/chl.net
>>852 補足追加
(引用開始)
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
1. A は正則行列である（AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在する）
4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
5. A の行列式は 0 ではない
(引用終り)
そうですね
そして
”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”
の否定
”一次方程式 Ax = 0 が非自明な解xを持つ”
が、
Aが零因子であることの定義ですね
860:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:50:20.24 CtFh/chl.net
>>858
>実解析を知らない人間に、フーリエ変換の総和核とか説明しても分かりっこないとつくづく感じた
いま2023年、広大は現代数学の分野で、全てを万遍なく知る人は少ないし
ある分野ではその道の大家で、他の分野は疎いといいう人が居ても良いだろうと思うけど
861:１３２人目の素数さん
23/04/02 08:51:15.08 CtFh/chl.net
>>860 タイポ訂正
いま2023年、広大は現代数学の分野で、全てを万遍なく知る人は少ないし
↓
いま2023年、広大な現代数学の分野で、全てを万遍なく知る人は少ないし
862:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:00:30.81 e7OuYDly.net
>>860
本当に呆れたのは、その人間がルベーグ積分を知らずに
大学の数学科の確率論を身に付けようとしていたことだよ
ルベーグ積分を知らずに大学の数学科の確率論を身に付けることはどう考えても無謀な計画で、
そいつにフーリエ変換の総和核を説明してもムダだし分かりっこないよ
863:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:16:52.88 CtFh/chl.net
>>829
>論文を書くのに不可欠な線形代数の知識は
>「数理物理学の方法」の第一章で学んだ
ありがとう
”R・クーラント、D・ヒルベルト 『数理物理学の方法』”だね
Z世代のために
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リヒャルト・クーラント（Richard Courant, 1888年1月8日 - 1972年1月27日）は、ドイツおよびアメリカ合衆国の数学者。
ゲッティンゲンに移った。そこでダフィット・ヒルベルトの助手になり、1910年に博士号を取得した。
彼の書いた教科書Methods of mathematical physics（邦題：『数理物理学の方法』）は80年以上後もいまだに使われている。
クーラントの名は元々技師によって発明された有限要素法でも知られており、彼はそれを確固たる数学の手法へ置いて様々な問題へ応用した。この方法は今、偏微分方程式を数量的に解く最重要な方法となっている。
R・クーラント、D・ヒルベルト 『数理物理学の方法』 上、藤田宏・高見頴郎・石村直之訳、丸善出版〈シュプリンガー数学クラシックス 第26巻〉、2013年1月。ISBN 978-4-621-06525-9。 - 原タイトル：Methoden der mathematischen Physik 原著第4版の翻訳。
864:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:19:52.57 CtFh/chl.net
>>862
>大学の数学科の確率論を身に付けようとしていたことだよ
おれも本当に呆れたのは
大学の数学科の確率論が分かっていない落ちこぼれがいて
時枝記事の不成立が理解できないアホだってことよｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
865:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:24:03.47 HQk+NHfT.net
「手を動かす」とか言ってるところが、いかにも「おっちゃん」とか
いう池沼くさい。無駄な計算でも何でも、ともかく手を動かす
ことでやった気になってるバカですから。
実際には頭が正しく動いていることが一番大事。
866:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:27:05.66 HQk+NHfT.net
セタボンとおっちゃんは同じ穴の狢なのだから
お互い仲良くした方がいいと思う。
867:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:27:09.55 e7OuYDly.net
>>864
時枝記事に大学の確率論は必要ないし、時枝記事は同値類や選択公理の問題
868:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:29:09.67 CtFh/chl.net
>>864 追加
でもって、そのアホは
>>835(引用開始)
> 騒ぐから、すぐに正則行列に関連して
> 「零因子行列の話だろ？ 知っているよ」
> と言った
「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて
ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど、ダメよ
(引用終り)
？？？？？？
おいおいおい
気は確か？？
ｗｗｗｗｗｗ
(引用終り)
と指摘されて>>838
ようやく自分がアホで間抜けと気づいたみたい>>389
(ケアレスミスだ？ ありえないよね。”零因子”の無理解まる出しじゃんｗ)
この人 数学科で落ちこぼれて35年のおサルさんだったとさｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
869:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:31:51.85 e7OuYDly.net
>>865-866
代数や幾何ならまだしも、解析は紙に式を書いてちゃんと確認したりしないとダメ
870:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:34:06.77 CtFh/chl.net
>>865-866
ありがとう
「手を動かす」>>855は、おっちゃんか？ お元気そうでなにより
>同じ穴の狢なのだから
あなた>>866 もね
仲良くしましょうね
871:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:35:25.74 2d8Rqnul.net
>>865
頭が働いていないことを自覚したとき
頭に動いてもらうために
とりあえず手を動かしてみる
こういうことは誰でもやっていることかと思うが
872:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:47:33.72 HQk+NHfT.net
数学において、どういう計算をすればいいのか
考える前に手が動くなんてことはありえない。
「手が動くのが先」とかいうのは受験勉強的発想。
873:１３２人目の素数さん
23/04/02 09:57:47.25 e7OuYDly.net
>>872
そもそも、解析でするべき計算を考えてその計算が分かった後で、
紙に書いて計算する前にその計算の結果が分かるなんてことはあり得ないだろw
しっかりそういうことをしたりしないと思わないドツボにハマるぞ
874:１３２人目の素数さん
23/04/02 11:02:57.23 MWc2ll13.net
>>859
> ”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない” の否定
> ”一次方程式 Ax = 0 が非自明な解xを持つ” が、
> Aが零因子であることの定義ですね
違うけど
もちろん、
Ax = 0 が非自明な解xを持つことと
Aが零因子であることは同値であるけど
前者は零因子であることの定義ではない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
875:１３２人目の素数さん
23/04/02 11:08:50.39 MWc2ll13.net
ID:CtFh/chl は環がわかってないな
Ax = 0 で、Aは行列環の要素だが、
xと0はベクトルであって行列環の要素ではない
行列とベクトルが同じだと言ってるんじゃ
代数学の本読んでも全く理解できない筈だ
876:１３２人目の素数さん
23/04/02 12:40:58.12 RzjD2dSg.net
>>874-875
ありがとう
> Ax = 0 が非自明な解xを持つことと
>Aが零因子であることは同値であるけど
> 前者は零因子であることの定義ではない
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>Ax = 0 で、Aは行列環の要素だが、
>xと0はベクトルであって行列環の要素ではない
なるほど
しかし
上記 Wikipedia より
"定義
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠ 0 が存在するとき、すなわち
x∈ R ＼{0}:ax=0
を満たすときに
左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]”
(引用終り)
でしょ
で、いま簡便に、nxnの正方行列が零因子であることを、
大文字を使って AX＝Ｏ （∃X≠Ｏ ここにＯは零行列）としよう
Ax = 0 で非自明なベクトル解xをもつ
↓（非自明なベクトルxを使って）
非自明な行列Xが構成できて、AX＝Ｏとできる
逆に
非自明な行列XでAX＝Ｏ成立なら
↓（非自明な行列Xを使って）
Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが構成できる
だから、両者は同値で、
”Ax = 0 で非自明なベクトル解x”の存在は、行列が零因子であることの定義に使えるね！
なおついでに、>>852の前段は、下記にあったね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則行列
877:１３２人目の素数さん
23/04/02 15:30:02.58 SX50VDhd.net
>>872
どういう計算をすればいいのか考えることができるように
ただひたすら式をノートに繰り返し書き写してみるということを
やったことはありませんか？
878:１３２人目の素数さん
23/04/02 18:25:46.62 MWc2ll13.net
>>876
> Ax = 0 で非自明なベクトル解xをもつ
> ↓（非自明なベクトルxを使って）
> 非自明な行列Xが構成できて、AX＝Ｏとできる
> 逆に
> 非自明な行列XでAX＝Ｏ成立なら
> ↓（非自明な行列Xを使って）
> Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが構成できる
> だから、両者は同値で、
それは>>874にも書いた通り、全く否定してない
つまり、上記は全く無駄な文章
> ”Ax = 0 で非自明なベクトル解x”の存在は、
>行列が零因子であることの定義に使えるね！
おかしい
零因子は環の用語
任意の環の要素がベクトル間の線形写像というわけではない
したがって、零因子という言葉の定義として
行列に限定した条件
「Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが存在する」
を使うことはできない
879:１３２人目の素数さん
23/04/03 23:22:28.10 xqHDPLqW.net
>>878
(大学学部の1年で学ぶ線形代数を想定して)
いま、簡単に行列の成分が、実数Rないし複素数Cからなるとしよう
実数R、複素数Cは、（可換）体であることに注意しよう（>>856 URLﾘﾝｸ(yoshiiz.blog.fc2.com) よしいずの雑記帳も ご参照 ）
このとき、>>852よりnxn の正方行列 A が、正則行列である条件として
およそ7つの条件が示され、これらは同値である
これら7つの条件のどれかを、正則行列の定義とすることができる
ある一つの条件を満たせば、同値性から他の条件を満たすから
同様に、非正則行列の定義として、これら7つの条件のどれか一つの否定採用することができる
ある一つを否定すれば、同値性から それは他の条件を否定したことになるから
我々は、成分が実数Rないし複素数Cからなる正方行列において
