ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2

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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 - 暇つぶし2ch830:しい. f : (0, 1] ?→ (0, 1] × (0, 1] を f(x) = (x, 1/2) で定義すれば, これは明らかに単射である. 逆向きの単射を構成しよう. 第 8.2 節で議論した実数の無限小数表示を思い出すと, x, y ∈ (0, 1] に対して, (ξ1, ξ2, . . .),(η1, η2, . . .) ∈ ? が一意的に定まって, x = 0.ξ1ξ2 ・・・ , y = 0.η1η2 ・・・と書ける (補題 8.5). これを用いて, 写像 g : (0, 1] × (0, 1] ?→ (0, 1] を g(x, y) = 0.ξ1η1ξ2η2 ・・・ (9.5) で定義する. 右辺に対応する (ξ1, η1, ξ2, η2, . . .) は確かに ? の元であるから, g(x, y) ∈ (0, 1] となる. さらに, (9.5) の右辺から x, y を一意的に再現できるので, g は単射である. 2) 双方向の単射が構成できたので, カントル-ベルンシュタインの比較定理 9.9 を適用して |(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]| がわかる. 第 7.1 節で議論したように, |(0, 1]| = |R| は既知である. したがって, |(0, 1] × (0, 1]| = |R × R| が得られる (補題 7.16). 一方, 例 9.12 で示したように, |(0, 1]| = |(0, 1] × (0, 1]| であるから, |R| = |R × R| (9.6) がわかる. つづく

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