23/03/23 21:29:12.30 KNw8p5HO.net
>>703
つづき
1.2. ベルグマン核とはどんなものか ?
$n=1$ の場合. 領域が複素一次元の場合には, グリーン函数 $G(z, w)$ を使ってベルグマン
核を表わすことができる (Schiffer による) :
この式 (13) について少し説明を補足しよう. 右辺はエルミート対称でかつ $z$ に関して
も $\overline{w}$ に関しても正則であるから, この等式はまことにもっともらしい. ただ, グリーン函
数の特異性 $\log|z-w|$ がどこに行ったのか気になるが, それは微分 $\partial_{z}\partial_{\overline{w}}$ の作用で消され
ているのである (但し境界には特異性が残る). 微分を超函数の意味で取れば何か残るが,
積分核の関係式 (1.3) を作用素の関係式に書き直せぱ, 仕組がよくわかる :
$K^{B}=$ 恒等作用素 ?const. $\overline{\partial}^{*}G\overline{\partial}$ ( $G$ は $\nearrow|J-\nearrow\backslash$ 作用素).
この等式の証明は,「特異点のまわりをくりぬいて, 部分積分してから穴をつぶす」 という
例の奴である. 高次元の場合にも, この等式は (適当な仮定の下で) 成り立つ. 但し, グ
リーン作用素を $\overline{\partial}$ ノイマン作用素で置き換える.
関係式 (1.3) とグリーン函数の性質により, ベルグマン核が境界点の近傍に局所化でき
ることがわかる. よって, リーマンの写像函数の境界まで込めての平滑性を使えぱ, ベル
グマン核の特異性の形が単位円板の場合からわかる. 即ち, 特異点集合は (?\Omega の直積集合
の中で)
$\partial\Omega\cross\partial\Omega$ の対角集合であり, 特異性の強さは主値積分核やデルタ函数と同じレベ
ルである. 対角集合に制限すると, 境界に近づいたときの増大度は
$0<C_{-}\leq K^{B}(z)$ . dist $(z, \partial\Omega)^{2}\leq c_{+}<+\infty$ ( $C\pm>0$ は定数)
である.
つづく