23/03/25 21:02:08.39 9yv+eJYE.net
>>751
つづき
xy-座標を考えれば, 平面の点と実数の順序対 (x, y) が 1 対 1 対応するの
で, 点の集合として平面と直積集合 R^2 = R × R の濃度は等しい. そうすると,
(9.6) から, 点の集合として「直線と平面の濃度は等しい」という結論に至る.
直線は平面の中で, 実にわずかな部分しか占めていない. しかし, 直線を構成
している点をバラバラにして並べ替えれば, 平面を埋め尽くすのである. だから
と言って, 直線をぐるぐると引き回して平面が埋め尽くされるという見方は, も
ちろん正しくない.3)
3)カントルは 1878 年の論文 [33] で |R| = |Rn| を証明した. 実は, 次元に関する考察から
|R| < |R^2| を予想して, 3 年に及ぶ格闘の末, その予想は裏切られたのだった. デデキントとの往復
書簡の中で「我見るも, 我信ぜず」と記している. 集合の濃度という概念が, 幾何学的な実体からか
け離れていて, カントルでさえ直感が及ばなかったのだろうか. 確かに, |R| = |R^3| を根拠に, 1cm
の線分の点を並べ替えて地球を作ることができる (もちろん, 物理的には不可能だが) と言われて
も, どう直感と折り合いをつけたらよいのだろうか.
(引用終り)
以上