23/03/30 18:36:10.46 duLeSxdg.net
connected componentを訳せていないし、定理の意味も全く変わってしまっている
578:１３２人目の素数さん
23/03/30 18:41:08.94 duLeSxdg.net
> there exists a sequence (r_{n})_{n∈N} of rational functions which converges uniformly to f on K
> K 上の f へ一様収束する有理函数列 (r_{n})_{n∈N} が存在し
ここも"on K"のかかる位置間違ってる
579:１３２人目の素数さん
23/03/30 18:46:34.41 SrUKR94t.net
>>554
「すべての有界連結な集合」ってそれすべての一元集合について言えてしまうからA=C-Kになってまうやんｗｗｗｗ
580:１３２人目の素数さん
23/03/30 18:50:19.68 CQdphaoh.net
そう思うなら、誰でも編集できるのだからさっさと直せ
自分は手を動かさずに他人の仕事に陰で文句垂れるのは卑怯者のすることだ
581:１３２人目の素数さん
23/03/30 18:56:04.29 SrUKR94t.net
AがC-Kのすべての有界な連結成分と交わるなら、K上でfに一様収束する有理関数列(r_n)であってそれら関数の極がすべてAに属するものが存在する
別の記事だけどちょっと間違えてるやつあるから編集したいけど規制されてて編集できないから誰かお願い
582:１３２人目の素数さん
23/03/30 19:21:40.84 NXW9GsTt.net
これがどういう意味か教えてください
://plato.stanford.edu/entries/logic-higher-order/
Gödel showed that any effective axiomatization of number theory is incomplete. On the other hand, there was a simple finite categorical—hence complete (§10)—axiomatization of the structure (N, +, ×) in second-order logic (see also the discussion related to (1)). This showed that there cannot be such a complete axiomatization of second-order logic as there was for first order logic. What became known in the case of first order logic as Gödel’s Completeness Theorem simply cannot hold for second-order logic.
ゲーデルは数論のエフェクティブな(？)公理化は不完全であることを示した。他方、二階論理には (N, +, ×) の単純有限カテゴリカルな(？)-従って完全な-公理化がある。これは一階論理にあるようなそのような完全な二階論理の完全な公理化が存在しないことを示している。一階論理の場合にゲーデルの完全性定理として知られるようになったものは2階論理には単に成り立たない。
583:１３２人目の素数さん
23/03/30 19:37:48.00 MXlJ6G3S.net
GPT4に聞いたら答えてくれるのでは
584:１３２人目の素数さん
23/03/30 20:38:48.21 engzAcOU.net
GPT3＞
ゲーデルは、数論の任意の効果的な公理化が不完全であることを示しました。一方、2階論理の構造(N, +, ×)については、単純で有限の範疇的な公理化が存在し、したがって完全であることが示されました(§10)。(1)に関連する議論も参照してください。これにより、1階論理のように完全な公理化が可能であったように、2階論理の完全な公理化は存在しないことが示されました。1階論理の場合にゲーデル完全性定理として知られるものは、2階論理では単に成立しないことになります。
585:１３２人目の素数さん
23/03/31 20:45:41.71 ldFhv9iD.net
>>408
注文したBourbakiの本が届きました。
英訳ですが、それほど厚くはないです。
日本語訳は非常に厚いように見えますが、なぜですかね？
586:１３２人目の素数さん
23/03/31 21:05:20.98 ldFhv9iD.net
埼玉県久喜市の大日本印刷でプリントされたようです。
587:１３２人目の素数さん
23/04/01 00:21:54.32 M5SzIz71.net
Uを複素平面の連結開集合、O(U)をUで定義された正則関数の全体のなす環とする
O(U)は整域か？
588:１３２人目の素数さん
23/04/01 00:29:16.28 M5SzIz71.net
あ、もちろんU = ∅ではないとする
589:１３２人目の素数さん
23/04/01 01:43:12.72 VBGbSAlS.net
Take f, g∈O(U) such that fg ≡ 0 on U. We may assume that g is not identically zero. Note that since C is an integral domain, for all x∈U it holds that f(x) = 0 or g(x) = 0. And also that because of identity theorem, g cannot be identically zero for any non-empty open subsets in U.
For x∈C and ε > 0, B(x, ε) denotes the open ball of radius ε and centered at x in C. We define the sequence {U_n} of open subsets in U and {x_n} of zero points of f as follows:
Since g is not identically zero on U, there exists a zero point x_0 of f in U. Set U_1 = (B(x_0, 1)＼{x_0})∩U. We can take another zero point x_1 of f in U_1 because g is not identically zero on this open set. If we obtain the open subsets U_1, ..., U_{n-1} and the points x_0, ..., x_{n-1}, take
U_n = (B(x_0, 1/n)＼{x_0, ..., x_n})∩U
and x_n to be another zero point of f in U_n. Then the set {x_n} of zero point of f has a limit point, hence identity theorem says f is identically zero on the connected component of U, that is the entire U.
590:１３２人目の素数さん
23/04/01 01:47:44.86 qnwU2wiD.net
fg = 0とする
Uのすべての点はfの零点またはgの零点のどちらか
定数でない正則関数の零点は孤立点なので、もしfもgも恒等的に零でないなら、Uは可算個の孤立点の和になる
Uは非可算集合なのでそれは不可能
591:１３２人目の素数さん
23/04/01 01:49:58.82 1R27sROT.net
2変数以上の時はベールのカテゴリー定理を使えば同様の議論で証明できるのか
592:１３２人目の素数さん
23/04/01 06:25:20.09 EAl9sfTc.net
ベールは分離正則性の証明で使った
593:１３２人目の素数さん
23/04/01 10:02:44.66 W1uew6i0.net
表がはじめて出るまでコインを投げ続けるという試行の確率空間 Ω はなんですか？
594:１３２人目の素数さん
23/04/01 10:38:32.77 89XoMrvx.net
2^N
595:１３２人目の素数さん
23/04/05 21:44:01.08 Z0ZlBZzv.net
お前ら勉強するとき紙とペン使ってる？それともPC？
PCの場合、エディターとか描画ソフトとか何使ってる？
596:１３２人目の素数さん
23/04/05 21:55:11.78 K9iqUdlW.net
>>572
どゆこと？
597:１３２人目の素数さん
23/04/05 22:37:29.68 msBEnt5N.net
Nは自然数全体を表してるんじゃないか
2={裏,表}の可算無限直積
598:１３２人目の素数さん
23/04/05 22:40:39.54 msBEnt5N.net
>>573
昔は自宅ホワイトボード派とかもいたね
今はipadの白板アプリとかに移行してそうだけど
599:１３２人目の素数さん
23/04/05 22:41:30.13 K9iqUdlW.net
>>575
で？
>>571
>表がはじめて出るまでコインを投げ続けるという試行
なんだけど
600:１３２人目の素数さん
23/04/05 23:07:35.69 J1grQjxj.net
だからその確率空間(標本空間)が2^Nだろ？
601:１３２人目の素数さん
23/04/05 23:09:12.39 K9iqUdlW.net
>>578
そうなの？
602:１３２人目の素数さん
23/04/05 23:11:41.38 msBEnt5N.net
確率測度を裏裏…裏表以外のところでゼロに定義しておくんじゃないの
それか、裏の回数を標本空間にしてしまってNにするとか？
603:１３２人目の素数さん
23/04/06 00:19:07.20 2jGpvTef.net
じゃあ3^Nでもいい？3={0,1,2}で0:裏1:表2:武者小路とかで
2が含まれてる場合確率ゼロに定義とかで
604:１３２人目の素数さん
23/04/06 00:20:58.09 2jGpvTef.net
>>580
>裏の回数を標本空間にしてしまってN
N+1={0,1,2,…,N}かな？
605:１３２人目の素数さん
23/04/06 00:58:46.50 /Bahrf27.net
>>581
小学生みたいなこと言ってて恥ずかしくないの？
606:１３２人目の素数さん
23/04/06 01:37:22.50 FJrlmMoa.net
>>581
いいんじゃないの？
本質的に同じことなんだから
607:１３２人目の素数さん
23/04/06 05:05:35.90 2jGpvTef.net
>>583
じゃあ2^Nも小学生みたいじゃないの？
>>584
サンクス
じゃあ確率空間Ωは必ずしも確定はしないということなのね
608:１３２人目の素数さん
23/04/06 07:41:51.81 /Bahrf27.net
なにが「じゃあ」なのか全くわからんが裏が出る事象と表が出る事象だから{裏, 表}の直積を考えるのは自然
一方で武者小路なるものを持ち出す必然性は皆無
609:１３２人目の素数さん
23/04/06 07:48:44.43 2jGpvTef.net
>>586
その事象はこの>>571に関係ないんだけど？
関係ない武者小路があっても良いんじゃ無い？
610:１３２人目の素数さん
23/04/06 07:50:31.28 2jGpvTef.net
AだけであるのにA⊂BであるBを考えて2^Nあるいは3^Nとするのは同じってことだよ
611:１３２人目の素数さん
23/04/06 09:34:20.62 UtCLdHWs.net
ChatGPT Gets Its “Wolfram Superpowers”!