非正則行列が零因子の行列であり、その逆も成り立つことを知っている（上記 よしいずの雑記帳 ご参照 ）
つまり、非正則行列すなわち零因子の行列なのだ
だから、非正則行列の定義を、そのまま零因子の行列として採用してよいのだ！
これが、数学的帰結である
「零因子は環の用語」だとか、うんぬんかんぬんのアホがいるｗ>>878
全く無関係の あさっての議論で、そういう頭だから落ちこぼれになるのだろうねｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列
成分
880:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:04:41.69 d+71hYqF.net
零因子って、他の元との関係で決まるもんだよね。
環Rにおいてa∈R 左零因子⇔あるx≠0∈Rが存在して、ax=0が成立する
ところが、aがRの零因子でも、Rの部分環R'において
a∈R'だが、ax=0をみたすR'の元x≠0はまったく存在しない
ということがありうるんだな。
すると、aはRでは零因子だが、R'では零因子ではないことになる。
ではセタボンに問題。
「正方行列の場合に、上記をみたすaとR'の組を具体的に構成してください。」
881:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:10:45.99 d+71hYqF.net
だから、「aは正則行列⇔aは行列環Rの零因子ではない」
を主張するためには、Rを十分大きく取っておく必要がある。
たとえば、aがn次の正方行列なら、Rはn次の全行列環とかね。
セタボンはここまで見通した上で言ってるのかな？
んなわけないよね。考え無しの工学部だもんね。
882:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:35:57.89 7rY7uQ+i.net
昔は半群、群、環、体、環上の加群などの抽象代数をやってから線形代数をしていたけどな
禅問答のようなどっちもどっちで答えの出ない議論をよく長々続けているな
883:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:43:06.01 d+71hYqF.net
禅問答ではありません。
「正方行列の場合に、上記をみたすaとR'の組を具体的に構成してください。」
は極めて具体的な問題。
解けないならセタボンと同じ穴の狢。
884:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:47:50.55 7rY7uQ+i.net
>1の議論はブルバキのスタイルの議論で、原理的には可能な議論だよ
885:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:53:04.13 d+71hYqF.net
ちなみに抽象代数の知識は別に必要ない。
行列の問題ですから。
数学の内容ではなく、カタログのように用語を並べるのは
目次や項目しか読めてないひとにありがち。
それが「セタボンと同じ穴の狢」。
886:１３２人目の素数さん
23/04/04 06:56:39.14 7rY7uQ+i.net
「昔は」と書いている
現在の線形代数の議論とスタイルが違うのは当たり前
887:１３２人目の素数さん
23/04/04 07:49:00.69 nKToy0Oq.net
>>880
ありがと
いま、正則行列の定義で>>852の
”4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”
を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう）
非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する
つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう
xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る
Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない
しかし、Ax = 0だから
AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列）
これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する
つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]”
が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ
”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる
ついでに逆を
AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する
xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする
AX＝Ｏから
Ax = 0が従う
xij≠0だから、自明でない解 xを持つ
QED
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則行列
特徴づけ
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
・A は正則行列である
・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]
脚注
7.^ 斎藤 1966, p. 60.
参考文献
斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。
888:１３２人目の素数さん
23/04/04 08:56:14.06 lAueiab3.net
>>887
Aは零因子でない より
一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
(つまりdim Ker A = 0)
のほうが、線形代数らしいけどね
一方でランクに関する条件は
dim Im A = n
に当たる
両者が同値というのは
階数・退化次数の定理
から導ける
線形代数分かってれば自明だけどね
889:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:09:13.27 tCJGQSNR.net
>>888
ありがとう
その通りだが
そもそもの話は、何年か前に、あるスレで
高校教程から行列が落とされて
「行列初耳くん」もいるだろうから
あえて私が
「正方行列の逆行列」という表現をしたところ
「正則行列を知らない！」と、揚げ足取りに騒ぐアホがいたんだ
それで「零因子行列のことだろ？ 知っているよ」と切り返したら
「関係ないことをいうな」>>844 と叫んだおサルさんだったｗ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
かれは、行列の零因子に全く無知だったようですね
つい最近まで
>>835(引用開始)
> 騒ぐから、すぐに正則行列に関連して
> 「零因子行列の話だろ？ 知っているよ」
> と言った
「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて
ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど、ダメよ
(引用終り)
などと、支離滅裂なことを口走っていたのです
零因子行列とは、確かにあまり言わないようだが
零因子行列で、これだけ釣れるとは、全く想像していなかったなｗ
890:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:34:25.24 tCJGQSNR.net
>>888
>両者が同値というのは
>階数・退化次数の定理
>から導ける
一応フォローしておきますね（下記）
さて
>Aは零因子でない
行列の成分を、実数ないし複素数として
零因子の話は、nxnの正方行列が環を成すことを学べば、すぐに登場する話で
行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど
逆元を持たない場合も含めて考えれば、一般的環を成す
このとき
逆元を持たない非正則行列
↓↑
零因子の行列
という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
階数・退化次数の定理
数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理（かいすう・たいかじすうのていり、英: rank?nullity theorem）とは、最も簡単な場合、ある行列の階数（rank）と退化次数（nullity）の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理[1]とも呼ばれる。
証明
ここでは二つの証明を与える。初めの証明では、線型変換のための記号を用いるが、T(x) = Ax と書くことによって簡単に行列の場合にも適用できる（ここで A はある m × n 行列）。二つ目の証明では、階数が r のある m × n 行列 A に関する同次系について考え、A の零空間を張る n ? r 個の線型独立な解が存在することを陽的に示す。
第一の証明
略
891:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:36:30.56 gMUtsAok.net
>>889
>「行列初耳くん」もいるだろうから
>あえて私が「正方行列の逆行列」という
>表現をしたところ
あえても炒めてもウソはウソじゃね？
>「正則行列を知らない！」と、
>揚げ足取りに騒ぐアホ
正則行列と書くべきところで
そう書かなきゃ必ず言われるけど
>それで
>「零因子行列のことだろ？ 知っているよ」
>と切り返したら
おそらく逆行列INV(A)について
INV(A)=ADJ(A)/det(A)
という余因子ADJ(A)を使った公式だけ知ってて
逆行列がない場合は、行列式det(A)が0の場合だから
A ADJ(A) = OとなりAが零因子だといいたいんだろうけど
そもそも行列式が0の方が根本なのに
そこすっ飛ばす時点で線形代数が全然わかってない
と言われてもしゃあない
892:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:44:17.22 7rY7uQ+i.net
実変数xの周期2πの波動現象を表す三角関数 sin(x)、cos(x) のグラフを見ていて気付いたんだけど、
0<(π-e)/2<π/2<<(π+e)/2<π だから、複素平面C上の単位円周の上半平面上で
2点 ei((π+e)/2)、ei((π-e)/2) は虚軸について対称だから、
少なくとも (π+e)/2、(π-e)/2 は超越数なんだってね
実数体R上の3点 π、e、1 は実代数的数のなす体K上一次独立で
{π,e,1} は体Rにおける体K上の部分線形空間の基底をなすかどうか考えていたけど、
複素平面C上で考える限りではそういえそうだね
意外に複素解析も役に立つね
893:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:48:05.39 7rY7uQ+i.net
記号の訂正：2点 ei((π+e)/2)、ei((π-e)/2) は虚軸について対称
→ 2点 e{i(π+e)/2}、e{i(π-e)/2} は虚軸について対称
894:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:53:42.82 7rY7uQ+i.net
>>889
周期の本買ってみたが、計算可能実数や計算不可能実数とか書いてあって面白かったよ
895:１３２人目の素数さん
23/04/04 10:56:30.74 ayY5LryA.net
>>行列Aすべてが積の逆元を持つように、
>>正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど
こういう文章は書いてはいけないと
数学科では指導される
896:１３２人目の素数さん
23/04/04 11:33:10.48 tCJGQSNR.net
>>895
ありがとう
>>>行列Aすべてが積の逆元を持つように、
>>>正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど
>こういう文章は書いてはいけないと
>数学科では指導される
１）ここは。数学板であって数学科の板ではなく、おそらく住民は数学科以外の人が多いと思うよ（私も数学科以外の人）
２）そして、あなたが具体的に「数学科では、こう指導される」という説明を書いてあげることは意味あると思うよ