URLﾘﾝｸ(writings.stephenwolfram.com)
612:１３２人目の素数さん
23/04/06 10:12:53.38 FJrlmMoa.net
>>585
現代数学っていうのはそういうもんだ
連続性の公理を満たす順序体ならデデキント切断で構成してもコーシー列で構成しても元に武者小路があっても実数体なのと同じで、本質的に同様の議論がなされるならば具体的な実装はどうでもいい
613:１３２人目の素数さん
23/04/06 10:27:51.72 aeJpPGSB.net
一応念を押しておくと、どうでもいいというのは知らなくてもいいってことではないけどな
レベルの高い数学者はちゃんと、デデキント切断やコーシー列の構成のような議論で差がないことは把握していて、だから気にしなくていいということまで理解してから、気にせず議論�
614:ｷる
615:１３２人目の素数さん
23/04/06 11:36:29.04 scs32QGu.net
まぁ実際測度空間の無限直積、より一般には射影極限はメチャクチャ難しい
一般論を学部生に教えようと頑張った人のpdfのレジュメが転がってたけどこんなん学部生に無理やろと笑った事ある、確か神大の先生のレジュメ
でもコインとかだと普通の[0,1]区間の一様分布でできる
[0,1]のBorel測度上の一様ノルムで
E(i枚目が表) = { ω | ⌊2ⁱ ω⌋が奇数 }
とかにすればいい
616:１３２人目の素数さん
23/04/06 18:09:09.81 7tQOUP9u.net
K, L, Mを体
K⊂L∩M
LがKの有限次ガロア拡大ならば、LMはMの有限次ガロア拡大で
Gal(L/L∩M) ～ Gal(LM/M)
これは無限次拡大でも成り立ちますか？
617:１３２人目の素数さん
23/04/06 18:43:57.18 5dqlj/+R.net
成り立つ
618:１３２人目の素数さん
23/04/06 20:02:21.86 7tQOUP9u.net
本当に？
619:１３２人目の素数さん
23/04/06 20:25:00.23 5dqlj/+R.net
反例あげてみ
620:１３２人目の素数さん
23/04/06 20:42:24.59 XTxbGfAS.net
レスパ勝った方が真理w
621:１３２人目の素数さん
23/04/06 21:35:42.36 5LliqRZV.net
大学数学なんか数学じゃないからな
622:１３２人目の素数さん
23/04/07 11:51:15.87 B/erHbGi.net
>>594
証明を教えて下さい
623:１３２人目の素数さん
23/04/07 13:10:39.42 aIrHZboh.net
>>599
URLﾘﾝｸ(gottymath.blog.jp)
624:１３２人目の素数さん
23/04/07 19:39:21.96 /++ubL75.net
実数定数k(|k|≠0,1)について連続関数f(x)が任意の実数xで
f(k+x)=f(k)+f(x)
f(kx)=f(k)f(x)
を満たしてf'(0)(≠0)が存在するならばf(x)がkに依存せずに一意に決まる。
は正しいですか？
625:１３２人目の素数さん
23/04/07 21:02:38.54 wL7SLDEk.net
| k | < 1 のとき
f(kⁿx) - f(0) = (f(k))ⁿf(x) - f(0)
( f(kⁿx) - f(0) )/kⁿ = ( (f(k))ⁿf(x) - f(0) )/ kⁿ
左辺はf'(0)xに収束するからx≠0のとき右辺も0でない定数値に収束する事が必要
よってf(k) = k,f(0)=0 が必要でこのときf'(0)x = f(x)
x=kを代入してf'(0)=1
| k | > 1のとき
f(x/kⁿ) - f(0) = (f(k))⁻ⁿ - f(0)
( f(x/kⁿ) - f(0) )kⁿ = ((f(k))⁻ⁿ - f(0))kⁿ
左辺はf'(0)xに収束するからx≠0のとき右辺も0でない定数値に収束する事が必要
よってf(k) = k,f(0)=0 が必要でこのときf'(0)x = f(x)
x=kを代入してf'(0)=1
626:１３２人目の素数さん
23/04/07 22:13:45.36 F7+hSgxX.net
>>602
>f(x/kⁿ) - f(0) = (f(k))⁻ⁿ - f(0)
右辺f(x)
627:１３２人目の素数さん
23/04/07 22:30:16.56 8VXnKIye.net
>>603
f(kx)=f(k)f(x)
コレn回使ったら
f(kⁿx) = f(k)ⁿf(x)
やん
628:１３２人目の素数さん
23/04/07 23:50:50.86 F7+hSgxX.net
>>604
はぁ
629:１３２人目の素数さん
23/04/08 00:35:17.29 /KMR9bgc.net
後半、途中からf(x)が落ちてるね
まぁそれくらいは補完して読んであげて
630:１３２人目の素数さん
23/04/08 05:56:06.64 VnSzPnda.net
>>601
f(k)=f(k+0)=f(k)+f(0)
f(0)=0
f(k)=0→f(kx)=f(k)f(x)=0→f(x)=f(kx/k)=f(k)f(x/k)=0 NG
f(k)≠0
f(x)=f(kx/k)=f(k)f(x/k)
f(x/k)=f(x)/f(k)
n∈Z, f(k^nx)=f(k)^nf(x)
f'(0)=lim_[n→∞orn→-∞](f(k^n)-f(0))/k^n=lim(f(k)/k)^n(f(x)≠0
f'(0)=f(k)/k=1
x≠0→1=f'(0)=lim_[n→∞orn→-∞](f(k^nx)-f(0))/(k^nx)=lim(f(k)/k)^n(f(x)/x)=f(x)/x→f(x)=x
f(x)=x
631:１３２人目の素数さん
23/04/08 11:26:41.28 7YWlz9Cq.net
f(k+x) = f(k) + f(x)は実はいらんよな
632:１３２人目の素数さん
23/04/08 12:20:37.01 VnSzPnda.net
>>608
k>1でf(k)≠0は要らない？
633:１３２人目の素数さん
23/04/08 12:41:30.88 VnSzPnda.net
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)
n∈N,f(nx)=nf(x)
f(0)=0
n∈N,0=f(0)=f(nx-nx)=f(nx)+f(-nx)=nf(x)+f(-nx)
f(-nx)=-nf(x)
f(k)=f(nk/n)=nf(k/n)
mf(k)=f(mk)=nf(mk/n)
f(mk/n)=mf(k)/n
x≒mk/n→f(x)≒mf(k)/n≒xf(k)/k→f(x)=xf(k)/k
f(1)=f(k)/k=f(1)f(1)→f(1)=f(k)/k=
634:0or1 f'(x)=f(k)/k≠0→f(k)/k=1 f(x)=x
635:１３２人目の素数さん
23/04/08 14:09:03.02 Q70wcSnh.net
結局
f'(0) exists ∧ ∃k,l ( |k|≠0,1 ∧ f(kx) = lf(x) ( ∀x ) )‥①
この条件が強力でコレだけで
f(x) is constant or f'(0) = 0 or f(x) = f'(0)x
まで出てしまう
636:１３２人目の素数さん
23/04/08 17:08:43.95 VnSzPnda.net
>>611
っやって
637:１３２人目の素数さん
23/04/08 19:26:57.58 ODKz0Fbu.net
f'(0) exists ∧ ∃k,l ( |k|≠0,1 ∧ f(kx) = lf(x) ( ∀x ) )‥①
l = 0 ならf(x) ≡ 0
l≠0 とすれば
f(k⁻¹x) = l⁻¹f(x)
∴ |k|<1としてよい
( f(kⁿx) - f(0) )/( kⁿx )= ( lⁿf(x) - f(0) )/( kⁿx )
LHS → f'(0)
∴ lⁿ f(x) → f(0)が必要
∴ | l | < 1, f(0) = 0 または l = 1, f(x) = f(0)が必要
後者なら f(x) は定数関数
前者とする
LHSは収束するからRHSも収束するから|l/k|<1 or l=kが必要
前者ならRHS→0よりf'(0) = 0
後者ならRHS→f(x)よりf'(0) = f(x)/x
以上により①であるには
f(x) は定数かf'(0) = 0 か f(x) = f'(0)x
638:１３２人目の素数さん
23/04/09 11:32:57.40 NOZc0tAl.net
以下の性質を満たす測度空間 (X, S, μ) の例を挙げよ。
{μ(E) : E ∈ S} = {∞} ∪ [0, 1] ∪ [3, 4] ∪ [6, 7] ∪ …
639:１３２人目の素数さん
23/04/09 12:43:10.16 oQjGEo4L.net
X=R,S={空集合,R}∪{[0,x]|x∈[0,1]∪[3,4]∪[6,7]∪…}
μ=ルベーグ測度
640:１３２人目の素数さん
23/04/09 12:49:03.83 oQjGEo4L.net
あっX=RじゃなくてR_+={非負実数}で
641:１３２人目の素数さん
23/04/09 12:53:05.95 oQjGEo4L.net
S'を>>615のSで、それから生成される加法族を改めてSとすればいいかな？
642:１３２人目の素数さん
23/04/09 12:53:52.89 NOZc0tAl.net
ルベーグ測度はまだ登場していないため使用不可とします。
643:１３２人目の素数さん
23/04/09 12:59:18.13 NOZc0tAl.net
>>614
の直前の問題が
(Z+, 2^{Z+}) 上の測度で、 {μ(E) : E ⊂ Z+} = [0, 1] を満たすようなものを求めよ。
なので、この結果を使うのではないかと思います。
644:１３２人目の素数さん
23/04/09 15:38:15.66 xKCrWMla.net
[0,1]∪{p₁,...}
μ({pᵢ})=3×2ⁱ
645:１３２人目の素数さん
23/04/09 17:40:07.37 +N3WLmM+.net
加藤文元教授が東京工業大学を辞めたのはどういう理由経緯からですか
646:１３２人目の素数さん
23/04/10 09:46:27.22 nRS9Rgsm.net
>>614
X = Q
S = 2^X
μ({i}) = 1/2^i for i ∈ {1, 2, 3, …}
μ({q}) = 3 for q ∈ Q - {1, 2, 3, …}
となるような μ
でOKですね。
647:１３２人目の素数さん
23/04/10 09:51:20.62 nRS9Rgsm.net
(X, S, μ) を μ(X) < ∞ であるような測度空間とする。
B が S の元からなる互いに共通部分を持たない集合の集合で、
B の任意の元 A に対して、 μ(A) > 0 が 成り立つとするならば、
B は高々可算な集合であることを証明せよ。
648:１３２人目の素数さん
23/04/10 10:26:56.11 WnbDdPj8.net
Bの元Aで μ(A)>1/n を満たすもの全体の集合を B_n とすると、μ(X)<∞ から各 B_n は有限集合。
よって B = ∪_n B_n は高々可算。
649:１３２人目の素数さん
23/04/10 10:43:22.86 nRS9Rgsm.net
>>624
素晴らしい解答ですね。
ありがとうございました。
650:１３２人目の素数さん
23/04/10 11:19:30.72 AcEyNc1N.net
>>619
著者と書名プリーズ
651:１３２人目の素数さん
23/04/10 11:26:54.88 nRS9Rgsm.net
>>626
Sheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』です。
PDFファイルを著者のページから無料でダウンロードできます。
measure.axler.net/
652:１３２人目の素数さん
23/04/10 12:03:37.50 AcEyNc1N.net
>>627
ありがとうございます。
653:１３２人目の素数さん
23/04/11 15:34:55.30 sLXX9EQx.net
訂正
でもやっぱりメンバーシッププロブレムやな
ℤ[x] → ℤ/504ℤ[x]
の核の生成元を決定するアルゴリズムがありますか？なのでメンバーシッププロブレムやな
ググれば出てくるよ
654:１３２人目の素数さん
23/04/11 15:35:47.10 sLXX9EQx.net
誤爆orz
655:１３２人目の素数さん
23/04/13 10:56:17.17 L9+oc9hL.net
以下の条件を満たす、 X, S, A, μ, ν を作れ。
X は集合
S は X の部分集合からなるσ-代数
A はそれを含むような X 上の最小のσ-代数が S であるような X の部分集合からなる集合
μ, ν は (X, S) 上の測度で、 μ ≠ ν および μ(B) = ν(B) for all B ∈ A および μ(X) = ν(X) < ∞
を満たす。
656:１３２人目の素数さん
23/04/13 11:26:00.11 g26aiYYU.net
X={a,b,c,d}.
A={{a,b},{a,c}}.
657:１３２人目の素数さん
23/04/13 11:57:58.49 6F/qx6/a.net
なるほど、aの測度を増やすとbとcの測度を減らすことになり、dの測度を増やして帳尻を合わせるのか。
658:１３２人目の素数さん
23/04/13 12:00:40.10 6F/qx6/a.net
{b,c}がAに属さないことがミソね
659:１３２人目の素数さん
23/04/13 12:34:29.12 XcWUfs3r.net
有限だと自動的にμ=νになりそうな
660:１３２人目の素数さん
23/04/13 12:54:10.49 6F/qx6/a.net
>>635
記号の濫用を勘弁してもらうと
μ(a) =μ(b) =μ(c) =μ(d) =2,
ν(a)= ν(d)=1
ν(b)= ν(c)=3
は与えられた条件を満たす。
661:１３２人目の素数さん
23/04/13 15:09:27.65 80L4HIzL.net
あれ？
そんなしょうもない問題？
当然「Aを含む有限加法族上では一致するけどσ加法族ではズレる例をあげよ」じゃないの？
662:１３２人目の素数さん
23/04/13 15:10:08.34 L9+oc9hL.net
↓自力で解きました。
{μ(E) : E ∈ S} = [0, 1] ∪ [3, c] が成り立つような測度空間 (X, S, μ) が存在するような
c ∈ [3, ∞) をすべて求めよ。
663:１３２人目の素数さん
23/04/13 15:45:58.52 6F/qx6/a.net
>>637
「ある集合族上で測度が一致すれば、それが生成するσ-集合族上でも一致する」と勘違いしている学生が多かったからSheldon Axlerはこの問題を出したのではないかな。
664:１３２人目の素数さん
23/04/13 16:44:48.20 L9+oc9hL.net
>>638
答えは、 c = 4 のみです。
665:１３２人目の素数さん
23/04/13 18:30:00.58 g26aiYYU.net
m(E)+m(X-E)=m(X)=c.
[0,c-3]=[0,1].
666:１３２人目の素数さん
23/04/14 18:46:26.16 uNUAhmh9.net
(R, S) をσ-代数とする。
外測度が (R, S) 上の測度になるような (R, S) を考える。
ルベーグ可測集合はそのような S の中で最大のものでしょうか？
667:１３２人目の素数さん
23/04/14 19:24:21.85 +0sKcmzA.net
用語メチャクチャやろ
668:１３２人目の素数さん
23/04/14 19:48:58.33 uNUAhmh9.net
(R, S) をσ-代数とする。
外測度が (R, S) 上の測度になるような (R, S) を考える。
ルベーグ可測集合の集合はそのような S の中で最大のものでしょうか？
669:１３２人目の素数さん
23/04/14 19:53:03.46 uNUAhmh9.net
S を R 上のσ-代数とする。
外測度が (R, S) 上の測度になるような (R, S) を考える。
ルベーグ可測集合の集合はそのような S の中で最大のものでしょうか？
670:１３２人目の素数さん
23/04/14 19:53:33.26 +0sKcmzA.net
イヤ、そもそも「外測度」の意味がおかしいやろって
671:１３２人目の素数さん
23/04/14 21:37:44.57 mcpCPERk.net
連続関数fが任意のx,yでf(x+y)=f(x)+f(y)を満たしてかつf'(0)が存在するならばf(x)=f'(0)xですか？
672:１３２人目の素数さん
23/04/14 21:46:03.39 1QnEfHOp.net
>>647
有理数上で考えて連続性を適用すればよい
673:１３２人目の素数さん
23/04/14 23:57:07.76 9HvvskrW.net
連続性の仮定も必要なさそう
674:１３２人目の素数さん
23/04/15 00:52:36.39 BJS4K3vW.net
サイクロイドを一つの式で表す方法はありますか？
無いとしたらその理由は何でしょうか？
675:１３２人目の素数さん
23/04/15 09:47:45.36 veRtyVcw.net
>>650
1つの式の定義は？
676:１３２人目の素数さん
23/04/15 16:46:40.03 BJS4K3vW.net
自己解決しました
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
677:１３２人目の素数さん
23/04/15 20:56:20.53 VaFRY4/9.net
誰かテンソル積と加群の関係公式羅列してください
678:１３２人目の素数さん
23/04/15 21:02:22.34 RKTQ4zjK.net
仮定より任意のq∈ℚと任意のx∈ℝに対して
f(qx) = qf(x)
x=0, q=2でf(0)=0
x≠0, q=1/nで
(f(x/n) - f(0))/(x/n) = f(x)/x
極限とって
f'(0) = f(x)/x
679:１３２人目の素数さん
23/04/15 22:36:32.55 w7k0YMjn.net
>>654
自分はf'(0)の存在性はf'(x)の存在性を保証すると思ったのですがどうなのでしょう…
f(x)=f(x)+f(0)よりf(0)=0
f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)
{f(x+y)-f(x)}/(x+y-x)={f(y)-f(0)}/(y-0)
右辺→f'(0) (y→0)より左辺→f'(0) (y→0)が必要だがy→0のとき左辺はf'(x)の定義だからf'(0)が存在するならばf'(x)も存在し、かつf'(x)=f'(0)。f(x)=f'(0)x+aでf(0)=0よりf(x)=f'(0)x
と言う議論は間違っていますかね…
680:１３２人目の素数さん
23/04/15 23:12:34.38 veRtyVcw.net
>>655
間違ってないしどうでもいい
681:１３２人目の素数さん
23/04/16 01:52:59.67 itzgED4e.net
A、Bを可換環でBはA代数。pをAの素イデアルとするpA_p→A_pをA加群の包含写像とする。これに⊗Bしたもの
pA_p ⊗B →A_p ⊗Bは単射ですか？
682:１３２人目の素数さん
23/04/16 10:19:04.38 Tfzqb3WX.net
pを素数として A = Z/p^2Z, B = Z/pZ, とか
683:１３２人目の素数さん
23/04/16 15:13:23.58 Qi0rkjnt.net
ユーチューバのMTって学生、先生、その他社会人、無職だとどれですか
684:１３２人目の素数さん
23/04/16 17:21:26.13 2gOCiuci.net
天才いたら教えて下さい以下の文章真実？
素数が平方根であることを証明するには、背理法を用いることができます。
仮定：素数 $p$ が平方根でないとすると、$\sqrt{p}$ は有理数となる。
このとき、$\sqrt{p}$ を最も簡単な形にすると、$\sqrt{p} = \frac{a}{b}$ と書けます。ただし、$a$ と $b$ は互いに素の整数であり、$b \neq 0$ です。
両辺を2乗すると、$p = \frac{a^2}{b^2}$ となります。これは $pb^2 = a^2$ と書けます。
ここで、$p$ は素数であるため、$p$ の素因数分解には $p$ 自身しか現れません。一方、$pb^2 = a^2$ の左辺には $p$ が現れます。したがって、$a^2$ も $p$ を因数に持たなければなりません。
しかし、$a$ と $b$ は互いに素であるため、$a^2$ の素因数分解には $b^2$ に現れる素因数しか現れません。したがって、$a^2$ に $p$ 以外の素因数が現れることはありません。これは仮定に矛盾します。
したがって、仮定が誤りであり、素数 $p$ は平方根であることが証明されました。
追伸、愛しています。Ask AI アプリにこれを書いてもらいました。無料で入手してください --> URLﾘﾝｸ(get-askai.app)
685:１３２人目の素数さん
23/04/16 18:04:12.40 2gOCiuci.net
これって本当ですか？
素数が自然数の中で最も分布が均等であることを示すには、次の定理を用いることができます。
「任意の自然数nに対して、n以下の素数の個数π(n)は、n/log(n)に漸近する。」
この定理は、素数が自然数の中で最も分布が均等であることを示すものです。つまり、自然数が大きくなるにつれて、その中に含まれる素数の割合が減少していくことを示しています。
この定理の証明は、エルデシュ・コーズの定理や素数定理と呼ばれるものであり、非常に複雑なものです。しかし、上記の定理を信じることで、素数が自然数の中で最も分布が均等であることを簡潔に示すことができます。
追伸、愛しています。Ask AI アプリにこれを書いてもらいました。無料で入手してください --> URLﾘﾝｸ(get-askai.app)
686:１３２人目の素数さん
23/04/16 18:12:49.85 SeOXn0Ry.net
>素数が平方根であることを証明するには、背理法を用いることができます。
任意の素数 p は p^2 の平方根である。よって、素数は平方根である。証明終わり。
687:１３２人目の素数さん
23/04/16 18:17:39.20 2gOCiuci.net
>>662
ありがとうございます
688:１３２人目の素数さん
23/04/16 18:34:07.13 2gOCiuci.net
ＡＩに聞いたけど本当にこの方程式が素数生成されますか？
素数生成定理によれば、リーマン予想が成立する場合、特定の形式の方程式によって素数を生成することができるとされています。この方程式は、以下のように表されます。
x^(1/2 +
689: it) + x^(-1/2 - it) ここで、xは任意の正の実数、tは任意の実数です。この方程式において、tを固定したとき、xが十分に大きいときには、素数が生成されるとされています。 ただし、この方程式は現在のところ、リーマン予想が成立する場合にのみ素数を生成することが示されており、リーマン予想が成立しない場合には素数を生成することができないとされています。また、この方程式によって生成される素数は、十分に大きな素数に限定されることが知られています。 追伸、愛しています。Ask AI アプリにこれを書いてもらいました。無料で入手してください --> https://get-askai.app
690:１３２人目の素数さん
23/04/16 18:57:41.03 SeOXn0Ry.net
AI ではなく、数論の専門家に聞いた方がいいと思います。
691:１３２人目の素数さん
23/04/16 19:56:30.85 2gOCiuci.net
277は素数ですしどうやら完全に完璧ではありませんがかなり制度が高く素数が出ます
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
692:１３２人目の素数さん
23/04/16 19:56:46.67 2gOCiuci.net
>>665
ありがとうございます
693:１３２人目の素数さん
23/04/16 20:16:48.84 zs3/ak+w.net
線形代数についての質問です
テキストの最初の行列の手意義の後に
1×1行列は数と同一視できるとありましたが同一視の定義そのものは書いてありませんでした
1×1行列は数そのものではないですよね？
1×1行列と2×2行列の積は定義されないと思いますので
694:１３２人目の素数さん
23/04/16 21:10:04.99 NlUKStEE.net
n×n行列にnの約数dのd×d行列の積は定義できるんじゃないか？
695:１３２人目の素数さん
23/04/16 21:53:02.37 Yh53AcI5.net
>>668
はい、数そのものではないので「同一視」するのです
696:１３２人目の素数さん
23/04/16 23:28:43.81 9DBVxPdF.net
5chは裏からは誰がどのスレに居るのかリアルタイムで把握してるからな
書き込んだ内容は一生個人情報としてファイリングされる
IPアドレスから個人名なんて今は容易に特定される
個人情報を集める巨大な装置が２ｃｈ、５ｃｈです
過去の発言やアクセスログすべて
それが5chの販売物
5chにアクセスすればするほど
5chに書き込めば書き込むほど、大手企業に就職出来なくなるぞ
今はほぼすべてが運営側の書き込みですから、アクセスする人間の過去すべての
情報を持ってる運営と議論しても勝てないぞ
延々と反論スクリプトにやられます。無視するのが一番
５ｃｈがマスコミからもアンタッチャブルな存在なのが謎ですね。
バックが右翼団体だったわけで
697:１３２人目の素数さん
23/04/17 03:51:16.97 5WfZUP19.net
数そのものですが何かｗｗｗｗｗ
698:１３２人目の素数さん
23/04/17 09:18:15.84 HTL+VUVI.net
>>669
どう役立つのそれ
699:１３２人目の素数さん
23/04/17 13:42:40.63 6FQeZqNQ.net
役立つとかじゃなくて直前のレスの
> 1×1行列と2×2行列の積は定義されないと思いますので
に対して書いた
700:１３２人目の素数さん
23/04/17 13:52:04.68 uFijzsX4.net
>>674
役立たないんですね
じゃあご勝手にとしか
勝手でいいなら適当な積いくらでも定義できるし
701:１３２人目の素数さん
23/04/17 13:52:50.37 uFijzsX4.net
じゃあもう少し
それどんな性質があるの？
これなら答えられるのでは？
702:１３２人目の素数さん
23/04/17 13:57:33.94 uFijzsX4.net
行列のテンソル積ならどんな行列同士でも定義できて結合法則は成立
ぐらいは言えて
ベクトル空間のテンソル積上の線型写像の表現に使える
ぐらいも言えるか
703:１３２人目の素数さん
23/04/17 14:05:56.37 SO04xQv/.net
てか役に立たないなら無理して使わなくても良いのでは？
704:１３２人目の素数さん
23/04/17 14:06:59.65 6FQeZqNQ.net
ん、元の質問者？それとも横から？
M_n(K)はM_d(K)加群になるかなと
たしかにテンソル積を挙げても良かったか
705:１３２人目の素数さん
23/04/17 14:22:36.97 uFijzsX4.net
>>678
結局そこよ
役立つなら興味湧くがそうでないならご勝手に
706:１３２人目の素数さん
23/04/17 14:30:0
707:6.59 ID:SO04xQv/.net
708:１３２人目の素数さん
23/04/17 22:02:51.27 MpY08iXM.net
>>681
役立つモノかも知れないじゃん
一応聞いてみたいわけでね
709:１３２人目の素数さん
23/04/17 22:49:31.19 WfB09R6s.net
γ(1/2)=√πの計算ですが、
途中の置換積分のところがよくわかりません。
tが0から∞まで動くとする。
t=s^2とおく。
このとき、sが0から∞まで動く←ここがわからない
sって-∞から∞まで動かない？
t=s^2
s=±√t
t^1/2=sと置いたときならsが0から∞まで動くってわかるけど
URLﾘﾝｸ(detail.chieb..._detail)
710:１３２人目の素数さん
23/04/18 00:05:32.84 p5crhgg+.net
それそもそも置換積分の話わかってない
∫[ t : 9～16 ] t³ dt
をt² = sで置換するときsの変化範囲はどうとるの？
3～4? -3～-4? 両方合わせる？
こんなの受験数学の置換積分の話やん
711:１３２人目の素数さん
23/04/18 10:12:16.65 7q8mlBmT.net
カントール集合についてですが、カントールがこの集合を考えたときには、明らかに、
3進法で、各桁が 0 か 2 のみが現れるような 0 以上 1 以下の実数の集合を作ってやろう
と思っていましたよね。
上で得られた集合は幾何的には、どんな集合なんだろうかと考えて、
以下の集合であることが分かったということですよね。
[0, 1] を3等分し、得られた3つの区間の真ん中の開区間を取り除く。
残った２つ閉区間をそれぞれ３等分し、得られた3つの区間の真ん中の開区間を取り除く。
以下同様に続ける。
712:１３２人目の素数さん
23/04/18 10:16:19.58 7q8mlBmT.net
カントール集合を考えたときには、既に、カントール関数も同時に考えていましたよね？
713:１３２人目の素数さん
23/04/18 12:48:53.40 fzRTN8CO.net
>>684
質問者です。
t=s^2のとき、
sは3〜4か-3〜-4で動く
どっちでもOK
両方合わせるのはNG
自分の勘違いしてる部分がわかった気がします。