897:１３２人目の素数さん
23/04/04 11:48:59.33 tCJGQSNR.net
>>894
>周期の本買ってみたが、計算可能実数や計算不可能実数とか書いてあって面白かったよ
ありがとう
下記の吉永 正彦氏かな
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、斎藤正彦さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある（当時私も買いました）
数学セミナー 2023年1月号 「［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ」（下記）を書かれていましたね
https://アマゾン
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学) February 16, 2016
by 吉永 正彦 (著)
―美しい世界観へ―
Kontsevich-Zagierの予想は本質的に「二つの周期が与えられたときに,
それらが等しいかどうかを判定できるか?」という0-認識問題に対して
「積分の変形で移りあうかどうかを見ることで判定できる」という主張を
するものである. ----まえがき から
レビュー
susumukuni
VINE VOICE
5.0 out of 5 stars 代数的数を超えた世界にも代数的に統制される実数のクラスが存在するというロマンのある世界へと誘ってくれる書
Reviewed in Japan on July 25, 2016
Verified Purchase
二つの実数が与えられたとき、それらが等しいかどうかをアルゴリズミックに判定できるか？という問題を「実数の0-認識問題」という。本書はこの問題を解説する恐らく和書で最初の成書であり、その「面白さと難しさ」を実感できるとても魅力的な書である。
「周期」と呼ばれる実数たちのクラスではこの問題が可解であるという「コンツェビッチ-ザギエ予想」（からの帰結）の解説が本書の主題であるが、関連する話題にも丁寧に触れられているので、この分野を初めて学習される方でも大半の部分をフォローできるのではないかと思う。例えば主題への準備にあたる、「実代数的数のクラスで0-認識問題が可解である」ことや「タルスキーの量化記号消去定理」などの説明は分かり易く、とても好感がもてる。
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 2023年1月号
[特集1]
国際数学者会議2022 ―フィールズ賞業績紹介
・［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ……吉永正彦 14
898:１３２人目の素数さん
23/04/04 12:04:52.34 7rY7uQ+i.net
>>897
買ったのはその本だけど、吉永 正彦氏は斎藤正彦さん>>887の弟子ではない
吉永正彦氏は齋藤恭司先生(その人は怖い人のようだから呼ぶときや、
呼称などには気を付けた方がいい)の弟子
私はその方の弟子でも何でもない
899:１３２人目の素数さん
23/04/04 12:20:08.37 7rY7uQ+i.net
>>897
北大にも超平面配置っていうことを研究している人いたけど、
吉永正彦氏は主に超平面配置っていうことを研究してるみたい
900:１３２人目の素数さん
23/04/04 12:25:01.64 8EO9iIAl.net
正則行列の集合は体にならない.
901:１３２人目の素数さん
23/04/04 12:45:21.59 tCJGQSNR.net
>>897 誤記訂正
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、斎藤正彦さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある
↓
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、齋藤恭司さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある
齋藤違いですね、多分
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
齋藤恭司
齋藤 恭司（さいとう きょうじ、1944年 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。専門は複素解析幾何学、複素解析学、周期積分など。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
斎藤 正彦（さいとう まさひこ、1931年 - 2020年12月31日）は、日本の数学者。東京大学名誉教授。
警視総監、台湾総督府総務長官等を歴任した斎藤樹の二男。母禎子は司法大臣、鉄道大臣等を歴任した小川平吉の三女。元駐米大使、元外務事務次官斎藤邦彦は実弟。宮澤喜一元首相の従弟。パリ大学理学博士。
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
researchmap
吉永 正彦
2009年4月 - 2012年3月京都大学 大学院理学研究科 助教
2007年9月 - 2009年3月神戸大学 大学院理学研究科 助教
902:１３２人目の素数さん
23/04/04 12:55:00.63 tCJGQSNR.net
>>898-899
ありがとう
思い出して、記憶違い訂正しました >>900
吉永正彦氏は、今は大阪大学へ移ったみたいですね
斎藤 恭司先生は、今はカブリ数物連携宇宙研究機構かな
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
構成員 | Kavli IPMU-カブリ数物連携宇宙研究機構
URLﾘﾝｸ(db.ipmu.jp)
斎藤 恭司
役職
客員上級科学研究員 (from 2017/04/01 )
show past_positions
他の所属
京都大学
研究分野
数学
903:１３２人目の素数さん
23/04/04 13:02:24.85 02SrSfQl.net
>>北大にも超平面配置っていうことを研究している人いたけど、
>>吉永正彦氏は主に超平面配置っていうことを研究してるみたい
寺尾宏明: 東大－→ICU－→Wisconsin大ーー＞都立大(首都大東京)ーー＞
北大ーー＞東工大(東科大)