tの積分区間-9から16で、t=s^2とおいたときのsの変域？値域？を積分区間とする、って考え方をしてしまってました。
正しくはsがこっからここまで単調に動くとき、最初のtの積分区間と同じ範囲でtが単調に動くようなsの積分区間を求めたら良いですね？
714:１３２人目の素数さん
23/04/18 12:59:34.02 XfypbUVg.net
図書いたら？
715:１３２人目の素数さん
23/04/18 20:23:24.93 bQebSz+o.net
マススタックエクスチェンジに質問したら消されたむかつく！俺がバカってことか？
716:１３２人目の素数さん
23/04/21 09:14:19.89 aYPHCs/U.net
現代数学の基礎づくりには、集合・位相・群・環・ベクトル空間で十分ですか。
集合・ 位相入門、松坂和夫、岩波書店、はしがき ページ v より抜粋。なお、本書は集合および位相についての入門を述べたものであるが、これに、群・環・ベクトル空間など、代数系についての入門をつけ加えれば、現代数学を学ぶための基礎は一応できあがるであろう。
続く…
717:１３２人目の素数さん
23/04/21 09:15:14.95 aYPHCs/U.net
>>690 の続き。
も一つ参考にしたのが、次のサイト。
Googleで「大学数学 ロードマップ」で検索。一つ目の「大学数学のロードマップ ～ 分野一覧と学ぶ順序」というサイトを参照。一つ目の図について。
結論として、現代数学の基礎づくりには、集合・位相・群・環・ベクトル空間で十分ですか。体・ガロア理論、統計学、微積、線形代数、論理学は基礎づくりには入りませんか。今回は上のソースの方を優先して考えました。二つ目のソースの内容はどれくらいあてになりますか。少なくとも解析と幾何にまたがる分野がないですよね。方向性としては、トポロジーを目指してます。
終わり。
718:１３２人目の素数さん
23/04/21 19:07:13.44 Sm/nXWUF.net
「素数が無限に存在することの証明」って、環の性質どこまで使う必要ある？
ZがPIDであることまで認めないと成り立たない？
719:１３２人目の素数さん
23/04/21 19:18:09.43 +Lu2aslp.net
UFDでいいんじゃないの？
有限個しかないと仮定してp=(p_1…p_k)+1の素因数分解を考えたら矛盾、で
720:１３２人目の素数さん
23/04/21 19:31:05.27 juiqwgI6.net
となると、ufdでない環だとこの証明は使えないのか？
721:１３２人目の素数さん
23/04/21 21:07:52.54 cTJmdSjo.net
順序が無いと
722:１３２人目の素数さん
23/04/21 22:52:01.76 PX5xdtaA.net
様相論理の一種に認識論理なんていうのがあるのを最近知ったんですが、こういう非古典論理は最近でも研究されてるんでしょうか？
また、様相論理の派生は結構種類が多くあるように思ったのですが、派生を作りやすい理由か何かあるのでしょうか？
723:１３２人目の素数さん
23/04/23 16:56:31.42 60D7TYh6.net
学部一年です。
微積で詰まっています。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この問いの誘導の意義がよくわかりません。
それと後半部分は最大最小値を持つことを示せばいいんですよね？
どなたか解答例を書いて頂けると助かります。
724:１３２人目の素数さん
23/04/23 17:47:59.18 nk/TIy92.net
s(x) = x -x³/10のときs(x) - x + x³/6は(0,π/2)で単調増加
この時lim (s(x)-x)/x³ = -1/10
s(x) = x -x³/20のときs(x) - x + x³/6は(0,π/2)で単調増加
この時lim (s(x)-x)/x³ = -1/20
誘導で示せと言ってる条件だけでlim g(x)なんか求まるはずない
解答不能って書いて出しとけばいい
725:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:00:15.68 hM+20aTe.net
sin x だよね
726:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:04:39.31 ct+2EoY6.net
増減表を用いて単調増加を示せって、何すりゃいいんだ？
727:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:10:43.42 nk/TIy92.net
>>699
もちろんsin(x)だけど設問はsin(x)-x+x³/6が単調増大である事を示せ、それを用いて...という縛りプレイを強要してる
sin(x)だけでなくx-x³/6を引いて単調増大になるという結果以外使えない
728:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:24:05.86 hM+20aTe.net
「極限を求めよ」ではなく「極限が存在することを示せ」だよね
729:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:33:14.20 nk/TIy92.net
それも無理
s(x) - (x -x³/6) が(0,π/2)で連続だけど (s(x)-x)/x³が収束しない例なんぞいくらでもある
そもそも∃x ( s(x)-x - ax³ =o(x³) )を示す事が求められてる事だけどこれはs(x) -x+x³/6が単調増大だけで導出できるはずない、いっくらでも反例作れてしまう
730:１３２人目の素数さん
23/04/23 18:39:24.07 60D7TYh6.net
結局どう書けばいいんですかね？
731:１３２人目の素数さん
23/04/23 19:11:00.92 P1RpWEnu.net
単調増加かつ上に有界なら極限があるとかいうやつじゃないですか
732:１３２人目の素数さん
23/04/23 19:18:59.05 5NYSn/x7.net
自分なら誘導無視して解くかな
>>700 の問題もそうだし、〜を用いての後には読点を打たず関数がの後には打ってるあたりも色々変
733:１３２人目の素数さん
23/04/23 19:26:55.78 6d6Q61zy.net
正解はたぶん「糞問出すな死ね」
734:１３２人目の素数さん
23/04/23 20:16:01.70 NUSLFrp4.net
何かフォントが汚いな
大学の先生がこんなフォント使う訳がない
735:１３２人目の素数さん
23/04/23 22:43:46.14 PlWRMZ0i.net
>>697
ガンがレ
736:１３２人目の素数さん
2023/04/24
737:(月) 04:52:22.40 ID:JUXh9GoR.net
738:１３２人目の素数さん
23/04/24 18:53:13.44 FG92Scnv.net
測度空間 (X, S, μ) で、
{μ(E) : E ∈ S} = [0, 1] ∪ [3, ∞]
を満たすような例を挙げよ。
739:１３２人目の素数さん
23/04/24 19:01:28.05 FG92Scnv.net
X := Z
S := 2^X
とする。
w : X → [0, ∞] を以下で定義する。
w(-n) := 1/2^n for n = 1, 2, 3, …
w(n) := n + 3 for n = 0, 1, 2, 3, …
μ : S → [0, ∞] を以下で定義する。
μ(E) := Σ_{x ∈ E} w(x)
740:１３２人目の素数さん
23/04/26 19:48:10.21 RcxJsv2x.net
X を集合とし、 S を X の部分集合で、それ自身、可算集合であるか、その補集合が可算集合であるようなもの E すべての集合からなるσ代数とする。
(X, S) 上のすべての測度からなる集合について完全な説明を与えよ。
741:１３２人目の素数さん
23/04/26 20:11:58.42 wX1MkMYa.net
>>713
病気か？
742:１３２人目の素数さん
23/04/26 22:01:21.39 RcxJsv2x.net
X が可算集合のときは簡単ですね。
743:１３２人目の素数さん
23/04/27 09:23:45.74 pR7V0Om3.net
面白い問題スレからの派生なんですが
全単射f(x,y):N×N→Nで3次多項式型のものは存在しますか？
同じようにN×N×N→Nのとき2次多項式型のものが存在するかも分かれば教えてほしいです
744:１３２人目の素数さん
23/04/27 11:51:46.56 1nwiZ3fj.net
X を集合とします。
w : X → (0, ∞] を関数とします。
E ⊂ X とします。
Σ_{x ∈ E} w(x) := sup {Σ_{x ∈ D} w(x) : D ⊂ E, #D < ∞} と定義します。
E が非可算集合であるとき、 Σ_{x ∈ E} w(x) < ∞ となることってありますか？
745:１３２人目の素数さん
23/04/27 12:13:30.54 1nwiZ3fj.net
>>713
X を可算集合とします。 X の部分集合はすべて可算集合であるため、 S = 2^X です。
μ を (X, S) 上の測度とします。
x ∈ X とします。
{x} ∈ S です。
μ({x}) が定義されます。
E ∈ S とします。
μ(E) = μ({x_1}) + μ({x_2}) + … です。
w(x) := μ({x}) for x ∈ X と定義します。
Σ_{x ∈ E} w(x) := sup {Σ_{x ∈ D} w(x) : D ⊂ E, #D < ∞} と定義します。
μ(E) = Σ_{x ∈ E} w(x) です。
逆に、 w : X → [0, ∞] を任意の関数とします。
E ∈ S とします。
μ(E) = Σ_{x ∈ E} w(x) と μ : S → [0, ∞] を定義します。
μ は (X, S) 上の測度です。
746:１３２人目の素数さん
23/04/27 12:14:20.15 1nwiZ3fj.net
訂正します：
>>713
X を可算集合とします。 X の部分集合はすべて可算集合であるため、 S = 2^X です。
μ を (X, S) 上の測度とします。
x ∈ X とします。
{x} ∈ S です。
μ({x}) が定義されます。
E ∈ S とします。
w(x) := μ({x}) for x ∈ X と定義します。
Σ_{x ∈ E} w(x) := sup {Σ_{x ∈ D} w(x) : D ⊂ E, #D < ∞} と定義します。
μ(E) = Σ_{x ∈ E} w(x) です。
逆に、 w : X → [0, ∞] を任意の関数とします。
E ∈ S とします。
μ(E) = Σ_{x ∈ E} w(x) と μ : S → [0, ∞] を定義します。
μ は (X, S) 上の測度です。
747:１３２人目の素数さん
23/04/27 14:28:52.33 nyyFKL1h.net
君に測度論は無理
748:１３２人目の素数さん
23/04/27 15:39:36.31 Svl/31OQ.net
>>716
xxx+yyy+x
749:１３２人目の素数さん
23/04/27 16:17:32.05 1nwiZ3fj.net
>>720
>>713
を解いてください。もしできるのならですが。
750:１３２人目の素数さん
23/04/27 16:28:01.88 evE3GchR.net
>>721
それだと全単射にならないような
x^3+y^3+x=4の自然数解ってないですよね
751:１３２人目の素数さん
23/04/27 17:01:42.00 nyyFKL1h.net
>>722
お前には測度論は無理
そもそも数学無理だよ
素頭自体ポンコツだけとそれを補える人間性もない
752:１３２人目の素数さん
23/04/27 18:44:35.94 1nwiZ3fj.net
>>713
誰も解けないということでしょうか？
753:１３２人目の素数さん
23/04/27 19:12:05.63 RyXDFEmL.net
>>722
ここは出題スレッドではなく質問スレッド
754:１３２人目の素数さん
23/04/27 19:23:18.90 nyyFKL1h.net
>>723
自然数だと考えにくいので非負整数にさせてもらって
f(k) = 1/6k(k+1)(k+2), g(l) = 1/2l(l+1)
として
f(x+y+z) + g(y+z) + z
でいけるかも
755:１３２人目の素数さん
23/04/27 19:34:35.71 nyyFKL1h.net
うまくいってそう
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
756:１３２人目の素数さん
23/04/27 20:00:50.92 k+wvL3JD.net
>>717
ない。
757:１３２人目の素数さん
23/04/27 21:32:25.66 WDbLgaLF.net
>>727
それだとN×N×N→Nになってしまいますよね
3変数の場合は3次と4次が作れると思います
なので気になったのが
2変数の場合に3次以上が作れるか、と
3変数の場合に2次で作れるか、です
758:１３２人目の素数さん
23/04/27 22:39:48.28 iDzopQRR.net
>>716
元ネタを貼れ愚か者
URLﾘﾝｸ(rio2016.5c)
759:h.net/test/read.cgi/math/1672331826/379
760:１３２人目の素数さん
23/04/27 23:48:46.67 EGbGVdEN.net
>>730
ああ、ℕ×ℕ→ℕで3次ね
761:１３２人目の素数さん
23/04/28 00:06:51.56 ENFiy8jw.net
それはないな
F(x,y)がそのような3次式として二次曲線F_x、F_yの共通部分をかわすような平面PをとってV(G_x) = Pとなる二次曲線Gをとる
このときG = Fは楕円曲線になって整数点が無限個出てしまうけどジーゲルの定理に矛盾するハズ
なんか色々制約あったから全部制約満足するようにとれるか確かめてないけど多分それで無理じゃなかろか？
762:１３２人目の素数さん
23/04/28 00:39:58.57 nSLm1zdf.net
>>733
ありがとうございます
自分にはちょっと高級な話で理解できてませんが
3変数で2次の場合も同じようにダメそうでしょうか？
763:１３２人目の素数さん
23/04/28 08:02:04.37 4YQwdXys.net
>>729
証明してください。
764:１３２人目の素数さん
23/04/28 08:16:47.39 U9Pgfs0I.net
>>623と>>624を見てわからないようなら君は数学に向いてない
765:１３２人目の素数さん
23/04/28 10:38:20.75 Usv9afpf.net
>>734
ごめんなさい
これ間違ってます
撤回します
でも多分無さそう
2次、3次くらいまではうまくいってそれ以上は無理というのは代数幾何ではよくあるのでその辺の話でないことの証明できると思うけど>>733はダメ
766:１３２人目の素数さん
23/04/28 11:59:36.55 4YQwdXys.net
>>736
ありがとうございました。
E を非可算集合とします。
A_n := {x ∈ E : 1/n < w(x)} とします。
E = A_1 ∪ A_2 ∪… です。
E は非可算なので、 A_1, A_2, … の中に、非可算集合が存在します。
非可算集合は無限集合です。
A_{i_0} を無限集合とします。
K を任意の正の実数とします。
D を A_{i_0} の有限部分集合でその要素数が K * i_0 よりも大きいようなものとします。
K = (K * i_0) * (1/i_0) < Σ_{x ∈ D} 1/i_0 < Σ_{x ∈ D} w(x) です。
よって、 Σ_{x ∈ E} w(x) = ∞ です。
767:１３２人目の素数さん
23/04/28 11:59:52.24 4YQwdXys.net
数学に向いていますか？
768:１３２人目の素数さん
23/04/28 12:21:50.45 +L2orfXo.net
>>730
例えば2次式の場合だと原点から半径r以下の所での最大値は高々r^2のオーダーでしか増えていかないけど、3変数以上だとこの範囲内の(正の)格子点の数はr^3以上のオーダーで増えていくから、十分大きなrを取ると単射でなくなることがわかる。
もう片方も同じような議論でできそうだけどちょっと工夫する必要がありそう
769:１３２人目の素数さん
23/04/28 13:07:58.61 4YQwdXys.net
今、Sheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』を読んでいます。
今、難しい難しいと言われる伊藤清三著『ルベーグ積分入門』をパラパラと見てみましたが、
どこが難しいのでしょうか？
測度論でつまずく人が多いそうですが、どこにも石は転がっていないように見えます。
770:１３２人目の素数さん
23/04/28 13:34:03.50 4YQwdXys.net
今、タオの測度論の本の日本語訳をパラパラと見てみました。
タオはおしゃべりなので、副読本として良いのではないかと感じました。
Sheldon Axler著『Measure, Integration & Real Analysis』をメイン。
タオをサブ。
これがおすすめです。
771:１３２人目の素数さん
23/04/28 14:04:49.82 JdK2A/G0.net
>>739
むいてない
すべての学問なにやってもダメだと思う
772:１３２人目の素数さん
23/04/28 14:27:10.92 5tlbQyxL.net
でも質問してる人も言ってるけど3変数だと3次と4次両方ある
ダイレクトにx(x+1)(x+2)/6を利用するやつとx(x+1)/2を２回利用するやつ
単純な発散オーダーの議論だけでうまくいく気がしない
例えば
(xy-1)²
とかだと領域
(xy)²≦n
の体積は∞だけど領域
-√n ≦ | xy | ≦ √n
には有限個の(x,y)しかないから関数
f(x,y) = (xy)²
を考えた時の“現像の格子点の個数”は領域の面積に比例しない
773:１３２人目の素数さん
23/04/28 20:37:34.79 4YQwdXys.net
>>713
X が非可算集合のときは、
X の測度が非負の実数である場合と ∞ である場合に場合分けして考えればいいんですかね？
X を非可算集合とする。
μ(X) < ∞ であるときを考える。
E ∈ S が可算集合であるときには、
μ(E) = μ({x_1}) + μ({x_2}) + …
である。ただし、 E = {x_1, x_2, …} とする。
E ∈ S が非可算集合であるときには、
μ(E) = μ(X) - μ(X - E) である。
774:１３２人目の素数さん
23/04/29 08:46:51.89 DBrlgvW4.net
アホクズすぎる
775:１３２人目の素数さん
23/04/29 10:41:28.81 w4odocqQ.net
U,Vが実数Rの稠密な開集合ならば、U∩Vも稠密？
776:１３２人目の素数さん
23/04/29 11:07:36.11 n16oiSC3.net
Dが稠密⇔D∩W ≠ φ (∀W ; open )
U,V がdense open → U∩V∩W ≠ φ (∀W ; open )
777:１３２人目の素数さん
23/04/29 13:47:39.07 8+u4wQWn.net
U ∩ V が稠密でないと仮定して矛盾を導く。
U ∩ V の元 x で、 (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) が空集合となるようなものが存在する。
U は稠密だから、 (x - ε, x + ε) の元 y で U の元であるようなものが存在する。
U は開集合だから、 (y - ε', y + ε') ⊂ U となるような正の実数 ε' が存在する。
ε' を十分小さくとれば、 x - ε < y - ε' かつ y + ε' < x + ε を満たすようにすることができる。 ε' はそのような正の実数とする。
V は稠密だから、 (y - ε', y + ε') の元 z で V の元であるようなものが存在する。
(y - ε', y + ε') ⊂ U であるから、この z は U の元でもある。
この結果は、 (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) が空集合であるということと矛盾する。
778:１３２人目の素数さん
23/04/29 13:51:20.77 8+u4wQWn.net
数学に向いていますか？
779:１３２人目の素数さん
23/04/29 14:11:36.52 8+u4wQWn.net
>>713
この問題はどうやら難しすぎるようですね。
780:１３２人目の素数さん
23/04/29 14:21:49.82 8+u4wQWn.net
x を任意の実数とする。
ε を任意の正の実数とする。
U は稠密だから、 (x - ε, x + ε) の元 y で U の元であるようなものが存在する。
U は開集合だから、 (y - ε', y + ε') ⊂ U となるような正の実数 ε' が存在する。
ε' を十分小さくとれば、 x - ε < y - ε' かつ y + ε' < x + ε を満たすようにすることができる。
ε' はそのような正の実数とする。
V は稠密だから、 (y - ε', y + ε') の元 z で V の元であるようなものが存在する。
(y - ε', y + ε') ⊂ U であるから、この z は U の元でもある。
この z は (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) の元である。
ゆえに、 U ∩ V は稠密である。
U ∩ V の元 x で、 (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) が空集合となるようなものが存在する。
U は稠密だから、 (x - ε, x + ε) の元 y で U の元であるようなものが存在する。
U は開集合だから、 (y - ε', y + ε') ⊂ U となるような正の実数 ε' が存在する。
ε' を十分小さくとれば、 x - ε < y - ε' かつ y + ε' < x + ε を満たすようにすることができる。 ε' はそのような正の実数とする。
V は稠密だから、 (y - ε', y + ε') の元 z で V の元であるようなものが存在する。
(y - ε', y + ε') ⊂ U であるから、この z は U の元でもある。
この結果は、 (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) が空集合であるということと矛盾する。
781:１３２人目の素数さん
23/04/29 14:22:26.10 8+u4wQWn.net
訂正します：
>>747
x を任意の実数とする。
ε を任意の正の実数とする。
U は稠密だから、 (x - ε, x + ε) の元 y で U の元であるようなものが存在する。
U は開集合だから、 (y - ε', y + ε') ⊂ U となるような正の実数 ε' が存在する。
ε' を十分小さくとれば、 x - ε < y - ε' かつ y + ε' < x + ε を満たすようにすることができる。
ε' はそのような正の実数とする。
V は稠密だから、 (y - ε', y + ε') の元 z で V の元であるようなものが存在する。
(y - ε', y + ε') ⊂ U であるから、この z は U の元でもある。
この z は (x - ε, x + ε) ∩ (U ∩ V) の元である。
ゆえに、 U ∩ V は稠密である。
782:１３２人目の素数さん
23/04/29 14:28:49.58 8+u4wQWn.net
実解析と測度論の基礎 (数学レクチャーノート基礎編) 単行本 ? 2004/5/1
盛田 健彦 (著)
ってどうですか？
きちんと証明が書いてある本のようですが、いい本ですか？
Axlerさんの本より良い本が存在するとはちょっと考えられませんが。
783:１３２人目の素数さん
23/04/29 14:30:39.48 8+u4wQWn.net
Axlerさんの本では、変数変換の公式は既知としています。
そこが残念です。
吉田伸生さんの本によると、この盛田さんの本には変数変換の公式の証明が
きちんと書いてあるということですが。
784:１３２人目の素数さん
23/04/29 16:16:34.16 oABjrV3Y.net
よくこんなど素人な証明ドヤ顔で上げられるなぁ
785:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:02:04.50 8+u4wQWn.net
>>713
を解ける人はいませんか？
786:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:36:19.35 8+u4wQWn.net
今、タオの本の日本語訳を読んでいたのですが、演習0.0.1が以下の問題でした。
演習0.0.1
もし (x_α)α∈A が Σ_{α∈A} x_α < ∞ を満たす数 x_α ∈ [0, ∞] の集まりであれば、
もし A 自身が非可算集合であっても、たかだか可算個の α ∈ A を除いては x_α = 0
であることを示せ。
>>717
は
>>713
を解こうと思って考えているときに疑問に思っただったのですが、偶然にもタオの本の
第1問と同じ問題を考えていたことになります。
これってセンスがあるということでしょうか？
787:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:36:19.99 uXVGqNN4.net
教育 P対NP問題
788:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:37:37.57 8+u4wQWn.net
訂正します：
今、タオの本の日本語訳を読んでいたのですが、演習0.0.1が以下の問題でした。
演習0.0.1
もし (x_α)α∈A が Σ_{α∈A} x_α < ∞ を満たす数 x_α ∈ [0, ∞] の集まりであれば、
もし A 自身が非可算集合であっても、たかだか可算個の α ∈ A を除いては x_α = 0
であることを示せ。
>>717
は
>>713
を解こうと思って考えているときに疑問に思ったのですが、偶然にもタオの本の
第1問と同じ問題を考えていたことになります。
これってセンスがあるということでしょうか？
789:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:40:00.64 8+u4wQWn.net
演習0.0.1
もし (x_α)α∈A が Σ_{α∈A} x_α < ∞ を満たす数 x_α ∈ [0, ∞] の集まりであれば、
もし A 自身が非可算集合であっても、たかだか可算個の α ∈ A を除いては x_α = 0
であることを示せ。
この問題ですが、
「もし A 自身が非可算集合であっても、」の部分が何かおかしいので、どうせ
乙部厳己さんが変な風に訳したのではないかと思って、原著を見てみましたが、
誤訳ではないようです。
でも、おかしくないですか？
790:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:44:58.12 8+u4wQWn.net
A が有限集合であ�
791:黷ﾎ、 x_α ≠ 0 となるのは有限個なので、たかだか可算個です。 A が可算集合であれば、 x_α ≠ 0 となるのはたかだか可算個です。 A がたかだか可算な集合であれば、たかだか可算個しかないのだから、 「たかだか可算個の α ∈ A を除いては x_α = 0」は自明です。 自明でないのは、 A が非可算集合の場合だけです。 それにもかかわらず、「もし A 自身が非可算集合であっても、」と書くのはおかしくないですか？ タオさんは数学は得意らしいですが、国語はどうなのでしょうか？
792:１３２人目の素数さん
23/04/29 21:55:45.69 8+u4wQWn.net
あ、おかしくないですね。
793:１３２人目の素数さん
23/04/30 01:01:10.99 p0PIPTNo.net
>>763
> ID:8+u4wQWn
おかしい
794:１３２人目の素数さん
23/04/30 07:19:49.56 Ktw8POlM.net
>>713
これだけ時間が経ってもこの問題を解くことができる人があらわれませんね。
795:１３２人目の素数さん
23/04/30 08:13:35.71 UkT/Vcse.net
そもそも数学の問題にすらなってない事すら理解できない能無し
クソみたいな証明あげて大恥かいた後まだ恥の上塗りできるドクズ
796:１３２人目の素数さん
23/04/30 09:03:55.26 Ktw8POlM.net
>>713
はもちろん、数学の特徴づけの問題です。
797:１３２人目の素数さん
23/04/30 12:34:01.60 eB+1+q87.net
>>767
問題になぞなんとらんのがなぜわからん
まぁ知能が低いからだが
能無し
798:１３２人目の素数さん
23/04/30 12:48:07.21 1zCPCiiY.net
>>624でB が S の元からなる互いに共通部分を持たないという条件はどこで使用してますか？
799:１３２人目の素数さん