Orlik-Teraoが超平面配置に関してはBible的なtext
904:１３２人目の素数さん
23/04/04 21:09:16.11 nKToy0Oq.net
>>903
>寺尾宏明
寺尾さん、不勉強で初見です
超平面配置（英語版）Arrangement of hyperplanes も初見ですが
なんか、”組みひも理論と超平面配置,および共形場理論への応用”？ 物理への応用があるのか（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
寺尾 宏明（てらお ひろあき、1951年8月13日 - ）は、日本の数学者。北海道大学名誉教授。専門は超平面配置（英語版）の理論。ピーター・オーリック（英語版）、ルイ・ソロモンと共に超平面配置の理論の研究の第一人者として知られる。理学博士（京都大学、1981年）。2010年度日本数学会代数学賞受賞者。
東京都大田区に生まれる。麻布中学校・高等学校を経て、東京大学理学部を卒業。大学4年次にクイズ番組『クイズグランプリ』に出場した際には、チャンピオンとしてヨーロッパ旅行を獲得した。学部での指導教官であった飯高茂から紹介を受け、修士で齋藤恭司に師事する。同氏からの影響により、超平面配置の理論に関する研究を始める。
1981年の論文で、超平面配置が自由であるときに、ポアンカレ多項式がその配置の指数を用いた形で1次式に分解することを示した（寺尾の分解定理）。
1982年に渡米し、ウィスコンシン大学マディソン校で教鞭を取る。
1983年に提出された[1]「超平面配置の自由性は、交叉半順序集合の構造によって決定するか？」という問題は寺尾予想と呼ばれ、現在まで未解決である。
1996年に帰国し、東京都立大学教授、北海道大学教授、北海道大学副学長を経て、現在は北海道大学名誉教授。
政治家の寺尾豊は祖父。翻訳家の寺尾次郎は弟。元NHKアナウンサーの広瀬久美子は従姉。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Arrangement of hyperplanes
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
寺尾 宏明
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
組みひも理論と超平面配置,および共形場理論への応用
河野 俊丈, 森田 茂之, 寺杣 友秀, 齋藤 恭司, 寺尾 宏明, 三町 勝久
河野俊丈 2008年
平成16年度?平成19年度科学研究費補助金基盤研究(B)研究成果報告書
905:１３２人目の素数さん
23/04/04 21:27:43.69 VGOIEHfA.net
「現代数学」の「輝数遇数」にも出ていた
906:１３２人目の素数さん
23/04/04 22:59:18.76 VGOIEHfA.net
日銀総裁と同期
907:１３２人目の素数さん
23/04/05 00:16:38.35 sPtU4fWh.net
>>880の問題の解答例
行列
i j
k l
を
i j 0
k l 0
0 0 0
に写す写像をφとおくと、これは行列環M_2からM_3への
単射準同型写像を定める。
M_2のある正則元rに対してφ(r)=a,
φ(M_2)=R', M_3=Rとおくと
aは環Rの零因子（たとえば x=
0 0 0
0 0 0
0 0 1
とおけば、ax=O）
だが、部分環R'の中では零因子ではない。
908:１３２人目の素数さん
23/04/05 06:03:17.50 RfUydVT2.net
>>東京都立大学教授、北海道大学教授、北海道大学副学長を経て、
>>現在は北海道大学名誉教授。
>>政治家の寺尾豊は祖父。翻訳家の寺尾次郎は弟。
>>元NHKアナウンサーの広瀬久美子は従姉。
寺尾豊は元郵政大臣
寺尾次郎の娘の寺尾沙穂はミュージシャンかつ文筆家として有名
909:１３２人目の素数さん
23/04/05 07:57:25.65 Lto72acu.net
>>908
ありがとうございます
>>907
ありがとうございます
なお、私は分かっても答えないようにしています
もし正解でもまた次が出るだろうし、間違ったら鬼の首をとったように喜ばすだけだしｗ
>>905-906
「現代数学」の「輝数遇数」ね、なるほど
日銀総裁と同期なら、日銀総裁と東大ゼミでいっしょだったという人も同じか
910:１３２人目の素数さん
23/04/05 08:02:54.25 Lto72acu.net
>>904 補足
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>超平面配置（英語版）Arrangement of hyperplanes
ここに、マトロイド(matroid)が出てきます
下記です。貼っておきます
「歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念である」か
マトロイド(matroid)って、マトリックスが語源？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マトロイド(matroid)は、ある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。
ランク、階数関数
線形代数におけるマトロイド
911:１３２人目の素数さん
23/04/05 09:33:33.73 RfUydVT2.net
>>896
>>１）ここは。数学板であって数学科の板ではなく、おそらく住民は数学科以外の人が多いと思うよ（私も数学科以外の人）
>>２）そして、あなたが具体的に「数学科では、こう指導される」という説明を書いてあげることは意味あると思うよ
基本的には自分が読み返してみて引っ掛かるところがなければそれはそれで
完成した文章だが、視点を変えるといろいろコメントしうる点が出てくる。例えば
900の「正則行列の集合は体にならない.」など。
912:１３２人目の素数さん
23/04/05 11:21:32.62 doTWM65u.net
>>903
その人は知っていたけど、多分、物理的に超平面配置まで手を出す時間はない
ただ、その人が日銀総裁と東大で同期だったということだけは初耳
913:１３２人目の素数さん
23/04/05 12:01:22.87 joMjBMfa.net
>>911
ありがとう
> 900の「正則行列の集合は体にならない.」など。
下記の雪江 用語の問題ですね
（用語の問題を整理することは意味があると思うので、調べて書いておきます）