23/04/30 12:51:40.77 eB+1+q87.net
ホントに頭悪いな
800:１３２人目の素数さん
23/04/30 13:03:54.19 kvLtNKc+.net
俺は別人だがゼミなんかで定理の条件をどこで使っているか質問されたら頭悪いなで済ませるのか？
ここは質問スレだぜ。
801:１３２人目の素数さん
23/04/30 13:22:39.42 eB+1+q87.net
質問の内容わかって言ってるか？
アホさ突き抜けてるやろ？
わからないにも程がある
802:１３２人目の素数さん
23/04/30 13:36:51.93 Ktw8POlM.net
>>769
X := [0, 1]
S を [0, 1] の部分集合であるようなボレル全体の集合
μ を R 上の外測度とします。
B := {[0, a] : a ∈ (0, 1]} とします。
B の任意の元 A に対して、 μ(A) > 0 が成り立ちます。
ですが、 B は非可算集合です。
803:１３２人目の素数さん
23/04/30 14:03:13.82 Ktw8POlM.net
>>769
>>623
B_n := {A ∈ B : μ(A) > 1/n} と定義します。
∪_{n = 1}^{∞} B_n ⊂ B です。
逆に、 A ∈ B とします。
μ(A) > 0 なので、 μ(A) > 1/m を満たす m ∈ {1, 2, …} が存在します。
よって、 A ∈ B_m ⊂ ∪_{n = 1}^{∞} B_n です。
∴ B = ∪_{n = 1}^{∞} B_n です。
m ∈ {1, 2, …} とし、 B_m が無限集合であると仮定します。
B_m = {A ∈ B : μ(A) > 1/m} です。
μ(X) < ∞ です。
B_m は無限集合ですから、 Floor[m * μ(X)] 個よりも多くの元を含みます。
k := Floor[m * μ(X)] + 1 とします。
A_1, A_2, …, A_k を B_m の元で、 #{A_1, A_2, …, A_k} = k を満たすようなものたちとします。
μ は測度で、 B は S の元からなる互いに共通部分を持たない集合の集合で、 B_m は B の部分集合なので、
μ(A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_k) = μ(A_1) + μ(A_2) + … + μ(A_k) が成り立ちます。（ここで B が S の元からなる互いに共通部分を持たない集合の集合であるという仮定を使いました。）
μ(X) = (m * μ(X)) * (1/m) < k * (1/m) = 1/m + 1/m + … + 1/m < μ(A_1) + μ(A_2) + … + μ(A_k) です。
一方、 D, E ∈ S かつ D ⊂ E であるとすると、
μ(D) ≦ μ(E) が成り立ちます。
A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_k, X ∈ S かつ A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_k ⊂ X ですから、
μ(A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_k) ≦ μ(X) です。
これは上の結果と矛盾します。
よって、任意の m ∈ {1, 2, …} に対し、 B_m は有限集合です。
∴B = ∪_{n = 1}^{∞} B_n は高々可算な集合です。
804:１３２人目の素数さん
23/04/30 16:13:51.38 Ktw8POlM.net
ルベーグ積分の本についてですが、測度論はできるなら回避したいというような本がありますよね。
例えば、吉田伸生さんの本などです。
ですが、測度論自体つまらないものではないと思います。
なぜ、測度論を嫌がる人が多くいるのでしょうか？
805:１３２人目の素数さん
23/04/30 16:17:21.30 Ktw8POlM.net
あと、なぜ、抽象的な測度論から始めないのでしょうか？
そのほうがすっきりとしていいのではないかと思います。
一般位相などを勉強した人にとって、ユークリッド空間の測度論から始めたからといって
別に分かりやすくなるわけじゃないです�
806:謔ﾋ。
807:１３２人目の素数さん
23/04/30 16:21:36.86 Ktw8POlM.net
あと、伊藤清三さんの本のどこがいいのかが分かりません。
ぱっと見、記号が洗練されていませんし、また説明も泥臭いという感じがします。
古くて洗練されていない完成度の低い本という印象です。
808:１３２人目の素数さん
23/04/30 16:26:46.93 Ktw8POlM.net
URLﾘﾝｸ(linear.axler.net)
2023年11月にいよいよ、Sheldon Axlerさんの世界的名著である『Linear Algebra Done Right』の第4版が出版されますね。
電子版は無料で公開されるそうです。
著者から直接伺いましたが、第4版にはテンソル代数についての記述があるそうです。
楽しみですね。
809:１３２人目の素数さん
23/04/30 17:40:34.02 88832t6Q.net
何代目か知らないけど松坂くん舞い上がってますね
積分論と線型代数を一生かかって極めてください
伊藤清三先生と誰か忘れた先生に線型代数の単位をいただいた老人です
810:１３２人目の素数さん
23/04/30 19:25:59.43 p0PIPTNo.net
>>773
>>624では条件満たすBの一部をB_nとしてるんだけど
そのBは条件を満たさないよ
811:１３２人目の素数さん
23/04/30 19:27:20.10 p0PIPTNo.net
>>774
>>624を精密に書き換えたのね
812:１３２人目の素数さん
23/04/30 19:43:59.31 k3qd5BGi.net
厳密というかアンポンタンというか
Bₙが高々可算個→∪Bₙが高々可算個
に一々厳密な証明つけてる時点でなんもかんもわかってない
ホントにこのレベルの教科書読むときに学ぶべき“勘所”が何ひとつ掴めてない
おそらく永遠に無理
必要な知能を有していない
813:１３２人目の素数さん
23/04/30 20:15:43.09 FaDCPRmE.net
>>782
｛R}は濃度1だけど、∪｛R}＝Rは濃度2^ω
814:１３２人目の素数さん
23/04/30 20:15:54.14 lt3wt/VG.net
このレベルの教科書読む人って
Bₙが高々可算個→∪Bₙが高々可算個
を分からずに読むの？
815:１３２人目の素数さん
23/04/30 20:34:48.58 wz/0zb9W.net
nと書いてあるのに、添字集合が高々可算ではないと思うような方もセンスがないんでしょうね
816:１３２人目の素数さん
23/04/30 20:44:44.68 2y6WJvij.net
B?が高々可算個→∪B?が高々可算個の厳密な証明ってどこ
817:１３２人目の素数さん
23/04/30 21:31:24.84 p0PIPTNo.net
>>786
∀n∈N (B_n:高々可算)
∃p_n:N→B_n:全射
p:N×N→∪B_n:p(m,n)=p_n(m):全射
818:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:07:48.45 2y6WJvij.net
>>787
そんなのどこにもないけど
819:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:14:36.99 p0PIPTNo.net
>>788
>>624
>Bの元Aで μ(A)>1/n を満たすもの全体の集合を B_n とすると、μ(X)<∞ から各 B_n は有限集合。
>よって B = ∪_n B_n は高々可算。
820:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:18:15.60 p0PIPTNo.net
>>788
あー
厳密な証明を求めてるんじゃ無くて
>>624では厳密な証明が為されてないって言いたいだけか
なら下らんな
821:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:37:24.15 2y6WJvij.net
>>790
どっちも違う
782が一々厳密な証明つけてると言ってるけど見当たらないからきいている
822:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:39:31.39 1zCPCiiY.net
>>774 基本的なことですまんが、集合族の場合は同じ元を複数選ぶのもありだから#{A_1, A_2, …, A_k} = kと書いているという理解で合ってる？
823:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:54:36.83 YWswcG60.net
そもそも測度論勉強する段階で高々可算個の集合からなる続の和集合が高々可算である事を自明と思えるぐらいの段階ですらないのに測度論の教科書に手出してる時点で愚か
自分が今読んでる教科書から何を読むべきか、何にこだわるべきかがまるで掴めてない
そんなセンス普通は一年もあれば普通は掴んでるハズのもの
それがもう数年来この調子
永遠に無理
824:１３２人目の素数さん
23/04/30 22:57:13.10 p0PIPTNo.net
>>791
ならそれも下らない指摘かもね
>>782はアンポンタンが主眼で
一々厳密な証明をつけている
が間違っていても別に構わないスタンスだろうよ
825:１３２人目の素数さん
23/04/30 23:00:41.20 lt3wt/VG.net
主眼じゃない所でも間違っちゃだめだろう
826:１３２人目の素数さん
23/05/01 00:01:09.24 Z0UXjzIE.net
>>795
じゃ
一々厳密な証明をつけようとしている
でいいだろｗ
827:１３２人目の素数さん
23/05/01 00:01:46.84 Z0UXjzIE.net
いちゃもんレベルで下らんな
828:１３２人目の素数さん
23/05/01 08:24:15.62 U6T4YdSK.net
>>794
つまり>>782はいちゃもんつけるのが目的か
829:１３２人目の素数さん
23/05/01 10:37:41.00 HLifFo+Q.net
>>798
なんやこじらせてるてるカス
うざい能無し
830:１３２人目の素数さん
23/05/01 12:09:20.07 LbUmTBzA.net
厨房はダルいだらだら証明と厳密な証明の区別がつかないから仕方ない
831:１３２人目の素数さん
23/05/01 17:43:59.72 GizrHNaR.net
μをルベーグ測度。
U={開区間(r,s)|r,sは有理数かつr<s}
W={∪U_i| U_i∈U,i=1,…,n }
この時、0<∀ε;実数,∀M;ルベーグ可測集合,∃V∈W μ(VΔM)≦εが成り立つ。
ただし、Δは対称差の集合演算
この証明を教えてくれ
832:１３２人目の素数さん
23/05/01 20:20:40.89 GizrHNaR.net
>>801
これの主張してるところは、
任意の可測集合は、ルベーグ測度による誤差がいくらでも小さくできるという意味で、開区間の合併で近似できる
ということ、だな。
833:１３２人目の素数さん
23/05/01 21:38:40.15 GizrHNaR.net
>>801
伊藤清三のルベーグ積分入門、定理7.4によれば
∀A;ルベーグ可測集合 0＜∀ε A⊆∃G;開集合 μ(G-A)<ε
が成り立ってる。
ここから、Gをどうやって∪U_iに関連付けるかが分からん
834:１３２人目の素数さん
23/05/02 08:43:20.83 KVWLD8jR.net
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
こんな記事はあった
835:１３２人目の素数さん
23/05/02 10:59:39.27 qxYSCIZc.net
伊藤清三著『ルベーグ積分入門（新装版）』
p.14の例3は、区間塊についての話です。
Taoさんの和訳本では、p.6補題1.1.2.が対応します。
Taoさんの説明の仕方はいかにも秀才の説明という感じです。
一方の伊藤清三さんの説明は、Taoさんが別解として、演習問題とした解法で説明しています。
秀才と凡人の対照が面白いですね。
836:１３２人目の素数さん
23/05/02 12:30:36.45 M0IKh9bG.net
>>804
たしかに、伊藤清三、ルベーグ積分入門、定理8.3に類似の主張があるな
837:１３２人目の素数さん
23/05/02 12:44:58.75 M0IKh9bG.net
>>805
Taoの和訳本って何？
838:１３２人目の素数さん
23/05/02 12:58:45.26 qxYSCIZc.net
>>807
テレンス・タオ ルベーグ積分入門 単行本（ソフトカバー） ? 2016/12/10
テレンス タオ (著), Terence Tao (著), 舟木 直久 (監修, 翻訳), 乙部 厳己 (翻訳)
です。
839:１３２人目の素数さん
23/05/02 13:50:40.67 czJlSgfA.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
リンクの定義のように、多くの本では不偏推定量はパラメトリックなモデルを仮定して定義されていると思います
しかし、線形回帰のガウスマルコフ定理あたりで、パラメトリックを仮定していないモデル（残差に正規分布ではなく、期待値が0であることや等分散、無相関であることを仮定するやつ）に対しても不偏推定量という言葉を使っています
�
840:s偏推定量（または推定量）には、より一般的な定義があるのでしょうか？
841:１３２人目の素数さん
23/05/02 14:13:19.12 czJlSgfA.net
>>809
書き込みして気づきましたが、平均0かつ等分散かつ無相関な確率分布全体の集合に自分自身でパラメータ付すれば、パラメトリックではないですがそれっぽい定義になっていて整合性がとれそうです
842:１３２人目の素数さん
23/05/02 14:30:40.78 T38xpRKZ.net
(i) Mがある有限開区間X= (a,b)に含まれるとき
μはLebesgue測度だから有限個の閉区間の和集合として得られる閉集合Fで
X\M ⊂ F , μ( F ) ≦ μ( X\M ) + ε
を満たすものがとれる
U = X\FとすればX\M ⊂ FよりU⊂Mであり
M△U=M\U=F\(X\M)
によりμ(M△U) = μ(F) - μ(X\M) ≦ εである
(ii) 一般のとき
Iₖ = ((-1)ᵏ(2k-1), (-1)ᵏ(2k+3))
とする
(-1,3),(-1,-5),(3,7),(-5,-9),...