１）まずこの話は、>>890 「行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど」から始まっている
そして、>>895「こういう文章は書いてはいけないと 数学科では指導される」だった
確かに、雑な文章ではある
二つ問題があると思う。
i)零行列は逆元を持たないのに除外していない
ii)"（非可換）体"という用語が適切か
２）下記の雪江 用語の問題では、「可除環」(Division ring)を使うという
３）ja.wikipedia 体 (数学) （ここに用語の一覧表があり参考になる）では、非可換を含む立場（上記”（非可換）体”に同じ）
４）そして、fr.wikipedia Corps (mathematiques) 仏語 も上記の体 (数学) と同じ立場（非可換を含むもあり）
５）一方、英(en.wikipedia) Field、独 Korper (Algebra)は、積のアーベル（abelian）を要求する立場ですね
纏めると、”零要素が逆元を持たない”は、数学科生は意識しておくべきはその通りです
用語”体”が、いま2023年の日本の数学科で、積のアーベルを要求するかどうか？ 多分、下記雪江の通りと思います（米国の影響か）
しかし、下記仏Corps (mathematiques) みたいなのもあるということは(仏は米に服さないの気概？)、ちょっと知っておくのも良いと思います
つづく
914:１３２人目の素数さん
23/04/05 12:01:49.23 joMjBMfa.net
>>913
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦
代数の教科書について
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
教科書の 用語について (2012/7/7更新)
2. 「可除環」か「斜体」か
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて「ヴェーダーバーン
の定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼
ぶことにしたが，3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，
2 巻を増刷したときにここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第
1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが用語を変えることにした. さて「必ずし
も可換でない体」のことを何と呼ぼう? 桂では「斜体」と呼んでいるが，この用語を
使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った. 永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
In algebra, a division ring, also called a skew field, is a nontrivial ring in which division by nonzero elements is defined.
つづく
915:１３２人目の素数さん
23/04/05 12:02:16.50 joMjBMfa.net
>>914
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学) （ここに用語の一覧表があり参考になる）
数学において、体（たい）とは、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系のことである。体の定義においては、積が可換か非可換かに必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を、後者については斜体の項を参照されたい。
定義をきちんと述べれば、
「体とは、単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関して群を成すものを言う」
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)(math%C3%A9matiques)
Corps (mathematiques) 仏語
(google訳抜粋)
数学では、体は一般代数の基本的な代数構造の 1 つです。これは、加算、乗算、および反対と逆の計算を可能にする2 つの 2 項演算を備えたセットであり、減算と除算の演算子を定義することができます。
一部の著者1、2 は乗算が可換であることを要求し、他の著者はそれが可換であることを許可していません3、4。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Field_(mathematics)
Classic definition
This may be summarized by saying: a field has two operations, called addition and multiplication; it is an abelian group under addition with 0 as the additive identity; the nonzero elements are an abelian group under multiplication with 1 as the multiplicative identity; and multiplication distributes over addition.
Even more summarized: a field is a commutative ring where 0≠1 and all nonzero elements are invertible under multiplication.
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)(Algebra)
Korper (Algebra)
Allgemeine Definition
2.{\displaystyle {\bigl (}K\setminus \{0\},\cdot {\bigr )}} ist eine abelsche Gruppe (neutrales Element 1).