である
各kに対してUₖ⊂Iₖをμ(M∩Iₖ △ Uₖ) < ε/2ᵏ⁺¹ととる
このときU=∪Uₖとすればよい
843:１３２人目の素数さん
23/05/02 14:53:13.55 M0IKh9bG.net
>>811
\は＼って意味か？
844:１３２人目の素数さん
23/05/03 00:27:38.87 ja8LLQle.net
>>801
解けました。
M は μ(M) < ∞ であるようなルベーグ可測集合じゃないと明らかに駄目ですよね。
r, s は有理数という制限をつけていますが、 r, s は実数であるとして、解ければ、
r, s は有理数という制限をつけた場合にも成り立つことは自明ですよね。
意味不明なところがある問題ですね。
845:１３２人目の素数さん
23/05/03 00:30:44.40 ja8LLQle.net
ヒントを書いておきます：
ε を任意の正の実数とします。
仮定により、 μ(M) < ∞ なので、
正の実数 K で、
μ(M - [-K, K]) < ε
を満たすものが存在します。
846:１３２人目の素数さん
23/05/03 00:34:18.84 ja8LLQle.net
ヒントを書いておきます。
M がルベーグ可測集合であるとき、以下の2つの命題が成り立ちます。
ε を任意の正の実数とします。
A ⊂ M かつ |M - A| < ε を満たすような閉集合 A が存在します。
M ⊂ U かつ |U - M| < ε を満たすような開集合 U が存在します。
847:１３２人目の素数さん
23/05/03 00:34:48.48 ja8LLQle.net
ヒントを書いておきます。
ハイネ・ボレルの被覆定理を使う。
848:１３２人目の素数さん
23/05/03 00:37:47.03 ja8LLQle.net
ヒントを書いておきます。
U ⊂ R が開集合である。
⇔
U は互いに共通部分のない（高々）可算個の開区間（空集合や無限開区間も開区間）の和集合である。
849:１３２人目の素数さん
23/05/03 01:26:29.55 tku+NssK.net
>>817
マジで分からん。答え教えてくれ
850:１３２人目の素数さん
23/05/03 07:22:27.60 ja8LLQle.net
ε を任意の正の実数とします。
U を M ⊂ U かつ μ(U - M) < ε を満たすような開集合とします。
U を互いに共通部分のない（高々）可算個の開区間の和集合として書きます。
μ(M) < ∞ なので、正の実数 K で、 μ(M - [-K, K]) < ε を満たすものが存在します。
K をそのような正の実数とすると、 M ∩ [-K, K] はルベーグ可測集合です。
A ⊂ M ∩ [-K, K] かつ μ(M ∩ [-K, K] - A) < ε を満たすような閉集合 A が存在します。
μ(M) = μ(M ∩ [-K, K]) + μ(M - [-K, K]) < μ(M ∩ [-K, K]) + ε が成り立ちます。
μ(M) - μ(A) = [μ(M) - μ(M ∩ [-K, K])] + [μ(M ∩ [-K, K]) - μ(A)] < 2*εが成り立ちます。
A は有界閉集合です。
U を構成する互いに共通部分のない（高々）可算個の開区間たちは A の開被覆です。
ハイネ・ボレルの被覆定理により、 U を構成する互いに共通部分のない（高々）可算個の開区間たちの中から
互いに共通部分のない有限個の開区間を選んで、 A の開被覆を作れます。
それら有限個の開区間の和集合を V とします。
A ⊂ V ∩ M ⊂ M ⊂ V ∪ M ⊂ U が成り立ちます。
μ(V ∪ M) - μ(V ∩ M) ≦ μ(U) - μ(A) = [μ(U) - μ(M)] + [μ(M) - μ(A)] < 3*ε が成り立ちます。
μ(M - V) + μ(V - M) = μ(V ∪ M) - μ(V ∩ M) < 3*ε が成り立ちます。
明らかに、 V を構成する互いに共通部分のない有限個の開区間たちを少しだけ修正して、 V を端点が有理数であるような互いに共通部分のない開区間の有限個の和集合 W で、 μ(M - W) + μ(W - M) = μ(W ∪ M) - μ(W ∩ M) < 4*εを満たすようなものに変えることができます。
851:１３２人目の素数さん
23/05/03 07:30:00.61 ja8LLQle.net
>>736
数学に向いていますか？
852:１３２人目の素数さん
23/05/03 09:47:27.09 ja8LLQle.net
>>801
これはどこかの出来損ないの教員が出題した問題でしょうか？
853:１３２人目の素数さん
23/05/03 10:02:05.42 gCxwL+4w.net
t
854:１３２人目の素数さん
23/05/03 10:36:36.68 q3jo16Yw.net
もうすでに答えが上がってるのにヒントとかわけわからんバカさらすクズ
855:１３２人目の素数さん
23/05/03 11:46:35.69
856:moWKifeP.net
857:１３２人目の素数さん
23/05/03 12:08:23.11 tku+NssK.net
>>819
サンキュー。上手く言ってるようにみえる。
>>821
Kenneth Kunen｢集合論 独立性証明への案内｣79ページの証明の
｢Vが開集合で(じつはルベーグ可測集合であればよい)δが実数の時、μ(CΔV)を満たすような{\cal C}の要素Cが必ずある｣
との既述が引用元。
演習問題ではなくて、著者の行間が空いてて理解できなかったら聞いた。
ちなみに、同書の訳者あとがき(p402)によると
｢原著者のKenneth Kunen（ケネス・キューネン）は，集合論，位相空間論，測度論などの分野でこれまで数々の業績をあげている優れた数学者｣で
｢
1980年の刊行以来一貫して，本書は強制法入門の決定版との定評を得ており，現在では集合論を研究している数学者に本書（原著）を読んでいない人はないと断言してよいと思
います．
｣とのこと。
858:１３２人目の素数さん
23/05/03 12:36:57.06 tku+NssK.net
>>819
Mが非有界の場合には、ルベーグ可測集合全体の集合がσ-加法的であることを使ったら、
Mが有界な場合において存在しているVを使って証明できそうな感じする
859:１３２人目の素数さん
23/05/03 12:37:47.67 tku+NssK.net
いや、>>826は撤回します
860:１３２人目の素数さん
23/05/03 13:53:39.40 ja8LLQle.net
斉藤光毅というサッカー選手がいるんですね。
齋藤毅さんよりも確かに輝いていそうですね。
861:１３２人目の素数さん
23/05/03 13:55:06.11 ja8LLQle.net
訂正します：
斉藤光毅というサッカー選手がいるんですね。
斎藤毅さんよりも確かに輝いていそうですね。
862:１３２人目の素数さん
23/05/03 13:55:47.66 ja8LLQle.net
斎藤毅さんは代数学の入門書をいつになったら書いてくれるのでしょうか？
863:１３２人目の素数さん
23/05/03 14:03:07.59 tku+NssK.net
論理の流れを整えてみた。こんな感じでいいか？
次を既知とする：
∀ε＞０，∀M;有界なルベーグ可測集合, ∃閉集合F,∃開集合U [F⊆M⊆Uかつμ(U＼M)≦εかつμ(M＼F)≦ε]
本証明：ε＞０，M;有界なルベーグ可測集合とする。
上記のF,Uを取る。
Uを、端点が有理数の開区間U_nたちの合併で表すことができる：U=∪U_n。
Fは有界閉集合だから、F⊆U[n=1 to m]U_nで表せる。右辺をVと置く。
μ(VΔM)=μ(V＼M)+μ(M＼V)≦μ(U＼V)+μ(M＼F)＜2ε
こんな感じか。
864:１３２人目の素数さん
23/05/03 14:04:12.10 tku+NssK.net
>>831
訂正：
次を既知とする：
∀ε＞０，∀M;ルベーグ可測集合, ∃閉集合F,∃開集合U [F⊆M⊆Uかつμ(U＼M)≦εかつμ(M＼F)≦ε]
(つまり、ここでは有界性は不要)
865:１３２人目の素数さん
23/05/03 16:20:05.95 wxNVNJbc.net
>>801 問題がおかしいですね. 例えば, M=R とする時,
R のいかなる有界開区間の有限個の合併 A を取っても,
μ(M△A) = ♾ となってしまい, 問題の条件の反例になっています.
866:１３２人目の素数さん
23/05/03 16:26:19.87 JTZdVai1.net
開集合は好きにとっていい
なら問題文は何というツッコミはありなんだが
867:１３２人目の素数さん
23/05/03 17:02:42.82 tku+NssK.net
>>833
だな。
だから＞＞831で訂正しつつ証明してる
868:１３２人目の素数さん
23/05/03 17:03:55.28 tku+NssK.net
>>833
Mに有界という条件を課してるから、後で有界閉集合はコンパクトという定理を使って、有限性が導出できてる。
869:１３２人目の素数さん
23/05/03 19:25:47.59 uQY9kEoZ.net
しかしそもそもMが有界であることも必要はない
開集合が無限に大きくなるだけ
もちろんMが小さい場合に言えれば無限でも言える
カラテオドリ外測度によるルベーグ測度の構成の基本がわかってればなんて事はない話
870:１３２人目の素数さん
23/05/03 20:03:38.29 tku+NssK.net
>>837
証明してみ
871:１３２人目の素数さん
23/05/03 20:20:33
872:.43 ID:m+pKIpz3.net
873:１３２人目の素数さん
23/05/03 20:55:27.28 tku+NssK.net
>>839
レス番号は？
874:１３２人目の素数さん
23/05/03 21:03:29.76 tku+NssK.net
>>839
もしかして証明の体をなしてない>>811？
875:１３２人目の素数さん
23/05/03 21:35:03.64 P4XgVP3u.net
それだよ
876:１３２人目の素数さん
23/05/03 21:46:43.06 tku+NssK.net
>>842
＞＞833読んでみ
877:１３２人目の素数さん
23/05/03 21:48:51.26 tku+NssK.net
>>842
１ μはLebesgue測度だから有限個の閉区間の和集合として得られる閉集合Fで
X\M ⊂ F , μ( F ) ≦ μ( X\M ) + ε
を満たすものがとれる
なんで？
２ 各kに対してUₖ⊂Iₖをμ(M∩Iₖ △ Uₖ) < ε/2ᵏ⁺¹ととる
このときU=∪Uₖとすればよい
こっから、どうやってμ(MΔU)＜εなんの？
878:１３２人目の素数さん
23/05/03 22:28:34.72 tku+NssK.net
>>842
答えられへんのか…アホやな
879:１３２人目の素数さん
23/05/03 22:33:50.04 EzdLLeOd.net
わからんならいいわ
お前才能ないわ
880:１３２人目の素数さん
23/05/03 23:03:54.91 3By2U6cQ.net
非学者論に負けず
881:１３２人目の素数さん
23/05/03 23:44:40.79 EzdLLeOd.net
wikipediaの外測度の構成の解説
Φ(E) = inf{ Σp(Aᵢ) | E ⊂ ∪Aᵢ、Aᵢ∈C } ( Cは閉直方体の集合 )
この定義見て
μはLebesgue測度だから有限個の閉区間の和集合として得られる閉集合Fで
X\M ⊂ F , μ( F ) ≦ μ( X\M ) + ε
を満たすものがとれる
理由がわからないならそもそもinfとかの意味がわかってないとしか思えない
ならばそもそも測度論の教科書に挑戦できるレベルにない
882:１３２人目の素数さん
23/05/04 00:03:18.95 idcVS9OE.net
>>848
私は昔, 測度論を勉強したことがあります.
(文献は 鶴見茂 『測度と積分』)
> Φ(E) = inf{ Σp(Aᵢ) | E ⊂ ∪Aᵢ、Aᵢ∈C } ( Cは閉直方体の集合 )
とあるが, A_i は一般に, C の可算列です. 有限個じゃないです.
従って,
>μはLebesgue測度だから有限個の閉区間の和集合として得られる閉集合Fで
>X\M ⊂ F , μ( F ) ≦ μ( X\M ) + ε
>を満たすものがとれる
という部分で, 『有限個』というのは違いますよ.
wikipedia の Lebesgue 測度の解説でも, 『高々可算個』となっており,
有限個ではないです。
883:１３２人目の素数さん
23/05/04 00:08:10.88 idcVS9OE.net
どの道, 有限個の有界開区間の合併 A では,
μ(M△A) が常に ∞ となってしまう例は, >>833 で示したとおりです.
884:１３２人目の素数さん
23/05/04 00:19:09.59 idcVS9OE.net
また, >>811 の一般の場合で,
>このときU=∪Uₖとすればよい
の部分ですが, この定義だと, U は可算個の有界開区間の合併となってしまいます.
一般には有限個じゃないです.
885:１３２人目の素数さん
23/05/04 03:26:38.87 jlCtI9TB.net
こんなことばっかりやってる知恵遅れ
↓
1 １３２人目の素数さん 2021/10/14(木) 03:25:25.20 ID:tzZMtpnD
鶴見茂『測度と積分』の4章(ラドンニコディムの定理)までを少しずつ読んで、ルベーグ積分の基礎事項を身につけることを目標にする。
モチベーション維持のために毎日ここに進捗を書き込む予定。
質問やアドバイス等があるとありがたいです
886:１３２人目の素数さん
23/05/04 06:13:42.37 Yot0d1Yu.net
>>848
Wikipediaの聞きかじりで低能晒すアホ現るww
887:１３２人目の素数さん
23/05/04 06:26:09.65 Yot0d1Yu.net
>>849
一応付言しておくと、伊藤清三の定義では区間とは(a,b]の形のもの(a or b=無限や(a,b]=φを含む)
この有限個の直和を区間塊という。
”
閉区聞を単に’区間’と呼ぴ． 内点を共有しない有限個の（閉）区間の和
集合を‘区間塊’と呼ぶことにしても，本質的には同じことであるが，以下の議論の中に
外見上複雑になる点がいくつか現われるであろう．
”
伊藤清三の外測度の定義は>>８４８でもない。有限加法的集合族�
888:ﾅあるところの区間塊を使って定義してる 仮にInfの定義を使っても得られるのは区間塊であって、開区間の有限和として、X\M⊆Fの関係をキープしたものが得られるかということも、その定義からは直ちには出てこないっしょ
889:１３２人目の素数さん
23/05/04 06:37:05.00 idcVS9OE.net
>>852 その人は私じゃないです. 私が鶴見茂『測度と積分』を読んだのは,
今から 20年以上前のことであり, 2021年の時点でそういう書き込みを 5ch にしたことはありません.
というより, 数学の勉強の進捗状況を 2ch とか 5ch に書き込んだことは, 私はありません.
人違いですね.
890:１３２人目の素数さん
23/05/04 06:42:45.71 idcVS9OE.net
>>854
ご説明ありがとうございます. 鶴見茂先生の本では, 正確には [a, b) の形を採用していました.
伊藤清三先生のとは区間の開いている方向が違っておりますが,
そこは本質的ではないと考えております.
どの道, 半開区間を採用するのは, 区間の差集合が
いつも区間になる必要性からではないかと推察されます。
891:１３２人目の素数さん
23/05/04 06:50:00.66 DYdAywj8.net
>>848
false.
892:１３２人目の素数さん
23/05/04 09:59:07.27 KTyJEGzk.net
>>848はミスあるから訂正
前半部
(i) Mがある有限開区間X= (a,b)に含まれるとき
μはLebesgue測度だから有限個の閉区間の和集合として得られる閉集合Fで
μ( X\M\F ) < ε/2
, μ( F ) ≦ μ( X\M ) + ε/2
を満たすものがとれる
実際定義により高々可算個の閉区間のX\Fの被覆
X\M ⊂ ∪Eₙ
でΣμ(Eₙ) ≦ μ(X/M) + ε/2
であるものがとれるが正数の無限和だから添字の有限集合Sを
Σμ(Eₙ) < Σ[n∈S]μ(Eₙ) + ε/2
ととれる
この有限和をFとすればよい
U = X\Fとすればμ(X\M\F) < εよりμ(U\M)<εであり
M△U=U\M ∪ M\U=U\M ∪ F\(X\M)
によりμ(M△U) ≦ εである
ほとんど外測度から測度構成するメカニズムわかってますかの話
893:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:04:30.88 Yot0d1Yu.net
>>858
で、M=Rの時、μ（MΔU)=無限については？
894:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:07:22.80 Yot0d1Yu.net
>>858
正直、頓珍漢な’俺様の脳内理論’を開陳されても読む気も起きん
895:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:09:50.55 Yot0d1Yu.net
バックスラッシュっぽいのを￥と表記してるのも、
文字化けっぽくなってる添字を気にせず使ってるのも、完全に自分の脳内のオナニーで完結してるのを体現してるわ
会話の通じんやつってこういう奴
896:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:12:29.16 b1j96N2y.net
反例があって実際に挙げられてるのにどうしてここまで頑なに自分が正しい！と思えるんだろう
測度論の前に高校レベルの論理すら理解してないやんけ
897:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:13:16.84 KTyJEGzk.net
まぁもう少し書くならそもそも教科書になんか「示せ」って書いてあったらまず文章の単語の意味全部わかってるか確認する
問題は質問者が言ってたように
「可測集合を開集合で近似せよ」
で例えばwikiの定義が
Φ(E) = inf{ Σp(Aᵢ) | E ⊂ ∪Aᵢ、Aᵢ∈C } ( Cは閉直方体の集合 )
から閉集合の可算被覆で近似するのはほぼ自明
で俺が書いた方法は
・補集合の方考える、なのでまずは全空間の測度有限の場合から考える
・可算和なので閉集合にはならない、しかしΣμ(Eₙ) < ∞なので十分大きくとっとけば被覆できてない部分の体積は<εと思ってよい
・全空間がℝ全体の場合を考える
全空間を(k,k+1)で分ければよい、漏れてるところは測度0
漏れがないように[k,k+1)で分解してもいいが、それだと今度は[k,k+1)の開集合とℝの開集合にズレが出るからそこ処理しないといけなくなる、測度0の差は無視できるという議論とどっちがいいかは趣味の問題
教科書の練習問題やろ
何が難しいこんなもん
898:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:14:13.64 KTyJEGzk.net
まだなんかいうてるカスがいるな
まぁ数学の世界にせいぜいお金落として行ってくれ
才能ナシ君
899:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:18:57.44 idcVS9OE.net
非学者論に負けず.
900:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:21:03.57 KTyJEGzk.net
書いたあと気づいたけど有限和だからとった閉集合の内点考えるでもいけるな
なんでもできるやんこんなもん
アホじゃないか
901:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:34:36.70 Yot0d1Yu.net
>>866
で、M=Rの時、μ（MΔU)=無限については？
902:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:41:17.44 KTyJEGzk.net
>>867
アホだなぁ
そのときはU=ℝにすればいいやろ？
なんでそんな事がわからんのじゃカス
903:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:46:45.04 KTyJEGzk.net
まぁこのアホカスは問題文の意味すら分かっとらんから一応解説したるわ
出題者がどっから問題とってきたか知らんか教科書の練習問題かなんからやろ
正確な原文はわからんがもちろんMの測度が無限だったら有限開区間で近似できるわけはない
どこが間違ってるかで「測度有限の場合だけでいい、それの書き忘れ」と解釈もできるけど「有限開区間でなくてもいい、開集合ならなんでもいい」ともできる
俺が答えてるのは後者の方なんだよ
わかるか？お馬鹿さん？
こんなクズみたいな練習問題で一々右往左往してるカスにはわからんやろけどな
904:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:49:56.52 Yot0d1Yu.net
>>869
＞＞もちろんMの測度が無限だったら有限開区間で近似できるわけはない
後出しジャンケンでようやく認めることができたなw
905:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:51:22.61 Yot0d1Yu.net
>>869
っつーか、上の方に引用元が明示されてるやん。
禄に文章も読めないんやな、お前
906:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:52:47.76 KTyJEGzk.net
>>870
能無しは俺が最初に全測度有限からスタートしてる意味すらわからんようやな
なーんにも分かってない
高い授業料払ってやっと到達できたレベルがやっとそのレベル
まぁせいぜい無駄金落として行けやカス
907:１３２人目の素数さん
23/05/04 10:53:51.15 KTyJEGzk.net
>>871
ハイハイ能無しさん頑張ってな
908:１３２人目の素数さん
23/05/04 11:03:50.45 Yot0d1Yu.net
まぁ結論をまとめると、Wikipediaの聞きかじりでアホな脳内オナニーを開陳してるだけのトンデモ証明で
｢僕ちゃん解けましたー｣言ってたところ、矛盾を突かれて笑われて、後出しジャンケンしつつ発狂してるだけのアホってことやな
蛇足：昔の話だけど俺は授業料全額無料だったな
国立なら授業料免除は簡単に通る
909:１３２人目の素数さん
23/05/04 11:15:08.05 idcVS9OE.net
香ばしいなw
910:１３２人目の素数さん
23/05/04 11:17:59.75 b1j96N2y.net
>>872
勝手に問題にない条件を明記せずに加えて「解けた！お前らこんなこともわからんのかカスｗ」と煽ってるゴミがいるらしいね
911:１３２人目の素数さん
23/05/04 12:19:55.81 rUuE8JcW.net
まぁお前の数学の限界がこの辺なんやろ
お疲れさん
よく頑張ったな
912:１３２人目の素数さん
23/05/04 12:47:32.20 1JAVRki6.net
なんで最近こんなに荒れてんの？昔はもうちょい穏やかだったと思うんだが…。研究でストレス溜まっているんのか？
913:１３２人目の素数さん
23/05/04 12:52:11.81 ZUrPPluM.net
研究者なんかほとんどおらんやろw
アホ学生ばっかりww
914:１３２人目の素数さん
23/05/04 12:59:37.09 7S4XkUbe.net
このごめんなさい出来ない関西弁の人とか大分前から見るし、自分で「昔は授業料が～」って言ってる通り学生ではないでしょ
どちらかと言うと、昔は神童扱いされたけど数学者としては世界に全く通用せず、中級レベルの数学でネットでイキる数学者・数学脱落者が多いように思う
915:１３２人目の素数さん
23/05/04 13:00:19.69 5ry4nYCD.net
>>855
このスレを自分の勉強の進捗報告に使ってる馬鹿が何か言ってるわ
916:１３２人目の素数さん
23/05/04 13:07:46.74 1JAVRki6.net
国際ジャーナルに論文を出版しようてスレがあるくらいだから研究者はいると思うがこのスレに
917:あまりいないのか？
918:１３２人目の素数さん
23/05/04 13:18:04.60 idcVS9OE.net
>>881
人違い.
919:１３２人目の素数さん
23/05/04 17:45:32.25 sTI1W6vw.net
タオさんの和訳本に「離散化論法」というのが登場するのですが、
これって標準的な手法なんですか？
920:１３２人目の素数さん
23/05/04 17:52:45.85 WgIXAFpH.net
研究者なら論文出そうなんていちいち考えずに論文出せてるだろ
921:１３２人目の素数さん
23/05/04 19:44:18.58 sTI1W6vw.net
杉浦光夫著『解析入門1, 2』を見ていて思うのですが、内容豊富で行間がなければ、それだけの理由でベストセラーになるんですよね。
他の人も見習えばいいのにと思います。
922:１３２人目の素数さん
23/05/04 19:50:59.11 eAYC7CNT.net
>>886
ナイ
923:１３２人目の素数さん
23/05/04 19:51:13.94 eAYC7CNT.net
ベストセラーは解析概論