(引用終り)
以上
916:１３２人目の素数さん
23/04/05 12:41:21.05 doTWM65u.net
>>913
>１）まずこの話は、>>890 「行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど」から始まっている
> そして、>>895「こういう文章は書いてはいけないと 数学科では指導される」だった
> 確かに、雑な文章ではある
> 二つ問題があると思う。
> i)零行列は逆元を持たないのに除外していない
> ii)"（非可換）体"という用語が適切か
非可換体ではなく非可換環な
非可換環という言葉はよく使われる
917:１３２人目の素数さん
23/04/05 13:16:16.94 doTWM65u.net
>>913
>行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど
これに限っていえば、非可換体ではなく可換環になる
918:１３２人目の素数さん
23/04/05 13:21:04.13 doTWM65u.net
>>913-915
一般には、非可換体じゃなく非可換環といういい方をする
919:１３２人目の素数さん
23/04/05 13:34:49.45 joMjBMfa.net
>>897 補足
そうそう
周期 (数体系)下記で
これを教えてくれたのは
おっちゃんだったね
当時、数学科の４年生が来て、卒業研究で積分をテーマにするというので
おっちゃんが、積分関連で周期 (数体系)があると言ったのだった
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB)
周期 (数体系)
Maxim Kontsevich and Don Zagier (2001) は周期の概念を導入し、周期に関するいくつかの予想について述べた論説である。
分類の目的
周期は、代数的数と超越数の間を埋める橋渡しとなるものである。代数的数のクラスは多くのよく知られた数学定数を含めるためには狭すぎ、また超越数の全体は可算でなくその元は一般には計算可能でない。これに対し周期全体の成す集合は可算であり、任意の周期は計算可能[1]で、特に決定可能（英語版）である。
定義
与えられた実数が周期であるとは、それが有理数係数多項式不等式として与えられたユークリッド空間内の領域の体積の差として与えられるときに言う。より一般に、与えられた複素数が周期であるとは、その実部および虚部がともに周期となるときに言う。
代数的数係数の有理函数に対して、代数的数係数の多項式不等式で与えられる ?n 内の領域上でとった、絶対収束積分値もまた周期となる（これは、そのような積分や代数的無理数が適当な領域上の面積として表せることによる）。
予想
周期であることが知られている定数の多くが、超越函数の積分によっても与えられる。
代数的数の有用な性質として「二つの代数式が相等しいかどうかをアルゴリズム的に決定できる」ことが挙げられる。そしてコンツェヴィッチとザギエの予想は「周期が相等しいかどうかということも決定可能である」ことを導くものとして理解できる: 計算可能な実数が相等しくないことは再帰的に枚挙可能であることが知られており、また逆に、二つの積分が一致するならばそのことを確かめるアルゴリズムは、それら積分の一方を他方に変換する可能なすべての方法を試すことによって為される。
つづく
920:１３２人目の素数さん
23/04/05 13:39:44.99 joMjBMfa.net
>>919
つづき
ネイピア数 e やオイラー?マスケローニ定数 γ は周期であるとは考えられていない。
コンツェヴィッチとザギエによれば、あとはさらに定数 γ も含むような新たな周期の概念が見つかれば「すべての古典的定数は適当な意味で周期である」と言えるのではないかという。
関連文献
吉永正彦 『周期と実数の0-認識問題 : Kontsevich-Zagierの予想』2号、加藤文元・野海正俊編、、数学書房〈問題・予想・原理の数学〉、2016年
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(algebraic_geometry)
Period (algebraic geometry)
References
Kontsevich, Maxim; Zagier, Don (2001). "Periods" (PDF). In Engquist, Bjorn; Schmid, Wilfried (eds.). Mathematics unlimited?2001 and beyond. Berlin, New York City: Springer. pp. 771?808. ISBN 9783540669135. MR 1852188.
Footnotes
5＾ Yoshinaga, Masahiko (2008-05-03). "Periods and elementary real numbers". arXiv:0805.0349 [math.AG].
Further reading
(引用終り)
以上
921:１３２人目の素数さん
23/04/05 13:46:16.67 doTWM65u.net
>>919
私が吉永正彦氏の周期の本を買ったのは、超越数の研究の目的もあるけど、
元は「メタマス! オメガをめぐる数学の冒険」という本の内容の補助の目的や、
計算可能実数または計算不可能実数について知りたかったから
他にあるとすれば、実代数幾何学の解析への応用の目的もある
922:１３２人目の素数さん
23/04/05 17:51:05.37 RfUydVT2.net
↓超平面配置とは自分には結びつけられない話題だ
メタマス!―オメガをめぐる数学の冒険 単行本 – 2007/9/1
グレゴリー チャイティン (著), Gregory Chaitin (原名), 黒川 利明 (翻訳)
5つ星のうち5.0 不完全性定理の雷
＞ ランダム性は不完全性を意味する・・・
ほとんどの実数
確かに存在する（＝正しい）が、決して計算できない・・・
圧縮不可能性＝ランダム性（構造の欠如）
確かに存在する（＝正しい）が、決して証明できない・・・
ジョン・Ｄ. バロウ著『単純な法則に支配される宇宙が複雑な姿を見せるわけ』
「『万物理論』の探求は、世界の究極的な圧縮を求めての探索だ。・・・
計算量と圧縮という概念を用いたチャイティンによるゲーデルの不完全性定理の証明は、
ゲーデルの定理が、
論理的系列が圧縮不能だということを証明できないという事実と等価なことを明らかにした。
我々は、圧縮が究極的なものかどうかを決して証明できない。
もしかすると、より深く、より単純な結合が、
我々に発見されるのを待っているかもしれないのだ」
923:１３２人目の素数さん
23/04/05 20:33:32.86 Lto72acu.net
次スレ立てた
ここを使い切ったら、次スレへ
（なお、新しい話題など次スレへ書くのもありです）
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
924:１３２人目の素数さん
23/04/05 20:43:50.89 Lto72acu.net
>>922
ありがとう
チャイティン Chaitin
名前だけは知っている